高中数学第一章立体几何初步7.3球的表面积和体积课件北师大
A.R
B.2R
C.3R
D.4√R
解析 设圆柱的高为h， 则 πR2h＝3×43πR3， 得h＝4R.
1 2 34 5
解析 答案
2.平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为 2，
则此球的体积为
A. 6π
√B.4 3π
C.4 6π
解析 如图，设截面圆的圆心为O′，
M为截面圆上任一点，
解析 答案
4.两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为
a，此时球的半径为r1＝
a 2
.
(2)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据若长方体过同一顶点的三条棱长为a， b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝12 a2＋b2＋c2 .
解答
反思与感悟 将正四面体补成正方体.由此可得正四面体的棱长 a 与外
接球半径
R
的关系为
2R＝
6 2 a.
跟踪训练4 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半 径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为__39_2_或_3_32__.
解析 答案
达标检测
1.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为
知识点二 球的切线
(1)定义：与球只有 唯一 公共点的直线叫作球的切线.如图，l为球O的 切线，M为切点. (2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径； ②过球外一点的所有切线的长度都 相等 .
知识点三 球的表面积与体积公式
前提条件 表面积公式 体积公式
球的半径为R S＝_4_π__R_2 _ 4 V＝_3__π_R_3
解答
反思与感悟 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条 件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积 或体积的相关题目也就易如反掌了.
跟踪训练1 (1)已知球的体积为 500 π，则其表面积为_1_0_0_π__. 3
[思考辨析 判断正误] 1.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.( × ) 2.两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( × ) 3.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.( √ )
题型探究
类型一 球的表面积与体积 例1 已知球的表面积为64π，求它的体积. 解 设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4， 所以球的体积 V＝43πR3＝43π·43＝2356π.
梳理 用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是 圆 ，有以下性质： (1)若平面α过球心O，则截线是以 O 为圆心的球的大圆. (2)若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d， 对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P ＝ R2－d2，即此时截线是以 O′为圆心，以r＝ R2－d2为半径的球的小圆.
解析 答案
(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为 4π
__3__. 解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球 的直径与正方体的棱长是相等的， 故可得球的直径为2，故半径为1， 其体积是43×π×12＝43π.
解析 答案
反思与感悟 (1)正方体的内切球
跟踪训练 3 表面积为433的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，
则此球的体积为
√A. 32π
C.23π
1 B.3π D.2 3 2π
解析 答案
命题角度2 球的内接锥体问题 例4 若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的 表面积. 解 把正四面体放在正方体中， 设正方体棱长为 x，则 a＝ 2x， 由题意 2R＝ 3x＝ 3× 22a＝ 26a， ∴S 球＝4πR2＝32πa2.
解析 设球的的半径为 R，则43πR3＝5300π， 解得R＝5， 所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
解析 答案
类型二 球的截面
例2 在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到 △ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积. 解 依题意知，△ABC是正三角形， △ABC 的外接圆半径 r＝ 33×3＝ 3. 由 R2＝R22＋( 3)2，得 R＝2. 所以球的表面积S＝4πR2＝16π.
解答
反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题 转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构 成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
跟踪训练2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时 测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
√500π
A. 3
cm3
866π B. 3
cm3
1 372π C. 3
cm3
2 048π D. 3
cm3
解析 答案
类型三 与球有关的组合体 命题角度1 球的内接或外切柱体问题 例3 (1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上 的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_1_4_π__. 解析 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长， 即 2R＝ 12＋22＋32＝ 14， 所以球的表面积S＝4πR2＝14π.
第一章 §7 简单几何体的面积和体积
7.3 球的表面积和体积
学习目标
1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积. 2.会求解组合体的体积与表面积.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 球的截面
思考 什么叫作球的大圆与小圆？ 答案 平面过球心与球面形成的截线是大圆. 平面不过球心与球面形成的截线是小圆.
则 OO′＝ 2，O′M＝1.
∴OM＝ 22＋1＝ 3.
D.6 3π
即球的半径为 3. ∴V＝43π( 3)3＝4 3π.
