沪教版九年级数学第一学期 基础知识点汇总
沪教版九年级数学第一学期-基础知识点汇总
沪教版九年级数学第一学期-基础知识点汇总-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2019年九年级第一学期基础知识点汇总第一章 相似三角形知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d的比，即a cbd=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0） (2)合比性质：a cb d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条 件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，F E D CB Al 5l 4l 3l 2l 1ODC BAED CBAFE DC B AFE DC B AAC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF.6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为2，则△ABC 与△DEF 的面积之比为9：4.(2) 如图，DE ∥BC ， AF ⊥BC,已知S △ADE:S △ABC=1:4，则AF:AG =1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第二章 解直角三角形知识点一：锐角三角比的定义关键点拨与对应举例 1.锐角三角比正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.根据定义求三角函比时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角比的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角比度数三角比 30°45°60°sinA 1222 32 cosA322212FE DC B A：解直角三角形的应用(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；第三章二次函数二次函数的应用。
初三上册数学知识点归纳沪科版
初三上册数学知识点归纳沪科版
一、数的概念：
1.数的分类，定义：
（1）自然数（n）：1、2、3、4、5、6……
（2）整数：正整数、负整数和零
（3）有理数：带有有理分数、无理分数等
（4）实数：有理数、无理数和根号数
2.基本运算
（1）加法：相加运算、逆序加法运算、分配律、根号和
（2）减法：相减法、借位减法、去除法
（3）乘法：口算、相乘法、从大到小乘法、乘方法、乘方展开法（4）除法：口算、×0.1、0.01、0.001等变形法、倒数法、约简法、公约数法
二、代数：
1.代数的概念：广义的代数是研究非数的的结构的数学，特指求解一元二次方程时用到的代数学知识
2.一元二次方程：
（1）正定解：一元二次方程ax²+bx+c=0有一对相等的实数根
（2）无解：一元二次方程ax²+bx+c=0，当a=0、b=0、c≠0时有无解
（3）重根：一元二次方程ax²+bx+c=0，当a≠0、b²-4ac=0时有重根
三、平面几何：
1.平面几何图形：
（1）直线：由若干点组成的一条没有曲线的折线段。
（2）圆：由一个点为中心，其余所有点与它的距离都相等的图形。
（3）三角形：由三条直线汇合而成的图形，其内角之和为180度。
（4）多边形：由若干条直线段汇合而成的图形，其内角和等于360度
2.相关知识：
（1）全等三角形
（2）三角形的边、角关系
（3）三角形的有关公式：三角形的面积公式、内角和公式、外角和公式等
（4）四边形的角关系
（5）多边形的内角和公式
（6）等腰三角形、等边三角形、等边六边形等。
沪教版九年级数学知识点
沪教版九年级数学知识点初三新学期数学知识点一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
(直角的外心就是斜边的中点。
)初三数学上册知识点归纳圆的必考知识点(1)圆在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆有无数条对称轴。
(2)圆的相关特点1)径连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d直径所在的直线是圆的对称轴。
沪教版初三数学知识点归纳
沪教版初三数学知识点归纳圆★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆内容提要☆一、圆的根本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.“三点定圆”定理4.垂径定理及其推论5.“等对等”定理及其推论6.与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.切线的性质(重点)2.切线的判定定理(重点)3.切线长定理三、圆换圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲(右图)(解Rt△OAM可求出相关元素,初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式4.弧长公式5.弓形面积的计算（方法）6.圆柱、圆锥的侧面绽开图及相关计算九年级上册数学单元学问点第一章证明一、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
2、性质：1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(“三线合一”)3.等腰三角形的两底角的平分线相等。
(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)4.等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(可用等面积法证)7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。
九年级数学知识点归纳沪教版
九年级数学知识点归纳沪教版初三第一学期数学知识点角的度量与分类角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。
把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。
1度=60分;1分=60秒。
角的分类：(1)锐角：小于直角的角叫做锐角(2)直角：平角的一半叫做直角(3)钝角：大于直角而小于平角的角(4)平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。
(5)周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角。
(6)周角、平角、直角的关系是：l周角=2平角=4直角=360°锐角三角函数定义锐角角A的正弦(sin)，余弦(cos)和正切(tan)，余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b余割(csc)等于斜边比对边。
cscA=c/a互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα，tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα。
