08基本初等函数2

(2013，山东，理5)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )．A．3π4 B．π4 C．0 D．π4-答案：B解析：函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数πsin28y xϕ⎡⎤⎛⎫=++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝πsin24xϕ⎛⎫++⎪⎝⎭的图象，又πsin24y xϕ⎛⎫++⎪⎝⎭＝为偶函数，故πππ42kϕ+=+，k∈Z，∴ππ4kϕ=+，k∈Z.若k＝0，则π4ϕ=.故选B.(2013，山东，理8)函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为( )．答案：D解析：因f(－x)＝－x·cos(－x)＋sin(－x)＝－(x cos x＋sin x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，排除B，又x∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，y＞0，排除C，而x＝π时，y＝－π，排除A，故选D. (2013，山东，理17)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，又b＝2，a＋c＝6，cos B＝79，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sin B=.由正弦定理得sin A＝sin3a Bb=因为a＝c，所以A为锐角．所以cos A13=.因此sin(A－B)＝sin A cos B－cos A sin B＝27.(2012，山东，理7)若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=（A ）35（B ）45（C）4（D ）34 解析：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈，812sin 12cos 2-=--=θθ，4322cos 1sin =-=θθ，答案应选D 。

另解：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2=8θ可得434716776916761687312sin 1cos sin +=++=+=+=+=+θθθ， 而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时θθcos sin >，结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ.答案应选D 。

(2012，山东，理16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动。

当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为______________。

解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P 旋转 了212=弧度，此时点P 的坐标为 )2cos 1,2sin 2(,2cos 1)22sin(1,2sin 2)22cos(2--=-=-+=-=--=y x P P ππ.另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2c o s 1,2s i n 2(--=OP .C D(2012，山东，理17)已知向量m=（sinx ，1），函数f（x ）=m ·n 的最大值为6. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象像左平移12π个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象。

求g （x ）在上的值域。

解析：（Ⅰ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A x f ，则6=A ;（Ⅱ）函数y=f （x ）的图象像左平移12π个单位得到函数]6)12(2sin[6ππ++=x y 的图象， 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数)34sin(6)(π+=x x g .当]245,0[π∈x 时，]1,21[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ，]6,3[)(-∈x g . 故函数g （x ）在上的值域为]6,3[-.另解：由)34sin(6)(π+=x x g 可得)34cos(24)(π+='x x g ，令0)(='x g ，则)(234Z k k x ∈+=+πππ，而]245,0[π∈x ，则24π=x ，于是367sin6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======πππππg g g ， 故6)(3≤≤-x g ，即函数g （x ）在上的值域为]6,3[-.(2011，山东，理6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23【命题意图】本题考查正弦函数的性质，考查数形结合思想。

【答案】B【解析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ,故选B.【点评】重点考查根据正弦函数的图像分析问题和解决问题的能力。

(2011，山东，理17)在 ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（1）求sin sin CA的值； （2）若cosB=14，2b =,求ABC ∆的面积.【命题意图】本题考查余弦定理、正弦定理和简单的三角恒等变换公式，属于容易题。

考查转化思想方程思想。

【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cos C 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.【点评】余弦定理、正弦定理的问题值得重视。

(2013，山东，文7)ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =c =(A) 答案：B(2013，山东，文9)函数x x x y sin cos +=的图象大致为答案：D(2013，山东，文18)设函数2()sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π， (Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值 分析：（Ⅰ）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值（Ⅱ）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f （x ）在区间[π，3π/2]上的最大值和最小值．(1−cos2ωx)/2−1/2•sin2ω•cos2ωx −1/2•sin2ωx=−sin(2ωx −π/3)．因为y=f （x ）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π/4，故周期为π又ω＞0，所以2π/2ω＝4×π/4，解得ω=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f （x ）=-sin （2x-π/3）， 当π≤x ≤3π/2时， 5π/3≤2x −π/3≤8π/3，所以−≤sin(2x −π/3)≤1，因此，-1≤f （x ）≤/2，所以f （x ）在区间[π，3π， −1．点评：本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力．(2012，山东，文8) (8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为 (A)2 (B)0 (C)－1 (D)1--【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3sin(2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.【答案】A(2012，山东，文16同理16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为＿＿＿＿.【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2=PA ，即圆心角2=∠PCA ,,则22π-=∠PCA ,所以2c o s )22s i n(-=-=πPB ，2sin )22cos(=-=πCB ，所以2sin 22-=-=CB x p ，2cos 11-=+=PB y p ，所以)2cos 1,2sin 2(--=OP .另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2c o s 1,2s i n 2(--=.【答案】)2cos 1,2sin 2(-- (2012，山东，文17)在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.(Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列； (Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S . 【答案】(17)(I)由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=， sin sin()sin sin B A C A C +=， 2sin sin sin B A C =，再由正弦定理可得：2b ac =， 所以,,a b c 成等比数列.(II)若1,2a c ==，则22b ac ==，∴2223cos 24a cb B ac +-==，sin C ==，∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯=. (2011，山东，文6) 若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C) 2 (D)3 【命题意图】本题考查正弦函数的性质，考查数形结合思想。