1 2 34 5
解析 答案
3.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为
A.4π(r＋R)2
√C.4πRr
B.4πr2R2 D.π(R＋r)2
1 2 34 5
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
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合作探究 提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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自主预习 探新知
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
《球的表面积和体积》课件
球的体积公式
推导过程
利用积分计算，已知球的半径r，体积可表示为V = (4/3)πr³。
应用举例
通过体积公式，可以计算球体的容积，如水球、篮 球、地球等。
球的表面积公式
推导过程
通过对球体进行分割并求和的方法，球的表面积公 式为S = 4πr²。
应用举例
利用表面积公式，可以计算球体的表面积，如足球、 地球等。
比较表面积和体积
实例分析
比较具有相同体积的球体，但却具有不同表面积 的特点，例如小球和大球之间的关系。
球的变形对比
探索球体变形对表面积和体积的影响，比如椭球 和球体之间的对比。
延伸思考
三维几何问题
如何应用球的表面积和体积的知识解决其他三维 几何问题，例如球的切割、组合等。
实际应用场景
探索球的表面积和体积在实际生活中的应用，如 建筑、工程和科学研究中的应用。
《球的表面积和体积》 PPT课件
探索球体的奇妙之处，从定义和性质开始，一步一步深入了解球的表面积和 体积的计算公式，并探讨实际应用场景。
球的定义和性质
定义
球是由无数个离心并以相同半径旋转的点所构成 的，是一种几何体。它是完全确定的，没有面， 没有边。
性质
球体具有对称性，无论从哪个角度观察，都是完 全相同的。此外，球是能够容纳最大体积的几何 形状。
总结
1 知识点回顾
通过课程的学习，我们深入了解了球的定义、性质、体积公式、表面积公式，以及与其 他形状的比较。
2 学习感悟
通过探索球的表面积和体积的奥秘，我们对三维几何有了更深入的理解，也拓展了实际 应用的思维。
高中数学 第1章 立体几何初步 1-7-3 球学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案
7.3 球1．球的截面(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆．(2)球的截面性质 ①球的截面是圆面．②球心和截面圆心的连线垂直于截面．③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 有如下关系：r ＝R 2－d 2. 2．球的切线(1)当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点． (2)过球外一点的所有切线的长度都相等． 3．球的表面积和体积(1)球的表面积公式S 球面＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)球的体积公式V 球＝43πR 3.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9.( ) (2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)用任意平面截球，所得截面都是圆．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√题型一球的表面积和体积 【典例1】 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是 ( ) A ．12π B．16π C.16π3 D.64π3(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．[思路导引] (1)求球的半径是求球表面积与体积的关键． (2)利用体积相等，求大球半径．[解析] (1)43πR 3＝32π3，故R ＝2，球的表面积为4πR 2＝16π.(2)两个小铁球的体积为2×43π×13＝8π3，即大铁球的体积为43π×R 3＝8π3，所以半径为32.[答案] (1)B (2)32解决球的表面积和体积时注意两点(1)一个关键抓住球的表面积公式S 球＝4πR 2，球的体积公式V 球＝43πR 3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．(2)两个结论①两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方； ②两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．[针对训练1] (1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.32倍(2)一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ) A.6π6 B.π2 C.2π2 D.6π6[解析] (1)球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的22倍．(2)设正方体的边长为a ，球的半径为R ，则6a 2＝4πR 2.则a R ＝6π3，则a 343πR3＝34π·⎝ ⎛⎭⎪⎫6π33＝6π6. [答案] (1)B (2)A 题型二球的截面【典例2】 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积．[思路导引] 用平面去截球体，所得截面是圆面，截面圆心与球心的连线与截面垂直，这就构造了直角三角形．[解] (1)若两截面位于球心的同侧．解法一：如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)． 在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49， 在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.解法二：同解法一，得OC 21＝R 2－49，OC 2＝R 2－400， 两式相减，得OC 21－OC 2＝400－49 ⇔(OC 1＋OC )(OC 1－OC )＝351. 又OC 1－OC ＝9，∴OC 1＋OC ＝39， 解得OC 1＝24，OC ＝15， ∴R 2＝OC 2＋r 2＝152＋202＝625， ∴R ＝25 cm.(以下略)(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC1＋OC＝9，即R2－49＋R2－400＝9.整理，得R2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2500π(cm2)．设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．[针对训练2] 把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6[解析] 画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.[答案] C题型三与球有关的切和接问题【典例3】 (1)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2(2)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．[思路导引] (1)长方体的体对角线即是外接球的直径． (2)充分利用轴截面去寻找有关量之间的关系是解决问题的关键．[解析] (1)长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 2＝6πa 2. (2)如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ，OA ＝OEsin30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ，BD ＝AD ·tan 30°＝3R ，∴V 球＝43πR 3， V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9. [答案] (1)B (2)4∶9(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . [针对训练3] (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为________．[解析] (1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线，∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123∶43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝1∶3 3.(2)设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32， ∴外接球表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝9π.