天津工业大学高等代数期末试卷 2010
(完整word版)2010(2)高等代数2试卷A
2010-2011学年第2学期 高等代数II 期末考试试卷（A 卷） 一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内。
1. 设21,V V 是线性空间V 的子空间，则下列集合不是V 的子空间的是（ ） (A) 21V V ⋃ (B) 21V V + (C) 21V V ⋂ (D) }0{1⋂V 2. 欧氏空间的度量矩阵一定是（ ） (A) 正交矩阵； (B) 正定矩阵； (C) 上三角矩阵； (D) 下三角矩阵. 3. 设A 是3阶方阵，它的特征值分别为0、1、2，则下列矩阵可逆的是（ ）(A ) 2A ; (B) 2A A +; (C) I A +; (D) 2I A -. 4. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ： (),n A P σξξξ=∈，则1dim((0))σ-和dim(())n P σ分别为（ ） (A) ,r n r -； (B) ,r r ； (C) ,n r r -； (D) ,n r n r --.5. 对于任意一个n 级实对称矩阵A ，则（ ）(A) A 的特征值的绝对值等于1;(B) A 有n 个不同的特征值;(C) A 的任意n 个线性无关的特征向量两两正交;(D) 存在正交矩阵T ，使1T AT T AT -'=为对角形矩阵.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6. 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到 基231,,εεε的过渡矩阵T ＝ ，而α在基321,,εεε下的坐标是 .7.已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,...,),1,2,...,}n i W a x x x P i n =∈= 是1n P +的一个子空间，则a ＝ ，而dim()W _________.8. 在欧氏空间4R 中，已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)αβ==-，则α= ，α与β的夹角为_________.9. 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且()1dim 3V =, ()2dim 2V =,()12dim 4V V +=,那么()12dim V V ⋂为________10. 设矩阵A 和B 相似，其中A =20022311x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =10002000y -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, x =_______，y =______.三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，满分10分）11. 设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1()(0)V V σσ-=⊕.（ ）12. 设σ是线性空间V 的一个线性变换，12,,...,s ααα线性无关，则向量组12(),(),...,()s σασασα也线性无关.（ ）13. 线性空间V 中任一非零向量皆为数乘变换K 的特征向量.（ ）14. 设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关.（ ） 15. n 维欧氏空间V 上的正交变换在任一组标准正交基下的矩阵皆为正交矩阵．（ ）四、计算题（本大题共25分）16. (满分8分) 在4P 中，求由1234,,,ηηηη到1234,,,ξξξξ的过渡矩阵，其中1234(1,2,1,0),(1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,0,1)ηηηη=-=-=-=--1234(2,1,0,1),(0,1,2,2),(2,1,1,2),(1,3,1,2)ξξξξ===-=17. （满分17分）设二次型12341234(,,,)22f x x x x x x x x =+ （1）写出这个二次型的矩阵A ；（2分） （2）求A 的特征值及其线性无关的特征向量；（8分） （3）求一个正交线性替换X =TY ，将1234(,,,)f x x x x 化为标准形. （7分） 五、证明题（本题共30分）18. (满分8分) 设A ，B 都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵T ，使得1T AT B-=的充分必要条件是A ，B 有相同的特征值.19.（满分12分）设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换且2σ=σ,证明：（1）1(0){()|};V σασαα-=-∀∈（6分）（2）1(0)().V V σσ-=⊕（6分）20.(满分10分) 已知σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换，证明：σ的不变子空间W 的正交补W ⊥也是σ的不变子空间．。
高代10真题 2
2010年招收硕士研究生入学考试试卷一、填空题（每小题，满分30分）1、当t =________，多项式3231x x tx -+-有重根。
2、写出4级行列式所有带有正好并且含有因子23a 的项_______________。
3、设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且12(1,2,3,4)ηη'+=，3(2,3,4,5)η'=，该方程组的通解为___________。
4、向量组123,,ααα与向量组12,ββ生成相同子空间⇔______________。
5、实二次型21232121323(,,)242f x x x x x x x x x x =+++的秩、正负惯性指数与符号差为_________。
二、简答题；6、判别二次型222123123121323(,,)55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定。
7、设1V 和2V 分别是齐次线性方程组122...0n x x nx +++=与12...n x x x ===的解空间，证明：数域P 上n 维列空间12n P V V =⊕(1)n >。
8、求矩阵131616576687A ⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭的不变因子、初等因子、若当标准型和有理标准型。
9、求向量组1(1,1,2,1,0)α=-，2(2,2,4,2,0)α=--，3(3,0,6,1,1)α=-，4(0,3,0,0,1)α=的秩，一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示。
