高二椭圆与直线相交知识点
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
3.1.3直线与椭圆的位置关系ppt课件
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k
2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
分类与判定
分类
根据直线与椭圆的交点个数，可以分为相离、相切和相交三种情况。
判定
使用代数方法（例如求解方程）或几何方法（例如测量距离和角度）来判断 直线与椭圆的位置关系。
解题方法与技巧
方法
解决直线与椭圆的位置关系问题，一般采用代数方法或几何方法。根据题目具体 情况选择合适的方法。
技巧
对于复杂的问题，需要灵活运用各种数学工具和技巧，例如设点、设线、数形结 合、分类讨论等。
03
交汇点以及中点的问题。
性质
弦中点问题涉及直线与椭圆的相交、平行、中点等性质，以 及弦长、中点坐标等计算。
分类与判定
分类
根据直线与椭圆的位置关系，弦中点问题可分为相交型、平行型和中点型三 种类型。
判定
判定弦中点问题主要依据直线与椭圆的交点坐标、中点坐标计算公式以及相 关的几何性质。
在医学中，弦长公式被用于诊断疾病和预测病情发展趋势。例如，利
用弦长公式可以准确地计算心电图的异常波形，进而诊断心脏疾病。
弦中点问题的应用
计算机科学
在计算机科学中，弦中点问题被用于研究图形的算法和优化 问题。例如，利用弦中点问题可以设计出更高效的图形算法 ，实现快速查找和数据处理。
数学
在数学中，弦中点问题被用于研究函数的性质和解析几何。 例如，利用弦中点问题可以推导出函数的对称性和周期性， 进而研究其几何性质。
弦长公式的应用
01 02
统计学
在统计学中，弦长公式被用于计算样本数据的离散程度和置信区间。 通过利用弦长公式，科学家可以准确地描述一组数据的分散程度和不 确定性。
工程学
在工程学中，弦长公式被用于计算结构强度和稳定性。例如，利用弦 长公式可以准确地计算桥梁的承重能力和稳定性，确保其安全可靠。
高二直线和椭圆相交知识点
高二直线和椭圆相交知识点直线和椭圆的相交是高中数学中的一个重要知识点，它涉及到了几何图形的性质和方程的求解。
在本文中，我将为大家详细介绍高二直线和椭圆相交的相关知识点。
一、直线和椭圆的基本定义直线是一个无限延伸的线段，它可以由一个点和一个方向确定。
在平面直角坐标系中，一条直线可以由线段的两个端点坐标确定。
椭圆是一个平面内到一定点距离之和等于常数的点的集合。
在平面直角坐标系中，椭圆的方程可以表示为：[(x - h) / a]^2 + [(y - k) / b]^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心点坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴和半短轴长度。
二、直线和椭圆的相交情况当直线与椭圆相交时，有以下几种可能的情况：1. 直线不过椭圆：当直线与椭圆没有交点时，二者之间不存在相交关系。
2. 直线与椭圆相切：当直线恰好与椭圆相切时，直线与椭圆只有一个交点，并且该交点是切点。
在这种情况下，直线的斜率与椭圆的法线的斜率相等。
3. 直线穿过椭圆：当直线穿过椭圆时，直线与椭圆有两个不同的交点。
此时，直线的方程和椭圆的方程联立求解即可得到交点的坐标。
三、求解直线和椭圆的交点为了求解直线和椭圆的交点，我们可以先将直线的方程和椭圆的方程联立，然后求解这个方程组。
具体方法如下：1. 将直线的方程代入椭圆的方程，得到关于x和y的方程；2. 将得到的方程整理，使其变为关于x的一元二次方程；3. 求解该二次方程，即可得到交点的x坐标；4. 将得到的x坐标代入直线的方程，求解y坐标。
通过以上步骤，我们可以求出直线和椭圆的交点坐标。
四、实例演练假设直线的方程为y = 2x + 1，椭圆的方程为[(x - 3) / 2]^2 + [(y - 2) / 3]^2 = 1。
现在我们来求解这个方程组。
将直线的方程代入椭圆的方程，得到：[(x - 3) / 2]^2 + [(2x + 1 - 2) / 3]^2 = 1；整理该方程，得到：5x^2 + 14x - 5 = 0；求解该二次方程，得到：x = (-7 ± √89) / 5；代入直线的方程，求解y坐标，得到两个交点的坐标分别为(-7 + √89) / 5 和 (-7 - √89) / 5。
直线与椭圆的位置关系、弦长公式
解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
直线与椭圆的位置关系之中点问题
