课时跟踪检测(六) 球的体积和表面积

课时跟踪检测（六） 球的体积和表面积
层级一 学业水平达标
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A.8π
3 B.32π3 C ．8π
D.82π3
解析：选C 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1，∴截面圆的面积为S ＝
π
(
)
R 2－12＝(R 2－1)π＝π，∴R 2＝2，∴球的表面积S ＝4πR 2
＝8π.
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
A ．16π
B ．20π
C ．24π
D ．32π
解析：选A 设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，由V ＝1
3a 2h ＝a 2＝6，得a ＝ 6.由题
意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r ，则(3－r )2＋(3)2＝r 2，解得r ＝2，则S 球＝4πr 2＝16π.故选A.
3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A ．72π
B ．48π
C ．30π
D ．24π
解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体． V ＝13π×32×4＋12×4
3
π×33＝30 π.
4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( ) A ．S 正方体>S 球 B ．S 正方体<S 球 C ．S 正方体＝S 球
D ．无法确定
解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3
V ，
R ＝33V 4π
，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2<3216V 2.
5．球的表面积S 1与它的内接正方体的表面积S 2的比值是( ) A.π3 B.π4 C.π2
D ．π
解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝4
3R 2，
球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×4
3R 2＝8R 2，所以S 1S 2＝π2
.
6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________． 解析：过正方体的对角面作截面如图．
故球的半径r ＝2，
∴其表面积S ＝4π×(2)2＝8π. 答案：8π
7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)
的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，
所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 2
1＝πa 2.
答案：πa 2
8．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了5
3
cm ，则这个铁球的表面积为________ cm 2.
解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×5
3，解得r 3＝53，∴r ＝5，∴这个
铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．
答案：100π
9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比． 解：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3， ∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，
∴4πR 21∶4πR 22∶4πR 2
3＝1∶4∶9， 即R 21∶R 22∶R 23＝1∶4∶9，
∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，得R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27，
∴V 1∶V 2∶V 3＝43πR 31∶43πR 32∶43
πR 33＝R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27. 10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积
S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝4
3π×13＋
π×12×3＝
13π
3
. 层级二 应试能力达标
1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
解析：选B 正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．故选B.
2．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )
A.100π3 cm 3
B.208π3 cm 3
C.500π3
cm 3
D.41613π3
cm 3
解析：选C 根据球的截面的性质，得球的半径R ＝32＋42＝5(cm)，所以V 球＝4
3
πR 3
＝500π3
(cm 3)．
3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S ＝( )
A ．32＋π
B ．32＋2π
C ．28＋2π
D ．28＋π
解析：选A 由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S ＝4π×1
2
＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.
4.(新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝1
2×4πr 2＋πr 2
＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，
∴(5π＋4)r 2＝16＋20π， ∴r 2＝4，r ＝2，故选B.
5.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．
解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R ，则2R ＝
22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR 2＝4π(3)2＝12π.
答案：12π
6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是32
3
π，那么这个三棱柱的体积是________．
解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝32
3
π，得r ＝2，柱体的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三
角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝
3
4
×(43)2×4＝48 3. 答案：48 3
7．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积． 解：如右图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC 相切于
点D ，E .
连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD ＝12AC .
∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴OE AO ＝CD AC .
∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ， 设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )， ∴r
3－r ＝12，∴r ＝3
3 cm ，
V 球＝43π⎝⎛⎭⎫333＝4327π(cm 3)，
即球的体积等于4327π cm 3.
8．在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A -BCD ，求此正三棱锥的体积．
解：①如图甲所示的情形，显然OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝15.设H 为△BCD 的中心，则A ，O ，H 三点在同一条直线上．
∵HB ＝HC ＝HD ＝23×3
2×123＝12，
∴OH ＝
OB 2－HB 2＝9，
∴正三棱锥A -BCD 的高h ＝9＋15＝24. 又S △BCD ＝
3
4
×(123)2＝1083，
∴V三棱锥A-BCD＝1
3×1083×24＝864 3.
②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A-BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝1083，
∴V三棱锥A-BCD＝1
3×1083×6＝216 3.
综上，可知三棱锥的体积为8643或216 3.。