四种命题的关系
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四种命题及其关系
对所有x, 存在某x， 对任何x 对所有x, 存在某 ， 对任何x， 成立 不成立 不成立 P且 q
┐p或┐q 或
P或 q
┐p且┐q 且
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
两直线平行 同位角相等
同位角相等， 同位角相等， 两直线平行， 两直线平行，
同位角不相等， 两直线不平行 同位角不相等，
两直线不平行， 逆否命题 两直线不平行， 同位角不相等 互为逆否命题：一个命题的条件 结论分别是另一个 互为逆否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 条件和 命题的结论的否定 条件的否定， 结论的否定和 命题的结论的否定和条件的否定， 互为逆否命题。 这两个命题叫做互为逆否命题 这两个命题叫做互为逆否命题。 其中一个命题叫做原命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否 命 题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否命题:若 逆否命题 若┐q ,则┐ p 则 原命题: p,则 原命题:若p,则q
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； f(x)是正弦函数 是正弦函数， f(x)是周期函数 是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； f(x)是周期函数 是周期函数， f(x)是正弦函数 是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； f(x)不是正弦函数 不是正弦函数， f(x)不是周期函数 不是周期函数；
例: “若x2+y2≠0，则x，y至少有一个不为0” ≠0， 至少有一个不为0” 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 逆否命题并判断它们的真假。 逆否命题并判断它们的真假。
四种命题间的相互关系
（2） 命题“若q≤1，则x2+2x+q=0有实 根”的逆否命题是__________________. 若x2+2x+q ≠0，则q>1
若x2+2x+q=0有实根，则q≤1 逆命题是_______________________.它
是 真 命题（“ 真 ”或 “ 假 ” ） .
2.选择题
（1）设原命题：若a+b ≥2，则 中至少有一个 不小于，则原命题与其逆命题的真假情况是 A （ ） A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
互逆
逆否
互 否
逆否命题 （若┐ q，则┐ p）
结论二：四种命题的真假性
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
结论三： 四种命题真假性间的关系
（1）两个命题互为逆否命题，它们 有相同的真假性.
（2）两个命题为互逆命题或互否命
题，它们的真假性没有关系.
由于原命题和它的逆否命题 有相同的真假性，所以在直
反证法的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立 , 即假 反设 设结论的反面成立; （2）从这个假设出发 , 经过推理论证 , 归谬 （3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定 命题的结论正确. 结论 得出矛盾;
高考链接
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数， 则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否 命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 （C ） A．3 B．2 C．1 D．0
例5：
2能被2整除，a是整数， 若a
1.1.3四种命题间的相互关系
反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的 反面成立。 推理过程中一定要用到才行
王新敞
奎屯 新疆
2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出 矛盾。 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确。
可能出现矛盾四种情况：
• • • • 与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
(真 ) (假 ) (假 ) (真 )
例题讲解
例1：设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们的真假。
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） （真） （真） （真）
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
由于P点一定不是圆心O，连结OP， 根据垂径定理的推论，有
P
C
B
OP⊥AB，OP⊥CD， 即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂 线性质矛盾。
所以，弦AB、CD不被P平分。
所以假设不成立, 从而______________ x =y=0。 成立。
反 证 法
例 2
用反证法证明 : 如果a b 0, 那么 a b .
