南京市2012~2013学年度第一学期期末调研高一数学试卷及答案

2012－2013学年度第一学期期末调研试卷高一数学 2013.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸． 一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A ＝{0，2}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．计算：sin(－17π4)＝ ▲ ．3．函数f (x )＝lg x ＋3x －2的定义域是 ▲ ．4．已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－2cos α的值是 ▲ ． 5．计算：2lg5＋lg4＝ ▲ ．6．已知向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⋅(a ＋b )＝2，则a 与b 的夹角是 ▲ ． 7．已知a ＝log 32，b ＝log 45，c ＝log 30.3，则a ，b ，c 的大小关系是 ▲ （用“＜”连接）．8．函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)则该函数的解析式为y ＝ ▲ ．9．已知向量e 1和e 2为两个不共线的向量，a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－e 2，c ＝e 1＋2e 2，以a ，b 为基底表示c ，则c ＝ ▲ ．10．给出下列四个函数：①y ＝tan x ；②y ＝－x 3；③y ＝∣x 2－1∣；④y ＝－sin x ．其中既是奇函数，又在区间(0，1)上为单调递减的函数是 ▲ ．(写出所有满足条件的函数(第8题)的序号)11．已知α为第三象限角，且1－sin α1＋sin α＋1cos α＝2，则sin α－cos αsin α＋2cos α的值为 ▲ ．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧22－x， x ≥2，sin(π4x )，－2≤x ＜2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．定义⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin(x ＋π6)m －12，x ∈[－π2，π2] ，若f (x )的最大值与最小值的和为3，则实数m 的值是 ▲ ．14．已知函数f (x )＝a (x ＋a )(x －2a ＋1)，g (x )＝2x －4满足条件：对任意x ∈R ，“f (x )＜0”与“g (x )＜0”中至少有一个成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分）设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，2)，b ＝(4，y )，c ＝(1，－2)，且a ⊥c ，b ∥c ． （1）求x ，y 的值； （2）求∣a ＋b ∣的值．16．（本小题满分10分）已知2sin 2α＋5cos(－α)＝4．求下列各式的值： （1）sin(π2＋α)；（2）tan(π－α )．17．（本小题满分10分）经市场调查，某农产品在过去20天的日销售量和价格均为销售时间t （天）的函数， 且日销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋70（1≤t ≤20，t ∈N ），前10天价格近似地满足 g (t )＝12t ＋10（1≤t ≤10，t ∈N ），后10天价格近似地满足g (t )＝15（11≤t ≤20，t ∈N ）．（1）写出该农产品的日销售额S 关于时间t 的函数关系；（2）求日销售额S 的最大值．18．（本小题满分10分）已知函数f (x )＝2sin(2x －π3)．（1）求f (x )的最小值及f (x )取到最小值时自变量x 的集合；（2）指出函数y ＝f (x )的图象可以由y ＝sin x 的图象经过哪些变换得到；（3）当x ∈[0，m ]时，函数y ＝f (x )的值域为[－ 3 ，2]，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，已知CA ＝2，CB ＝3，∠ACB ＝60︒，CH 为AB 边上的高． （1）求→AB ·→BC ；（2）设→CH ＝m →CB ＋n →CA ，其中m ，n ∈R ，求m ，n 的值．20．（本小题满分10分）已知函数f (x )=x 2－4－k |x －2|．（1）若函数y ＝f (x )为偶函数，求k 的值； （2）求函数y ＝f (x )在区间[0，4]上的最大值；（3）若函数y ＝f (x )有且仅有一个零点，求实数k 的取值范围．CABH(第19题)2012－2013学年度第一学期期末调研试卷高一数学参考答案及评分标准2013.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分． 1．{2} 2．－223．{x ∣x ＞0，且x ≠2} 4．2 5．2 6．60︒ 7．c ＜a ＜b 8．2sin(2x ＋π6) 9． 53a －13b 10．②④11．1412．(0，1) 13．3－1 14．(－2，0)二、解答题：本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解 （1）由a ⊥c ，得a ·c ＝0．即x ⋅1＋2⋅(－2)＝0，所以x ＝4． ………………………………2分 由b ∥c ，得4⨯(－2)－y ⨯1＝0，所以y ＝－8． ………………………………………………4分 （2）因为a ＝(4，2)，b ＝(4，－8)，所以a ＋b ＝(8，－6)， …………………………………………6分 所以∣a ＋b ∣＝82＋(－6)2＝10． …………………………8分 16．