四年级奥数巧做游戏与对策
小学奥数精讲：对策问题之必胜策略
小学奥数精讲：对策问题之必胜策略小学奥数精讲：必胜策略对策问题知识点总结：1.一取余制胜（取棋子，报数游戏）1.1.每次取1~n个棋子，总数，取最后一个赢策略：总数÷（1+n）如果有余数，先拿必胜，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可。
如果无余数，则后拿，总与对手凑成1+n即可。
1.2.每次取1~n个棋子，总数，取最后一个输策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。
所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。
问题转化为：每次取1~n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。
（总数-1）÷（1+n），之后同1中做法。
2.抢占制胜点（倒推法）2.1.能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位2.2.处处为别人着想。
自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。
3.对称法3.1.同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。
3.2.不同等情况下，创造对等局面方可制胜。
例题：1.桌子上放着100根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～5根。
规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：100÷（1+5）=16……4，有余数，先拿必胜。
甲先拿4个；乙拿a个，甲就拿6-a个。
2.甲乙两人轮流报数，报出的数只能是1～7的自然数。
同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。
请问必胜的策略是什么？分析：80÷（1+7）=10，无余数，后拿必胜。
甲拿a个，乙就拿8-a个必胜。
3.1000个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。
规定将棋子移到最后一格者谁赢。
甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？分析：（1000-1）÷（1+7）=124……7，有余数，先走必胜。
甲先走7格；乙走a格，甲就拿8-a个必胜。
4.5张扑克牌，每人每次只能拿1张到4张。
谁取最后一张谁输。
必胜的策略是什么？分析：先拿4张，留给别人1张就行。
四年级奥数游戏策略
游戏策略知识框架实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。
例题精讲一、游戏与策略【例 1】A、B、C、D、E五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A->C,B->E,C->A,D->B,E->D.开始A、B拿着福娃，C、D、E拿着福牛，传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是（）.（A）C与D(B) A与D(C) C与E(D) A与B【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】选择【关键词】2009年，第14届，华杯赛，初赛，第6题【解析】根据题意，A与C互相传，B、D、E之间则按B→E→D→B→…的顺序轮流传。
开始时，两个福娃分别在A、B手上，其中A手上的福娃经过5轮的传递将到C的手里，B手上的福娃经过5轮的传递将到D的手里。
所以传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是C和D。
正确答案为A。
【答案】A【巩固】下图是一座迷宫，请画出任意一条从A到B的通道。
【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，初赛【解析】略.【答案】【例 2】请在5×5的棋盘中放入10个国际象棋中的皇后，使得标有数N的格子恰好受到N枚皇后的攻击．每个格最多一枚棋子，标有数的格子不能放棋子．如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到某个格子，只计算最前方的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格子）．1745【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】填空【关键词】2005年，第4届，走美，5年级，决赛【解析】先从5入手，5只有5个受攻击方向，可以推断5个方向都要受到攻击，从而①②位置必有皇后，则推断1的打“×”位置都不能有皇后，从而⑧位置必有皇后，再根据7推断③④⑤⑥⑦位置必有皇后，此时4和7还缺少一个受攻击方向，则有一个皇后必须同时攻击4和7，这个皇后只能在⑴或⑵，但如果把皇后放在⑵的位置，最后最多只能放9个皇后，因此⑴和⑨的位置再放两个皇后，共10个皇后【答案】【巩固】下图是常见的正方体，我们可以看到三面共有3 9=27个变成为1的正方体，在这三面上有三条蛇。
四年级 游戏与对策