10、设,A B 为同阶正定矩阵（1）若AB BA =，且A B -为正定矩阵，证明：22A B -也是正定矩阵。
（2）若A B -为正定矩阵，问：22A B -是否一定是正定矩阵？ 三、解答题11、,a b 取什么值时，线性方程组1234512345123451234513232337443222x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨++++=⎪⎪+++-=⎩有解？在有解的情形，求一般解。
高等代数2009-2010第一学期期末试卷答案
高等代数（北大版）第一学期考试卷答案一、选择题（每小题3分，共24分）1.Ｄ2.Ｃ3.Ｂ4.Ｄ5.Ａ6.Ｂ7.Ｃ8.Ａ二、填空题（每小题3分，共１８分）1．322(1)5(1)7(1)1x x x -+-+-- 2．2x + 3．1()2n n +- 4．)1,,1,1( c x = 5．d6．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3/13/1003/23/100005200211A三、计算题（本大题共３个小题，共2２分.请写出必要的推演步骤和文字说明）１．（6分）设b ax x x x x f +++-=23463)(，1)(2-=x x g ，a 与b 是什么数时，)(x f 能被)(x g 整除？解：方法一、利用辗转相除法，得余式：7)3()(++-=b x a x r ，………………………………………..4分由已知， 7,3-==b a ……………………………………………..2分方法二、由于)(x f 能被)(x g 整除，而1)(2-=x x g 的零点为1和-1，所以1和-1也应是)(x f 的零点，即04)1(=++=b a f 和 010)1(=+-=-b a f …………5分 故7,3-==b a …………………………………………………...….1分２．（8分）已知B AX X +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=350211B ，求矩阵X 。
解：由 B AX X += 得 B X A E =-)(而 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-201101011101111010100010001A E 可逆…………….2分可以求得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--11012312031)(1A E ……………………………………….. .3分 所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-11012312031)(1B A E X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--350211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110213………………3分３．（８）b a ,取什么值时,线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231有解？在有解的情形求一般解。
高等代数2期末考卷
高等代数II 》课程期末考试试卷一、 选择题（每小题3分，共12分）1．设(){},,|,W a a b a b a b =+-∈R ，这里R 为实数集，则 （ ）(A) W 与2R 同构。
(B) W 与3R 同构。
(C) W 与2R 的一个真子空间同构。
(D) 2R 与W 的一个真子空间同构。
2. 设1V ，2V 是偶氏空间V 的两个子空间，则2V 是1V 的正交补的充要条件是 ( ) (A) 0 ,2121=+=V V V V V (B) 1V ⊥2V(C) 2121dim dim dimV ,V V V V V +=+= (D) 0),(,2121=∈∈∀+=βαβα有，且 V V V V V3. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，则A 是正交变换的必要而非充分条件是( ) (A) βαβαβα , , ,=∈∀A A V ， (B) ααα=∈∀A V ,(C) ),(),( ,βαβαβα=∈∀A A V ，(D) A 在V 的任何一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵（注：其中,表示两个向量的夹角，（,）表示该空间的内积。
）4. 设A 是线性空间V 的线性变换，n W W ,,1 都是V 的一组A -不变子空间，且n W W V ⊕⊕= 1，则V 中一定存在一组基，使A 在该基下的矩阵是( ) (A) 对角矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 准对角矩阵二、 判断题（对的打√，错的打×）（每小题3分，共12分）1. 若两个n m ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 有相同的秩,则)(λA 与)(λB 等价 ( ).2. 在3R 空间中，A 是V 中任一向量在xoy 平面上的垂直投影的线性变换，则 (i) Im ker {0}.A A = ( )； (ii) .ker Im V A A =+ ( )3. 欧氏空间中保持长度不变的变换是正交变换. ( )4. 多项式1416623-+-x x x 在有理数域上不可约. ( )三、 填空题（每小题4分，共16分）1. 若矩阵A 的全部初等因子为22)2(,)1(,1+--λλλ，则A 的不变因子为 .2. 设τσ,是2R 空间的线性变换，定义为,,),,(),(),,0(),(R y x x y y x x y x ∈∀== τσ则2(23)(,)x y στ-= .3. 已知133092)(23-+-=x x x x f 有一个根为,32i -则)(x f 在实数域上典型分解式为=)(x f .4．设s 为有限维复线性空间上的一个线性变换，l 为s 的一个特征值，若12,r r 分别表示s 的属于特征值l 的特征子空间和根子空间的维数，3r 表示l 的重数，则123,,r r r 的大小关系满足 。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (文科)(含详解)(word版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷1至3页。
