高一必修一对数函数知识点
必修一 3.2 对数函数(教师版)
3．2.1 对数及其运算第一课时 对数的概念及常用对数考点一：指数式与对数式的互化[例1] 把下列各等式化为相应的对数式或者指数式．(1)53＝125；(2)(14)－2＝16； (3)log 128＝－3；(4)log 3127＝－3. [精解详析] (1)∵53＝125，∴log 5125＝3.(2)∵(14)－2＝16，∴log 1416＝－2. (3)∵log 128＝－3，∴(12)－3＝8. (4)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127. 练1．求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝2－3；(2)log x 8＝6.解：(1)∵log 64x ＝－23， ∴x ＝642－3＝16423＝1（43）23＝142＝116. (2)∵log x 8＝6，∴x 6＝8，即(x 6)16＝816＝(23)16＝212.∴x ＝ 2.考点二：对数基本性质的应用[例2] 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1 (3)log (2－1)13＋22＝x ；(4)log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1.[精解详析] (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝1，∴x ＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3.∴x ＝103＝1 000.(3)∵log (2－1)13＋22＝x ， ∴(2－1)x ＝13＋22＝1（2＋1）2＝12＋1＝2－1， ∴x ＝1.(4)由对数的定义知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0且x ＋3≠1，x 2＋3x ＞0，x 2＋3x ＝x ＋3，∴x ＝1.练2．求下列各式中的x 的值：(1)log 2(log 5x )＝1；(2)log 3(lg x )＝2.解：(1)∵log 2(log 5x )＝1，∴log 5x ＝2，∴x ＝52＝25.(2)∵log 3(lg x )＝2，∴lg x ＝32＝9，∴x ＝109.考点三：对数恒等式的应用[例3] 计算：(1)71－log75；(2)a logb a ·log c b ·log N c (a ＞0，b ＞0，c ＞0，且均不等于1，N ＞0)．[精解详析] (1)71－log75＝1log5777＝75； (2)log a b a log b c log c N ＝log ()a b a log b c log c N ＝log b c b log c N ＝log ()b c b log c N ＝log c N c ＝N .练3．求3(1＋log 36)－2(4＋log 23)＋(13)log 34的值． 解：原式＝3·3log 36－24·2 log 23＋13 log 34 ＝3×6－16×3＋14＝18－48＋14＝－2934.课堂强化：1．如果N ＝a 2(a ＞0，a ≠1)，则有( )A ．log 2N ＝aB ．log 2a ＝NC ．log N a ＝2D ．log a N ＝2解析：由指数式与对数式的互化可知：N ＝a 2⇔log a N ＝2.答案：D2．log x 64＝2，则x 等于( )A ．±8B ．8C ．4D ．－4解析：∵log x 64＝2，∴x 2＝64.∴x ＝±8，又∵x ＞0，∴x ＝8.答案：B3．(2011·陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________． 解析：∵f (－2)＝10－2＞0，∴f (f (－2))＝lg 10－2＝－2. 答案：－24．计算21－log 27＝________．解析：21－log 27＝2log 22－log 27＝2 log 227＝27. 答案：275．2lg x ＝8，则x 的值为________．解析：∵2lg x ＝8＝23，∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000.答案：1 0006．将下列指数式写成对数式：(1)210＝1 024； (2)10－3＝11 000； (3)0.33＝0.027.解：(1)∵210＝1 024，∴10＝log 21 024.(2)∵10－3＝11 000，∴－3＝log 1011 000＝lg 11 000. (3)∵0.33＝0.027，∴3＝log 0.30.027.课下检测：一、选择题1．若2x ＝3，则x 的值等于( )A ．log 23B ．log 123C ．log 32D ．log 132 解析：∵2x ＝3，∴x ＝log 23.答案：A 2．log 7(log 3(log 2x ))＝0，则x 1－2等于( ) A.13B.123C.122D.133 解析：由已知及对数的性质知log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝23.∴x 1－2＝(23) 1－2＝23－2＝1232＝12 2 .答案：C 3．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)等于( )A.43B ．8C ．18D.12 解析：∵f (x 6)＝log 2x ，∴令x 6＝8，则x ＝816＝212.∴f (8)＝log 2212＝12. 答案：D4．2 2＋log 25的值等于( )A ．20B ．10C ．40D ．15解析：2 2＋log 25＝22×2 log 25＝4×5＝20.答案：A二、填空题5．若log 3(1－2x 9)＝1，则x ＝________． 解析：∵log 3(1－2x 9)＝1，∴1－2x 9＝3，∴x ＝－13. 答案：－136．若log x 3＝－35，则x ＝________． 解析：由对数与指数的互化知：x 3－5＝3， ∴(x 3－5)(5－3)＝35－3，即x ＝1353＝1335＝339. 答案：3397．已知a 23＝49(a ＞0)，则log 23a ＝________． 解析：设log 23a ＝x ，则a ＝⎝⎛⎭⎫23x， 又a 23＝49， ∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x 23＝⎝⎛⎭⎫232，即⎝⎛⎭⎫2323x ＝⎝⎛⎭⎫232，∴23x ＝2，解得x ＝3. 答案：38．设f (3x )＝log 29x ＋12，则f (1)＝________． 解析：由已知令x ＝13，则有： f (1)＝f (3×13)＝log 29×13＋12＝log 22＝12log 22＝12. 答案：12三、解答题9．设A ＝{0，1，2}，B ＝{log a 1，log a 2，a }，且A ＝B ，求a 的值．解：由log a 1＝0，且a ＞0，a ≠1，A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，log a 2＝1， ∴a ＝2.10．已知x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x 的值． 解：∵x ＝log 23，∴2x ＝3，∴23x －2－3x 2x －2－x ＝（2x ）3－（2x ）－32x －（2x ）－1＝33－3－33－3－1 ＝27－1273－13＝919. 第二课时 积、商、幂的对数考点一：对数运算法则的应用[例1] 计算下列各题：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2)log 34273log 5[412log 210－(33)23－7log 72]； (3)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1.[精解详析] (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1. (2)原式＝log 33343·log 5[2log 210－(332)23－7log 72] ＝(34log 33－log 33)·log 5(10－3－2) ＝(34－1)·log 55＝－14.(3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋（lg 2）2－2lg 2＋1 ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2·lg (2×5)＋1－lg 2＝1.练1．计算：(1)4lg 2＋3lg 5－lg 15；(2)lg 3＋2lg 2－1lg 1.2； (3)log a n a ＋log a 1a n ＋log a 1n a. 解：(1)原式＝lg 16＋lg 125＋lg 5＝lg (16×125×5)＝lg 10 000＝4.(2)原式＝lg 3＋lg 4－lg 10lg 1.2＝lg3×410lg 1.2＝lg 1.2lg 1.2＝1. (3)原式＝1n －log a (a n )－log a n a ＝1n －n －1n＝－n . 考点二：换底公式的应用[例2] 求值：(1)log 927；(2)(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )·log 9n 32.[精解详析] (1)法一(换成以10为底)：log 927＝lg 27lg 9＝lg 33lg 32＝3lg 32lg 3＝32. 法二(换成以3为底)：log 927＝log 327log 39＝lg 3 33log 3 32＝3log 332log 33＝32. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫log 23＋2log 232log 22＋3log 233log 22＋…＋n log 23n log 22·log 9n 32 ＝(log 23＋log 23＋log 23＋…＋log 23)·log 9n 32＝n ·log 23·5n ·12log 32＝52. 练2．求下列各式的值：(1)log 169·log 2732；(2)(log 43＋log 83)·(log 32＋log 92)．解：(1)log 169·log 2732＝lg 9lg 16·lg 32lg 27＝2lg 3·5lg 24lg 2·3lg 3＝56.(2)(log 43＋log 83)·(log 32＋log 92)＝(12log 23＋13log 23)(log 32＋12log 32) ＝(56log 23)·32log 32＝54log 23·log 32＝54. 