[答案] (1)C (2)9π1．如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶1[解析] 设两球的半径分别为r,3r ，则表面积之比为4πr 24π(3r )2＝19.[答案] A2．若把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R[解析] 设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R .[答案] D3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍[解析] 设三个球的半径分别为x,2x,3x ，则最大球的体积V 大＝4π3×(3x )3＝36πx 3，另两球的体积之和V 和＝4π3x 3＋4π3×(2x )3＝12πx 3，所以V 大＝3V 和．[答案] C4．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A ．8π B.32π3 C.8π3 D.82π3[解析] 作轴截面如图所示，则OO 1＝1.设截面圆的半径为r ，球的半径为R .由已知可得πr 2＝π，所以r ＝1，R＝ 2.故S 球＝4πR 2＝8π.[答案] A课后作业(十六) (时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] 令S 球1＝4πR 2，S 球2＝4πr 2， 由题可知4πR 2－4πr 2＝48π，① 又2πR ＋2πr ＝12π，② ①②得R －r ＝2. [答案] C2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点落在球O 的表面上，已知AB ＝3，AD ＝4，BB 1＝5，那么球O 的表面积为( )A ．25π B．200π C．100π D．50π [解析] 由长方体的体对角线为外接球的直径， 设球半径为r ，则2r ＝9＋16＋25＝52， 则r ＝522，S 表＝4πr 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5222π＝50π.[答案] D3．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．5 [解析] BD ＝5，AC ＝22，CD ＝OD －OC＝R 2－BD 2－R 2－AC 2＝R 2－5－R 2－8＝1. 解得R ＝3. [答案] B4．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图)，则球的半径是( )A. 3 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．4 cm[解析] 设球的半径为r ， 则V 水＝8πr 2，V 球＝4πr 3， 加入小球后，液面高度为6r ，所以πr 2·6r ＝8πr 2＋4πr 3，解得r ＝4.故选D. [答案] D5．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )A ．π B.3π4 C.π2D ．6π[解析] 如图所示，圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，所以该圆柱底面圆周半径为r ＝22－12＝3，所以该圆柱的体积为V ＝Sh ＝π·(3)2·2＝6π.故选D. [答案] D6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析] 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18， ∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.[答案]9π27．已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________． [解析] 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝36π.[答案] 36π8．底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P －ABCD 的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为26，则这个球的表面积为________．[解析] 正四棱锥P －ABCD 外接球的球心在它的高PO 1上，记为O ，OP ＝OA ＝R ，PO 1＝4，OO 1＝4－R ，或OO 1＝R －4(此时O 在PO 1的延长线上)．在Rt △AO 1O 中，R 2＝8＋(R －4)2得R ＝3，所以球的表面积S ＝36π.[答案] 36π9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解] 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3. 10．已知正方体的棱长为a ，分别求出它的内切球、外接球及与各棱都相切的球半径．[解] (1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对两面的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆，如图①所示，易得r 内＝a 2. (2)正方体的外接球与正方体的连接点为正方体各个顶点，故应作正方体的对角面，则球的一个大圆为对角面矩形的外接圆，如图②所示，设球半径为R ，则(2R )2＝(2a )2＋a 2⇒R ＝32a . (3)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图③所示，易求得球的半径为22a . 应试能力等级练(时间25分钟)11．若圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比是( )A ．6∶5B ．5∶4C ．4∶3D ．3∶2[解析] 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，母线长为2R ，则圆柱的表面积为2πR2＋2πR ×2R ＝6πR 2，球的表面积为4πR 2.所以圆柱的表面积与球的表面积之比是6πR 2∶4πR 2＝3∶2.[答案] D12．球面上有三点A ，B ，C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为( )A ．1200π B．1400π C．1600π D．1800π[解析] ∵AB 2＋BC 2＝182＋242＝302＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且其外接圆的半径为AC 2＝15，即截面圆的半径r ＝15.又球心到截面的距离为d ＝12R (R 为球的半径)，∴R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＝152，∴R ＝10 3.∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1200π.[答案] A13．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________．[解析] 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π. [答案] 3π 14．已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝2，AC ＝BC ＝1，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为________．[解析] 如图所示取PB 的中点O ，∵PA ⊥平面ABC∴PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ∴BC ⊥P C.∴OA ＝12PB ，OC ＝12PB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OP ，故O 为外接球的球心． 又PA ＝2，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2，PB ＝ 6∴外接球的半径R ＝62. ∴V 球＝43πR 3＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π. [答案] 6π15．在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A －BCD ，求此正三棱锥的体积．[解] ①如图甲所示的情形，显然OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝15.设H 为△BCD 的中心，则A ，O ，H 三点在同一条直线上．∵HB ＝HC ＝HD ＝23×32×123＝12， ∴OH ＝OB 2－HB 2＝9，∴正三棱锥A －BCD 的高h ＝9＋15＝24.又S △BCD ＝34×(123)2＝1083， ∴V 三棱锥A －BCD ＝13×1083×24＝864 3.②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A －BCD 的高h ′＝15－9＝6，S △BCD ＝1083，∴V 三棱锥A －BCD ＝13×1083×6＝216 3. 综上，此正三棱锥的体积为8643或216 3.。