平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)积的关系：sinα=tanα?cosαcosα=cotα?sinαtanα=sinα?secαcotα=cosα?cscαsecα=tanα?cscαcscα=secα?cotα倒数关系：tanα?cotα=1sinα?cscα=1cosα?secα=1初三上册数学知识点归纳因式分解1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解;注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3.公因式的确定：系数的公约数?相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a;a-b=-(b-a);(a-b)2=(b-a)2;(a-b)3=-(b-a)3.4.因式分解的公式：(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5.因式分解的注意事项：(1)选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字;(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;(5)因式分解的最后结果要求加以整理;(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6.因式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理;(2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项.7.完全平方式：能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对于二次三项式x2+px+q，有“x2+px+q是完全平方式?”.分式1.分式：一般地，用a、b表示两个整式，a÷b就可以表示为的形式，如果b 中含有字母，式子叫做分式.2.有理式：整式与分式统称有理式;即.3.对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义;(2)若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零;注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4.分式的基本性质与应用：(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变;(2)注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变;(3)繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5.分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分;注意：分式约分前经常需要先因式分解.6.最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式;注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.7.分式的乘除法法则：.8.分式的乘方：.9.负整指数计算法则：(1)公式：a0=1(a≠0),a-n=(a≠0);(2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;(3)公式：，;(4)公式：(-1)-2=1，(-1)-3=-1.苏教版初三数学知识点空间与图形A：图形的认识：1：点，线，面点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。
初三上册数学知识点归纳沪科版
初三上册数学知识点归纳沪科版
一、整数与分数
1.整数的概念、绝对值、相反数和加减法
2.带分数的加减法、乘法和除法
3.分数的概念、化简、加减法和乘除法
4.数轴及其上的整数和分数的表示
二、代数初步
1.代数的基本概念、字母的运算和表示
2.算式计算、正负数的混合运算
3.代数式的概念、含有一个未知数的代数式的计算
4.二元一次方程的概念、解的概念和解线性方程
三、图形初步
1.基本图形的概念，包括点、线段、直线、射线和角
2.平面图形的概念，包括三角形、四边形、多边形和圆
3.平移、旋转和对称的概念
4.直线与平面的关系、直线的倾斜度和对应的斜率
四、数表与数图
1.表格的制作和表示
2.折线图和直方图的制作和表示
3.用折线图和直方图进行数据的分析和比较
五、比例与百分数
1.比例的概念和性质
2.比例中的四则运算
3.百分数的概念和计算方法
4.分数与百分数之间的转换
六、三角形的性质
1.三角形中角的性质
2.三角形中边的性质
3.三角形的合同和相似
4.三角形的面积和周长的计算
七、图形的变换
1.平移的概念和性质
2.旋转的概念和性质
3.对称的概念和性质
4.缩放的概念和性质
以上是初三上册数学知识点的归纳，涵盖了整数与分数、代数初步、图形初步、数表与数图、比例与百分数、三角形的性质和图形的变换等内容。
掌握了这些知识点，学生将会对初中数学的基本概念和基本运算有一个全面的了解，为进一步学习数学打下坚实的基础。
沪教版九年级上数学知识点
沪教版九年级上数学知识点数学作为一门学科，是我们日常生活中不可或缺的一部分。
在九年级上册的数学课程中，有许多重要的知识点需要我们理解和掌握。
本文将介绍一些沪教版九年级上数学中的重要知识点。
一、比例与相似比例和相似是九年级上册数学的重要内容之一，在这个部分中，我们会学习比例的概念和运算，还会学习相似的概念和相似三角形的性质。
比例是一种比较两个量大小关系的方法，它可以表示为a:b或者a/b。
在比例中，a和b叫做比例的两个项，其中a叫做前项，b叫做后项。
比例还可以用比例式表示，例如a/b=c/d。
相似是指两个图形的形状相同，但是尺寸不同。
对于相似三角形来说，其对应的角相等，而对应的边的比例也相等。
相似三角形的性质包括比例定理、斜边比定理等。
二、平面图形与立体图形在九年级上册的数学中，还有一些关于平面图形和立体图形的知识点。
平面图形包括了多边形、圆、弧等，立体图形则包括了球、圆柱体、圆锥体、棱柱体等。
在学习平面图形时，我们需要理解各种多边形的性质，如正多边形、正凸多边形等。
此外，我们还需要学习如何计算多边形的周长和面积，以及圆和弧的相关计算。
对于立体图形来说，我们要掌握它们的表面积和体积的计算方法。
例如，计算球的表面积和体积，需要了解球的半径、直径等基本概念，以及相应的计算公式。
三、函数的应用函数是数学中的一个重要概念，也是九年级上册的数学中的重要内容之一。
我们需要学习函数的定义、函数的图象、函数的性质以及函数的应用等。
函数是指一种关系，它将一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素对应起来。
函数的图象在坐标系中表示为一条曲线。
我们需要学习如何根据函数的定义和函数的图象来解决相关的问题。
函数的的应用广泛存在于我们的日常生活中，包括时间、速度、距离等各个方面。
我们可以通过函数的计算来解决这些问题，从而更好地理解和应用数学知识。
四、统计与概率统计与概率也是九年级上册数学的重要内容。
在这部分内容中，我们要学习如何进行数据的整理和统计，以及如何使用概率来描述事件发生的可能性。
九年级数学沪科上册知识点
九年级数学沪科上册知识点数学是一门抽象而又具有逻辑性的学科。
对于九年级的学生来说，数学的难度也逐渐加深。
在九年级上册的沪科数学课本中，有许多重要的知识点需要掌握和理解。
本文将介绍几个重要的知识点，并对其进行简要解释。
一、有理数的乘除运算有理数的乘除运算是九年级数学的重要内容之一。
乘法和除法是数学中最基本的运算。