或者 a b
证明: 假设 a不大于 b , 则或者 a b ,
因为a 0, b 0, 所以 a b a a b a与 a b b b a b a bab
四种命题间的真假关系
四种命题间的真假关系
四种命题的真假关系是：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。
原命题与逆命题互逆；否命题与原命题互否；原命题与逆否命题相互逆否；逆命题与否命题相互逆否；逆命题与逆否命题互否；逆否命题与否命题互逆。
对于p且q形式的复合命题，同真则真。
对于p 或q形式的复合命题，同假则假。
对于非p形式的复合命题，真假相反。
四种命题间的相互关系
真 真
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 假 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。
原命题：若a>b，则ac2>bc2 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2
假 真
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 假 否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。
方法感悟 一个命题与它的逆否命题同真同假，所以当一 个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命 题的逆否命题的真假，从而判断出原命题的真 假．
作业: P
3
1—10
选做11
逆命题： 若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 否命题： 若四边形不是正方形，则 四边形两对角线不垂直。 逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。
知识巩固:
把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出逆命题、否
命题、逆否命题。
1.负数的平方是正数 原命题： 若一个数是负数，则它的平方是正数。 逆命题： 若一个数的平方是正数，则它是负数。 否命题： 若一个数不是负数，则它的平方不是正数。 逆否命题： 若一个数的平方不是正数，则它不是负数。 2.正方形的四条边相等 原命题: 逆命题： 否命题： 逆否命题：
否命题： 若x2＋y2≠0，则xy≠0 逆否命题： 若xy ≠0，则x2＋y2 ≠0
原命题：若x∈A∪B，则x∈ UA∪ U B 逆命题： x∈ UA∪ UB ，x∈A∪B 。 否命题： xA∪B，x UA∪ UB。
真 假 假 真 假 假 假 假
图示
逆否命题：x UA∪ UB ，xA∪B 。
等价命题的应用 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为 逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否 命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题． 例2 判断命题“已知 a ， x 为实数，若关于 x 的不等 式 x2＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2＋ 2≤0 的解集非空，则 a≥1”的逆 否命题的真假．
1.1.3 四种命题间的相互关系
（二）四种命题的真假关系
1.互逆命题的真假关系
判断下列命题的真假，并总结规律。 原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 (1) 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 (2) 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 (3) 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
分析
直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它 的逆否命题的证明. 将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题， 要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否 命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题， 从而达到证明原命题为真命题的目的．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
（1）设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少 有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假 情况是（ A ） A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
（2） 命题“若a＞b则ac＞bc”(这里a、b、c 都是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命 题中，真命题的个数为（ D ）
（1）两个命题互为逆否命题，它们有 相同的真假性. （2）两个命题互为逆命题或互为否命 题，它们的真假性没有关系.
由于原命题和它的逆否命题有 相同的真假性，所以在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以 通过证明它的逆否命题为真命题， 来间接地证明原命题为真命题．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
四种命题的相互关系
四种命题的相互关系
四种命题指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，接下来给大家分享四种命题的相互关系，供参考。
四种命题的相互关系
四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。
四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假)
命题的形式
1、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。
四种命题的关系及真假判断
完成下列练习
3、互为逆否命题的真假性判断
原命题 若p则q
互逆
互否
否命题 若p则q
互 为
互为
逆 逆否 否
互逆
逆命题 若q则p
互否
逆否命题 若q则p
因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命 题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了， 不必对四种命题形式—一加以讨论．
注意：（1）本题中设计到一元二次方程有无实数根的判断，所以应 该利用一元二次方程的根的判别式。
（2）当一个命题的逆否命题的真假性不容易判断时可以根据 原命题的真假进行判断。
完成下列练习
1、设原命题是“若a=0，则 ab=0”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，
并判断真假。
解：逆命题：若ab=0，则a=0
真
否命题：若a2 b2 0，则a,b不全为0 真
逆否命题：若a,b不全为0，则a2 b2 0 真
注意：“a，b全为0”的否定应该是：a，b不全为0
（2）逆命题： 若x2 x a 0有实数根，则a 0
假
否命题：若a 0，则x2 x a 0没有实数根
假
逆否命题：若x2 x a 1没有实数根，则a 0 真