游戏与对策一、基本前提：游戏双方足够聪明，目的都是获胜二、方法：倒推、画图列表三、游戏类型：①田忌赛马【例1】学校举行乒乓球团体比赛，每班派出3名运动员参赛，规定有两名运动员胜出的班获胜（三局两胜制）。
四（1）班：第一名：张明；第二名：李超；第三名：郭胜四（2）班：第一名：王勇；第二名：宋佳；第三名：高祥如果你是四（1）班的班长，要想赢下这次比赛，应该怎样排兵布阵？请把你的想法填入表中。
（假设两个班相同排名的运动员的水平相当）四（2）班四（1）班获胜班级第一场第一名：王勇第二场第二名：宋佳第三场第三名：高祥【举一反三1-1】四（1）班和四（2）班举行跳绳团体比赛。
两队队员复赛成绩如下，比赛中四（1）班队员先出场，如果你是四（2）班文体委员，你怎样安排队员出场才能取胜？（用线连一连）四（1）班四（2）班张丽160次/分钟杨文爱150次/分钟吴敏147次/分钟刘苹142次/分钟王雯128次/分钟李琳琳115次/分钟【举一反三1-2】小强和小刚玩扑克牌“比大小”的游戏。
玩法是：每人每次出一张牌，出三次，赢两次者为胜。
小强三张牌分别为“2”“5”“8”，小刚三张牌分别为“1”“4”“7”。
小强先出牌，小刚怎么出牌才能取胜？请把出牌的情况填入下表。
第一次第二次第三次小强8 2 5小刚本次赢者游戏类型②：拿火柴棒或抢数解题方法：（1）找周期：周期等于可拿最大限度+1有余数：抢先拿（2）总数÷周期整除（余数为0）：抢后【例2】桌子上放着40根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1-2根．规定谁取走最后一根火柴谁输．如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？【举一反三2-1】甲、乙二人轮流报数，报出的数只能是1至7的自然数．同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜．问谁有必胜策略？【举一反三2-2】桌上放着60根火柴，青青和亮亮二人轮流每次取走1-3根，规定谁取走最后一根火柴谁就获胜。
苏教版四年级上册同步奥数培优 第十讲 统计与可能性(游戏与对策)
苏教版四年级上册奥数培优第十讲统计与可能性（游戏与对策）【知识概述】我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。
规定各从自己的马中选上等马、中等马和下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马，每胜一场可得一千金。
田忌的朋友孙膑给他出了个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。
结果田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。
这个故事是对策的一个典型例子。
它告诉我们:在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案，利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望时，也不至于输得太惨。
这种思想在20世纪形成了对策这门新兴科学。
例1：有一堆棋子共53颗，甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子。
规定谁拿走最后1颗棋子，谁获胜。
如果甲先拿，那么他有没有获胜的策略?练习一：1.有287个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是:甲、乙两人轮流取，每人每次取1个或2个，取最后一个球的人为失败者。
甲想取胜，他应该如何安排?2.有388个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛。
比赛的规则是:甲、乙轮流取球，每人每次取1个、2个或3个，取最后一个球的人为失败者。
如果甲先取，甲为了取胜，他应该采取怎样的策略?3.有197粒棋子，甲、乙两人分别轮流取棋子，每次至少取1粒，至多取3粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者，现在两人通过抽签决定谁先取。
你认为先取的获胜，还是后取的获胜?例2：有两堆火柴，一堆16根，一堆11根。
甲、乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根算谁胜，问甲如何才能获胜?练习二：1.有两个箱子分别装有63，108个球。
甲、乙两人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一个球的为胜。
甲先取，他应如何取才能获胜?2.取两堆石子，游戏双方轮流从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子(甚至可以把这堆石子一次拿走)，但每次至少拿一粒，不准同时在两堆中拿，谁拿走最后一粒或几粒石子，谁就获胜，如何取胜?3.下面是个圆形，两人轮流在圆形中画规定了大小的□，每人每次画一个□，所画的□不能与已画的相交或重叠，圆形总有被画满的时候，谁画最后一个□，谁就获胜。
学而思讲义四年级第三讲(游戏与对策)(2024版)
第三讲 游戏与对策一、基本前提游戏双方足够聪明，目的都是获胜。
二、方法：倒推三、游戏类型（一）拿火柴棍/抢数如：桌子上放着10根火柴，二人轮流每次取走1—2根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