考点三：带有附加条件的对数式问题[例3] (1)已知：log 52＝a ，求2log 510＋log 50.5的值；(2)已知：lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log2x y 的值． [精解详析] (1)∵log 52＝a ，∴2log 510＋log 50.5＝2log 510＋1－log 510＝log 510＋1＝log 5(2×5)＋1＝log 52＋2＝a ＋2.(2)由lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，得lg xy ＝lg (x －2y )2. ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0.即(x －y )(x －4y )＝0，得x ＝y ，或x ＝4y .∵x ＞2y ＞0，∴x ＝y 舍去．∵x ＝4y ，即x y＝4. ∴log 2x y ＝log 24＝log 2(2)4＝4.练3．设a 、b 、c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，证明：2a ＋1b ＝2c. 证明：法一：设3a ＝4b ＝6c ＝k (a ，b ，c 均为正数，k >0)， 则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k .∴1a ＝log k 3，1b ＝log k 4，1c＝log k 6， ∴2log k 3＋log k 4＝2log k 6，即2a ＋1b ＝2c. 法二：对3a ＝4b ＝6c 同时取以10为底的对数，得lg 3a ＝lg 4b ＝lg 6c ，∴a lg 3＝b lg 4＝c lg 6，∴c a ＝lg 3lg 6＝log 63，c b ＝lg 4lg 6＝log 64， ∵2log 63＋log 64＝log 636＝2， 即2c a ＋c b ＝2，∴2a ＋1b ＝2c. 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.[解] 法一：∵18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182 ＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a ., 法二：∵18b ＝5，∴log 185＝b ， 于是log 3645＝log 18（9×5）log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 法三：∵log 189＝a ，18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9 ＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a.课堂强化：1．2log 63－log 654等于( )A ．2B ．－1C ．－2D ．1 解析：∵2log 63－log 654＝log 632－log 654＝log 6954＝log 616＝log 61－log 66＝－1. 答案：B2．log 89·log 32的值为( )A.23B ．1 C.32 D ．2解析：∵log 89·log 32＝lg 9lg 8·lg 2lg 3＝2lg 33lg 2·lg 2lg 3＝23. 答案：A3．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( ) A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：∵2x ＝3，∴x ＝log 23.又∵log 483＝y ，∴y ＝12log 283. ∴x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3. 答案：A4．lg 12.5－lg 58＋lg 12＝________． 解析：原式＝lg 252－lg 58＋lg 12＝lg 25258＋lg 12＝lg 20＋lg 12＝lg 10＝1. 答案：15．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log x abc ＝________．解析：log x (abc )＝log x a ＋log x b ＋log x c ＝12＋13＋16＝1. 答案：16．计算下列各式：(1)log 2148＋log 212－12log 224－(12)log 23； (2)1＋12lg 9－lg 2401－23lg 27＋lg 365. 解：(1)原式＝－12(log 216＋log 23)＋2＋log 23－12log 23－12log 28－2－log 23 ＝－2－12log 23＋2＋log 23－12log 23－32－13＝－116. (2)原式＝1＋lg 3－lg 3－lg 8－lg 101－2lg 3＋2lg 2＋2lg 3－lg 5＝－3lg 23lg 2＝－1.课下检测：一、选择题1．若log 34·log 8m ＝log 416，则m ＝( ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27解析：∵log 34·log 8m ＝log 416，∴log 8m ＝log 416log 34＝2log 34＝2log 43＝log 49＝log 23，即13log 2m ＝log 23，∴m 13＝3，m ＝27. 答案：D2．已知2x ＝3y ，则xy ＝( )A.lg 2lg 3B.lg 3lg 2 C ．lg 23D ．lg 32解析：令2x ＝3y ＝t ，则x ＝log 2t ，y ＝log 3t ， ∴x y ＝log 2t log 3t ＝lg 3lg 2. 答案：B.3．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m ＞0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为( )A.160 B ．60 C.2003D.320解析：log m (xyz )＝ log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，而log m x ＝124，log m y ＝140，故log m z ＝112－log m x －log m y＝112－124－140＝160，即log z m ＝60. 答案：B4．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512的值是( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a解析：log 512＝lg 12lg 5＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b1－a .答案：C 二、填空题 5.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________．解析：原式＝lg 10－0lg 14＋lg 8·lg 322＝1lg 2·lg 16＝4lg 2lg 2＝4.答案：46．设a ＝lg (1＋17)，b ＝lg (1＋149)，用a 、b 表示lg 2、lg 7，则lg 2＝________，lg 7＝________．解析：lg (1＋17)＝lg 87＝3lg 2－lg 7＝a ，①lg (1＋149)＝lg 5049＝lg 50－2lg 7＝2－lg 2－2lg 7＝b ，②由①②解得lg 2＝2a －b ＋27，lg 7＝－a －3b ＋67.答案：2a －b ＋27 －a －3b ＋677．已知m ＞0且10x ＝lg (10m )＋lg 1m ，则x ＝________．解析：∵10x ＝lg (10m )＋lg 1m＝lg (10m ·1m )＝lg 10＝1＝100∴x ＝0. 答案：08．已知log a x ＝log a c ＋b ，则x ＝________．解析：法一：由对数定义可知x ＝a log a c ＋b ＝a log a c ·a b ＝c ·a b .法二：由已知移项可得log a x －lo log a c ＝b ，即log a x c ＝b ，由对数定义知xc ＝a b ，∴x ＝c ·a b .法三：∵b ＝log a a b ，∴log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c ·a b .∴x ＝c ·a b .答案：c ·a b 三、解答题 9．化简下列式子： 2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋14lg 16.解：原式＝2lg 2＋lg 31＋12lg 0.62＋14lg 24＝2lg 2＋lg 31＋lg 2×310＋lg 2＝2lg 2＋lg 31＋lg 2＋lg 3－lg 10＋lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＝1.10．(1)已知11.2a ＝1 000，0.011 2b ＝1 000，求1a －1b 的值；(2)设log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bc 的值．解：(1)因为11.2a ＝1 000，所以a ·lg 11.2＝3，1a ＝13lg 11.2.又因为0.011 2b ＝1 000，所以b ·lg 0.011 2＝3， 1b ＝13lg 0.011 2. 所以1a －1b ＝13(lg 11.2－lg 0.011 2)＝13lg 1 000＝1.(2)因为log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧log a c ＋log b c ＝3，log a c ·log bc ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧1log c a ＋1log c b ＝3，log c a ·log c b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧log c a ＋log c b ＝3，log c a ·log c b ＝1.所以log a b c ＝1log c a b ＝1log c a －log c b＝1±（log c a ＋log c b ）2－4log c a ·log c b＝1±5＝±55.3．