注意： 若p则q的形式的命题虽然也是一种复合命题，但它与上一节的复合
命题不同，因而不能用课本上的真值表判断其真假．判断它的四种命题 的真假，要严格证明，判断它的四种命题为假，只需举一个反例说明．另 须指出的是：
原命题 逆否命题
逆命题 否命题
因而四种命题真假的个数一定为偶数，即0个或2个或4个．
四种命题的关系及真假判断
例2 、设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”写出它的逆命题、否命
文档：解读四种命题的相互关系
解读四种命题的相互关系基本的逻辑知识及推理能力是同学们在日常生活和学习中认识问题、分析问题不可缺少的工具，然而四种命题的相互关系是逻辑知识的核心问题.因此理解掌握四种命题之间的相互关系非常有必要.一、要点精析1．四种命题定义(1) 在两个命题中，如果第一个命题.即原命题的条件是第二个命题的结论，且原命题的结论是第二个命题的条件，那么第二个命题就叫做原命题的逆命题.原命题的逆命题的形式可表示为：若q则p；(2) 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题．这个命题叫做原命题的否命题．否命题的形式可表示为：若非p则非q．(3) 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题．这个命题叫做原命题的逆否命题．逆否命题的形式可表示为：若┐q则┐p．关于逆命题、否命题与逆否命题，也可作如下描述：交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题.2．四种命题的相互关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：3．四种命题的转化四种命题之间存在着互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题的逻辑关系.如原命题与逆命题、否命题与逆否命题互逆，原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否，原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否.它们之间是可以任意转化的，关键是要分清命题的条件和结论，然后根据其定义转化即可.二、典例评析例1．设原命题是“当c>0时，若a>b ，则ac>bc ”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题.分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b ，结论是ac>bc.解：逆命题：“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞c ．”；否命题：“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”；逆否命题：“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”.评注：找出命题的条件和结论是解题的关键.例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． ①14m >时， 210mx x -+=无实根； ②当a bc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0．分析： 改造原命题成“若p 则q 形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题． 解答：①原命题：“若14m >，则210mx x -+=无实根”；逆命题：“若210mx x -+=无实根，则14m >”；否命题：“若14m ≤，则210mx x -+=有实根”；逆否命题：“若210mx x -+=有实根，则14m ≤”；②原命题；“若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0”；逆命题：“若a＝0或b＝0或c＝0，则abc＝0”；否命题：“若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0”；(注意：“a＝0或b＝0或c＝0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”)逆否命题：“若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0”．评注：在命题转化时，一定要分清元命题的条件和结论，特别要注意前提条件.要掌握和应用好四种命题之间的关系，首先要学会四种命题之间的转化，各种命题的等价性，从而彻底理解四种命题的结构.给定一个命题“若则”，一定要正确理解并写出其否命题“若非则非”，逆命题为“若q则p”，逆否命题为“若非q则非p”.学习时根据需要正确的写出其意义相同的命题形式.。
四种命题的相互关系
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） （真） （真）
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而______________________. x ≠a且x ≠b
例 1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
原命题： 则q 若p 逆命题： 则p 若q 否命题：若 p 则 q
逆否命题：若 q 则 p
观察与思考
？
1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。
2）若f ( x)是周期函数，则f ( x)是正弦函数。
3）若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数。 4）若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数。
演练反馈
1. 用反证法证明: 若方程ax +bx+c=0 (a ≠0)有两个不相等的实数根, b2-4ac>0.
2
则
2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是 直角,则∠B一定是锐角.
总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而______________________. x ≠a且x ≠b
例 1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
原命题： 则q 若p 逆命题： 则p 若q 否命题：若 p 则 q
逆否命题：若 q 则 p
观察与思考
？
1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。
2）若f ( x)是周期函数，则f ( x)是正弦函数。
3）若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数。 4）若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数。
演练反馈
1. 用反证法证明: 若方程ax +bx+c=0 (a ≠0)有两个不相等的实数根, b2-4ac>0.
2
则
2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是 直角,则∠B一定是锐角.
总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
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观察与思考
?
是正弦函数, 是周期函数. 1)若f ( x)是正弦函数,则f ( x)是周期函数.
是周期函数, 是正弦函数. 2)若f ( x)是周期函数,则f ( x)是正弦函数.
