勾股定理(第二课时)
17.1勾股定理(第2课时)ppt课件
17.1
勾股定理
勾股定理(二）
历史因你而改变
学习因你而精彩
回 顾 活 动 1 勾股定理：直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方．
如果在Rt△ ABC中，∠C=90°, 那么
a b c .
2 2 2
B
a
C
c
b A
结论变形
B
a
C
c
b A
c2 = a2 + b2
练
习
（1）求出下列直角三角形中未知的边． A B 10 6 8 C A C 2
D C 解：∵在Rt△ ABC中，∠B=90°, AC=BC=50, ∴由勾股定理可知：
AC
A
AB 2 BC 2
50dm
B
502 502 5000 71(dm )
例2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A 沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m A 吗？
解:设水池的深度AC为X米, 则芦苇高AD为 (X+1)米. 根据题意得: BC2+AC2=AB2 2 2 2 ∴5 +X =(X+1) 25+X2=X2+2X+1 X=12 ∴X+1=12+1=13(米)
C
B
A
答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.
4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F 处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。 解:设DE为X, 则CE为 (8－ X). 由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10 ∵∠B=90° ∴ AB2+ BF2＝AF2 82+ BF2＝102 10 A D ∴BF＝6 X ∴CF＝BC－BF＝10－6＝4 8 10 E ∵∠ C=90 ° X (8- X) ∴ CE2+CF2＝EF2 B F 4 C (8－ X)2+42=X2 6 16X=80 64 －16X+X2+16=X2 X=5 80 －16X=0
3.1勾股定理(第2课时)
⑤
B
① ④
② ③
活动二
早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用 4个全等的直角三角形拼成下面的图形， 证明了勾股定理。这个图形被称为“弦 图”。请你说说他是如何证明的。
C C
a a
?
C C
b
a
C
a
a
b
a
b b c b a a b a a
毕达哥拉斯证法
a
b
1 2 a b 4 ab c 2 2 2 2 a 2ab b 2ab c
；
； ；
2.做8个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a、b， 斜边长为c），再做3个边长分别为a、b、c的正方形， 把它们拼成两个正方形（如图）。你能利用这两个图 形验证勾股定理吗？写出你的验证过程。
a
a
a
a
b c
b b b
b
a a c a c c b
a
c b a
b c b a
b
3.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
2
c
b
a c c b
a b c
2 2
a
2
b
c c
a b
a
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
如图，把火柴盒放倒，在这个过程中， 也能验证勾股定理，你能利用这个图验证 勾股定理吗？把你的想法与大家交流一下。
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
《勾股定理》PPT课件(第2课时)
沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A
A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
C
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329, ∴AB=73cm.
B
6.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他
的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，
能通过，所以只能考虑斜着.观察可以发现 AC
的长度是斜着能通过的最大长度，所以只要
AC的长大于木板的宽就能通过.
A
B
1m
解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
D
C
A
B
2m
得AC2=AB2+BC2=12+22=5，
所以AC 5 2.24 .
因为AC的长大于木板的宽2.2m,
所以木板能从门框内通过.
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试卷下载：/shiti /
手抄报：/shouc haobao/
语文课件：/keji an/yuwen/
英语课件：/keji an/ying yu/
科学课件：/keji an/kexue/
第 十七章 勾股定理
第十七章
17.1
勾股定理
勾股定理
第二课时
学习目标
1
会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点）
2
能从实际问题中抽象出勾股定理的数学模型，并能利用
勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，进一步
求出未知边长. (难点）
新课导入
知识回顾
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
17.3 勾股定理 - 第2课时课件(共14张PPT)
学习目标
学习重难点
重点
难点
会运用勾股定理解决实际问题.
会运用勾股定理解决实际问题.
会运用勾股定理解决实际问题.
回顾复习
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
勾股定理
例题解析
知识点 勾股定理的应用
例1 如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B设立了一根标杆，使∠ACB=90°.测得 AB=200 m，BC=160 m.根据测量结果，求点A和点C间的距离.
解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2（勾股定理）.∵AB=200 m，BC=160 m，∴答：点A和点C间的距离是120 m.
例2 如图，在长为50 mm，宽为40 mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离.
解：∵△ABC是直角三角形，∴AB2=AC2+BC2.∵AC=50-15-26=9（mm），BC=40-18-10=12（mm），∴答：孔中心A和B间的距离是15 mm.