球的表面积和体积第一课时课件-数学高一必修2第一章立体几何初步1定稿.4人教A版定稿.ppt
【解析】 由三视图得直观图如图，三棱锥 O－ABC 中 OA，OB，OC 两两垂直，OA＝3，OC＝4，OB＝2， 可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的 对角线，即为球的直径，长为 32＋42＋22，
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故外接球半径为
229，外接球的表面积 S 球＝4π
29 2
2＝29π.
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
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证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
高为2R.
因为 V球
4 R3 ,V 圆柱 3
R2 2R 2 R3,
所以，V球
2
V 圆柱
3
（2）因为 S球 4 R2 ， NhomakorabeaS = 圆柱侧 2 R 2R 4 R2 ，
所以, S球 S 圆柱侧.
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制作一个乒乓球和一个篮球，分别需要多少材质？
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怎样求球的体积?
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怎样求球的体积?
m
=rV
V
=
m r
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实验：排液法测小球的体积
放入小球前
h
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实验：排液法测小球的体积
放入小球后
H h
S
，
1
S
，
2
S 3 ,
,Sn
则球的表面积为
S = S1 S2 S3 Sn
Si
O Vi
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半径是 R的球的表面积：S = 4 R 2
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 1.7.3 球
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点).知识点一 柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱V 柱体＝ShS —柱体底面积 h —柱体的高棱柱 锥体圆锥V 锥体＝13ShS —锥体底面积 h —锥体的高 棱锥 台体圆台V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上、S 下—台体的上、下底面面积，h —高棱台【预习评价】简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 提示 表面积变大了，体积不变. 知识点二 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 【预习评价】球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示 球没有底面，球的表面不能展开成平面.题型一 柱体、锥体、台体的体积【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，因此该几何体的体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3). 答案 83π(2)在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解 如图，设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD .因为M 是AE 的中点， 所以V M －ABCD ＝12V .所以V E －MBC ＝12V －V E －MDC .而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ， 所以V E －MBC V E －MDC ＝V B －EMC V D －EMC ＝h 1h 2. 因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32.所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝310V .规律方法 (1)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解. (2)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥.(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫作等积法.(4)台体的体积计算公式是V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ，其中S 上，S 下分别表示台体的上、下底面的面积.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 【训练1】 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V ＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案 A【训练2】 四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.解 ∵C (2，1)，D (0，3)， ∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π. ∵B (1，0)，C (2，1)，∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1. ∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.【训练3】 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值. (1)证明 由条件知PDAQ 为直角梯形. 因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D .所以PQ ⊥平面DCQ . (2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高. 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.题型二 球的表面积和体积【例2】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.规律方法 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.【训练4】 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________.(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.解析 (1)设圆锥的底面半径为R ， 由题意知球的半径为R2， V 圆锥＝13πR 2h (h 为圆锥的高)，V 球＝43π(R 2)3＝16πR 3，∴13πR 2h ＝16πR 3，h ＝12R ，则圆锥的母线l ＝R 2＋h 2＝52R ， 圆锥的侧面积为π×R ×52R ＝52πR 2. 球的表面积为4π×(R2)2＝πR 2. ∴圆锥的侧面积与球面面积之比为5∶2.(2)由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积为S ＝2π×32＋π×3×5＝33π. 答案 (1)52(2)33π【例3】 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为( )A.3172B.210C.13D.310解析 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直.△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心，即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长，因为AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，BC 1＝52＋122＝13，所以球的直径为13.答案 C【迁移1】 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 【迁移2】 本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 【迁移3】 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为（32）2－（12×6）2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解(其R为球的半径).