你知道必胜的方法吗？分析：如果从开始分析，“局面”太大，有太多种取法要讨论。
所以我们尝试从结果倒推。
如上图，要必胜，也就是要让自己拿到10号火柴，那就应给对方留下8，9,10三根火柴供他取，这样对方不管取一根还是两根，自己都能拿到最后的10号火柴。
照这样分析，自己应该拿到7号火柴（这样就是给对方留下了8,9,10号三根）就必胜。
同理分析，要想取7号，就应该取4号，要想取4号，就应该取1号。
那么，本题的制胜点就是1,4,7,10号火柴，对于足够聪明的人来说，拿到第一个制胜点1号火柴，一定能拿到其余的制胜点。
所以本题要必胜，就要抢先取1根，然后对方取a 根，自己就取3-a 根，这样保证自己能取到每一个制胜点，最终取到10号火柴。
总结一下，同学们应该能看出，这里面有周期现象（只是周期是从后往前排布的），周期是几呢？是可取的最大限度2再加1等于3，制胜点是哪些呢？是每个周期的最后一根。
掌握此规律，就不难总结出这类题的解题方法了：解题方法：（1）找周期：周期等于可拿最大限度+1（2）总数÷周期1 桌子上放着60根火柴，聪明昊、神奇涛二人轮流每次取走1—3根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
你知道必胜的方法吗？解析： 周期为 3+1=4（根）60÷4=15（组） （整除，应该抢后）制胜点：4,8,12 (60)做法：1、让对方先取2、对方取a 根，自己就取4-a 根2 有一种抢数游戏，是两个人从自然数1开始轮流报数，规定每次至少报几个数与至多报几个数（都是自然数），最后谁报到规定的“某个数字”为胜。
如“抢50”，规定每次必须报1或2个1 2 3 4 5 6 7 8 9 10有余数：抢先拿余数整除（余数为0）：抢后自然数，从1开始，谁抢报到50为胜。
四年级奥数 游戏中的数学问题
第18讲游戏中的数学问题例1、现有1994个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1个或2个，取走最后一个球的为胜利者。
甲先取，甲为了获胜，他应该怎么取呢？例2、有9张卡片，分别写着1,2,3,4,5,6,7,8,9.甲、乙两人轮流取1张，谁手上的3张卡片上的数字加起来等于15，谁就取胜。
问保证不败的对策是什么？例3、黑板上写着一排连续的自然数，1，2，3，…，51。
甲、乙两人轮流划掉连续的3个数，规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜，问：如甲先划，甲有必胜的策略吗？例4、64个小朋友的编号是1,2,3,4，…，64，他们围成一圈做游戏，从1号开始，按顺时针方形“1,2，1,2….”地报数，报到2的小朋友表演一个节目后退出圆圈，报到1的小朋友仍留在元券商，这样一直报下去，一圈报完后接着往下报，留在圆圈上的小朋友越来越少，最后留在圆圈上的小朋友的编号是多少？思考与练习1、有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取1个，最多取5个，取到最后一个球的人为输。
如果甲先取，那么谁将获胜？2、甲、乙两人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1~4个数，谁报到第888个数谁胜。
谁将获胜？怎样才能获胜？3、有三行棋子，每行分别有1,2,4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜，问：要想获胜是先取还是后取？4、有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜，如果甲后取，那么他一定能获胜吗？5、有两堆石子，第一堆有27粒，第二堆有18粒，甲、乙两人轮流从其中的任意一堆拿走一粒或几粒（甚至把这堆石子一次拿光），但每次不准1粒不拿，也不准从这一堆里拿几粒，从另一堆里拿几粒，谁拿到最后1粒或几粒石子谁就获胜。
取胜的策略是什么？6、甲、乙两人轮流报数，必须报1~4的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的和是1000，谁就取胜。
高斯小学奥数四年级上册含答案第10讲_游戏策略
第十讲游戏策略对策论又称博弈论，研究的现象与政治、经济、军事乃至人们的日常生活学 习都有密切的联系.一般地，在具有竞争或对抗性质的行为中， 参加竞争对抗的 各方具有不同的目标.为了达到各自的目标，各方既要制定出对自己最有利的方 案，又要考虑到对手所有可能采取的方案. 对策论就是研究竞争对抗中各方是否 存在最佳行动方案，以及如何找到这个最佳方案.我们将要学习的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜 的策略问题.如果说“统筹规划”所研究的是“死的”对象的话，那么“对策问 题”所研究的就是一个“活的”对手，因而在考虑问题时需要设想对手可能采取 的各种方刚才她岀石头，如果她还出石头、我怨 件炮如果预料到我这样想’她、 卡莉妍向墨莫学会了。