在进行有理数的乘除运算时，我们需要注意符号的运用和分数化简。
例如，当两个有理数相乘时，符号的规则是：两个正数相乘得正数，一个正数和一个负数相乘得负数，两个负数相乘得正数。
而在相除运算中，我们需要记住：正数除以正数得正数，正数除以负数得负数，并且除以0是没有意义的。
二、平方根与立方根平方根与立方根也是九年级数学中的重要知识点。
平方根是指一个数的平方等于某一给定的数，而立方根则是指一个数的立方等于某一给定的数。
计算平方根和立方根可以通过开根运算符和立方根运算符来进行。
平方根和立方根的运算可以帮助我们解决一些面积、体积等相关问题。
三、几何图形的计算在九年级数学中，还有一些关于几何图形的计算问题需要我们掌握。
例如，如何计算矩形的面积和周长，如何计算圆的面积和周长等等。
对于这些问题，我们需要了解相应的公式和计算方法。
例如，矩形的面积可以通过长乘以宽来求得，圆的面积可以通过π乘以半径的平方来计算。
对于周长的计算，我们也需要知道相应的公式。
四、代数方程的解法九年级数学中，我们还要学习代数方程的解法。
代数方程是含有未知数的等式，通过解代数方程，我们可以求得方程中的未知数的值。
有几种常见的代数方程解法，如因式分解法、配方法和公式法等等。
在解代数方程时，我们需要根据具体的方程类型选择合适的解法，并运用相应的方法进行计算。
五、平面坐标系的应用平面坐标系是九年级数学中的一个重要概念。
平面坐标系是由两条相互垂直的坐标轴构成的，通过确定两个坐标轴上的数值，我们可以确定平面上的一个点的位置。
平面坐标系的应用可以帮助我们解决许多几何问题，例如，计算两点之间的距离、计算一个点关于坐标轴的对称点等。
沪教版九年级数学第一学期 重要知识点总结
沪教版九年级数学第一学期重要知识点
总结
一元一次方程与一次不等式
- 理解代数式及等式的含义，掌握解一元一次方程的基本方法。
- 理解不等式的含义，掌握解一元一次不等式的基本方法。
整式的加减乘除
- 掌握整式的概念及运算法则，能运用整式进行简单计算。
分式的加减乘除
- 掌握分式的概念及运算法则，能运用分式进行简单计算。
平面图形初步
- 了解平面直角坐标系及其性质。
- 理解直线、线段的概念及表示方法，了解不同类型直线、线段的性质。
- 理解角的概念，认识不同类型角的特征。
- 理解多边形的概念及分类，掌握正多边形的相关知识。
几何变换初步
- 了解平移、旋转、翻折、对称的概念及表示方法。
- 理解相似与全等的概念及判定方法。
统计初步
- 掌握统计的基本概念，包括调查对象、调查问题、调查方式和调查结果的表示方法。
- 能够利用收集到的数据进行简单的统计分析。
多项式
- 掌握多项式的概念及运算法则，包括加减乘、整除及余数定理。
二元一次方程组
- 理解二元一次方程组的概念及解法，掌握消元法和代入法。
质因数分解
- 掌握素数、合数、质因数、分解质因数等概念，掌握质因数分解的方法及其应用。
引用
- 沪教版九年级数学教材。
沪教版九年级上册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)
沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似形及比例线段（基础）知识讲解【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点二、相似多边形【：图形的相似二、图形的相似 2】相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．要点三、比例线段【：图形的相似预备知识】1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；（2）合比性质：如果如果（3）等比性质：如果（4）比例中项：若a:b=b:c，则=ac，b称为a、c的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。
要点四、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.≈0.618AB(叫做黄金分割值).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们的相似性.类型二、相似多边形2. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【答案与解析】∵四边形相似于四边形∴，即∴∴四边形的周长.【总结升华】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似，当时，S有最大值，为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一.类型三、比例线段4.（2016•兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【答案】B．【解析】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=3：2，故选项错误．故选B．【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．5. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；③；④．A. ①②③④B. ①②③C. ①③D. ④【答案】D.【解析】解：AB的黄金分割点为点C处，若AC＞BC，则AB：AC=AC：BC，所以①不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20﹣12.36=7.64，所以②错误；若AC为较长线段时，AC=AB=10（﹣1），BC=10（3﹣）；若BC为较长线段时，BC=AB=10（﹣1），AC=10（3﹣），所以③不一定正确，④正确．故选D．【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似形及比例线段（基础）巩固练习【巩固练习】一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为（）A.3 kmB.30 kmC.300 kmD.3 000 km2. （2016•滨江区模拟）由5a=6b（a≠0），可得比例式（）A．B．C．D．3.如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（）A．相似B．平移 C．轴对称D．旋转4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A．(-2a，-2b) B．(-a，-2b) C．(-2b，-2a) D．(-2a，-b)5. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边的和是（）A．19 B．17 C．24 D．216. .△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( )A．B．C．或D．二. 填空题7. 两地实际距离为1 500 m，图上距离为5 cm，这张图的比例尺为_______.8. （2016•浦东新区一模）已知，那么= ．9．判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_______,对应角_______时，两个多边形相似.10.已知则11.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40°，60°，则另一个三角形的最大角为______,最小角为____________.12. （2015春·庆阳校级月考）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一条最短边长为2，则另外一个三角形的周长为 .