分数计算技巧(裂项)
小学奥数专题--分数裂项
答案
变式训练2计算：
解析：原式＝ ＋ ＋…+ + +…+
＝ ( － )＋ ( － )
＝ ＋ ＝ ＋
＝
答案
变式训练3
解析：原式
答案
变式训练4
解析： ＝ ＝ － ＝ －
＝ ＝ － ＝ －
＝ ＝ － ＝ － ……
＝ ＝ －
＝ －
原式
答案
例9
解析：原式
答案
变式训练1
解析：原式
答案
例10计算： ．
解析：如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第 个数恰好为 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．
观察可知 ， ，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
所以原式 ．
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为 ，其中 为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将 与 分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．
，
所以原式 ．
（法三）
解析：原式
答案
例19 计算：
解析：
所以原式
答案
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
2、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） （2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
分数裂项法总结.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7 8
练习：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时， 就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两 个分数单位的差，消去中间留下两边.
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
1
(3n 2)(3n 1)
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
n n 1
习
练
题
1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 56
111111 34 45 56 67 78 89
11 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋L ＋
1
1 2 23 3 4
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
n
1 1
n
n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
11 2 5 7 35
分数计算技巧 裂项
2、
⑵ 公式： 1 分数裂和: a b
(1 a
1 b
)
1 差值
⑴ 特点：分母为连续等差数列，分子为分母之和.
⑵ 公式： a b 1 1 ab a b
抵消
【今日讲题】 例2, 例3, 例5, 超常大挑战
【讲题心得】 _______________________________________________ ______________________________________.
【巩固】(★★)计算:
10
1
11
1 11
12
......
59
1
60
1
【例2】(★★★)
1 1
3
3
1
5
5
1
7
7
1
9
9
1 11
_____
【拓展】(★★★☆)
4 1
4
4
4
7
7
4 10
49
4
52
_____
【拓展】(★★★)
⑴ 计算:
1 24
【例4】(★★★★) ⑴ 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 17 1 2 6 12 20 30 42 56 72 90
⑵ 1 1 5 7 9 11 13 15 17 19 2 6 12 20 30 42 56 72 90
4
1
6
1 68
分数裂项六种题型
分数裂项六种题型一、整数裂项整数裂项是一种常见的数学问题，通过将整数拆分成两个整数之和或之差，从而简化计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的整数裂项例子：1.将整数拆分成两个相邻整数之和或之差，例如：5=2+3，10=3+7。
2.将整数拆分成两个绝对值相等的数之和或之差，例如：10=3+(-3)，20=7+(-7)。
二、分数裂项分数裂项是将分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的分数裂项例子：1.将分数拆分成两个同分母的分数的和或差，例如：1/2=1/(4)+1/(4)，2/3=1/(3)+1/(3)。
2.将分数拆分成两个异分母的分数的和或差，例如：2/5=3/(15)+(-4)/(15)，4/7=3/(21)+4/(21)。
三、混合数裂项混合数裂项是指将整数、分数等不同类型的数拆分成两个或多个数之和或差。
以下是一些常见的混合数裂项例子：1.将混合数拆分成一个整数和一个分数的和或差，例如：3/2=2+(1/2)，5=3+(2/2)。
2.将混合数拆分成两个分数之和或差，例如：4/3=1/(2)+3/(4)，7/6=1/(3)+1/(2)。
四、裂项相消法裂项相消法是一种常见的数学方法，用于简化分数的计算。
其基本思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于约简分数。
以下是一个裂项相消法的例子：求和：1/2+1/6+1/12+1/20+...的值。
解答：原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...通过约简，我们得到原式=1-1/n（当n趋于无穷大时）。