3)若f ( x)不是正弦函数,则f ( x)不是周期函数. 不是正弦函数, 不是周期函数. 4)若f ( x)不是周期函数,则f ( x)不是正弦函数. 不是周期函数, 不是正弦函数.
2010-1-22
(对) (错) (错)
(假) (假) (假) (假)
郑平正制作
练习:分别写出下列命题的逆命题, 练习:分别写出下列命题的逆命题,否命 逆否命题,并判断它们的真假. 题,逆否命题,并判断它们的真假.
(1)若q<1,则方程 ) 则方程
x + 2 x + q = 0 有实根. 有实根.
郑平正制作
2010-1-22
若a2能被2整除,a是整数, 求证:a也能被2整除.
不能被2整除 必为奇数, 证:假设a不能被 整除,则a必为奇数, 假设 不能被 整除, 必为奇数 故可令a=2m+1(m为整数 为整数), 故可令 为整数 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a 是奇数, 此结果表明 2是奇数, 这与题中的已知条件(a2能被2整除)相矛 这与题中的已知条件( 能被 整除) 整除 盾, 能被2整除 ∴a能被 整除 能被 整除.
2010-1-22
郑平正制作
原命题,逆命题,否命题, 原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: 四种命题形式: 原命题: 原命题: 若 p, 逆命题: 逆命题: 若 q, 否命题: 否命题: 若┐p, 逆否命题: 逆否命题: 若┐q, 则 q 则 p 则┐q 则┐p
2010-1-22
郑平正制作
2010-1-22
郑平正制作
反证法: 反证法:
要证明某一结论A是正确的, 要证明某一结论 是正确的,但不直接证 是正确的 而是先去证明A的反面 的反面( 明 , 而是先去证明 的反面 ( 非 A) 是错 ) 误的,从而断定A是正确的 是正确的. 误的,从而断定 是正确的. 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论, 矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的 论证的一种数学证明方法. 论证的一种数学证明方法.
2010-1-22
郑平正制作
反证法的步骤: 反证法的步骤:
1. 假设命题的结论不成立 , 即假设结论的 假设命题的结论不成立,
反面成立. 反面成立. 推理过程中一定要用到才行 2. 从这个 假设 出发 , 通过推理论证 , 得出 从这个假设 出发, 通过推理论证, 假设出发 矛盾. 矛盾. 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命题 由矛盾判定假设不正确, 的结论正确. 的结论正确.
郑平正制作
2010-1-22
练一练
1.判断下列说法是否正确. 判断下列说法是否正确. 判断下列说法是否正确 ( 1)一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真; 对) )一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真; 2)一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. )一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 3)一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假. )一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假. 4)一个命题的逆否命题为假,它的否命题为假. )一个命题的逆否命题为假,它的否命题为假. 2.四种命题真假的个数可能为( 四种命题真假的个数可能为( 四种命题真假的个数可能为 )个. 答:0个,2个,4个. 个 个 个 如:原命题:若A∪B=A, 则A∩B=φ. 原命题: ∪ . 逆命题: 逆命题:若A∩B=φ,则A∪B=A. , ∪ . 否命题: 否命题:若A∪B≠A,则A∩B≠φ. ∪ , . 逆否命题: 逆否命题:若A∩B≠φ,则A∪B≠A. , ∪ .
1.1.3四种命题的 四种命题的 相互关系
高二数学 选修2-1
第一章
常用逻辑用语
郑平正制作
2008-122008-12-08
2010-1-22
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交换原命题的条件和结论, 交换原命题的条件和结论,所得的命题是 逆命题. 逆命题. ________ 同时否定原命题的条件和结论, 同时否定原命题的条件和结论,所得的命 否命题. 题是________ 题是 否命题. 交换原命题的条件和结论,并且同时否定, 交换原命题的条件和结论,并且同时否定, 逆否命题. 所得的命题是__________ 所得的命题是 逆否命题.