三综合题13. 已知，求的值.14. （1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3dcm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长；（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项，求线段c的长．15. 市场上供应的某种纸有如下特征：每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，则纸张(矩形)的长与宽应满足什么条件？【答案与解析】一、选择题1．【答案】B．【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．2.【答案】D.【解析】A、⇒ab=30，故选项错误；B、⇒ab=30，故选项错误；C、⇒6a=5b，故选项错误；D、⇒5（a﹣b）=b，即5a=6b，故选项正确．故选D．3．【答案】A【解析】根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A．4．【答案】 A【解析】由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5．【答案】C【解析】相似三角形对应边的比相等6．【答案】A【解析】相似比AB︰A1B1=，A1B1︰A2B2=，计算出AB︰A2B2.二、填空题7.【答案】.1：30 000【解析】比例尺=图上距离︰实际距离.8.【答案】．【解析】∵的两个内项是y、1，两个外项是x、3，∴，根据合比定理，知==4；又∵上式的两个内项是x和4，两个外项是x+y和1，∴．9.【答案】成比例；相等.10.【答案】【解析】提示：设11.【答案】80°，40°.12.【答案】7.5.【解析】设另一个三角形周长是x.∵一个三角形的三边长是4,5,6，∴这个三角形的周长为：4+5+6=15.∵与它相似的另一个三角形最短的一边长是2，∴，解得：x=7.5.∴另一个三角形的周长是7.5.三、解答题13.【解析】设=k则∴==14.【解析】解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，∴a：b=c：d，∵a=3cm，b=2cm，c=6cm，∴d=4cm；(2)∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm.∴c2=ab=36，解得：c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm.15.【解析】如图，为了方便分析可先画出草图，根据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比.设矩形的长为，宽为，由相似多边形的特征得，即纸张的长与宽之比为.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角形一边的平行线知识讲解【学习目标】1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；2、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；3、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.要点诠释：(1)主要的基本图形：分A型和X型；A型 X型（2）常用的比例式：3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.要点诠释：判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).要点三、平行线分线段成比例定理1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；(3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.【典型例题】类型一、三角形一边的平行线性质定理1. 如图已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.求证：EF：FD=CA：CB.【答案与解析】过D作DK∥AB交EC于K点.则，，即又∵AD=BE，∴.【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例.举一反三【变式】如图,在⊿ABC, DG∥EC, EG∥BC,求证:【答案】∵DG∥EC,∴,∵EG∥BC,∴,∴,即.2.已知，△ABC中，G是三角形的重心， AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的长.【答案与解析】延长BG交AC于点D,∵G是三角形的重心，∴点D是线段AC的中点，又∵AG⊥GC，AG=3，GC=4，∴AC=5，即DG=2.5，∵BG:GD=2:1.∴BG=5.【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.类型二、三角形一边的平行线判定定理3. 如图，AM是△ABC的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、D两点.求证：DE∥BC.【答案与解析】延长AM到H，使HM=MP，连接BH、CH∵BM=MC∴四边形BPCH是平行四边形∵BH∥CD，CH∥BE在△ABH和△ACH中，有，∴DE∥BC【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC 上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证：.【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F,∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴,即.类型三、平行线分线段成比例定理4. （2016•兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．【思路点拨】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【答案】C．【解析】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．举一反三【变式】（2015•舟山）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC 与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A. B. 2 C. D.【答案】D提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角形一边的平行线【巩固练习】一．选择题1.（2016•杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c 于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（）A．B．C．D．12. 如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式成立的是( )A．B． C．D．3. 在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，，则等于( )A．B．C． D．4. 如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( )A．