五、分式裂项相消法分式裂项相消法是一种将分式拆分成多个分式的和或差，然后约简的方法。
以下是一个分式裂项相消法的例子：求分式：(a^2-b^2)/(a^2+b^2)的值。
解答：原式=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)/(a^2+b^2)=(a-b)/(a+b)+(a+b) /(a-b)。
分数裂项讲解
分数裂项讲解
分数裂项，指的是将一个分式中的分子或分母拆分成两个或多个部分，然后再将分式进行简化的方法。
这种方法在解决某些数学题目时非常有用，可以把复杂的式子变得简单易懂，方便我们进行计算。
下面以一个数学题目为例来讲解分数裂项的具体步骤。
题目：将$\frac{x+2}{x^2-x-6}$拆分成两个部分。
解法：
1. 首先，我们可以将$x^2-x-6$分解成$(x-3)(x+2)$，于是原式变成$\frac{x+2}{(x-3)(x+2)}$。
2. 我们可以发现，分母部分中有一个$x+2$与分子部分相同，于是可以将原式拆分成$\frac{x+2}{x+2}×\frac{1}{x-3}$。
3. 化简得到：$\frac{1}{x-3}$。
通过分数裂项，我们成功将原式拆分成了两个部分，并进行了简化。
这种方法在许多数学题目中都是非常实用的。
分数裂项还有一些其他的应用，例如在部分分式分解中。
在部分分式分解中，我们需要把一个分式写成多个分数之和的形式，这时候分数裂项也非常有用。
通常的做法是，将分母拆分成多个部分，然后将每个部分拆分成简单的分式。
这样，就可以将原式分解成多个简单的分式相加，从而更容易进行计算。
总之，分数裂项是一种非常实用的方法，在解决数学题目时非常有用。
我们通过将分式进行拆分和简化，可以把复杂的式子变得简单易懂，方便我们进行计算。
因此，在数学学习中，我们需要充分掌握分数裂项的技巧，灵活运用在解决各种问题中。
分数裂项的知识点总结
分数裂项的知识点总结一、分数裂项的定义在数学中，分数裂项指的是将一个分数表达成若干个较小的分数之和的形式。
通俗来讲，就是把一个分数分解成几个更小的分数相加的形式。
分数裂项有两种常见的形式，一种是分母为线性函数的形式，另一种是分母为二次函数的形式。
1. 分母为线性函数的分数裂项当分数的分母为线性函数的形式时，我们可以使用部分分式分解的方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。
具体的步骤如下：首先，对分母进行因式分解，得到一些线性因式和重数为1的线性因式。
然后，将这些线性因式和重数为1的线性因式分别拆分成若干个较小的分数。
最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。
例如，对于分数$\frac{1}{(x-1)(x-2)}$，我们可以进行部分分式分解，得到$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。
2. 分母为二次函数的分数裂项当分数的分母为二次函数的形式时，我们可以使用平方配方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。
具体的步骤如下：首先，对分母进行平方配，得到一些平方项。
然后，将这些平方项拆分成若干个较小的分数。
最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。
例如，对于分数$\frac{1}{x^2-1}$，我们可以进行平方配，得到$\frac{1}{x^2-1} =\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。
二、常见的分数裂项技巧在分数裂项的过程中，我们常常会遇到一些特殊的情况，这时需要灵活运用一些分数裂项的技巧来处理。
下面列举一些常见的分数裂项技巧：1. 使用齐次化简：当分母中含有根式或者复杂的二次函数时，我们可以使用齐次化简的方法，将其化为一般的二次函数，便于进行分数裂项。
2. 对待定系数进行适当取值：在进行部分分式分解时，我们可以通过适当取值来简化未知数的计算，例如取特殊值或者代入简单的方程组。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和1 1分析：因为------ -------n n 1n 1 n n(n 1)n(n 1)（n为自然数）n（n 1）所以有裂项公式:1 1 1n(n 1) n n 1【例1】10 11111 12的和。
59 601 110 60丄12（二）用裂项法求乔七型分数求和分析: 型。
（n,k均为自然数）n（n k）因为1(1所以【例2】n(nk)] n(n k)n(n k)")1计算5 7 9 11 11 13 13 151勺1(1 9 2'91 1、，1 1 )(丄(丄丄)2 11 131 1)(丄(1 1)2 5 7111-[( )( )( ,、 ,、2 5 7 7 9 9 11 11 13 13 152[515]丄15（三）用裂项法求—「型分数求和n（n k）分析：k- 型（n,k均为自然数）n（n k）1 1 _ n k n kn n k n(n k) n(n k) n(n k)所以k _ 11n(n k) n n k亠2 2 2 2【例3】求2的和1 3 3 5 5 7 97 99（四）用裂项法求仝型分数求和n(n k)(n 2k)分析：2k 均为自然数）分析：n（n k)(n (n,k2k)2k 1 1n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k)【例4】计算：-4 4 4 4 1 1 1 1(1 3)( ) (-3 5 5 1 1999899(1 1 ) ( 1 1 )(93 9595 97)(95 9797 99)1 1 1 、 “ 1 1 、“ 11 、、[( )()... ...