拉氏变换
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拉氏变换
于是 L[ f (t )] e
skT
所以
对周期函数来说，求广义积分就转化为求
0
1 L[ f (t )] 1 e sT
k 0
T
T
0
1 f (t ) e dt 1 e sT
st
T
0
f (t ) e st dt
f (t ) e st dt
在一个周期区间[0, T]上的定积分，上式就是 周期函数的拉氏变换公式．
15
故
1 1 2 sb 1 1 sb sb 2 L[ f (t )] [ ( e 2 e 1 )] [ ( 1 e )] 2 sb 2 st 2 2 1 e s 1 (e ) s 1 e sb 1 sb 2 2 th( ) sb s (1 e ) s 2
0
f (t ) e st dt
st ( k 1)T kT
f (t ) e dt f (t ) e dt ..........
k 0 ( k 1)T kT
2T
f (t ) e st dt ......
f (t ) e st dt
kt kt st ( s k )t
所以
1 L[e ] sk
kt
(s k )
为了简便起见，求拉氏变换时，可以不再指出 收敛区域。
7
二、常用函数的拉氏变换 我们已经求了常值函数，指数函数的拉氏变
换，下面我们再求其它常用函数的拉氏变换。
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换。
19
2.求下列函数的拉氏变换 (1) 0t 4 1
拉氏变换详细解读
2
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
信号与系统第6章拉氏变换
t
L[
f ( )d ] F(s) f 1(0)
s
s
其中：
f (1) (0)
0
f ( )d ，为常数
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t t0)u(t t0)] est0 F(s)
5、S域平移
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t)eat] F(s a)
]/
ds
显然
K12
d[(s
p1)k ds
F (s)]
s p1
继续微分：
K13
1 2
d
2[(s
p1)k ds2
F (s)]
s p1
一般形式：
K1i
(i
1 1)!
d i1[(s
p1)k dsi1
F (s)]
i 1,2,,k
s p1
举例：
F (s)
s2 s(s 1)3
F(s)
K11 (s 1)3
K12 (s 1)2
如果A(s) 的阶次高于B(s) ，可以先用长除法，后用上面
的方法：
举例：
F
(s)
s3 (s
5s2 1)(s
9s 2)
7
则展开后应有：
F
(s)
s
2
(s
s3 1)(s
2)
F(s) s 2 2 1 s 1 s 2
f (t) ' (t) 2 (t) 2et e2t t 0
E(s) D(s)
为求 K1i ，上式两边同乘以(s p1)k
(s
p1)k
F
(s)
K11
K12
拉氏变换
确定。可对应于平面上的点 (x, y)，这样表示复数的
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
信号与系统第6章拉氏变换
s 3 s 3 5s 2 9s 7 F ( s ) s 2 F ( s) (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) 则展开后应有：
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t
拉氏变换详细解读
φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉氏变换的基本性质
频移性质的意义
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
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j t
e e
j t
j t
e
0
j t
j t
L sin t
sin t e
0
dt
2j
1
e
j t
e
e
st
dt
1 ( s j t ) dt e 2j 0
e
0
( s j t )
（1）f(t)=5(1-cos3t)
（2）f(t)=e-0.5tcos10t
（3）f(t)=sin(5t+600) （4）f(t)=tneat 2.试求下列函数的拉氏变换 （1）f(t)=2t+3t3+2e-3t
（2）f(t)=t3e-3t+e-tcos2t+e-3tsin4t
（3）f(t)=5*1(t-2) +(t-1)2e2t 3.已知
F (S ) 10 S ( S 1)
求:f(0)和f( )
拉普拉斯变换
单位脉冲函数δ(t)
t 0 0 (t ) t 0 ( t ) dt 1
根据拉普拉斯变换的定义，单位 脉冲函数的拉普拉斯变换为：
F s L ( t )
0
( t )e
0 ຫໍສະໝຸດ t 1 1 1 dt 2 j s j s j
s
2
2
同理也可得： L cos t
s s
2 2
拉普拉斯变换
幂函数 t
n
L[t
n
]
0
t
n
e
st
dt , dt
u
令 u st t
u s
1 s
du
L[t
f(t) 2/T T/2 T
t
例3：求函数f(t)=(t-t2-3)e-2t+2e-3t+4的拉氏变换
拉氏反变换的数学方法
已知象函数F(s)，求原函数f(t)的方法有：
1.
查表法——对比较简单的象函数可利用拉普拉斯变换表 直接查得或利用拉氏变换的性质推得其原函数；（简单
举例）
2.
部分分式法——将复杂的象函数通过代数运算化为多个 简单的部分分式之和，再分别求出每个分式的原函数， 总的原函数即为所求。（重点介绍）
微分性 积分性
位移定理 L[e-atf(t)]=F(s+a) 延迟定理 L[f(t-a)]=e-asF(S) 相似性质 L[f(at)]=1/aF[s/a] 初值定理 limf(t)=limSF(S)
t→0 s →∞
s→0
2012-10-23
终值定理 t →∞
拉普拉斯变换
5.