石头勇f 子 布17的游戏’正在 二］兴蚁勃勃地和他对 17战.所以我还应该\巧収她如果■^考虑过，而 C样出石头.岀布……I. 2. 3!哈哈*贏了I 騙她就要出布.就会出剪子. 出石头•“…J 以肯我没有3 乂和也疋q 她就会心案，并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置，我们将这种状态称作“必胜状态”（否则称为“必败状态”）•那么在给定的游戏规则下，是否存在必胜状态，以及为了达到必胜状态所采取的策略就成了问题的关键.需要强调的是，我们的目标不是“可能胜”，而是“必胜”！我们不能存在侥幸心理，不能寄希望于对方的失误，而是要在假定双方都足够聪明的前提下寻找必胜策略.有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚.如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？「分析」直接考虑12枚棋子并不容易，大家不妨试试棋子较少时谁有必胜策略，看看能否找到规律.练习1有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取2枚.如果谁取走最后一枚棋子谁赢.那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？情况很复杂时，我们往往需要先从比较简单的情况开始尝试，在逐渐变复杂的过程中，寻找规律进而解决题目.这其实是一种非常重要的数学思想，高年级乃至往后的数学学习中应用的递推、数学归纳法等都是以此为基础的.利用互补的想法，我们有更一般的结论.“有m枚棋子，两人轮流取棋子，规定每人每次可以取走1至n枚，直到把棋子取完为止，谁取得最后的一枚棋子谁胜•”其取胜策略是：每次取走棋子数除以n 1的余数枚棋子，让对方面对n 1的倍数枚棋子一一必败状态，则可保证取到最后的一枚棋子而获胜.现有2014根火柴.甲、乙两个人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取出2根，最多取出4根.如果谁无法取出火柴谁就赢，请问谁一定能赢？策略是什么？「分析」本题中每人每次最少要取出2根火柴，如果恰好剩下1根火柴，就已经无法再次取出了•能否像例题1那样，从火柴较少的情况入手，找出规律呢？现有2009个糖豆，甲、乙两个人轮流取从中出糖豆，每次至少从中取出2个，最多取出5个，谁无法取出糖豆谁就赢•如果甲先取，请问谁一定能赢？策略是什么？在一定能分出胜负的对策问题中，一方要么处于必胜状态，要么处于必败状态.处于必胜状态的一方，总能进行一次适当的操作后，把必败状态留给对手.反之，处于必败状态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手.在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键.例题3甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可.规定取到最后一个球的人赢，甲先取球.如果开始时两堆分别有五个球和八个球，那么谁有必胜策略？请说明理由.「分析」直接考虑5个和8个并不容易，你能像之前一样，从最简单的情况开始分析，找到规律吗？甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆有2009枚，一堆有2014枚.甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可.规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币.如果甲先拿，那么谁有必胜策略？请说明理由.例题4如下图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45° 走1步，最终将棋子走到方格 B 的人获胜.请问： 谁一定能获胜？必胜策略是什么？「分析」在棋盘中，有一些是必胜格，有一些是必败格.一方想要获胜，必 须每次都把棋子走到必胜格子中，使得对手下一步无论采取什么操作，都不得不 进入必败格子.本题中方格 B 就是必胜格.那么其他的格子中哪些是必胜格?哪些是必败格?例题5如下图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜.请问：（1） 谁一定能获胜？必胜策略是什么？（2） 如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？「分析」第（1）问中，每次只能走1步，那么B 为必胜格，贝尼相邻的左、 下、左下三个格子全是必败格；第（2）问中，每次可以走任意多步，那么 B 为 必胜格，则由B 可以直接找出多少个必败格呢？例题6B A桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图所示.现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③不断重复前两步，最后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜.如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？在对策问题中，要想取得胜利，必须使自己能始终保持在必胜状态中，而使对手总是处于必败状态.明确了这一点，我们就知道了解决对策问题的关键在于弄清楚什么是必胜状态，什么是必败状态.“知己知彼，百战不殆.”哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利.田忌赛马田忌很喜欢赛马•有一回他和齐威王约定，进行一次比赛.将马分成上、中、下三等，比赛的时候，上等马对上等马，中等马对中等马, 下等马对下等马.由于齐威王每个等级都比田忌的强，三场比下来，田忌都失败了•田忌觉得很扫兴，垂头丧气地准备离开赛马场.