C
8
3.如图,公园有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,踩伤了花草.则他们仅仅少走了 步路. (假设2步为1米)
拓展提升
1.如图,某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点25 m,结果他在水中实际划了65 m,求该河流的宽度.
解：根据题中数据，由勾股定理可得，AB2=AC2-BC2=652-252=3 600,则AB=60 m.答：该河流的宽度是60米.
随堂练习
1.如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（ ）A.140米 B.120米 C.100米 D.90
[课件]勾股定理(第2课时)
![[课件]勾股定理(第2课时)](https://img.taocdn.com/s3/m/31adbf5e9a6648d7c1c708a1284ac850ad0204e9.png)
是正方形 ACDE 的边 CD 上一点，连接 AB，得到 Rt△ACB，三边
分别为 a，b，c，将 △ACB 裁剪拼接至 △AEF 位置，如图 2，该同
学用图 1、图 2 的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明
勾股定理的过程．
A
E
bc
F ca AbE bc
CaB D 图1
CaB D 图2
解：如图2，连接 BF．
勾股定理（第2课时）
命题 如果直角三角形两直角边长分
别为 a，b，斜边长为 c，那么 _a_2_＋__b_2_＝__c_2 ．
如何证明呢？
右图是我国古代证明该命题的 “赵爽弦图”．
赵爽指出：按弦图，又可以勾股 相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾 股之差自相乘为中黄实．加差实，亦 成弦实．
你是如何理解的？你会证明吗？
根据两图形面积相等，所以
11
c2＋ (b2－a2)＝b2．
22
化简，得 a2＋b2＝c2．
A
E
bc
CaB D 图1
F ca AbE bc
CaB D 图2
熟练掌握勾股定理的证明方法，一般先利用拼图，再 利用面积相等．本题在利用面积相等时，关键是作辅助线， 然后用含字母 c 的表达式来表示图 2 的面积．
在图1中，正方形 ACDE 的面积为 b2，
在图2中，∠BAC＝∠EAF，则 ∠EAF＋∠BAE＝90°，
故 △BAF为等腰直角三角形．
四边形 ABDF 的面积为：
1 c2＋ 1(b－a)(a＋b) 22 ＝ 1 c2＋ 1(b2－a2)．
22
A
E
bc
CaB D 图1
F ca AbE bc
CaB D 图2
十七章勾股定理勾股定理2课时
• 解答、说明理由.
应用
例5 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
• 分析：注意直角三角形的运动变化：
两直角三角形的斜边是没有变化的，只有两 个直角三角形的两直角边产生变化，其中一条直 角边是梯子的高度，另一条直角边是梯子靠地面 时离墙面的距离.只比较这两个距离就知道结论是 否正确了.
• 画图，构造直角三角形，找出直角三角形三边， 明确知道哪两条边，求哪条边.
• 解答、说明理由.
巩固练习
练习1 如图，已知等边三角形ABC的边长为8，求： （1）等边三角形的高AD的长； A （2）三角形ABC的面积. （答案可保留根号） B DC
巩固练习
练习2 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点
D落在BC边的点F处，若AB=8，BC=10，求EC的
长.
A
10
D
8
E
B
FC
反思与小结
勾股定理有哪些用途？如何应用？
（1）应用勾股定理解决实际问题时，一般先将实际 问题抽象为解直角三角形的问题，正确建立数学 模型再求解；
（2）确定定理使用的条件，解题时根据题给条 件进行构造，注意数形结合、分类讨论、方程 思想的综合应用.
应用
例4 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析：想象、构造直角三角形：
木板的长边和短边都超过了门框的高，薄木 板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试能 否斜着能否通过.
门框对角线 A C 的长度是斜着能通过的最大 长度.求出 A C ，再与木版的宽进行比较，就能知 道木版能否通过.