直线与椭圆的位置关系之中点问题一、知识点1） 已知弦的中点坐标，利用点差法求弦所在直线的斜率；2） 利用点差法求证：22AB OM b k k a⋅=-； 3） 利用点差法解决有关中点的问题．二、教学过程1 点差法 引例：已知椭圆22:143x y C +=，求以(1,1)P 为中点的弦所在的直线方程． 分析1：设直线1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-入椭圆方程22143x y +=，得到 222(43)8(1)4(1)120k x k k x k ++-+--=，设弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y ，则1228(1)243k k x x k -+==+，得34k =- 所以所求的直线方程为3470x y +-=分析2：设设弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y ，则22113412x y +=，22223412x y +=，两式相减得： 121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=，所以121234y y k x x -==--，下同上 一般： 若椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的弦AB 的中点为00(,)M x y ，则仿上可知2020AB x b k a y =-⋅，这种方法称为点差法；说明：1） 通过点差法，我们可有弦的中点坐标直接求出弦的斜率，进一步我们可以发现关系：22AB OM b k k a⋅=-，揭示了两个斜率的关系。
（并且可以发现与“若P 为椭圆上任意一点，,M N 为椭圆上关于原点对称的两个定点，则22PM PNb k k a ⋅=-”道理想通） 2）点差法，先设弦端点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程，两式相减，利用两点的斜率公式，中点的坐标公式综合得到，这是一种与求弦长不同的处理方式，一般直线与椭圆位置关系的处理上一种是设直线方程，与椭圆联立方程的方法我们称为“线参数法”，一种是设点的坐标不联立方程的方法称为“点参数法”．2 应用练习1 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的弦AB 的中点为(1,1)M ，又34AB k =-，求椭圆的离心率． 分析：利用点差法可知2234b a =，所以2214c a =，12e = 2 椭圆22:143x y C +=上的动弦AB 的中点为M ，又34AB k =-，求中点M 的轨迹方程． 解：设(,)M x y ，利用点差法可知：3344y x -⋅=-，所以0x y -=，检验可知：必须||7x <说明，利用极限思想可以发现，过点(,77，斜率为34-的直线恰好为椭圆的切线 . 3椭圆22:143x y C +=上的动弦AB 过定点(1,1)N ，中点为M ，求中点M 的轨迹方程． 解：利用点差法可知：34AB y k x ⋅=-，又11AB y k x -=-，所以2234340x y x y +--=， 即2211()()221771216x y --+=（含在椭圆内部分） 配套练习：1、已知椭圆22:12x C y +=，求以21(,)33P -为中点的弦的弦长． 解答：根据点差法知1k =，利用弦长公式||3AB =2、已知椭圆：221ax by +=，与直线l ：10x y +-=与椭圆交于,A B 两点，C 为,A B中点，又||2OC AB k ==，求椭圆方程答案：22113x y +=。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结椭圆是一个经典的几何图形，它在高二数学中也占据着重要的地位。
本文将对高二椭圆的相关知识点进行总结，包括椭圆的定义、性质、方程、焦点与直径、切线与法线以及与其他几何图形的关系等内容。
1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和恒定的点的集合。
这两个固定点称为椭圆的焦点，记作F1、F2，它们之间的距离为2a。
椭圆上的任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
2. 椭圆的性质(1) 椭圆的离心率e小于1，且越接近于1，椭圆越扁平。
(2) 椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，记为2a；短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段，记为2b。
(3) 椭圆的离心率e与长轴a、短轴b的关系为e = √(1 - b²/a²)。
(4) 椭圆的面积为πab。
3. 椭圆的方程(1) 标准方程：设椭圆的焦点在坐标原点上，长轴与x轴重合。
则椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1。
(2) 一般方程：设椭圆的焦点在任意位置，且长轴与x轴的夹角为α。
则椭圆的一般方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标。
4. 椭圆的焦点与直径(1) 椭圆的焦点是确定椭圆形状和大小的重要元素，它们与椭圆的离心率相关。
(2) 椭圆的直径是通过椭圆中心且与椭圆两点重合的直线段，它的长度等于长轴的长度2a。
5. 椭圆的切线与法线(1) 椭圆上任意一点P处的切线是与椭圆相切且经过点P的直线，切线的斜率为y' = -b²x/a²y。
(2) 椭圆上任意一点P处的法线是与切线垂直的直线，它的斜率为y' = a²x/b²y。
6. 椭圆与其他几何图形的关系(1) 椭圆与直线的关系：当直线与椭圆相交时，交点个数有四种情况：无交点、一个交点、两个交点、两个交点且直线与椭圆相切。