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四种命题的真假,有且只有下面四种情况 四种命题的真假 有且只有下面四种情况: 有且只有下面四种情况
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假ห้องสมุดไป่ตู้
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几条结论: 几条结论
(1) 原命题为真,则其逆否命题一定为真.但 ) 原命题为真,则其逆否命题一定为真.
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可能出现矛盾四种情况: 可能出现矛盾四种情况:
与题设矛盾; 与题设矛盾; 与反设矛盾; 与反设矛盾; 与公理,定理矛盾; 与公理,定理矛盾; 在证明过程中,推出自相矛盾的结论. 在证明过程中,推出自相矛盾的结论.
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例
用反证法证明: 用反证法证明: 如果a>b>0 a>b>0, 如果a>b>0,那么 a > b .
(真) 真 (真) 真 (真) 真 (真) 真
1)原命题:若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0. )原命题: 或 . 逆命题: 逆命题:若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3. 或 . 否命题: 否命题:若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 . 且 逆否命题: 逆否命题:若x2-5x+6≠0,则x≠2且x≠3. , 且 . 2)原命题:若a=0, 则ab=0. (真) )原命题: . 真 (假) 假 逆命题: 逆命题:若ab=0, 则a=0. . 否命题: (假) 否命题:若a≠ 0, 则ab≠0. . 假 逆否命题: (真) 逆否命题:若ab≠0,则a≠0. 则 . 真 3)原命题:若x∈A∪B,则x∈ U A∪ UB. 假 )原命题: , 逆命题: 逆命题: x∈ UA∪ UB ,x∈A∪B . 假 假 否命题: 否命题: xA∪B,x UA∪ UB. 逆否命题: 逆否命题: x UA∪ UB ,xA∪B . 假
你能说出其中任意 两个命题之间的关 系吗? 系吗
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课 堂 小 结
原命题 若p则q 则 互 否 命 题 真 假 无 关 命题 p则 q 则 逆命题 若q则p 则 互 否 命 题 真 假 无 关 逆 命题 则 若 q则 p
若
看下面的例子: 看下面的例子:
2.四种命题的真假 四种命题的真假
q 3 > 8 12 p + 6 p 2 p 3 , 即 1 2 3 3 2 p + q > 8 12 p + 6 p = 6 ( p 1) + , 3 3 3 p + q > 2. 因此 p 3 + q 3 ≠ 2. 所以
这说明,原命题的逆否命题为真命题,从而原 这说明,原命题的逆否命题为真命题, 命题为真命题. 命题为真命题.
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例 证明:若p2+q2=2,则p+q≤2. 证明: , +
证明: 证明 假设 p + q > 2 ,
则 ( p + q)2 > 4 , ∴ p 2 + q 2 + 2 pq > 4 ,
2 2
假设原命题结 论的反面成立 看能否推出原命题 条件的反面成立
∵ p + q ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p + q ) > 4 , ∴ p + q > 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p +q ≠ 2. 得证
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U
A A∩B
B
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�
——这是一种很好的尝试,它往往具有 ——这是一种很好的尝试, 这是一种很好的尝试 正难则反,出奇制胜的效果 的效果. 正难则反,出奇制胜的效果.
——它其实是反证法的一种特殊表现: ——它其实是反证法的一种特殊表现: 从命 题结论的反面出发, 引出矛盾( 如 证明结论的条 ( 件不成立), ),从而证明命题成立的推理方法. 件不成立), .
a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
证明: 证明 假设
a< b
a a< b a
a b < b b a<b
这些条件都与已知a 所以原命题
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a = b a=b
> b > 0 矛盾
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a > b 成立
练
圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命 这表明原命题的逆否命题为真命题 从而原命 题也为真命题. 题也为真命题
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变式练习
1,已知 p + q = 2 .求证:p + q ≤ 2. , 求证:
3 3
那么q>2-p, 解:假设p+q>2,那么 假设 那么 3 q 3 > (2 p )3 , 的单调性, 根据幂函数 y = x 的单调性,得