勾股定理第二课时课件
总结
总结勾股定理的概念、证明和应用
我们将回顾本课的重点信息，以帮助您更好地理解和应 用勾股定理。
强化勾股定理的记忆方式
我们将分享一些强化学习和记忆勾股定理的方法和技巧， 帮助您更好地掌握这个重要的数学定理。
参考书目
• 《数学之美》 • 《勾股定理辅导书》 • 《数学分级教学丛书》
怎样寻找更多的勾股数
我们将介绍寻找勾股数的方法，以及为什么有些勾股数更难找。
勾股数的性质
我们将展示有关勾股数的一些常见性质，例如它们在三角形中如何分布。
习题讲解
1
不同难度的习题讲解
我们将提供一些挑战性习题，并展示如何使用勾股定理解决这些问题。
2
提高对勾股定理的掌握程度
我们将讨论如何通过分析习题解决方法，来提高对勾股定理的理解和掌握程度。
勾股定理的证明
1
对直角三角形进行分析
我们将研究如何对一个直角三角形进行大小分析，为证明勾股定理打下基础。
2
利用各边长的平方和展开式进行证明
我们将展示如何利用各边长的平方和解决这个问题，以证明勾股定理。
3
用几何证明法证明勾股定理
我们将探讨如何通过建立几何辅助图形来证明勾股定理。
勾股定理的应用
解决实际问题中的直角三角形
我们将探究如何将勾股定理应用于解决建筑、测量和 工程等实际问题。
利用勾股定理计算未知边长
从已知边长开始，我们将展示如何利用勾股定理计算 直角三角形的第三个边长。
应用勾股定理求直角三角形的面积
从已知边长开始，我们将证明如何使用勾股定理求出
常见勾股数
3、4、5和5、1 2 、1 3 这样的勾股数
我们将介绍三个常见的勾股数，并解释它们的来源和性质。
17.1勾股定理第2课时(课件)八年级数学下册(人教版)
B 10
6
C8 A
2
1 C
30° A
3
17
A
8 C
C
2
2
2 45° A
典例精析
人教版数学八年级下册
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析: 1、由题干内容可知，门的高是2米，宽1米，木板 横着 或
竖着 都不能通过，只能试试 斜着 能否通过. 2、门框对角线DB是斜着的最大长度，只要计算出 AC 的 长度，再与木板的 宽 比较，只要__A_C_>_2_._2,就知道能否 通过.
C
人教版数学八年级下册
A′
B C′
B′
互动新授
人教版数学八年级下册
探究 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1.在数轴上找到点A，使OA=3；
13
2
2.作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2;
l3 B
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧学八年级下册
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8
米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少
飞行多少？ B
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C.
由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)， C
A
AB AC2 BC2 10米.
答：小鸟至少飞行10米.
与数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点.
O 0
1
2 A•3 C4
互动新授
人教版数学八年级下册
类似地，利用勾股定理可以作出长为 2, 3, 5 线段.
《勾股定理(第2课时)》教案 人教数学八年级下册
17.1 勾股定理第2课时一、教学目标【知识与技能】1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长.2.能应用勾股定理解决简单的实际问题.3.能说出勾股定理,能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.【过程与方法】1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型,强化转化思想,培养学生解决现实问题的意识和能力.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的应用方法.【情感态度与价值观】在例题分析和解决过程中,让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣和信心.二、课型新授课三、课时第2课时共3课时四、教学重难点【教学重点】运用勾股定理解决实际问题.【教学难点】勾股定理的灵活运用.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、直尺、练习本、三角形模型.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺？示意图见课件，就是求AD的长教师：这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题，学完本节课知识后，自己再想想怎么计算此题吧！（二）探索新知1.出示课件4-6，探究勾股定理解决线段长度问题教师问：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？学生答：不能，因为木板的长3m大于2m，宽2.2m大于1m. 教师问：木板能横着或竖着从门框通过吗？学生答：不能.教师问：这个门框能通过的最大长度是多少？学生讨论后回答：如图所示，小于线段AC的长度才可以.教师问：怎样判定这块木板能否通过木框？学生回答：求出斜边AC的长，与木板的宽比较.师生一起解答：解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5．AC= √5≈2.24．因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过．出示课件7，学生自主练习后口答，教师订正.2.出示课件8-9，探究勾股定理解决线段移动问题教师问：如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4米．求梯子的底端B距墙角O多少米？学生回答：解：（1）在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.答：梯子的底端B距墙角O为1米.教师问：如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？学生回答：在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.OD=√3.15≈1.77．BD=OD-OB≈1.77-1=0.77答：梯子底端B也外移约0.77米.出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。
勾股定理(第二课时)
明光市邵岗中学 林乃永
B C
A
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边 为c，那么 c 2 2 2 a a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方。 弦 c 勾a
b 股
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关 系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
A
c2=a2 + b2
a2=c2－b2
b c
b2 =c2-a2
2
2
a c b
2
b= c2-a2
a b
2
c
C
a
B
练习
1、求下图中字母所代表的正方形的面积。
A 225 225 400
625
81
B
144
2.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
144
81
z
144
①
169
②
625
576
③
练习
A
10
D
8
B
10
x x
E
(8－x)
6
F4 C
练一练
9.如图，盒内长，宽，高分别是30米，24 米和18米，盒内可放的棍子最长是多少米？
18
24
30
在一棵树的10米高的D处有两只猴子,其中一只猴子 爬下树走到离树20米的池塘A处,另一只爬到树顶后直 接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的直线距离相等, 试问这棵树有多高?