2.2 对数函数第一课时 对数函数的图象及其性质[例1] 求下列函数的定义域：(1)y ＝log 214x －3；(2)y ＝log 3(2x －1)＋1log 4x ；(3)y ＝log (x ＋1)(16－4x )；(4)y ＝log 12x －14x －1.[精解详析] (1)要使函数有意义，则14x －3＞0，即4x －3＞0，x ＞34，所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞34. (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，log 4x ≠0，x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞12，x ≠1，x ＞0.∴x ＞12，且x ≠1.故所求函数的定义域是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． (3)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧16－4x＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x ＞－1，x ≠0.∴－1＜x ＜2且x ≠0.故所求函数的定义域是{x |－1＜x ＜2，且x ≠0}． (4)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 12x －1≥0，4x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ≤12，x ≠14.∴0＜x ≤12，且x ≠14.故所求函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ≤12，且x ≠14.(1)f (x )＝log 2(9－x 2)； (2)f (x )＝log (5－x )(2x －3)； (3)f (x )＝2x ＋3x －1log 2(3x －1)． 解：(1)由对数真数大于零，得9－x 2＞0， 即－3＜x ＜3，∴所求定义域为{x |－3＜x ＜3}． (2)要使f (x )＝log (5－x )(2x －3)有意义， 则必须有⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，5－x ＞0，5－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32，x ＜5，x ≠4.∴所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32＜x ＜4，或4＜x ＜5.(3)要使f (x )＝2x ＋3x －1log 2(3x －1)有意义， 则必须有⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＞0，2x ＋3≥0，x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞13，x ≥－32，x ≠1，∴所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞13，且x ≠1.考点二：对数函数的值域(或最值) [例2] 求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[精解详析] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域为R . ∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2.∴y ＝log 2(x 2＋4)的值域为{y |y ≥2}． (2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4， ∵u ＞0， ∴0＜u ≤4，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12u ≥log 124＝－2.∴y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为{y |y ≥－2}．巩固练习2．设x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝12.求函数z ＝log 12(8xy ＋4y 2＋1)的最大值与最小值．解：由x ＋2y ＝12得x ＝12－2y∵x ≥0，∴12－2y ≥0，∴0≤y ≤14令M ＝8xy ＋4y 2＋1＝8×(12－2y )y ＋4y 2＋1＝4y －16y 2＋4y 2＋1＝－12y 2＋4y ＋1＝－12×(y 2－y 3)＋1＝－12×[(y －16)2－136]＋1＝－12×(y －16)2＋43.易知1≤M ≤43，则z ＝log 12M ∈[log 1243，log 121]．即z 的最小值为log 1243，最大值为0.考点三：对数函数的图象3，[例3] 已知曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取43，35，110，则相应的C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35[精解详析] 法一：因为对数的底数越大，函数图象就越远离y 轴的正方向，所以C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次由大到小，即C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为3，43，35，110.法二：过(0，1)作平行于x 轴的直线，与C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标为(a 1，1)，(a 2，1)，(a 3，1)，(a 4，1)，其中a 1，a 2，a 3，a 4分别为各对数的底，显然a 1＞a 2＞a 3＞a 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的底数值依次由大到小．[答案] A 巩固练习3．已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是图中的( )解析：当a ＞1时，y ＝a x 是单调增函数，y ＝log a x 在(0，＋∞)是增函数，而函数y ＝log a (－x )与y ＝log a x 图象关于y 轴对称易知选B.答案：B 课堂强化：1．若log 2a ＜0，(12)b ＞1，则( )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：∵log 2a ＜0＝log 21，∴0＜a ＜1. 又∵(12)b ＞1＝(12)0，∴b ＜0.答案：D2．(2011·江西高考)若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为( )A ．(－12，0)B ．(－12，＋∞)C ．(－12，0)∪(0，＋∞)D ．(－12，2)解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ∈(－12，0)∪(0，＋∞)．答案：C3．函数y ＝2＋log 5x (x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：∵x ≥1，∴log 5x ≥0，∴y ≥2. 答案：C4．函数y ＝log a (x －1)－1的图象过定点________． 解析：∵令x －1＝1，则y ＝－1 ∴该函数过定点(2，－1)． 答案：(2，－1)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b （x ≤0），log c （x ＋19）（x ＞0）的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________．解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2， 又函数y ＝log c (x ＋19)的图象过点(0，2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1336．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，求实数a 的值．解：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数． ∴最大值为f (2a )，最小值为f (a )． ∴f (2a )－f (a )＝log a 2a －log a a ＝12，即log a 2＝12.∴a ＝4. 课下检测： 一、选择题1．函数y ＝log 2（x －1）的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：要使y ＝log 2（x －1）有意义，需有log 2(x －1)≥0＝log 21， ∴x －1≥1.∴x ≥2即定义域为[2，＋∞)． 答案：C2．若函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则( ) A ．a ＝2，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝2，b ＝1D ．a ＝2，b ＝ 2解析：∵y ＝log a (x ＋b )的图象过两点(－1，0)，(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （－1＋b ），1＝log ab .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2. 答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1），x ≥2，（12）x －1，x ＜2，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1，3)解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥2，log 2（x 0－1）＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜2，（12）x 0－1＞1，∴x 0＞3或x 0＜－1. 答案：C4．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1，1]，则函数f (x )的定义域是( )A ．[22，2] B ．[－1，1] C ．[12，2]D ．