2_基本初等函数知识点小结
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第二章 基本初等函数知识点小结
一．【课标要求】
1．指数函数
（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14
C 的衰减，药物在人体内残留量
的变化等），了解指数函数模型的实际背景；
（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；
（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 2．对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；
（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．知道指数函数x a y =与对数函数x y a
log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。
4.幂函数
（1）了解幂函数的概念
（2）结合函数y=x, ,y=x 2
, y=x 3
,y=x 21
,y=x
1的图象，了解它们的变化情况
二．【要点精讲】
1．指数与对数运算
（1）根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于),1(*
∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若
a x
n
=，则x 称a 的n 次方根)1*
∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±
a a n
②性质：1）a a n
n =)(；2）当n 为奇数时，a a
n
n
=；
3）当n 为偶数时，
⎩
⎨⎧<-≥==)0()
0(||a a a a a a n
。
（2）．幂的有关概念
①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=
-p a
a
p
p
(1Q ，4）m a a a
n
m
n
m
,0(>=
、∈n N *
且)1>n
②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）； 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念
①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log
b N a
=其中a 称对数的底，N 称真数
1）以10为底的对数称常用对数，N 10
log
记作N lg ；
2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e
log ，记作N ln ；
②基本性质：
1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 3）1log
=a a
；4）对数恒等式：N a
N
a
=log
。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a
a
a log
log )(log +=；
2）N M N M
a
a
a
log
log
log -=；
3）∈=n M n M
a
n
a
(log
log
R ）
④换底公式：),0,1,0,0,0(log
log log
>≠>≠>=
N m m a a a
N N m
m a
1）1log
log
=⋅a b b
a
；2）b m
n b
a
n
a
m
log
log
=。
2．指数函数与对数函数 （1）指数函数：
①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x
且称指数函数，
1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数。 ②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；
3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称 ③函数值的变化特征：
（2
①定义：函数)
1,0(log
≠>=a a x y a
且称对数函数，
1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ； 3）当10<a 时函数为增函数； 4）对数函数x y a
log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x
且互为反函数
②函数图像：