３．等腰△ABC的腰长为10cm，底边长为 6cm 16cm，则底边上的高为＿＿＿＿，面积为 2 48cm ____________ ．
4．等腰直角△ABC中，∠C=90°， 2 AC=2cm，那么它的斜边上的高为＿＿＿
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勾股定理（第二课时）
第一部分 填空题
1、如图，阴影部分的面积为 ；
2、一个直角三角形的三边分别为3，4，x ，则2x
3、若等腰三角形的腰为10cm ，底边长为16cm ，则它的面积为 ；
4、一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 ；
5、直角三角形一直角边为5厘米、斜边为13厘米，那么斜边上的高是 ；
6、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 ；
7、小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/h 的速度向正北方向的学校走去，哥哥以8km/h 的速度向正
东方向走去，半小时后，他们相距 。
8、三角形的三边长a, b, c 满足等式（a+b ）2
-c 2
=2ab,则此三角形的是 三角形。
9、如图，在平行四边形ABCD 中，CA ⊥AB ，若AB=3，BC=5，
则平行四边形ABCD 的面积为
10、当m= 时，以m+1，m+2，m+3的长为边的三角形是直角三角形。
11、三条线段 m,n,p 满足m 2
-n 2
=p 2
，以这三条线段为边组成的三角形为 第二部分 解决问题
1、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10，BC=6，E 为BC 上一点将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点F 处，求BE 的。
2、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB
上，且与AE 重合，求CD 的长
3、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠Ａ和∠ＤＢＣ都应为直角。
工人师傅量得AB=3，
AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗？
E
C
B
E
D
B
C
A B
4、
5、如果一直角三角形的三边长为a、b、c(c是斜边长)，将三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由。
6、如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,
求这块草地的面积。
7、若⊿A BC三边长分别为a,b,c,且满足条a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断⊿ABC的形状，并证明为什么。
8、如果圆柱高等于12厘米，底面半径等于3厘米.则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值
取3).
9、一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm 、8cm 、 12cm ，一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到顶的B 点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
10、 一天，李京浩同学的爸爸买了一张底面是边长为250cm 的正方形，厚30cm 的床垫回家．到了家门
口，才发现门口只有240cm 高，宽100cm ．你认为李京浩同学的爸爸能拿进屋吗？说明理由．
12cm
8cm 8cm
B
A
B
第三部分 选择题
1、下列说法正确的是( )
A. 若a 、b 、c 是ABC 的三边，则222a b c +=
B. 若a 、b 、c 是Rt ABC 的三边，则222a b c +=
C. 若a 、b 、c 是Rt ABC 的三边90A ∠= ，则222a b c +=
D. 若a 、b 、c 是Rt ABC 的三边90C ∠= ，则222a b c +=
2、三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A ．a :b :c=8∶16∶17
B ． a 2-b 2=c 2
C ．a 2=(b+c)(b-c)
D ． a :b :c =13∶5∶12
3、一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）
A. 第三边一定为10
B. 三角形的周长为25
C. 三角形的面积为48
D. 第三边可能为10
4．直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm
5．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形 6．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A 直角三角形
B 锐角三角形
C 钝角三角形
D 不能
7、有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来﹙ ﹚ A ．13，12，12 ； B ．12，12，8； C ．13，10，12 ； D ．5，8，4 8、下列几组数中，是勾股数的是（ ）
A 、4，5，6
B 、12，16，20
C 、10，24，26
D 、2.4，4.5，5.1
思考题：如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是 。