(－∞，22]∪[2，＋∞) 解析：∵－1≤2log 12x ≤1， ∴－12≤log 12x ≤12.∴log 12(12)1－2＝－12≤log12x ≤12＝log 12(12)12. ∵y ＝log 12x 是减函数．∴2＝(12)1－2≥x ≥(12)12＝22. 答案：A 二、填空题5．函数y ＝log 14(x 2＋1)的值域为________．解析：∵x 2＋1≥1， ∴log 14(x 2－1)≤log 141＝0，∴该函数的值域为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]6．若定义在(－1，0)上的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是________． 解析：∵－1＜x ＜0， ∴0＜x ＋1＜1. ∵f (x )＞0，∴0＜2a ＜1. 即0＜a ＜12.答案：(0，12)7．已知对数函数f (x )的图象过点P (8，3)，则f ⎝⎛⎭⎫132＝________． 解析：设对数函数f (x )＝log a x ， ∵f (x )的图象过点P (8，3)， ∴3＝log a 8. ∴a 3＝8，a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .f ⎝⎛⎭⎫132＝log 2132＝log 22－5＝－5. 答案：－58．已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，若a log b (x －3)＜1，则x 的取值范围为________．解析：∵0＜a ＜1，a log b (x －3)＜1，∴log b (x －3)＞0.又∵0＜b ＜1，∴0＜x －3＜1，3＜x ＜4.答案：3＜x ＜4三、解答题9．求下列函数的定义域：y ＝log 45x －12x －1.解：式中有三处限制条件：分式(分母不为0)，二次根式(根号下的代数式非负)，对数式(真数恒为正)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≠0，log 45x －1≥0，x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠12，log 45x ≥1，x ＞0.解得0＜x ≤45且x ≠12，所以函数的定义域为(0，12)∪(12，45]． 10．若－1＜log a 34＜1，求a 的取值范围． 解：－1＜log a 34＜1，即log a 1a ＜log a 34＜log a a ， 当a ＞1时，由log a 1a ＜log a 34＜log a a 可得1a ＜34＜a ，解得a ＞43. 当0＜a ＜1时，由log a 1a ＜log a 34＜log a a 可得1a ＞34＞a ，解得0＜a ＜34. 综上可得，a 的取值范围为(0，34)∪(43，＋∞)．第二课时 对数函数的图象及其性质的应用考点一：对数函数的单调性[例1] 比较下列各组对数值的大小：(1)log 151.6，log 152.9；(2)log 78，log 0.34；(3)log a 5，log a 6(a ＞0，且a ≠1)．[精解详析] (1)∵y ＝log 15x 在(0，＋∞)上单调递减，1.6＜2.9，∴log 151.6＞log 152.9.(2)∵log 78＞0，log 0.34＜0，∴log 78＞log 0.34.(3)当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上单调递增，∴log a5＜log a6.当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，∴log a5＞log a6.巩固练习1．比较下列各题中两个值的大小：(1)ln2，ln 0.9；(2)log67，log76；(3)log3π，log20.8.解：(1)考察函数y＝ln x，因为底数为常数e(e＞1)，所以它在(0，＋∞)上是增函数，又2＞0.9，所以ln 2＞ln 0.9.(2)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76.(3)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8.考点二：对数函数的实际应用[例2]我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L表示，它们满足以下公式：L＝10lg II0，单位为分贝，L≥0，其中I0＝1×10－12，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端．回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的取值范围为多少？[精解详析](1)由题意知，树叶沙沙声的强度水平为L1＝10lg I1I0＝10lg 1＝0；耳语声的强度水平为L2＝10lg I2I0＝10lg 102＝20(分贝)；恬静的无线电广播的强度为L3＝10lg I3I0＝10×lg 104＝40(分贝)；(2)由题意知，0≤L ＜50，即0≤10lg I I 0＜50，所以1≤I I 0＜105，则1×10－12≤I ＜1×10－7. 故新建的安静小区的声音强度I 应大于等于1×10－12 W/m 2，同时小于1×10－7 W/m 2. 巩固练习2．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (m/s)和燃料的质量M (kg)、火箭(除燃料外)的质量m (kg)的关系为v ＝2 000ln (1＋M m)．当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s?解：由12 000＝2 000ln (1＋M m)， 即6＝ln (1＋M m)， 1＋M m ＝e 6，利用计算器算得M m≈402. 即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.考点三：对数函数性质的综合应用[例3] 求证：函数f (x )＝lg 1－x 1＋x (－1＜x ＜1)是奇函数且是减函数． [精解详析] ∵－1＜x ＜1，∴函数f (x )的定义域关于原点对称，而f (－x )＝lg 1－（－x ）1＋（－x ）＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1 ＝－lg 1－x 1＋x＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．设x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2，设t 1＝1－x 11＋x 1，t 2＝1－x 21＋x 2， 则t 1－t 2＝1－x 11＋x 1－1－x 21＋x 2＝（1－x 1）（1＋x 2）－（1＋x 1）（1－x 2）（1＋x 1）（1＋x 2） ＝2（x 2－x 1）（1＋x 1）（1＋x 2）. ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴t 1－t 2＞0.∴t1＞t2.∴lg t1＞lg t2.∴f(x1)＞f(x2)．∴f(x)为减函数．练3．已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)由a x－1>0得a x>1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<a x1<a x2，故0<a x1－1<a x2－1，∴log a(a x1－1)<log a(a x2－1)，∴f(x1)<f(x2)，故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．同理，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上也为增函数．课堂强化：1．(2011·北京高考)如果log12x<log12y<0，那么()A．y<x<1B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x解析：根据对数函数的性质得x>y>1.答案：D2．函数f(x)＝ln |x－1|的图象大致是()解析：∵y ＝ln |x |是偶函数关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调增，∴f (x )＝ln |x －1|关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调增．答案：B3．(2011·天津高考)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，y ＝log 4x (x ＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96， ∴a ＞c ＞b .答案：B4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，0]，3x ，x ∈[0，1]，则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________．解析：∵0＞log 312＞log 313＝－1， ∴f (log 312)＝(13)log 312＝(13)log 132＝2. 答案：25．满足log 34(x ＋1)＞log 34(3－x )的x 的取值范围为________．解析：依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，3－x ＞0，x ＋1＜3－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜3，x ＜1.∴－1＜x ＜1.答案：－1＜x ＜16．已知函数f (x )＝lg |x |.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的草图；(3)写出函数f (x )的单调递减区间．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |＞0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，如图所示．(3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)．课下检测：一、选择题1．下列四个数中最大的是( )A ．(ln 2)2B ．ln (ln 2)C ．ln 2D ．