B． C．D．5. 如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中不正确的是( )A．B．C． D．6. 如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值为( )A．2 B．3 C．D．二. 填空题7. （2016•无锡一模）如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是．8. 如图，DE∥BC,BF:EF=4:3，则AC:AE=____________.9．已知点G是△ABC的重心，AD是BC边上的中线，如果GD=2cm，那么AD=______.10. 如图，△PMN,点A,B分别在MP,NP的延长线上，,则________.11. 如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点P,若AP=8，CP=12，BC=15.则AD=_________.12.（2015•香坊区三模）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G 在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则EC 的长为 .三.综合题13. 如图，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长.14.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，且，EG∥CD．证明：AE=AF．15. 如图，△ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B．【解析】∵a∥b∥c，∴==．故选B．2．【答案】 D.3．【答案】 C.【解析】∵DE∥BC，∴,又∵，∴,即=.4．【答案】D.【解析】∵DE∥AC，∴，又∵AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，∴BD=4，即DE=.5．【答案】C.【解析】提示：∵ DE∥BC，DF∥AC，∴DE=CF, DF=CE.6.【答案】B.【解析】作GM∥CD交AB于点M,∵E是AG中点，∴MG=2DE,又∵G是BC中点，∴CD=2MG=4DE∴EC=3DG,即EC:DE=3:1.二、填空题7.【答案】2．【解析】∵BC=AC，∴=，∵AD∥BE∥CF，∴=，∵DE=4，∴=2，∴EF=2．8.【答案】4:3.【解析】∵DE∥BC, BF:EF=4:3，∴9.【答案】6cm.【解析】∵点G是重心，∴AG:GD=2:1，又∵GD=2，∴AG=4，即AD=6cm.10.【答案】3:2.【解析】∵，∴.11.【答案】10.12.【答案】9.【解析】∵DE∥FG∥BC，∴=，而AD：DF：FB=3：2：1，∴=，∴=，∴EC=9．三、解答题13. 【解析】∵AB∥CD∥EF，∴,又∵OA=14，AC=16，BD=12，∴OB=.同理,CE=8，∴DF=6.14.【解析】证明：∵EG∥CD，∴=，且，∴=，∴=，即=，∵AB=AC，∴AE=AF．15.【解析】作DG∥BE,∵AD是中线，∴EG=GC,又∵AF：FD=1：2，∴EG=2AE,即EC=4AE,∴AE:EC=1:4.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的判定--知识讲解（基础）【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理【高清课程名称：相似三角形的判定（1）高清：394497：相似三角形的判定】1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数. 【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.举一反三：【高清课程名称：相似三角形的判定（2）高清：394499：例4及变式应用】【变式】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,∴∠AEF=∠CDF=90°,又∵∠AFE=∠CFE,∴△AEF∽△CDF.∴, 即AF·FD=CF·FE．3. （2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【思路点拨】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【总结升华】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2＝PE·PF，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.【答案与解析】连接，，，是的中垂线，，，，．，．又，∽，，．【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径.举一反三：【变式】如图，F是△ABC的AC边上一点，D为CB延长线一点，且AF=BD,连接DF, 交AB于E. 求证：.【答案】过点F作FG∥BC,交AB于G.则△DBE∽△FGE△AGF∽△ABC∵,又∵AF=BD,∴∵△AGF∽△ABC∴,即.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的判定--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形2．已知△ABC的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．（2015•大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4. （2016•盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE ∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7. （2016•娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C 在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE 交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．【答案与解析】一．选择题1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根据三边对应成比例，可以确定，所以第三边是3.【答案】B.【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．4.【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．5.【答案】C.【解析】∵∠AEF＝90°, ∴∠1+∠2=90°，又∵∠D=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠1=∠3，∴△ADE∽△ECF.6.【答案】C.【解析】∵ EF∥AB，∴，∵，∴，，∴ CD=10，故选C.二. 填空题7.【答案】AB∥DE．【解析】∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．8.【答案】 3 .【解析】∵∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴△ACB∽△AED，∴，BC=4，在Rt△ABC中，.9．【答案】；.10.