直线与椭圆相交问题
直线与椭圆相交问题汇报人：日期:contents•直线与椭圆的基本概念•直线与椭圆相交的判定目录•直线与椭圆相交的解法•直线与椭圆相交的应用•直线与椭圆相交的实例分析直线与椭圆的基本概念01CATALOGUE直线是两点之间最短的距离，可以看作是无数个点的集合。
定义直线是连续的，没有端点，且可以向两个方向无限延伸。
性质椭圆是一种平面图形，可以看作是由所有到两个固定点距离之和相等的点的集合。
椭圆是封闭的，有两个焦点，且其长度轴和短轴的比例是固定的。
性质定义当直线与椭圆有且只有一个交点时，称直线与椭圆相交。
相交平行垂直当直线与椭圆无交点时，称直线与椭圆平行。
当直线与椭圆的长轴或短轴垂直时，称直线与椭圆垂直。
030201直线与椭圆的关系直线与椭圆相交的判定02CATALOGUE0102当直线斜率为0时，直线与椭圆相切；当直线斜率不存在时，直线与椭圆相割。
直线与椭圆相交的充要条件是：直线的斜率不为0，且直线与椭圆的交点既不在坐标轴上，也不在无穷远处。
将直线的方程和椭圆的方程联立起来，消去其中一个变量（通常是y），得到一个关于x的二次方程。
如果这个二次方程有两个实根，则直线与椭圆相交；否则，直线与椭圆不相交。
方法二利用几何图形的方法判断。
如果直线与椭圆有且仅有一个交点，则直线与椭圆相交；如果直线与椭圆没有交点或者有两个以上的交点，则直线与椭圆不相交。
特殊情况下的处理当直线与椭圆的长轴平行时，直线与椭圆相交于两个点；当直线与椭圆的短轴平行时，直线与椭圆相交于四个点。
当直线的斜率不存在时，直线与椭圆相割，此时可以通过把x作为变量，把y作为常数的方法来求解。
直线与椭圆相交的解法03CATALOGUE代入法将直线方程代入椭圆方程，得到一元二次方程，通过求解一元二次方程，得到交点的横坐标。
联立方程组通过联立直线和椭圆的方程组，利用消元法或者代入法，得到关于x或y的一元二次方程，再求解得到交点坐标。
解方程组的方法交点坐标的计算根据一元二次方程的解，计算交点的横坐标和纵坐标。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二椭圆与直线相交知识点椭圆与直线是高二数学中的一种重要的几何关系，深入理解它们的相交性质对于解题和应用实践具有重要意义。
本文将介绍高二椭圆与直线相交的几个关键知识点。
一、椭圆与直线的方程
在介绍椭圆与直线相交的知识点之前，我们先来了解椭圆和直线的方程。
椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为椭圆的长半轴，$b$为椭圆的短半轴。
直线的一般方程为：$Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$为实数且$A$与$B$不同时为零。
二、椭圆与直线相交的条件
椭圆与直线相交的条件为：直线不经过椭圆的中心，且直线方程与椭圆方程联立可解，即联立方程有实数解。
三、椭圆与直线相交的情况分类
根据椭圆与直线相交的情况，可以将其分为以下三种情况：
1. 直线与椭圆相交于两个不同的点
当直线与椭圆相交于两个不同的点时，此时直线既不是椭圆内切线也不是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立可解。
2. 直线与椭圆相切于一个点
当直线与椭圆相切于一个点时，此时直线既是椭圆内切线又是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立有唯一实数解。
3. 直线与椭圆不相交
当直线与椭圆不相交时，此时直线既不是椭圆内切线也不是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立无实数解。
四、解题方法与实例
在解决涉及椭圆与直线相交的问题时，可以采用以下方法：
1. 代数法：将直线方程代入椭圆方程，联立方程求解解得交点坐标。
2. 几何法：利用椭圆和直线的性质进行几何推导，得出交点的几何特征。
以下为一个实例：
例题：已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直线$2x-
3y+4=0$，求椭圆与直线的交点坐标。
解：将直线方程代入椭圆方程，得到$\frac{(2x-
3y+4)^2}{4^2}+\frac{y^2}{9}=1$。
化简方程得$4x^2-12xy+9y^2+48x-72y+48=64$，整理得$4x^2-12xy+9y^2+48x-72y-16=0$。
利用配方法化简得$(2x-3y+8)(2x-3y-2)=0$。
解方程组得两组解：$(x,y)=\left(-\frac{5}{2},-
\frac{1}{6}\right)$和$(x,y)=\left(\frac{7}{2},\frac{7}{6}\right)$。
所以，椭圆与直线的交点坐标为$(-\frac{5}{2},-\frac{1}{6})$和$(\frac{7}{2},\frac{7}{6})$。
五、总结
通过本文的介绍，我们了解了高二椭圆与直线相交的几个关键知识点，包括椭圆与直线的方程、相交的条件、相交的情况分类以及解题方法与实例。
掌握这些知识点，能够更好地理解和应用椭圆与直线相交的相关概念，提高解题的准确性和效率。
在学习过程中，建议多进行练习和实践，以加深理解并提高解决实际问题的能力。