ln 2解析：ln 2∈(0，1)，∴ln (ln 2)＜0，且(ln 2)2＜ln 2，ln 2＝12ln 2＜ln 2. ∴最大的是ln 2.答案：D2．若0＜x ＜y ＜1，则( )A ．3y ＜3xB ．log x 3＜log y 3C ．log 4x ＜log 4yD ．(14)x ＜(14)y 解析：由于函数f (x )＝log 4x 为增函数，所以有log 4x ＜log 4y .答案：C3．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为下图的( )解析：当x ＞0时，函数f (x )＝log a x ＋1(0＜a ＜1)，图象是将函数y ＝log a x (0＜a ＜1)所有点向上平移一个单位；再将图象关于y 轴对称，得到函数图象为A.答案：A4．已知log m 4＜log n 4，则有( )A ．m ＞n ＞1B ．0＜n ＜m ＜1C ．m ＞n ＞1或0＜n ＜m ＜1或0＜m ＜1＜nD ．0＜n ＜1＜m解析：∵log m 4＜log n 4，∴1log 4m ＜1log 4n， 当m ＞1，n ＞1时，得0＜1log 4m ＜1log 4n， ∴log 4n ＜log 4m ，∴m ＞n ＞1.当0＜m ＜1，0＜n ＜1时，得1log 4m ＜1log 4n＜0， ∴log 4n ＜log 4m ，∴0＜n ＜m ＜1.当0＜m ＜1，n ＞1时，得log 4m ＜0，0＜log 4n ，∴0＜m ＜1，n ＞1，∴0＜m ＜1＜n .综上所述，m ，n 的大小关系为m ＞n ＞1或0＜n ＜m ＜1或0＜m ＜1＜n .答案：C二、填空题5．函数f (x )＝log 3(x 2＋2x ＋4)的值域为________．解析：∵x 2＋2x ＋4＝(x ＋1)2＋3≥3，∴定义域为R ，∴f (x )≥log 33＝1，∴值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)6．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0，1]，则b －a 的最小值为________．解析：数形结合|log 3x |＝0，则x ＝1，|log 3x |＝1，则x ＝13或3.作图由图可知(b －a )min ＝1－13＝23. 答案：237．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________． 解析：易知a x 与log a (x ＋1)的单调性是相同的，∴f (0)＋f (1)＝a ，即(a 0＋log a 1)＋(a ＋log a 2)＝a ，得1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＝－1＝log a 1a ，∴1a ＝2，∴a ＝12. 答案：128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由3x ＋1＞1，得x ＋1＞0，即x ＞－1. ∴－1＜x ≤0.当x ＞0时，由log 2x ＞1，得x ＞2.∴x 的取值范围是{x |－1＜x ≤0或x ＞2}．答案：{x |－1＜x ≤0或x ＞2}三、解答题9．已知f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x，求f (12 011)＋f (－12 011)的值． 解：由1－x 1＋x＞0，得：－1＜x ＜1. 所以f (x )的定义域为：(－1，1)，又f (－x )＝－(－x )＋log 21＋x 1－x ＝－(－x ＋log 21－x 1＋x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，所以f (12 011)＋f (－12 011)＝0. 10．f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R 且k ＞0)． (1)求函数的定义域；(2)若函数f (x )在[10，＋∞)上是增函数，求k 的取值范围．解：(1)因为kx －1x －1＞0及k ＞0，所以x －1k x －1＞0. ①当0＜k ＜1时，得x ＜1或x ＞1k； ②当k ＝1时，由x －1x －1＞0可得x ∈R 且x ≠1； ③当k ＞1时，得x ＜1k或x ＞1. 故f (x )的定义域为：当0＜k ＜1时，定义域为(－∞，1)∪(1k，＋∞)；当k ＝1时，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)；当k ＞1时，定义域为(－∞，1k)∪(1，＋∞)． (2)因为f (x )在[10，＋∞)上是增函数，所以10k －110－1＞0，所以k ＞110. 又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg (k ＋k －1x －1)对于任意的x 1，x 2，当10≤x 1＜x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，即lg (k ＋k －1x 1－1)＜lg (k ＋k －1x 2－1)，得k －1x 1－1＜k －1x 2－1⇒(k －1)(1x 1－1－1x 2－1)＜0，又因为1x 1－1＞1x 2－1，所以k －1＜0，k ＜1.综上所述k 的取值范围是(110，1)． 3．2.3 指数函数与对数函数的关系考点一：求反函数[例1] 写出下列函数的反函数：(1)y ＝lg x ； (2)y ＝log 13x ；(3)y ＝(2)x ； (4)y ＝(23)x . [精解详析] (1)y ＝lg x 的底数为10，它的反函数为指数函数y ＝10x .(2)y ＝log 13x 的底数为13，它的反函数为指数函数y ＝(13)x . (3)y ＝(2)x 的底数为2，它的反函数为对数函数y ＝log 2x .(4)y ＝(23)x 的底数为23，它的反函数为对数函数y ＝log 23x . 练1．求下列函数的反函数．(1)y ＝2x ；(2)y ＝log 3x ；(3)y ＝3－x . 解析：(1)由y ＝2x 得x ＝12y ， 所以函数y ＝2x 的反函数是y ＝12x (x ∈R )． (2)y ＝log 3x 的底数是3，它的反函数是指数函数y ＝3x (x ∈R )．(3)y ＝3－x ＝(13)x 的底数为13，它的反函数为对数函数y ＝log 13x (x ＞0). 考点二：指数函数与对数函数的关系[例2] 若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )等于( )A ．log 2xB ．log 12x C.12x D ．x 2[精解详析] 函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数，故函数解析式为y ＝log a x ，因为其图象经过点(a ，a )，所以a ＝log a a ＝12，故f (x )＝log 12x . [答案] B练2．记f (x )＝log 3(x ＋1)的反函数为f －1(x )，则方程f －1(x )＝8的解x ＝________． 解析：由于同底的指数和对数函数互为反函数，可知f －1(x )＝3x －1，由题意f －1(x )＝3x －1＝8，即3x ＝9，解得x ＝2.答案：2考点三：解对数方程或不等式[例3] (1)解关于x 的方程：log 3(3x －1)·log 3(3x －1－13)＝2； (2)解关于x 的不等式：2log a (x －4)＞log a (x －2)．[精解详析] (1)原方程可化为log 3(3x －1)·log 3[13(3x －1)]＝2. 令t ＝log 3(3x －1)，则原方程化为t (t －1)＝2，解得t ＝2或t ＝－1.由log 3(3x －1)＝2，得3x ＝10，所以x ＝log 310.由log 3(3x －1)＝－1，得3x ＝43， 所以x ＝log 343. 经检验，x ＝log 310，x ＝log 343都是原方程的解．所以原方程的解为x 1＝log 310，x 2＝log 343. (2)原不等式化为log a (x －4)2＞log a (x －2)．①当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＞x －2，x －4＞0，x －2＞0，即x ＞6.②当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＜x －2，x －4＞0，x －2＞0，即4＜x ＜6.故当a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＞6}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |4＜x ＜6}．练3．(1)解关于x 的方程：lg (2x )·lg (3x )＝lg 2·lg 3；(2)设a ＞0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，求不等式log a (x －1)＞0的解集． 解：(1)原方程可化为(lg 2＋lg x )(lg 3＋lg x )＝lg 2·lg 3，即lg 2x ＋lg 6·lg x ＝0，解得lg x＝0或lg x ＝－lg 6，所以x ＝1或x ＝16.经检验，x ＝1，x ＝16都是原方程的解，所以原方程的解为x 1＝1，x 2＝16. (2)由a ＞0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值可知a ＞1，所以不等式log a (x －1)＞0可化为x －1＞1，即x ＞2.课堂强化：1．已知函数y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，下列说法不．正确的是( ) A ．两者的图象关于直线y ＝x 对称B ．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C ．两函数在各自的定义域内的增减性相同D ．y ＝a x 的图象经过平移可得到y ＝log a x 的图象解析：由反函数的定义及互为反函数的函数图象间的对称关系可知A 、B 、C 选项均正确．答案：D2．若3x ＝2，则x ＝( )A ．lg 2－lg 3B ．lg 3－lg 2C.lg 3lg 2D.lg 2lg 3解析：∵3x ＝2，∴x ＝log 32＝lg 2lg 3. 答案：D3．已知函数f (x )存在反函数，则方程f (x )＝0的根的情况是( )A ．有且仅有一个实数根B ．至少有一个实数根C ．至多有一个实数根D ．可能有两个实数根解析：由存在反函数的条件知，构成函数的映射为一一映射，因此，f (x )＝0的根的情况至多有一个实数根．答案：C4．