这时，田忌发现，他的好朋友孙膑也在人群里•孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀，说：“从刚才的情形看，齐威王的马比你的马快不了多少呀……”孙膑还没说完，田忌瞪了他一眼，说：“想不到你也来挖苦我！”孙膑说：“我不是挖苦你，你再同他赛一次，我有办法让你取胜.”田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换几匹马？”孙膑摇摇头，说：“一匹也不用换.”田忌没有信心地说：“那还不是照样输!孙膑胸有成竹地说：“你就照我的主意办吧.齐威王正在得意洋洋地夸耀自己的马，看见田忌和孙膑过来了，便讥讽田忌: “怎么，难道你还不服气？”田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”齐威王轻蔑地说：“那就来吧！”一声锣响，赛马又开始了.孙膑让田忌先用下等马对齐威王的上等马，第一场输了.接着进行第二场比赛•孙膑让田忌拿上等马对齐威王的中等马，胜了第二场•齐威王有点儿心慌了.第三场，田忌拿中等马对齐威王的下等马，又胜了一场•这下，齐威王目瞪口呆了.比赛结果，田忌胜两场输一场，赢了齐威王.还是原来的马，只调换了一下出场顺序，就可以转败为胜.1.10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，两个小朋友玩翻硬币游戏.规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻. 两人轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜•请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？2.现有200个石子.甲、乙两个人轮流从中取出石子，每次最少从中取出2个，最多取出4个，谁无法取出石子谁就赢•如果甲先取，那么谁有必胜的策略？必胜策略是什么？3.甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取.规定取到最后一个球的人输，甲先取球.(1)如果开始时两堆各有两个球，那么谁有必胜策略？请说明理由；(2)如果开始时两堆分别有两个球和三个球，那么谁有必胜策略？请说明理由.4. 甲、乙二人轮流在一个正十二边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）的对角线不能与已经画出的对角线相交， 谁不能继续画谁输.甲先画，请问谁有必胜策 或向右上方沿45角走1步，最终将棋子走到方格 B 的人获胜.请问：谁一定能获胜? 必胜策略是什么?BA.规定新画 甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右 5. 枚棋子,第十讲游戏策略1. 例题1答案：（1）乙有必胜策略；（2）甲有必胜策略详解：（1）如果剩不到4枚棋子，先取的人把所有棋子取走后获胜；如果剩4枚棋子，无论先取的人如何取，所剩的棋子数都不到4枚，所以后取的人获胜；如果有12枚棋子，甲取1枚时乙取3枚，甲取2枚时乙取2枚，甲取3枚时乙取1枚，在每次甲取完后，乙可以取适当数量的棋子以保证两人一个回合共取4枚棋子，这样乙可以拿到最后1枚，乙胜.（2）如果剩1枚，那么先取的人必败；如果剩2至4枚，先取的人可以剩1枚不取，所以后取的人败.12枚的情况与4枚的情况类似，甲先取3枚，剩下9枚•之后乙取1枚时甲取3枚，乙取2枚时甲取2枚，乙取3枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取4枚棋子•最后1枚必然被乙拿到，甲胜.2. 例题2答案：甲有必胜策略详解：根据上题经验，第二个人总可以保证和第一个人共取6根火柴，2014 6 335L L 4，所以2014根火柴的情况与4枚火柴的情况相同.4枚火柴时甲先取2根火柴即可获胜，因此2014 根火柴时甲也先取2根火柴，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取6根火柴.2014 2 6 335L L 2，最后剩下的2根火柴留给了乙，甲无法取出火柴，甲获胜.3. 例题3答案：甲必胜详解：甲先从8个球的那堆中取出三个球，使得两堆球一样多•之后每次乙取几个球，甲就在另一堆中取相同数量的球，甲获胜.4. 例题4答案：甲必胜详解：我们给必胜格子（如方格B）标记“V”，给必败格子标记“X” •从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“X” .特别地，最上边一行和最右边一列为“V”和“X”相间的标记，如左图.对于左图中的格子1和格子3,对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子•如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子•用类似的方法分析，得到右图•因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“V”的格子中即可.5.答案：（1 ）甲必胜；（2）甲必胜详解：（1 ）我们给必胜格子（如方格B）标记“V”，给必败格子标记“X” •从方格B逆推,能一步走到B 的格子都要标记“x” .特别地，最上边一行和最右边一列为“V”和“X”相间 的标记，如左图.