第Ⅱ卷4至11页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．答I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 g 棱柱的体积公式V=Sh.()()()P A B P A P B ⋃=+ 其中S 表示棱柱的底面积.h 表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)i 是虚数单位，复数31ii+-=（ ） (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。
(2)设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（ ）（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2 【答案】B【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z 取得最大值10.(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3 【答案】B【解析】 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。
高代(一)期末试题
高等代数（一）期末试题一．填空题（每空2分，共20分）：1．在由几个不同元素组成的一个排列中，所有逆序的总数，叫做这个排列的（ ）。
2．1020003400-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（ ）。
3．设A 为三阶方阵，det 3A =-，则det (2)A A -=（ ）。
4．若矩阵A 的秩1r >，则A 的1r -阶子式的值（ ）。
5．设2是多项式43228x x ax bx -++-的二重根，则a =（ ），b =（ ）。
6．设,A B 都是n 阶可逆矩阵，矩阵00A C B⎛⎫=⎪⎝⎭的逆矩阵为（ ）。
7．如行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则111213212223313233333222a a a a a a a a a =---（ ）。
8．设,a b 是整数且（ ），那么存在一对整数q 和r ，使得b aq r =+且（ ）。
满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定的。
二．选择题（每小题2分，共10分）：1．一个n 阶行列式，如果他的第1列上除了1111n a a ==外其余元素都为零，那么这行列式等于（ ）。
（A ）1111(1)n n M M +-- （B ）111n A A + （C ）111n M M - （D ）1111(1)n n A A ++-2．设3512A --⎛⎫=⎪⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A =（ ）。
（A ）3512--⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）2513⎛⎫⎪--⎝⎭(C)2153-⎛⎫ ⎪-⎝⎭(D) 1235⎛⎫⎪--⎝⎭3．初等方阵（）（A ）都是可逆阵 （B ）所对应的行列式的值等于1（C ）相乘仍为初等方阵 （D ）相加仍为初等方阵 4．若集合{}|,F a bi a b R =+∈（这里R 是实数集）是数域，则,a b 应满足条件（ ）。
（A ）,a b 是整数 （B ）,a b 是有理数 （C ）a 是有理数，b 是实数 （D ）,a b 是任意数5．设A 是三阶方阵，*A 是其伴随矩阵。
高等代数期末复习试题
数学系《高等代数》期末考试试卷年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。
题号一二三四五总分签名得分一装订线得分阅卷教师一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分）1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( ) 2．若向量空间V的维数dimV2,则V没有真子空间. ( )3.n维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( ) 4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( ) 5．每一个线性变换都有本征值. ( ) 6．若向量是线性变换的属于本征值的本征向量，则由生成的子空间为的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( ) 8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9.若两个n阶实对称矩阵A,B均正定,则它们的和A B也正定. ( )得二分阅卷教师二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1.下列命题不正确的是 ( ).A.若向量组{1,2,,r}线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B.若向量组{1,2,,r}线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组{1,2,,r}线性无关，且每一i可由向量{1,2,,s}线性表示，则r s ；D.n(n0)维向量空间的任意两个基彼此等价.2.下列关于同构的命题中，错误的是( ).A．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C．若是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1是W 到V 的同构映射；D．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A．充分而非必要条件； B．必要而非充分条件；C．充分必要条件； D.既非充分也非必要条件．21x14．二次型q(x 1,x 2,x 3)(x 1,x 2)31x的矩阵是( ).22121A．； B．3111；310210C．310； D．1100000005.实二次型q(x 1,x 2,x 3)x Ax 正定的充分且必要条件是 ( ).A．A0； B．秩为3；C．A 合同于三阶单位矩阵； D．对某一x (x 1,x 2,x 3)0,有x Ax 0.三得分阅卷教师三．填空题（每小题2分，共10分，把答案填在题中横线上）1.复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2.设F n{(x 1,x 2,,x n)xiF ,i 1,2,,n}是数域F 上n 元行空间，对任意(x 1,x 2,,x n)F n ，定义((x 1,x 2,,x n ))(0,0,x 1,x 2,,x n 2)，则是一个线性变换，且的核Ker()的维数等于______.3.若A 是一个正交矩阵，则A 2的行列式A 2=________.4.在欧氏空间R 3中向量1(1,0,0)与2(0,1,0)的夹角=______.5.