离散数学章练习题及复习资料

离散数学练习题第一章一．填空1.公式)()(q p q p ∧⌝∨⌝∧的成真赋值为 01；102.设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题)()(s r q p →⌝↔→的真值为 03.公式)()()(q p q p q p ∧∨⌝∧↔⌝与共同的成真赋值为 01；104.设A 为任意的公式，B 为重言式，则B A ∨的类型为 重言式5．设p, q 均为命题，在 不能同时为真 条件下，p 与q 的排斥也可以写成p 与q 的相容或。

二．将下列命题符合化 1.7不是无理数是不对的。

解：)(p ⌝⌝，其中p:7是无理数； 或p ，其中p:7是无理数。

2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。

解：其中,q p ∧⌝p: 小刘怕吃苦，q ：小刘很爱钻研3.只有不怕困难，才能战胜困难。

解：p q ⌝→，其中p: 怕困难，q: 战胜困难或q p ⌝→，其中p: 怕困难， q: 战胜困难4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。

解：)(q p r →→⌝，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人 ，r: 困难解决了 或：q p r →∧⌝)(，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了5.整数n 是整数当且仅当n 能被2整除。

解：q p ↔，其中p: 整数n 是偶数，q: 整数n 能被2整除三、求复合命题的真值P ：2能整除5， q ：旧金山是美国的首都， r ：在中国一年分四季 1. ))(())((q p r r q p ∧→∧→∨2.r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()(( 解：p, q 为假命题，r 为真命题1.))(())((q p r r q p ∧→∧→∨的真值为02. r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()((的真值为1四、判断推理是否正确 设x y 2=为实数，推理如下：若y 在x=0可导，则y 在x=0连续。

y 在x=0连续，所以y 在x=0可导。

解：x y 2=，x 为实数，令p: ｙ在ｘ=0可导，q: y 在x=0连续。

P 为假命题，q 为真命题，推理符号化为：p q q p →∧→)(，由p ，q 得真值可知，推理的真值为0，所以推理不正确。

五、判断公式的类型1，r q p q p p q ∨∧⌝∨∧→↔⌝)))()(()(( 2. )())((q r p q p ∧∧→⌝∧ 3. )()(r q r p ↔→⌝↔由上表可知A 为重言式，B 为矛盾式，C 为可满足式。

第二章练习题一．填空1.设A 为含命题变项p, q, r 的重言式，则公式))((→∧∨q p A 的类型为 重言式2.设B 为含命题变项p, q, r 的重言式，则公式))((→∧∨q p B 的类型为矛盾式3.设p, q 为命题变项，则)(q p ↔⌝的成真赋值为 01 ；104．设p,q 为真命题，r, s 为假命题，则复合函数)()(s q r p →⌝↔↔的成真赋值为__0___ 5.矛盾式的主析取范式为___0_____6.设公式A 为含命题变项p, q, r 又已知A 的主合取范式为M M M M5320∧∧∧则A的主合取范式为m m m m 7641∨∨∨二、用等值演算法求公式的主析取范式或主合取范式 1.求公式)())((p q q p ⌝→⌝∨→⌝⌝的主合取范式。

解：M q p q p q p q p p q q p 2)()()())((⇔∨⌝⇔→⇔→∨→⇔⌝→⌝∨→⌝⌝2.求公式)())()((p q q p q p →↔→∧∨的主析取范式，再由主析取范式求出主合取范式。

解：M M M m q p q q p q p q p q q p q q p q q p q p p q q p q p 21030)()())(())(()()())()(()())()((∧∧⇔⇔∨∧⇔∧⌝∨⇔→→∧→→⇔→↔⇔→↔∨⌝∧∨⇔→↔→∧∨ 三、用其表达式求公式r q p ↔→)(的主析取范式。

解：真值表由上表可知成真赋值为 001；011；100；111四、将公式)(r q p →→化成与之等值且仅含[]∧⌝,中连接词的公式 解：)()()()(r q p r q p r q p r q p ⌝∧∧⌝⇔∨⌝∨⌝⇔∨⌝→⇔→→ 五、用主析取范式判断))(()()(q p q p q p ∧⌝∧∨↔⌝与是否等值。

解：))(()())(())(()()()()())()(())()(()(p q q p p q q p q p p q q p p q q p p q q p p q q p q p ∧⌝∧∨⇔⌝∧∨⌝∧⌝∧∨⇔⌝∧∨⌝∧⇔∨⌝⌝∨∨⌝⌝⇔∨⌝∧∨⌝⌝⇔→∧→⌝⇔↔⌝所以他们等值。

第四章 习题 一，填空题1.设F(x): x 具有性质F ，G(x): x 具有性质G ，命题“对所有x 的而言，若x 具有性质F ，则x 具有性质G ”的符号化形式为 )()((x G x F x →∀2.设F(x): x 具有性质F ，G(x): x 具有性质G ，命题“有的x 既有性质F ，又有性质G ”的符号化形式为 )()((x G x F x ∧∃3. 设F(x): x 具有性质F ，G(y): y 具有性质G ，命题“对所有x 都有性质F ，则所有的y 都有性质G ”的符号化形式为 )()(y yG x xF ∀→∀4. 设F(x): x 具有性质F ，G(y): y 具有性质G ，命题“若存在x 具有性质F ，则所有的y 都没有性质G ”的符号化形式为 )()(y G y x xF ⌝∀→∃5.设A 为任意一阶逻辑公式，若A 中__不含自由出现的个体项_____,则称A 为封闭的公式。