对于左图中的格子 1和格子3,对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子 1和格子3都是必败格子.如果把棋子移到格子 2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中， 因此格子2是必胜格子•用类似的方法分析，得到右图•因此甲有必胜策略，每次把棋子移到 标有“/的格子中即可.（2） 与第（1）问方法类似，得到下图•甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“V”的格子中 即可.6. 例题6答案：切走12个小方块详解：当只剩1行（或1列）时，但不是一个小方块，先切的人只要切剩下一个小方块就赢了.当剩2行（或2列）时，如果剩2 2的方块，那么先切的人切完后成为 1 2的方块，所以后切 的人必胜；如果剩2 3、2 4、…等情况，先切的人只要切剩下一个 2 2的方块就可以取胜. 当剩3行（或3列）时，如果剩3 3的方块，先切的人切一刀后只能剩下1 3或2 3的方块，此时后切的人获胜.当有3 7块时，先切的人切走3 4 12块，给对手留下一个3 3的正方形，接着每次都给对手留下一个1 1或2 2的正方形即可获胜. 7. 练习1答案：（1 ）乙必胜；（2）甲必胜详解：（1）甲取1枚时乙取2枚，甲取2枚时乙取1枚，乙只要保证两人一个回合共取 3枚棋 子，即可拿到最后1枚获胜.（2）甲先取2枚，剩下13枚•之后乙取1枚时甲取2枚，乙取2 枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取 3枚棋子，最后1枚必然被乙拿到，甲胜.8. 练习2答案：甲必胜详解：2009 2 5 287，甲先取5个糖豆，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取7个糖豆，最后剩下的2个糖豆留给了乙，甲无法再次取出糖豆，甲获胜.9. 练习3答案：甲必胜简答：甲先从2014个金币中取出5个金币，使两堆金币一样多•之后每次乙拿几个金币，甲就 在另一堆中拿相同数量的金币，最后肯定甲拿走最后一个金币，甲获胜.10. 练习4答案：甲必胜简答：策略是每次把棋子走到下图中标有“V”的格子内.11. 作业1答案：先翻动的人必胜简答：先翻硬币的小朋友翻1枚硬币，以后对手翻1枚时自己翻2枚，对手翻2枚时自己翻1 枚，保证两人一个回合共翻3枚，即可保证自己翻到最后1枚.12. 作业2答案：乙必胜简答：甲取2个乙就取4个，甲取3个乙也取3个，甲取4个乙就取2个.200 6 33L L 2，最后剩下2个石子，甲取完，乙无法再取，乙获胜.13. 作业3答案：（1 ）乙必胜；（2）甲必胜简答：（1）甲取1个乙就取2个，甲取2个乙就取1个.（2）必胜策略是从三个球的那堆中取1个球，之后乙取1个甲就取2个，乙取2个甲就取1个.14. 作业4答案：甲必胜简答：策略是先画一条经过正十二边形中心的对角线，以它为对称轴，把图形分成对称的两部分•之后乙每画一条对角线，甲就在对称的位置上画出对角线•最后肯定是乙不能继续画，甲胜.15. 作业5答案：乙必胜简答：策略是每次把棋子走到下图中标有“V”的格子内.。
小学四年级奥数 第16讲：游戏与对策(一)
游戏与对策(一)【例2】(★★★) 【例1】(★★)桌子上放着20根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1~2根。
规定谁取走桌子上放着20根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1~3根。
规定谁取走最后最后一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？【例3】(★★★)桌子上放着20根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1~3根。
规定谁取走最后一根火柴谁输。
如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？【例4】(★★★)右图是一个4×6的方格棋盘，左上角有一枚棋子。
甲先乙后，二人轮流走这枚棋子，每人每次只能向下，向右或向右下走一格。
如图中棋子可以走入A、B、C三格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁获胜。
如果都按最佳方法走，那么谁将获胜？有什么必胜的策略？1【例5】(★★★★)把一棋子放在如图左下角格内，双方轮流移动棋子(只能向右、向上或向右上移)，一次可向一个方向移动任意多格。
规定不能将棋子直接从【例6】(★★★)今有两堆火柴，一堆15根，另一堆12根。
甲乙两人轮流在其中任一堆中拿取，甲先乙后。
取的根数不限，但不能不取。
规定取得最后一根者为如何取胜？【例7】(★★★)下图是一种“红黑棋”，甲、乙两人玩棋，分别取红、黑两方。
规定：下棋时，每人每次只能走任意一枚棋，每枚棋子每次可以走一格或几格。
红棋从左向右走，黑棋从右向左走，但不能跳过对方棋子走，也不能重叠在对方有棋子的格中。
一直到谁无法走棋时，谁就失败。
甲先乙后走棋，问甲有没有必胜的策略？【例8】(★★★★)有一个3×3的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片，9张卡片分别写有：1，3，4，5，6，7，8，9，10这几个数。
甲乙两人做游戏，甲9 6的和，乙计算左、右两列数的和，和数大的一方取胜，甲有没有必胜策略？2【本讲总结】【本讲总结】一、倒推法：桌子上放着m根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1~n根。