函数y ＝3x 的反函数是________．解析：∵y ＝3x 的反函数为y ＝log 3x .答案：y ＝log 3x5．已知函数y ＝a x ＋b 的图象过点(1，4)，其反函数图象过点(2，0)则a ＝________，b ＝________．解析：由题意得y ＝a x ＋b 的图象过(1，4)与(0，2)点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，1＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1. 答案：3 16．求函数y ＝⎩⎨⎧（13）x ，x ≤0，log 13x ，x ≥1的反函数． 解：当x ≤0时，y ＝(13)x ≥1，则x ＝log 1y . 当x ≥1时，y ＝log 13x ≤0，则x ＝(13)y ， 交换x ，y 得y ＝⎩⎨⎧log 13x ，x ≥1，（13）x，x ≤0. 即所求反函数f －1(x )＝⎩⎨⎧log 13x ，x ≥1，（13）x，x ≤0. 课下检测：一、选择题1．已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则( )A ．f (2x )＝e 2x (x ∈R )B ．f (2x )＝ln 2·ln x (x ＞0)C ．f (2x )＝2e x (x ∈R )D ．f (2x )＝ln x ＋ln 2(x ＞0)解析：函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以f (x )是y ＝e x 的反函数，即f (x )＝ln x ，∴f (2x )＝ln (2x )＝ln x ＋ln 2(x ＞0)．答案：D2．若指数函数y ＝a x 当x ＜0时，有0＜y ＜1，则在同一坐标系中，函数y ＝a －x与函数y ＝log a x 的图象是( )解析：∵x ＜0时，y ＝a x ∈(0，1)，∴a ＞1.∴log a x 单调增，a －x ＝(1a)x 单调减． 答案：A3．函数y ＝10x 2－1(0＜x ≤1)的反函数是( )A ．y ＝－1＋lg x ⎝⎛⎭⎫x ＞110 B ．y ＝1＋lg x ⎝⎛⎭⎫x ＞110 C ．y ＝－1＋lg x ⎝⎛⎭⎫110＜x ≤1 D ．y ＝1＋lg x ⎝⎛⎭⎫110＜x ≤1 解析：两边取常用对数，得lg y ＝x 2－1⎝⎛⎭⎫110＜y ≤1，互换x 、y ，得lg x ＝y 2－1，化简得y ＝1＋lg x .由原函数值域，得反函数的定义域为⎝⎛⎦⎤110，1.答案：D4．已知f (x )＝a －x (a ＞0且a ≠1)，f －1(2)＜0，则f －1(x ＋1)的图象是( )解析：本题考查互为反函数的函数之间的关系．f (x )＝a －x ，f －1(x )＝－log a x ，由f －1(2)＜0，即－log a 2＜0，log a 2＞0，所以a ＞1.f －1(x ＋1)＝－log a (x ＋1)(a ＞1)，过(0，0)点． 答案：A二、填空题5．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a ＝________． 解析：由题意可知f (x )的图象过(－1，2)，∴a －1＝2，∴a ＝12. 答案：126．已知f (x )＝2x ，则方程f －1(x －1)＋f －1(x )＝1的解集为________． 解析：f －1(x )＝log 2x ，所以方程f －1(x －1)＋f －1(x )＝1，即log 2(x －1)＋log 2x ＝1，即x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.又x ＞0，故x ＝2.答案：{x |x ＝2}7．设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)满足f (27)＝3，则f －1(log 92)的值是________． 解析：由f (x )＝log a x ，f (27)＝3，∴log a 27＝3，∴a ＝3，∴f －1(x )＝3x ， ∴f －1(log 92)＝3log 92＝3log 32＝ 2. 答案： 28．已知函数f (x )的反函数为g (x )＝1＋2lg x (x ＞0)，则f (1)＋g (1)＝________． 解析：令g (x )＝1，则2lg x ＝0，∴x ＝1.∵f (x )与g (x )互为反函数，∴f (1)＝1，g (1)＝1＋2lg 1＝1.∴f (1)＋g (1)＝2.答案：2三、解答题9．解下列不等式：(1)⎝⎛⎭⎫123x ＋1≤⎝⎛⎭⎫12x －2；(2)log 73x ＜log 7(x 2－4)．解：(1)3x ＋1≥x －2，x ≥－32. (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞0，x 2－4＞0，3x ＜x 2－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜－2，x ＜－1或x ＞4. 解得：x ＞4.10．若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围． 解：要使不等式2x <loga x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，即函数y ＝log a x的图象在⎝⎛⎭⎫0，12内恒在函数y ＝2x 图象的上方，而y ＝2x 图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.由图可知，log a 12≥2，显然这里0<a <1，∴函数y ＝log a x 递减． 又log a 12≥2＝log a a 2，∴a 2≥12，即a ≥⎝⎛⎭⎫1222.故所求的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫122≤a <1.。
求对数函数的解析式(必修一)
求对数函数的解析式(必修一)求对数函数的解析式（必修一）
1. 引言
对数函数是数学中常见的一种函数形式。
在本文档中，我们将探讨对数函数的解析式，即如何表示和求解对数函数。
2. 对数函数的定义
对数函数是指以某个固定的底数为基准的函数。
常见的对数函数有自然对数（以e为底数）和常用对数（以10为底数）。
3. 自然对数的解析式
自然对数函数以e为底数，表示为ln(x)。
对数函数的定义域为正实数集合，即x>0。
自然对数的解析式可以通过积分得到：ln(x) = ∫(1/x) dx
4. 常用对数的解析式
常用对数函数以10为底数，表示为log(x)。
对数函数的定义域为正实数集合，即x>0。
常用对数的解析式可以通过自然对数换底公式得到：
log(x) = ln(x) / ln(10)
5. 对数函数的性质
对数函数具有一些重要的性质，包括：
- 对数函数的值随着自变量的增加而增加；
- 对数函数的导数为其自变量的倒数，并具有不变性质。
6. 对数函数的应用
对数函数在数学和科学中具有广泛的应用，例如在指数增长模型、复利计算、物理学和工程学等领域中。
7. 结论
本文介绍了求解对数函数的解析式，并简要讨论了对数函数的性质和应用。
对数函数是数学中重要的函数形式，对其有一定的了解有助于我们在实际问题中应用和理解相关概念和模型。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理单选题1、若函数f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0恒成立，所以ln[(1−a2)x2+1]=0，即(1−a2)x2=0恒成立，所以1−a2=0，即a=±1．当a=1时，f(x)=ln(x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；当a=−1时，f(x)=ln(−x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；故选：C.2、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I 1I 2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍. 故选：B.3、设a =log 2π，b =log 6π，则（ ） A ．a −b <0<ab B ．ab <0<a −b C ．0<ab <a −b D ．0<a −b <ab 答案：D分析：根据对数函数的性质可得a −b >0，ab >0， 1b−1a <1，由此可判断得选项.解：因为a =log 2π>log 22=1，0=log 61<b =log 6π<log 66=1，所以a >1,0<b <1，所以a −b >0，ab >0，故排除A 、B 选项； 又1b −1a =a−b ab=log π6−log π2=log π3<log ππ<1，且ab >0，所以0<a −b <ab ，故选：D.4、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0.5、已知a=log20.6,b=log20.8,c=log21.2，则（）A．c>b>a B．c>a>bC．b>c>a D．a>b>c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵y=log2x在定义域上单调递增，∴log20.6<log20.8<log21.2，即c>b>a.故选：A.6、若n<m<0，则√m2+2mn+n2−√m2−2mn+n2等于（）A．2m B．2n C．−2m D．−2n答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.7、已知a=ln1，b=30.3，c=1og54，则a,b,c的大小关系是（）3A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b答案：C解析：分别将a,b,c与0,1比较大小，从而得到a,b,c的大小关系.<ln1=0，b=30.3>30=1，0=log51<c=1og54<log55=1，所以可知b>c>a 因为a=ln13故选：C8、方程log2x=log4(2x+3)的解为（）C．3D．−1或3答案：C分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C.