课堂达标1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.答案 C2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34解析 S 底＝12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以V 三棱锥B 1－ABC ＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.答案 D3.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即12×4π＋π＝3π.答案 3π4.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.解析 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18(m 3).答案 9π＋185.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积. 解 如图，设球心为O ，半径为r ，则Rt△AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.基础过关1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 答案 B2.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6B.12C.24D.48解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x (x >0)，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2，∴三条棱长分别为2、4、6，∴V 长方体＝2×4×6＝48. 答案 D3.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π＋2 3B.4π＋2 3C.2π＋233D.4π＋233解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.答案 C4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2，3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm. 答案 45.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的体积为________.解析 由三视图可知，该几何体是由一个正四棱柱挖掉一个半圆锥所得到的几何体，其直观图如图所示，其中正四棱柱的底面正方形的边长a ＝2，半圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，所以正四棱柱的体积V 1＝a 2h ＝22×3＝12，半圆锥的体积V 2＝12×π3r 2h ＝π6×12×3＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1－V 2＝12－π2. 答案 12－π26.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . ∴d ＝33a . 7.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝（6）2＋（3）2＝9＝3(cm)，r ＝ 3 (cm).故几何体的表面积为 S ＝πrl ＋πr 2＋2πrAD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝πr 2AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).能力提升8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4 解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析 作出该球的轴截面图如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3). 答案 A10.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2. 所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4， 即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.答案 8 411.已知三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 解析 如图，构造正方体ANDM －FBEC .因为三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，所以正方体ANDM －FBEC 的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A －BCD 的外接球就是正方体ANDM －FBEC 的外接球，所以三棱锥A －BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π. 答案 3π12.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积.解 ∵AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.∵球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC 的外接圆的圆心，∴斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示).设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径R ，截面圆半径r ，在Rt△O ′CO 中，由题设知sin∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， ∴∠O ′CO ＝30°，∴rR ＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，① 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入①得R ＝10 3.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π(103)2＝1 200π.球的体积为V ＝43πR 3＝43π(103)3＝4 0003π. 13.(选做题)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .。
高中数学第1章立体几何初步§73球课件高一数学课件
课
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小
习
结
探
[跟进训练]
·
提
新
素
知
2．圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻 养
合 璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下 课
作
时
探
究 降多少？
分 层
释
作
疑
业
难
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返
首
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12/12/2021
第二十三页，共四十七页。
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[解]
设取出小球后，容器中水面下降 h cm，两个小球的体积为
第十三页，共四十七页。
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自
课
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习 探
(1)B
(2)
5 2
[(1)34πR3＝332π，故 R＝2，球的表面积为 4πR2＝16π.
·
结 提
新
素
知
(2)设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R， 养
合 作 探 究
则由题意得13πr2·h＝34πR3，
课 时 分
释
r＝2R，
习
结
探 PH＝x，如图所示．
·
提
新
素
知
∵AC＝ 3r，PC＝3r，
养
·
·
合
∴以 AB 为底面直径的圆锥的容积为
课
作
时
探
究 释
V 圆锥＝31πAC2·PC
分 层 作
疑
业
难
＝13π( 3r)2·3r＝3πr3，V 球＝43πr3.
返
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高中数学课件-1 球的体积与表面积 (共13张PPT)
复习回顾 1. 柱、锥、台的体积计算公式？
圆柱、圆锥的侧面积、表面积计算公式？ 2. 两个平行于圆锥底面的平面将圆
锥的高分成相等的三段，求圆锥分成的 三部分的侧面积之比、三部分的体积之 比.