实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.得四分阅卷教师四．计算题（每小题14分，共42分）1．求齐次线性方程组x 1x 2x 3x 403x 12x 2x 3x 40x 2x 2x 03425x14x 23x 33x4的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．1002．设A 021,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？032若可以，则求一可逆矩阵T ，使T 1AT 为对角形.3．写出3元二次型q(x1,x2,x3)x1x24x2x3的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五得分阅卷教师五．证明题（每小题10分，共20分）1．设1,2为n阶矩阵A的属于不同特征根，1,2分别是A的属于1,2的特征向量，证明12不是A的特征向量.2．设是n维欧氏空间V的正交变换，且2为单位变换，某一规范正交基的矩阵，证明A为对称矩阵．A是关于V的数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。
天津科技大学2009-2010学年度第一学期工科高等数学一、一多学时期末考试试卷
年级：2009 专业：工科各专业 课程号：1101170006第 2 页 （共 9 页）(C) 0)(0='x f 且0)(0<''x f ； (D) 0)(0='x f 或)(0x f '不存在.4．若()f x 的导函数为sin x ，则()f x 的一个原函数可能为（ ）.(A) 1sin x +； (B) 1sin x -； (C) 1cos x +； (D) 1cos x -. 4．若函数()f x 可导，则下列式子中不正确．．．的是（ ）. (A) d()d ()d f x x f x x =⎰； (B) d ()d ()d f x x f x x =⎰； (C) ()d ()f x x f x C '=+⎰；(D)d ()()f x f x =⎰.5.定积分1⎰与1的大小关系是（ ）(A) 前者大； (B) 前者小； (C) 相等; (D) 无法判定 5. 若()f x 在[,]a b 上可积，则积分()d baf x x ⎰（ ）存在.(A) 一定； (B) 一定不； (C) 不一定； (D) 以上都不对.二、填空题（每题2分，共22分）（基本公式共11个，其中极限1个，导数4个含二阶导数及导数值，积分6个含一个利用面积）1. 1lim 12xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭; 1lim 1xx x →∞⎛⎫-=⎪⎝⎭；2.()tan dx dx =;()sec dx dx=； 3. ()arcsin2d x =； ()arccot 2d x =；年级：2009 专业：工科各专业 课程号：1101170006第 4 页 （共 9 页）2. 已知cos x y e x =，求()0y ''. 2. 已知22cos (1)x y e =+，求dy dx..五、求积分（每题6分，共18分）（第二类换元法，分部法求积分各一个 分段函数的定积分计算一个） 1. ln x xdx ⎰;1. 2xx e dx ⎰;2.;2. ;3.若函数21,1,(),1x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩ 求定积分dx x f ⎰20)(. 3. 若函数2,1,()1,1x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩ 求定积分dx x f ⎰20)(六、综合应用题. （每题7分，共21分）（定积分应用旋转体体积 极值，切线 难题）1. 求由2x y =，1=x 及x 轴所围成图形绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.1. 求由2x y =，1=x 及x 轴所围成图形绕绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.2. 求直线01=--y x 与抛物线2x y =的最近距离．年级：2007 专业：工科各专业 课程号：1101170006第 6 页 （共 9 页）一、选择题（每题3分，共30分）三、求极限（每题5分，共15分）四、(6分)2009-2010学年第一学期答题纸第7 页（共9 页）年级：2007 专业：工科各专业课程号：1101170006第8 页（共9 页）2009-2010学年第一学期草稿纸第9 页（共9 页）。
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5．已知 上的线性变换 定义如下： ，
Ker =____________________，Im =____________________。
二．单项选择题（每小题4分，共20分）
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
4．设 是欧氏空间 的子空间， 分别是 的正交补空间，则下列叙述中错误的是( )。
(A) ；(B) ；
(C)若 ，则 ；(D)若 ，则 .
5．下列实数域上的行向量能构成 上的向量空间的是( )。
(A) ；
(B) ；
(C) ；
(D)上面三个都不能构成。
三.计算题（每题8分，共16分）
1．设 是 阶矩阵，则下列说法错误的是( )。
(A)若 是正交阵，则 是正交阵(B)若 是正定阵，则 是正定阵
(C)若 是正交阵，则 是正交阵(D)若 是正定阵，则 是正定阵2．设 是n阶对称正定阵，则 是( )。
(A)正定阵(B)半正定阵(C)负定阵(D)半负定阵
3．设 是二维行空间 中的任意两个向量，则 对以( )为规定的内积构成欧氏空间。
六设 是四维线性空间 的一组基，已知线性变换 在这组基下的矩阵为 ，求 的核与值域。
七综合题（每题 5分，共10分）
1如果 是 级实对称矩阵,且足 ，证明： 是正定矩阵。2.设 是 阶正交矩阵,且 ,证明 为不可逆矩阵
.
天津工业大学（2010—2011学年第二学期）
一.填空题（每题4分,共20分）
1.设3阶矩阵 的特征值为 ，则 _______。
2.已知矩阵 ，则 的最小多项式为____________________。
3．数域 上所有三阶对称矩阵构成的线性空间的维数是________，而
________________________________________________是它的一组基。
1．判别二次型 是否正定。
2．设 ，已知 可逆，求 。
四．证明题（每题8分，共16分）
1．设 是 矩阵,证明： 是反对称矩阵当且仅当对任一 维列向量 ,都有 .
2．设 , 分别是数域 上的齐次线性方程组 与 的解空间.证明 .
五．解答题
设有二次型
(1)写出二次型的矩阵; (2)求一个正交变换 ，将二次型化为标准型.