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巧做游戏与对策巧点晴——方法和技巧“余数制胜法”“对称制胜法”“例推法”等都是游戏与对策的常用思考方法。
巧指导——例题精讲我国古代有一个“田忌赛马”的故事：齐王经常要求和将军田忌赛马，规定各从自己的马中选上等马、中等马和下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马，每胜一场可得一千金。
田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。
结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。
这个故事是对策的一个典型例子。
它告诉我们：在竞争时，要认真分析研究，寻找并制定尽可能好的方案，利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望时，也不至于输得太惨。
在20世纪形成了对策论这门新兴科学，专门研究这种思想。
A级冲刺名校·基础点晴【例1】有两堆火柴，一堆16根，一堆11根。
甲、乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根算谁胜，问甲如何才能取胜？做一做1桌面上有2000根火柴，甲、乙两人轮流地取1根或2根火柴，谁取到最后一根火柴为胜，问甲获胜的策略是什么？【例2】甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分放好的硬币不再移动。
谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候他就赢了。
请说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略。
做一做 2 两个小朋友各持有同样大小的圆纸片若干张，他们轮流把纸片放到一张长方桌面上（桌面比圆纸片大），纸片边缘不越出桌面而且互相不重叠。
轮到谁无法放圆纸片时，就算谁失败，问有什么办法可以取胜？【例3】一张3×10的长方形网格纸有30个小方格，甲、乙两人轮流在切纸机上沿方格线的直线剪一切。
甲将一分分为两份，先送一份给乙，由乙按同样要求再剪。
然后乙又选送一份给甲，甲再这样剪……如此重复。
谁送给对方的只有一个方格谁就获胜。
问甲要想获胜有何策略？做一做3 甲、乙两人在1×100（100个格子）的长条纸上，从左向右移动一枚棋子（这枚棋子在第一格上）。
移动规则是：最少移动1格，最多移动3格，将棋子移到最后一格者为输。
问甲有无获胜的策略？B级培优竞赛·更上层楼【例4】两个人轮流数数，每人每次可以数1个、2个或3个，但是不能不数。
例如，第一个人数1和2，第二个接着往下数，他们可以数3，也可以数3和4，也可以数3，4，5。
如此继续下去，谁数到100，就算谁胜。
请试一试，怎样才能获胜？做一做4甲、乙两人轮流报数，每次报的数都是不超过8的非零自然数。
把两人报的数逐次相加，谁的和正好达到8，谁就获胜。
问甲欲胜有何策略？【例5】甲、乙二人轮流报数，必须报不大于6的非零自然数，把两人报出的数的和依次加起来，谁报数后加起来的和是2000，谁就获胜。
如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？做一做5 甲、乙两人轮流报数，必须报1~4的自然数，报两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的和是1000，谁就取胜，如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？【例6】有1994个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛的规则是：甲、乙轮流取球，每人每次取1个、2个或3个，取最后一个球的人为失败者。
（1）甲先取，为了取胜，他应采取怎样的策略？（2）乙选拿了3个球，甲为了取胜，应当采取怎样的策略？做一做6 54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到3张，谁拿到最后一张谁输，问先拿牌的人怎样确保获胜？巧练习——温故知新（二十七）A级冲刺名校·基础点晴1.两人轮流在国际象棋盘的空格内放入“象”，一方为黑棋，一方为白棋。
任何一方放入“象”时，要保证不被对方己放的“象”吃掉，谁无法放入棋子为输。
问必胜策略是什么？2.有两个箱子分别装有63个和108个球。
甲、乙两个人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一个球的人为胜。
问若甲先取，他应如何做才能取胜？3.下图是一张棋盘（2×9）。
甲置白子于A位，乙置黑子于B位，随后两个人轮流走子，每一步可沿一条横线或竖线中的一条至少走一格，并遵循如下规则：（1）不允许和对方的棋子处在同一条横线或竖线；（2）不能越过对方所在的横线或竖线。
轮到谁的棋子无法移动就算失败。