【答案】4.【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE.∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4∴BC=CD=2∴,即AB=4.11.【答案】△OAB,△OCD.12.【答案】3.【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥BE.AB∥CD∴△EFC∽△EAB; △EFC∽△AFD; △AFD∽△EAB.三综合题13.【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，，∴，∴AC＝，∴EC＝AC－AE＝．14.【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵，∴△ABD∽△DCB，∴∠A＝∠BDC，∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD ．15.【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠C FA=∠BAC，∵∠ACF=∠FCA，∴△CAF∽△CEA，∴=，∴CA2=CE•CF；（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA，∴△CAD∽△CB A，∴=，∴C A2=CB×CD，同理可得：CA2=CF×CE，∴CD•BC=CF•CE，∴=，∵∠DCF=∠ECB，∴△CDF∽△CEB，∴∠CFD=∠B，∵∠B=38°，∴∠CFD=38°．沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的性质【高清课程名称：相似三角形的性质及应用高清：394500：相似形的性质】1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【高清课程名称：相似三角形的性质及应用高清：394500：应用举例及总结】要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
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2019年九年级第一学期基础知识点汇总
第一章 相似三角形
知识点一：比例线段
关键点拨与对应举例
1. 比例
线段
在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即
a c
b d
=，
那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．
列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例
的基
本性质
(1)基本性质：a c
b d =⇔ ad ＝b
c ；（b 、
d ≠0）
(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c d
d
±；（b 、d ≠0）
(3)等比性质：
a c
b d =＝…＝m
n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c m
b d n
++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若
35a b =，则a b b +=85
. 3.平行
线分线
段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DE
BC EF
=
. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，
要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于5
3
.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB ∥CD ，则
OA OB
OD OC
=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.
4.黄金分割
点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC
AB ＝=5－12
≈0.618，
那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．
例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．
知识点二 ：相似三角形的性质与判定
5.相似三角
形的
判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三
角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，
AC AB DF DE
=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如
图，若AB AC BC
DE DF EF
==，则△ABC ∽△DEF. F E D C
B A l 5
l 4
l 3l 2
l 1O
D
C
B
A
E
D C
B
A
F
E
D
C B A
F
E
D
C B
A
F
E D
C B
A
6.相似
三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于
相似比．
例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长
为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF
的面积之比为9：4.
(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,
已知S△ADE:S△ABC=1:4，
则AF:AG=1：2.
7.相似三
角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图
形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经
常把等积式化为比例式，把比例式的四条
线段分别看做两个三角形的对应边.然后，
通过证明这两个三角形相似，从而得出结
果.
第二章解直角三角形
知识点一：锐角三角比的定义关键点拨与对应举例
1.锐角三角比正弦: sin A＝
∠A的对边
斜边
＝
a
c
余弦: cos A＝
∠A的邻边
斜边
＝
b
c
正切: tan A＝
∠A的对边
∠A的邻边
＝
a
b.
根据定义求三角函比时，一定根据题
目图形来理解，严格按照三角比的定
义求解，有时需要通过辅助线来构造
直角三角形.
2.特殊角的三角比
度数
三角比
30°45°60°sinA
1
2
2
2
3
2 cosA
3
2
2
2
1
2 tanA
3
3
1 3
：解直角三角形的应用
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方
的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡
比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和
一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
（1）叠合式（2）背靠式
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
第三章二次函数
二次函数的应用。