多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；设D的坐标为(t,0)，由题得△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200，所以选项C正确；当x=128时，y=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等， 则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ， 则△AOB ∽△CBD ， 则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确； 由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误； 当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ） A ．(-1)13和(−1)26B ．343和13-43C ．212和414D ．4−32和(12)−3答案：BC分析：根据分数指数幂的定义以及运算法则逐个验证与化简，即可判断选择.A 不符合题意，(-1)13和(−1)26不符合分数指数幂的定义，但(-1)13=√-13=-1，(-1)26=√(-1)26=1; B 符合题意，13-43=343.C 符合题意，414=√224=212;D 不符合题意，4−32和(12)−3均符合分数指数幂的定义，但4-32=1432=18，(12)−3 =23=8.故选：BC小提示：本题考查分数指数幂的定义以及运算法则，考查基本分析判断与化简能力，属基础题.11、已知a+a−1=3，则下列选项中正确的有（）A．a2+a−2=7B．a3+a−3=16C．a12+a−12=±√5D．a32+a−32=2√5答案：AD分析：由a+1a =3(a>0)，可得：a2+a−2=(a+1a)2−2；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)；(a12+a−12)2=a+a−1+2；a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)，即可判断出正误．解：∵a+1a=3，∴a2+a−2=(a+1a)2−2=32−2=7，因此A正确；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)=3×(7−1)=18，因此B不正确；∵(a12+a−12)2=a+a−1+2=3+2=5，a>0，解得a12+a−12=√5，因此C不正确；∵a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)=3√5−√5=2√5，因此D正确．故选：AD．填空题12、已知函数f(x)=ln(√1+x2−x)−1，若f(2x−1)+f(4−x2)+2>0，则实数x的取值范围为______. 答案：x<−1或x>3分析：令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，分析出函数g(x)为R上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为g(x2−4)<g(2x−1)，可得出关于x的不等式，解之即可.令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，对任意的x∈R，√x2+1−x>|x|−x≥0，故函数g(x)的定义域为R，因为g(x)+g(−x)=ln(√x2+1−x)+ln(√x2+1+x)=ln(x2+1−x2)=0，则g(−x)=−g(x)，所以，函数g(x)为奇函数，当x≤0时，令u=√1+x2−x，由于函数u1=√1+x2和u2=−x在(−∞,0]上均为减函数，故函数u=√1+x2−x在(−∞,0]上也为减函数，因为函数y=lnu在(0,+∞)上为增函数，故函数g(x)在(−∞,0]上为减函数，所以，函数g(x)在[0,+∞)上也为减函数，因为函数g(x)在R上连续，则g(x)在R上为减函数，由f(2x−1)+f(4−x2)+2>0可得g(2x−1)+g(4−x2)>0，即g(x2−4)<g(2x−1)，所以，x2−4>2x−1，即x2−2x−3>0，解得x<−1或x>3.所以答案是：x<−1或x>3.13、若函数f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1在(−∞,a]上的最大值为4，则a的取值范围为________．答案：[1,17]分析：根据函数解析式画出函数图象，再根据指数函数、对数函数的性质判断函数的单调性，再求出f(x)= 4时x的值，即可得解.解：因为f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1，当x∈(−∞,1]时，易知f(x)=2x+2在(−∞,1]上单调递增，当x∈(1,+∞)时，f(x)=log2(x−1)在(1,+∞)上单调递增．作出f(x)的大致图象，如图所示．由图可知，f(1)=4，f(17)=log2(17−1)=4，因为f(x)在(−∞,a]上的最大值为4，所以a的取值范围为[1,17]．所以答案是：[1,17]14、函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点_________ 答案：(2,4)分析：令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；解：因为函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)，令x−1=1，解得x=2，所以f(2)=4+log a1=4，即函数f(x)恒过点(2,4)；所以答案是：(2,4)解答题15、已知函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图象过点(1,0)，g(x)=x2−2e f(x).（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，求整数k的值；（3）设m>0，若对于任意x∈[1m,m]，都有g(x)<−ln(m−1)，求m的取值范围.答案：（1）f(x)=lnx；（2）k的取值为2或3；（3）(1,2).解析：（1）根据题意，得到ln(1+a)=0，求得a的值，即可求解；（2）由（1）可得y=ln(2x2−kx)，得到2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，根据题意转化为函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得g(x)的最大值g(m)，得出g(x)max<−ln(m−1)，得到m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，结合ℎ(m)单调性和最值，即可求解.（1）函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图像过点(1,0)，所以ln(1+a)=0，解得a=0，所以函数f(x)的解析式为f(x)=lnx.（2）由（1）可知y=lnx+ln(2x−k)=ln(2x2−kx)，x∈(1,2)，令ln(2x2−kx)=0，得2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，则函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，等价于函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，所以{ℎ(1)=1−k<0ℎ(2)=7−2k>0，解得1<k<72，因为k∈Z，所以k的取值为2或3.（3）因为m>0且m>1m ，所以m>1且0<1m<1，因为g(x)=x2−2e f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以g(x)的最大值可能是g(m)或g(1m)，因为g(m)−g(1m )=m2−2m−(1m2−2m)=m2−1m2−(2m−2m)=(m−1m )(m+1m−2)=(m−1m)⋅(m−1)2m>0所以g(x)max=g(m)=m2−2m，只需g(x)max<−ln(m−1)，即m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，ℎ(m)在(1,+∞)上单调递增，又ℎ(2)=0，∴m2−2m+ln(m−1)<0，即ℎ(m)<ℎ(2)，所以1<m<2，所以m的取值范围是(1,2).小提示：已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1 、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2 、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
高中数学必修一对数函数
像 性 （1）定义域： （0，+） （2）值域：R （3）过点（1，0），即当x=1时，y=0 质 （4）在（0，+） （4）在（0，+）上 上是增函数 是减函数
1.函数y log 2 x , y log 5 x , y lg x 的图象如图所示， 回答下列问题: （1）哪个函数对应于哪个图象 （2）在同一坐标系中画出
1 2
x
y log
1 4
x
观察他们之间有什么关系
指数函数y=ax的图像与性质
a>1
图
0<a<1
象
(1)定义域为(-∞，+ ∞ )，值域为(0，+ ∞ ) 性 质
(2)图像都过点(0，1)，当x=0时，y=1 (3)是R上的增函数 (3)是R上的减函数
对数函数的图像与性质
a>1 图 0<a<1
y log
1 2
x , y log
1 5
x , y log
1 10
x
的图象．
思考:根据什么来画?
练习2：如下图的曲线是对数函数y log
a
x
的图像，已知 a 的取值
4 3 1 3、 、 、 ， 3 5 10
则相应于曲线 c 1、 c 2、 c 3、 c 4的 a 值依次为____________
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
指数函数 ( -∞ , +∞ ) ( 0 , +∞ ) 当a>1时,y=ax是增函数 当0<a<1时, y=ax是减函数
1 x y a 与y 的图象 a 关 于 y轴 对 称
高一数学必修一对数知识点
高一数学必修一对数知识点一、什么是对数对数是数学中一个很重要的概念，它与指数运算密切相关。
对数通常用来表示通过指数运算得到的结果。
在数学中，我们以log为符号，表示对数。
这里的底数通常是10，因此常用的对数就是以10为底的对数，简称为常用对数。
常用对数的符号是lg。
例如，如果我们有一个等式10^2=100，我们可以用对数来表达为：lg100=2。
这里的2就是这个数的对数。
二、对数的特性对数有一些特性，掌握这些特性可以更好地理解和应用对数。
1. 对数相加等于两个数相乘的对数：log(ab)=loga+logb。