若甲先走，甲有胜乙的办法吗？4.有100人站成一排，从左到右依次进行1，2报数，凡是报1的人离开队伍，剩下的人继续从左到右进行1，2报数，如此下去，最后剩下的是原来队列中的第几个人？5.现有7根火柴，甲乙两人轮流从中取1根、2根或3根，直到取完为止，最后计算各人所得火柴总数，得数为偶数者获胜，问先拿的人是否能取胜？应怎样安排策略？B级培优竞赛·更上层楼6.两堆火柴分别有26根和28根，甲乙两人轮流从这两堆火柴中取火柴，每次可以从任意一堆里取出任意多根，但不能不取，也不能同时从两堆里取，规定得到最后一根火柴的人获胜，问甲要采取怎样的策略才能获胜。
7.甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒、2粒或3粒，取到最后一粒的是胜利者，你以为先取的能获胜，还是后取的能获胜？应采取什么策略？8.一副扑克有54张，两人轮流拿，每人每次只能拿1到4张，谁拿到最后一张就算输，问先拿的人怎样确保获胜？9.有一个3×3的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片，9张卡片分别写有：1，3，4，5，6，7，8，9，10这几个数。
小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡片放在9格中的一格，小兵计算上、下两行6个数的和，小强计算左、右两列数的和，和数大的一方取胜，怎么才能获胜？10.在5×5在棋盘的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、向下或者向左下对角线走一格，两人交替走，谁先到达左下角，谁为胜者，必胜的策略是什么？C 级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军11．在黑板上写n －1（n ＞3）个数：2，3，4，…，n ，甲、乙两人轮流从黑板上擦去一个数，如果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲胜。
问：（1）n 取什么值时甲必胜？（2）n 取什么值时乙必胜？12.有1000根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1到10根火柴，谁取到最后一根火柴就获胜。
如果甲先取，谁有必胜的策略？13.甲、乙两人轮流黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者。
如果甲第一个写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法。
14.甲、乙两人轮流从分别写1，2，3…，99的99张卡片中任意取走一张，先取卡的人能否保证在他取走第97张卡片时，使剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？15.两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列1，2，3， (100)101中删去9去数，经过这样的11次删除后，还剩下两个数，如果这两个数的差是55，这时判第一个删数的人获胜，问谁能获胜？巧总结本节我的收获是：。
不足之处有：。
智慧法古人算乘法对于乘法的计算，当两个相乘的数较大时，我们用口算就很难了。
那么古人是怎么计算的呢？先看一个图。
如果把最上面和右边的数字写出来则是34和467，把左边和下面的数字写在一起则为15878。
这三个数字有什么联系呢？其实34×467=15878。
像表中的计算方法就是古人计算乘法的一种方法。
这种方法流行于阿拉伯，在15世纪传入我国。
现在，让我们来看古人是怎么算的。
上表中写在上面和右边的两数是两个乘数，为了简单一些，常把乘数中数位较少的写在上面，较多的写在右边。
然后按从上到下让每个数相乘，乘得的结果分开写成一上一下。
如果图中的三、四分别与右边的四相乘得出的结果三（12），六（16），这样依次乘完每个数。
乘完后按照斜对的方法把每个斜对着的数相加起来。
在这种方法中，要先看破相加在数是否有进位，如果有，则进位要优先算。
把相加得到的个位写出，把十位再与前面的一个斜对行的数字相加。
例如，上图中，上图中的“六、二、八、二”相加得到18。
把“八”写出来，再把“一”与前面的斜对行“一、二、一”相加，所以就会有这个表中的“五”。
表中的其他数字如“一”是“1＋0”得来的；“七、八”分别是“4＋2＋1”，“8＋0”得出。
加完以后，再按照从左上到下右把数字联起来就是要算的结果。
如图中的“一五八七八”即15878。
你试算一虎看是否正确。
奇妙的乘法古时候，有个地主非常吝啬。
人们帮他干活，他都舍不得给工钱。
有一次，一个穷人走到他家，想在那儿找活干。
地主说：“你要多少工钱？”穷人说：“我要的工钱很少。
第一天。
给我一粒麦子；第二天，给我1×2，2粒麦子；第三天，给我2×2，4粒麦子，第四天，给我4×2，8粒麦子……给够我两个月的工钱，以后我就一辈子为你免费干活。
”地主听了，暗自高兴：“你这个穷鬼，给你一碗麦子都要你数半天。
你自己来找苦吃，也别怪我不仁了。
”于是，他笑嘻嘻地对那位穷人说：“好！这是你说的。
一言为定！”第一天，干完活之后，地主高高兴兴地把一粒麦子送给穷人；第二天，他又把2粒麦子送给穷人……这样一直到第十天，他送给穷人的麦子就要开始用碗装了。
第20天后，他送给穷人的麦子就必须用一个小口袋装着。
但地主毫不觉得自己有半点吃亏。
再过了5天，地主看着穷人是大袋找着、小袋提着报酬走出家门，他伤心地哭了起来：“才第25天啊……”你知道：这个穷人是怎么计算他的工钱吗？这两个月的工钱又该是多少呢？是：2×2×2×…×2×2－1=1152921504606846975（粒）60个2相乘这么多的麦子全世界要用几百年的时间才能生产出来啊！这个穷人就是阿凡提。