时域微分定理
d L f ( t ) sF ( s ) f ( 0 ) dt
拉普拉斯变换
6.
时域积分定理
L
7.
复数域微分定理
L [ tf ( t )]
f ( t ) dt F ( s )
dF ( s ) ds
s
f ( t ) dt s
t0
8.
n
]
0
u s 1
n n
e
1 s
du
s s
n 1
0
u
n
e
u
du n! s
n 1
1
n 1
Γ(n 1)
拉氏变换的性质
线性性质（叠加性质和比例性质）
L f ( t ) L K 1 f 1 ( t ) L K 2 f 2 ( t ) K 1 F1 ( s ) K 2 F 2 ( s )
F s L [ 1 2
t ]
2
2t
0
1
2
e
st
dt
1 s
3
Re (s) 0
拉普拉斯变换
指数函数e-at
0 f ( t ) at e
t 0 t 0
根据拉普拉斯变换的定义，指数函数的拉普拉斯变换为：
F s L [ e
at
]
e
2j
1
c j
c j
F1 ( s ) F 2 ( ) d
拉普拉斯变换
11.
初值定理 若L[f(t)]= F(s)，且 lim sF ( s ) 存在，则 s
f ( 0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
t 0 s
12.
终值定理 若L[f(t)]= F(s)，且
0
at
e
st
dt
e
0
(a s )t
dt
1 sa
e
( s a )t 0
1 sa
同理也可得：
F s L e
at
1 sa
正弦函数sinωt 余弦函数cos ωt
sin t cos t 1 2j 1 2
st
由欧拉公式：
e
F (S ) B (s) A(s) K1 s p1 K2 s p2 ...... Kn s pn
Ki
B (s) A(s)
(s-p i )
s pi
B ( pi ) A ( pi )
'
A (p ) 得到各系数后 再用查表法即可求得。
F (S )
' i 1 i
查表法应用
例1：F(s)=
1 s 4
2
f(t)= sin2t
2
1
例2： F(s)= s 1 例3： F(s)= s
s 1
2
e
s
f(t)= e t-1
f(t)= 3 sin3t+cos3t
1
9
部分分式法应用 一般F(s)为复数s的有理代数式，可表示为
F (S ) B (S ) A(S ) bm s
1/s
1 1/s2 1/(s-a) ω、s／（s2+ω2） n!/sn+1 n!/(s-a)n+1
拉氏变换性质
叠加性 若 L[f1(t)]=F1(S) L[f2(t)]=F2(S) L[fn(t)]=SnF(s) L[∫…∫f(t)(dt)n]=F(S)/Sn
则 L[af1(t)+bf2(t)]=a F1(S) +b F2(S)
r 1
K 1r s p1
K r 1 s p r 1
Kn s pn
其中
K im
1
d
m 1
( m 1) ! d s
[ F ( s )( s p 1 ) ] m 1
r
s p1
其余系数同无重极点时一样。
1.试求下列函数的拉氏变换，假设当t<0时f(t)=0
n
B ( pi )
1 s pi
举例：
14 s 55 s 51
2
F(s)= F(s)=
2 s 12 s 22 s 12
3 2
20 ( s 1)( s 3 ) ( s 2 s 2 )( s 2 )( s 4 )
2
对于有共轭复根的分式有两种处理方法： a. 该部分分式的系数仍可由前面的方法求得； b. 可对该部分分式的分母用配方法后再用查表 法。 不管是哪一种方法，最后求得的该部分分式的 两个系数之间也为共轭复数
m n
b m 1 s
m 1 n 1
b0 a0
a n s a n 1 s
K ( s z 1 )( s z 2 ) ( s z m ) ( s p 1 )( s p 2 ) ( s p n )
F(s)无重极点，即pi≠pj(i ≠j)
0
j 2
1
j
j
F ( s ) e ds
st
f(t)——原函数
F(s)——象函数
f (t ) F ( s )
常用函数的拉氏变换
序号 f(t) F(s)
1
2 3 4 5 6 7
2012-10-23
1(t)
δ(t) t eat sinωt、cosωt tn tneat
复数域积分定理
9.
时域卷积定理
L [ f ( t )] t
t
1
F ( s ) ds
s
L [ f ( t ) g ( ) d L [ f (t ) g ( t )] F ( s ) G ( s )
0
10.
复数域卷积定理
L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
1.
2. 3.
时移性质（延时定理或实数域位移定理） （ 0） L[f(t-)]=e-s F(s) 频移性质（复数域位移定理）
L[e
at
f ( t )] F ( s a )
s F a a 1
4.
相似性质（尺度变换性质）
L [ f ( at )] a 0
dt
st
δ(t)
( t )e
0 0
dt
( t )e