解（1）由条件得2(1－cos 2α)＋5cos α＝4，即2cos 2α－5cos α＋2＝0． ………………………………2分 所以(2cos α－1)(cos α－2)＝0． 因为cos α≠2，所以cos α＝12．所以sin(π2＋α)＝cos α＝12． ……………………………………5分（2）cos α＝12＞0，所以α为第一象限或第四象限角．①当α为第一象限角，sin α＝1－cos 2α＝32， tan(π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－3； ……………………………8分②当α为第四象限角，sin α＝－1－cos 2α＝－32， tan(π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝3． …………………………………10分17．解（1）根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2t ＋70)(12t ＋10)，1≤t ≤10，t ∈N ，15(－2t ＋70)， 11≤t ≤20，t ∈N ． ………………5分（2）①当1≤t ≤10，t ∈N 时，S ＝－(t －152)2＋30254，所以当t ＝7或8时，S 的最大值为756； ……………………7分 ②当11≤t ≤20，t ∈N 时，S ＝－30t ＋1050为减函数，所以当t ＝11时，S 的最大值为720． 因为756＞720，所以当t ＝7或8时，日销售额S 有最大值756． ……………………10分18．解 （1）y min ＝－2．此时2x －π3＝2k π－π2，即x ＝k π－π12，k ∈Z ，即此时自变量x 的集合是{x ∣x ＝k π－π12，k ∈Z }． ………………………3分（2）把y ＝sin x 图象向右平移π3，得到函数y ＝sin(x －π3)的图象；再把函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象；最后再把函数y ＝sin(2x －π3)的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝2sin(2x －π3)的图象．………………………6分（3）如图，因为当x ∈[0，m ]时，y 取到最大值2，所以m ≥5π12．……………………8分又函数y ＝f (x )在[ 5π12，11π12]上是单调减函数， 故m 的最大值为[5π12，11π12]内使函数值为－3的值． 令2sin(2x －π3)＝－3， 得x ＝5π6．所以m 的取值范围是[5π12，5π6]． ……………10分19．解（1）设→CB ＝a ，→CA ＝b ，因为→AB ＝→CB －→CA ＝a －b ，所以→AB ⋅→BC ＝(a －b )⋅(－a )＝－a 2＋a ·b ＝－9＋3⨯2⨯cos60︒＝－6． …………3分 （2）因为A ，H ，B 三点共线，所以设→AH ＝λ→AB ＝λ(a －b )，所以 →CH ＝→CA ＋→AH ＝b ＋λ(a －b )＝λa ＋(1－λ) b ． ……………………6分 因为→CH ⊥→AB ，所以→CH ⋅→AB ＝0． 所以[λa ＋(1－λ) b ] ⋅ (a －b )＝0． 即λa 2－(1－λ) b 2＋(1－2λ)a ⋅b ＝0．因为a 2＝9，b 2＝4，a ⋅b ＝3，代入上式，解得λ＝17．所以 →CH ＝17a ＋67b ，即m ＝17，n ＝67． ……………………10分20．解（1）因为y ＝f (x )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，解得k ＝0，经检验k ＝0符合题意． ……………………2分 （2）方法一：当x ∈[0，2]时，f (x )＝x 2＋kx －2k －4，对称轴方程为x ＝－k2，①当－k2≤1时，即k ≥－2，则f (x )max ＝f (2)＝0；②当－k2＞1时，即k ＜－2，则f (x )max ＝f (0)＝－2k －4； …………………3分当x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－kx ＋2k －4，对称轴方程为x ＝k2，①当k2＜3时，即k ＜6，则f (x )max ＝f (4)＝12－2k ；②当k2≥3时，即k ≥6，则f (x )max ＝f (2)＝0； ………………………4分因为当k ≥6时，f (x )max ＝f (2)＝0；当－2≤k ＜6时，因为f (4)＞0，所以f (x )max ＝12－2k ； 当k ＜－2时，f (4)＞f (0)，所以f (x )max ＝12－2k ，综上，当k ＜6时，所求最大值为12－2k ；当k ≥6时，所求最大值为0．………………………6分方法二：当x ∈[0，4]时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋kx －2k －4，0≤x ≤2，x 2－kx ＋2k －4，2＜x ≤4．因为y ＝f (x )在区间[0，4]上图象由两段抛物线段组成，且这两个抛物线开口均向上， 所以其最大值只可能是f (0)、 f (2)、 f (4)其中之一． ……………………4分 又f (0)＝－2k －4， f (2)＝0， f (4)＝12－2k ， 显然f (4)＞f (0)，所以当k ＜6时，所求最大值为f (4)＝12－2k ；当k ≥6时，所求最大值为f (2)＝0．……………………6分（3）由题意，方程x 2－4－k |x －2|＝0有且仅有一个解，显然，x ＝2已是该方程的解． ……………………8分 当x ≥2时，方程变为(x －2)( x ＋2－k )＝0； 当x ＜2时，方程变为(x －2)( x ＋2＋k )＝0．从而关于x 的方程x ＋2－k ＝0(x ≥2)有且仅有一个等于2的解或无解， 且x ＋2＋k ＝0(x ＜2) 无解．又x ＝2时，k ＝4，此时x ＝－6也是方程的解，不合题意．所以关于x 的方程x ＋2－k ＝0(x ≥2)无解，且x ＋2＋k ＝0(x <2) 无解． 所以k ＜4且k ≤－4．所以k ≤－4，即实数k 的取值范围为(－∞，－4]. ………………10分。