(-)]3 1 2 32 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20丄[1 1]3 1 2 3 18 19 201139 20520(五)用裂项法求1型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k) 分析：1（n,k 均为自然数）n(n k)( n 2k)(n 3k)1 1 1 n(n k)(n 2k)(n 3k) 3k (n(n k)( n 2k)1(n k)(n 2k)(n3k)【例5】1 1 计算：1234 2 3 4 5117 18 19 203k11n(n k)( n 2k)(n3k) n(n k)( n 2 k) (n k)( n 2k)(n 3k)【例6】计算：-3 3 3分析:(n,k 均为自然数)1 (1 3 1、( 1 1、 3 5) (3 5 5 7)111 3 97 99 32009603(六)用裂项法求 n(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k)(1 1 ) ( 1 1 )(1 2 3 2 3 4) (2 3 4 3 4 5)1 11 2 3 18 19 2011396840（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）( 1 1 )(17 18 19 18 19 20)。
分数裂项PPT课件
4/5。
练习题二及答案
练习题二
计算1/3+1/15+1/35+1/63的值。
计算过程
首先将每个分数进行裂项，得到1/3=1/1-1/3, 1/15=1/3-1/5, 1/35=1/5-1/7, 1/63=1/7-1/9。然后将这些分数相加，得到原式 =1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9=1-1/9=8/9。
裂项的局限性
分数裂项法虽然可以化简一些复杂的分 数，但是其适用范围有限，不能解决所
有数学问题。
在实际应用中，需要根据具体问题选择 合适的数学方法，综合考虑各种方法的
优缺点。
另外，裂项法在处理一些特殊情况时可 能会遇到困难，例如分子中含有未知数
的情况，需要谨慎处理。
05
分数裂项的练习题与答案
练习题一及答案
答案
5/6。
THANKS
感谢观看
其次，要确保分子经过裂项后能 够相互抵消，留下非零常数。
最后，要确保整个等式在裂项后 仍然成立，可以通过代入法进行
验证。
裂项的适用范围
分数裂项法适用于有理函数的计算，特别是有理函数求极限、求积分等 问题。
对于一些难以直接化简的复杂有理函数，分数裂项法可以将其转化为容 易处理的形式，简化计算过程。
需要注意的是，裂项法并不适用于所有函数，特别是无理函数、三角函 数等。
答案
8/9。
练习题三及答案
练习题三
计算(2^2)/(2^2+4^2)+(3^2)/(3^2+4^2)+(4^2)/(4^2+4^2)的值。
计算过程
首先将每个分数进行裂项，得到(2^2)/(2^2+4^2)=2/(2+4), (3^2)/(3^2+4^2)=3/(3+4), (4^2)/(4^2+4^2)=4/(4+4)。然后将这些分数相加，得到 原式=2/(2+4)+3/(3+4)+4/(4+4)=5/6。
分数裂项法解分数计算
法解分数计算SANY GROUP system office room [SANYUA16H-分数裂项计算本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律.利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、"裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系.找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即丄形式的，这里我们把较小的数写在前axb面，即y那么有—=—(1-1)axb h-a a b(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：________! _______ _____________ ! ___________ 形式的我们有：n x (n +1) x (；? + 2) ' n x (” +1) x (?? + 2) x (n + 3) '_____ ! _____ =i[—! __________ !—]n x (n + l)x (n + 2) 2 n x (” +1) (n + \)(n + 2)________ ! ________ =1( ______ !_____ - ________ ! _______ jnx(n + \)x(n + 2)x(n + 3) 3 nx(n + l)x(n + 2) (n +1)x(n + 2)x(/? + 3)裂差型裂项的三大关键特征：(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数) 的，但是只要将X提取出来即可转化为分子都是1的运算。
分数的裂项(裂和及裂积)
1 98
1 99
1 101
1
1 100
1 100
【评注】同学们审题的时候，一定先从整体出发，虽然看到每部分都是连加，其实本质上是裂和的试题，
前面一段先乘以 1 ，才恰好使得两端中相同的部分相互抵消。 100
例4. 计算： (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 ) (1 1 ) _________；
【分析】符号仍然是减加，分母是公差为 2 的两个数之积，与我们需要的裂差要求，分子都是 1 或 2 不
相符，且符号也不是连加，那么我们需要把分子想办法变成分母中两个因数的和，分子必须扩大 4 倍。
【解答】原式
1 4
4 1 3
3
8
5
+
12 57
16 79
+ +
49 97 99
2
1 2006
1 2006
2
1 2007
1
_______；
4. 计算： (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) ___________；
24
35
46
97 99
5. 100 减去它的 1 后，再减去剩下的 1 ，再减去剩下的 1 ，，最后减去剩下的 1 ，现在剩下的数是______；
的之和形式，考虑也裂和。
【解答】原式
1 101
101 1100
101 2 99
101 3 98
101 50 51