6.在一阶逻辑中将命题符号化时，若没有指明个体域，则使用 全总 个体域。

二．在一阶逻辑中将下列命题符号化1.所有的整数，不是负整数就是正整数，或是0。

解：))()()(()(x R x H x G x xF ∨∨→∀，其中x x F :)(是整数，x x G :)(是负整数，x x H :)(是正整数，0:)(=x x R2.有的实数是有理数，有的实数是无理数。

解：))()(())()((y H y F y x G x F x ∧∃∧∧∃，其中，x x F :)(是实数，x x G :)(是有理数，y y H :)(是无理数3.发明家都是聪明的并且是勤劳的，王进是发明家，所以王进是聪明的并且是勤劳的。

解：))()(())()))()(()(((a H a G a F x H x G x F x ∧→∧∧→∀，其中：x x F :)(是发明家，x x G :)(是聪明的，x x H :)(是勤劳的，:a 王前进4.实数不都是有理数。

解：))()((x G x F x →∃∀，其中x x F :)(是实数，x x G :)(是有理数 5.不存在能表示成分数的有理数。

解：)()(x G x xF ⌝→∀，其中：x x F :)(是无理数，x x G :)(能表示成分数 6.若x 与y 都是实数且x>y ，则x+y>y+z解：)),(),()()(((z y z x H y x H y F x F y x ++→∧∧∀∀，其中，x x F :)(是实数，y x y x H ≥:),(三．给定解释I 如下：（a ）个体域为实数集合R ； (b)特定元素0=a ； (c)特定函数R y R x y x y x f ∈∈-=,,),((d)特定谓词R y R x y x y x G y x y x F ∈∈<=,,:),(,:),(给出下列公式在I 的解释，并指出他们的真值： 1.)),(),((y x F y x G y x ⌝→∀∀解：))()((y x y x y x ≠→<∀∀，即对任意的实数，y x ,，则y x ≠；真值为1 2.)),()),,(((y x G a y x f F y x →∀∀解：))(0(y x y x y x <→=-∀∀，即对任意的实数y x ,若,0=-y x 则,y x <其真值为0 3.))),,((),((a y x f F y x G y x ⌝→∀∀解：))0()((≠-→<∀∀y x y x y x ，即对任意的实数y x ,若,y x <则,0≠-y x 其真值为14.)),()),,((y x F a y x Gf y x →∀∀解：)))0((y x y x y x =→<-∀∀，即对任意的实数y x ,若,0<-y x 则,y x =其真值为0 四．给定解释I 如下：(a)个体域D=N; (b)特定元素2=a (c)N 上函数;),(,),(y x y x g y x y x f ⋅=+=(d)N 上谓词y x y x F =:),(给出下列公式在I 下的解释，并指出他们的真值： 1.)),,((x a x g xF ∀解：)2(x x x =∀，即对任意的自然数x ，都有x x =2，真值为0 2.))),,(()),,(((x a y f F y a x f F y x →∀∀解：))2()2((x y y x y x =+→=+∀∀，即对任意自然数y x ,若y x =+2，则x y =+2；其真值为03.)),,((z y x f zF y x ∃∀∀解：)(z y x z y x =+∃∀∀，即对任意的自然数y x ,，都存在z ，使得z y x =+；真值为1 4.)),(),,((x x g x x f xF ∃ 解：)2(2xx x =∃，即存在自然数x 使得x x 22=，其真值为1第六章 习题 一，填空1.设{}{}4,3,,2a A =， {}{}3,,4,a B Φ=，则=⊕B A ____{}{}Φ,3},{,3,,2a a ______2.设{}{}{}{}2,1,1=A ，则=)(A P ____}}}2,1{{},1{{}}},2,1{{{}},1{{,{Φ_________ 3.设{}{}{}2,11=A ，则=)(A P ____{Φ，{{1}}，{{1,2}}，{{1}，{1，,2}}}________ 4. 设{}2,1=A ，则=)(A P ____{Φ，{1}，{2}，{1,2}}_________ 5.设[a,b], (c,d)代表实数区间，那么=-⋂)3,1(])6,2[]4,0([____[3,4]________6.设X,Y ,Z 为任意集合，且{}3,2,1=⊕Y X ，{}4,3,2=⊕Z X ，若,Y Z ∈则一定有___Z Z ∈∈3;2_____)4;3;2;1(Z Z Z Z ∈∈∈∈7.设,A 则=-⊕A A A )(______Φ_______ 二，简答题1.设{}12,2,1 =I ，{}11,9,7,5,3,1=A ，{}11,7,5,3,2=B ，{}12,6,3,2=C ，{}8,4,2=D ，计算：;B A ⋃ C A ⋂; )(B A C ⋃-; B A -; D C -; D B ⊕;=⋃B A {1,2,3,5,7,9,11} C A ⋂={3} )(B A C ⋃-={6, 12} B A -={1, 9} D C -={3,6,12} D B ⊕={3,4,5,7,8,11}2.设{}{}{}b a a A ,,=，求：A ⋃; A ⋂A ⋃={a,b}A ⋂={a}三、设{}6,5,4,3,2,1=A ，{}6,4,2=B ，{}15,,|3<∈==x N n x x C n ，求:C A ⋃; A B -; )(B PC={1,8}C A ⋃={1,2,3,4,5,6,8}A B -=ΦP(B)={ Φ,{2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6}}四：一个班50个学生，在一次考试中有26人得5分，在第二次考试中有21人得5分，如果两次考试中没有得5分的有17人，那么两次考试中都得5分的有都少人？（提示：应用包含排斥原理）答：设A 为第一次考试得5分的人，B 为第二次考试得5分的人。