这个特性称为对数的乘法法则。
2. 对数相减等于两个数相除的对数：log(a/b)=loga-logb。
这个特性称为对数的除法法则。
3. 底数为10的对数称为常用对数，它的特点是对数值与所表示的数的数量级相等。
4. 任何数的对数都必须大于0，即对数的底数必须大于1。
三、对数的应用1. 对数在科学计算中经常使用，尤其是当数据的数量级很大或很小时。
例如，天文学家用对数来表示星星的亮度等级，地震学家用对数来表示地震的震级等。
2. 对数在解决指数方程和指数不等式时非常有用。
通过运用对数的性质，我们可以将指数方程转化为对数方程，进而求解。
3. 对数还可以用于解决百分数和利率的问题。
当我们需要计算复利时，可以使用对数来简化计算过程。
四、对数的计算方法1. 利用对数的乘法法则和除法法则，我们可以将任意一个数转化为以某个底数为底的对数。
2. 计算对数时，可以利用科学计算器上的对数函数。
通常，对数函数的按键上标有log或lg的符号。
3. 当底数不是10时，我们可以利用换底公式来计算对数。
换底公式是loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中c可以是任意不等于1的数。
五、对数的常见错误1. 计算对数时，一定要记得给出底数，否则对数没有意义。
2. 在使用对数进行计算时，一定要保证输入的数值大于0，否则计算结果将出错。
高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结
高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们经常出现在各种高考试题中。
下面对高中人教A版必修一中的指数函数和对数函数的知识点进行总结：一、指数函数的定义和性质：1.指数函数的定义：设a是一个正数且不等于1，x是任意实数，则形如y=a^x的函数称为指数函数。
2.指数函数的性质：(1)当a>1时，指数函数y=a^x是递增函数。
(2)当0<a<1时，指数函数y=a^x是递减函数。
(3)当a>0且不等于1时，指数函数y=a^x的图象经过点(0,1)。
(4)当a>1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无上界，且在x轴的左半部分无下界；当0<a<1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无下界，且在x轴的左半部分无上界。
(5)指数函数y=a^x的图象经过点(1,a)。
二、对数函数的定义和性质：1. 对数函数的定义：设a是一个大于0且不等于1的实数，b是一个正数，则形如y=log_a^b的函数称为对数函数。
2.对数函数的性质：(1) 对数函数y=log_a^b的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
(2) 当0<a<1时，对数函数y=log_a^b是递增函数。
(3) 当a>1时，对数函数y=log_a^b是递减函数。
(4) 对数函数y=log_a^b的图象经过点(a,1)。
(5) 对数函数y=log_a^b是指数函数y=a^x的反函数，即y=log_a^b等价于b=a^y。
三、指数方程和对数方程：1.指数方程：形如a^x=b的等式称为指数方程。
(1)指数方程的解法：当指数方程左右两边的底数相等时，可取对数得到对数方程，再解对数方程得到解；当指数方程左右两边的指数相等时，可取对数得到对数方程，再解对数方程得到解。
2. 对数方程：形如log_a^b=c的等式称为对数方程。
(1)对数方程的解法：根据对数的定义，可将对数方程化为指数方程，再解指数方程得到解。
高一必修一数学对数知识点
高一必修一数学对数知识点在高中数学课程中，对数是一个非常重要且常被使用的概念。
对数可以帮助我们解决各种类型的数学问题，不仅在数学领域有广泛应用，在其他科学领域中也扮演着举足轻重的角色。
在高一必修一数学课程中，我们将学习一些关键的对数知识点，本文将对其中一些重要的知识进行介绍。
首先，我们需要了解什么是对数。
对数是指一个数以另一个数为底的指数运算。
具体来说，如果a^x=b，那么 x就是以a为底b 的对数，记作x=log_a(b)。
这里的a被称为底数，b被称为真数，x 被称为对数。
对数的运算法则非常有用且便于使用。
其中最基本的运算法则是对数乘法法则和对数除法法则。
对数乘法法则可以表示为log_a(mn)=log_a(m)+log_a(n)。
这个法则告诉我们，如果要计算两个数的乘积的对数，可以将这两个数的对数相加。
同样地，对数除法法则可以表示为log_a(m/n)=log_a(m)-log_a(n)。
这个法则告诉我们，如果要计算两个数的商的对数，可以将这两个数的对数相减。
此外，在高一必修一数学课程中，我们还需要学习对数的变换。
对数的变换就是将一个对数的底数或者真数转化为另一个对数。
对数的底数变换可以通过换底公式来实现。
换底公式可以表示为log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)。
换底公式告诉我们，如果要将一个以c 为底的对数转化为以a为底的对数，可以用以c为底的对数和以a为底的对数的比值来表示。
同样地，对数的真数变换也可以使用换底公式来实现。
除了上述的对数运算法则和对数的变换，我们还需要掌握对数方程和对数不等式的解法。
对数方程就是一个方程中含有对数的表达式。
对于一般的对数方程，我们可以通过变换为指数形式，然后求解来获得方程的解。
而对于对数不等式，我们需要利用对数的单调性来解决。
具体来说，如果对数函数在某个区间上是单调的，那么我们可以通过求解对数不等式来得到方程的解集。
另外，对数还可以用来解决指数增长和衰减的问题。
高中数学必修一指数函数对数函数知识点
高中数学必修一指数函数对数函数知识点高中数学必修一中，指数函数和对数函数是重要的知识点。
指数函数是一种以指数为自变量的函数，形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。
而对数函数是指数函数的逆运算，形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
以下是关于指数函数和对数函数的具体知识点。
一、指数函数的图像和性质1.指数函数的基本形式：-y=a^x，其中a>0且a≠12.指数函数的基本性质：-当0<a<1时，指数函数呈现递减的图像；-当a>1时，指数函数呈现递增的图像；-当a=1时，指数函数为常数函数y=1二、对数函数的图像和性质1.对数函数的基本形式：- y = loga(x)，其中a > 0且a≠12.对数函数的基本性质：- 对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x；-对数函数的图像关于直线y=x对称；-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
三、指数函数和对数函数的运算性质1.指数函数的运算性质：-a^x*a^y=a^(x+y)；- (a^x)^y = a^(xy)；- (ab)^x = a^x * b^x；-a^0=1，其中a≠0。
2.对数函数的运算性质：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)；- loga(x^y) = y * loga(x)；- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)；- loga(1) = 0，其中a≠0。
四、指数函数和对数函数的应用1.指数函数在生活中的应用：-经济增长模型中的应用；-指数衰减与物质的半衰期计算；-大自然中的指数增长现象。
2.对数函数在生活中的应用：-pH值的计算；-放大器的功率增益计算；-数字音乐的音量计算。
综上所述，指数函数和对数函数是高中数学必修一中的重要知识点。
掌握了指数函数和对数函数的基本形式、性质以及运算规律，能够理解其图像特征和在实际问题中的应用。
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高一必修一对数函数知识点对数函数是高中数学中的一个重要内容，它涉及到了指数函数和对数函数的关系。
对数函数的学习对于高中数学学习的深入理解和能力的发展非常重要。
本文将为大家介绍高一必修一对数函数的主要知识点，并通过示例来加深理解。
一、对数函数的定义和性质
1. 对数函数的定义：对数函数y=loga(x)定义为y=a^x，其中
a>0且a≠1。
其中，a称为底数，x称为指数，y称为对数。
2. 对数函数的性质：
- 当x>0时，对数函数y=loga(x)是严格单调递增函数。
- 当0<a<1时，对数函数关于x轴对称。
- 当a>1时，对数函数关于y轴对称。
二、对数函数的图像和性质
1. 对数函数的图像：对数函数的图像随着底数a的不同而变化，当底数a>1时，对数函数的图像呈现上升的指数形状；当0<a<1时，对数函数的图像呈现下降的指数形状。
2. 对数函数的常用性质：
- 对数函数的定义域为(0, +∞)，值域为(-∞, +∞)。
- 对数函数的图像经过点(1, 0)，即loga(1) = 0。
- 对数函数在x=1时取到最小值，即loga(1) = 0。
- 对数函数在x→+∞时，值趋近于正无穷；在x→0+时，值趋
近于负无穷。
三、对数函数的基本性质
1. 对数函数的指数运算：
- loga(xy) = loga(x) + loga(y)
- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)
- loga(x^p) = p·loga(x)
2. 对数函数的换底公式：
- loga(x) = logb(x) / logb(a)
四、对数方程和对数不等式
1. 对数方程的求解：
- 求解对数方程时，需要根据对数函数的性质来进行等式变形和求解。
2. 对数不等式的求解：
- 求解对数不等式时，需要根据对数函数的性质来确定不等式的取值范围。
五、常用对数的计算
常用对数是以10为底的对数，用logx表示。
常用对数的性质如下：
- log10(10) = 1
- log10(1) = 0
- log10(xy) = log10(x) + log10(y)
- log10(x/y) = log10(x) - log10(y)
六、对数函数的应用
对数函数在实际问题中具有广泛的应用。
以下是对数函数的常见应用场景：
- 财务领域中的利率计算和复利计算。
- 物理学中的衰减、增长和半衰期等问题。
- 统计学中的数量级估算和对数坐标轴的使用。
本文仅对高一必修一对数函数的主要知识点进行了介绍，希望能为同学们的学习提供帮助。
对数函数作为数学的重要分支，需要同学们理解其定义、性质和应用，并能够灵活运用于问题的解决中。
通过大量的练习和实践，相信同学们能够掌握对数函数的知识，提高数学学习的能力和水平。