想一想
设球的半径为R，它的体 积怎么求呢？
你有什么方法吗？
试一试 排液法测小球的体积
变式3：棱长为1的正四面体， 它的外接球体积为多少？
思路一：把正四面体的四个顶点设为正方 体中对角线相等的顶点 ； 思路二：找直角关系。
二、正方体的内切球
.r
a
内切球的直径等于正方体的棱长。
二、构造法
1、构造正方体
例4、已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C都在半径
为 3 的球面上，若PA,PB,PC两两互相垂直，
h
试一试
排液法测小球的体积
H h
你还有别的方法吗？
圆
圆
柱
锥
的
与 半
等 于
体 积
球
的
体
积 和
V球
4
3
R3
引入新知
设球的半径为R，它的表 面积怎么求呢？
你有什么方法吗？
引入新知
球的体积与表面积:
球的体积
V球
4
3
R3
球的表面积 S球 4 R2
都是以R为自变量的 函数
例题解析
例1.若三个球的表面积之比为 1:2:3，求这三个球的体积之比。
则三棱锥的体积为
。
A
O C
P
B
变式4、已知球O的面上四点A、B、C、D， DA 平面ABC，AB BC, DA AB BC 3 则球O的体积为 9 。
高中数学(新教材)《球的表面积和体积》课件
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
核心概念掌握
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
知识点 球的表面积和体积
1．球的表面积
如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ □01 4πR2 .
2．球的体积 如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
□02 43πR3 .
答案 (1)C (2)1 (3)43π (4)4π
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
核心素养形成
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
题型一 球的表面积与体积 例 1 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积； (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积； (3)已知球的体积为5030π，求它的表面积．
R－r＝1， 4πR2－4πr2＝28π，
∴Rr＝＝34.，
∴它们的体积和为43πR3＋43πr3＝3634π.
(2)设球的半径为 R cm，由题意可知 2πR＝16π，解得 R＝8，
则 S 球＝4πR2＝256π(cm2).
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解析
题型二 球的截面问题 例 2 一平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离 为 2，则此球的体积为( ) A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π [解析] 利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，
随堂水平达标
课后课时精练
2．做一做
(1)若球的过球心的圆面圆周长是 c，则这个球的表面积是( )
1.7.3 球的表面积和体积 课件(北师大必修2)
1．球的表面积公式：S 球面＝ 4πR2 .
2．球的体积公式：V 球＝
4 3 πR 3 .
[小问题·大思维] 用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该 截面的几何量与象，用一个平面去截球体，截面是圆面， 在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图
所示．
若球的半径为R， 截面圆的半径为r， OO′＝d. 在Rt△OO′C中， OC2＝OO′2＋O′C2， 即R2＝r2＋d2.
[研一题] [例1] 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的
距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球 面面积与球的体积． [自主解答] 如图所示，设球心为O，截面圆圆心 O1，球半径为R， 连接OO1，则OO1是球心到截面的距离． 由于OA＝OB＝OC＝R，
在 Rt△AO1O 中，OA2＝O1O2＋O1A2， 1 2 即 R ＝( R) ＋48， 2
2
∴R＝8(cm)， ∴S 球＝4πR2＝4π× 64＝256π(cm2)， 4 3 2048 V 球＝ πR ＝ π(cm3). 3 3
[研一题] [例2] 轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，
若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．
[悟一法] 解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的 截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指
圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个
截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含 体和体之间的主要位置关系和数量关系．
[通一类]
2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在 半球的底面圆内， 若正方体棱长为 6， 求球的表面积和体积． 解：作轴截面如图所示，
CC′＝ 6，AC＝ 2· 6＝2 3， 设球的半径为 R， 则 R2＝OC2＋CC′2＝( 3)2＋( 6)2＝9， ∴R＝3， 4 3 ∴S 球＝4πR ＝36π，V 球＝ πR ＝36π. 3
北师大版高中数学必修二课件1.7.3球的表面积和体积.pptx
解：设球的内径是2xcm，那么球的质量为：
7.9[4 (50)3 4 x3] 145000
3 23
x3 11239.42 x 22.4
2x 44.8
答：钢球是空心的．其内径约为45cm．
1、填空 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍. (2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍. (3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是. (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是.
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
7.3球的表面积和体积
1.记住球的表面积和体积公式; 2.会用公式计算球的表面积和体积.
人类的家——地球
人类未来的家——火星 探索火星的航天飞船
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相 同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相 同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？ 为什么？
23
12cm
V圆锥
1 3
sh
1
3
r2h
1 42 12 201(cm3)
3
所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子.
例2、一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水
深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的深度上升到
8.5cm，求钢球的半径.
3cm
3cm
8.5cm
8cm
解： 设钢球半径为,R则由题意有
32
3
RtOOA中，OA2 OA2 OO2，
R2
(2 3 )2 3