连续性方程
连续性方程是什么定律在流体力学中的应用
连续性方程是什么定律在流体力学中的应用
连续性方程是流体力学中的一个重要定律。
它表明物质的流动是连续的，即它是恒定的，不会失去或添加。
连续性方程定义了流体力学中影响流动的主要变量，即流体密度，速度
和压力。
它可以用一个公式来描述：ρ/ t + (ρv/ x ) + (ρvv/ y ) + (ρwz / z ) = 0。
这个方程描述了流体在时间和空间上的变化，即随着时间的推移，物质的流动越来越慢，可以用来研究气体和液体的流动。
可以用来评估各种变量，如流体密度、速度、压力和其
他变量的影响。
在应用连续性方程时，必须考虑在流体的混合阶段，如随着时间的推移，物质中必须有交换力存在，以使其不减少或增加。
在流体力学中，能量方程和动量方程也可以用来研究流体的运动。
当应用连续性方程时，可以考察不同变量对流体动力学的影响，比如不同密度和速度的流
体如何影响液体的压力，以及流体在某一时刻的运动行为等。
这可以帮助科学家们更好地
理解流体的运动。
总的来说，连续性方程是流体力学中重要的定律，可以用来描述和研究气体和液体的流动状态。
它考察的变量如浓度，速度和压力的影响可以帮助科学家们更好地理解流体的运动
特性。
连续性方程则是流体力学中重要的定律，也是在研究流体动力学时必不可少的方程。
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
连续性方程的原理和应用
连续性方程的原理和应用1. 连续性方程的概述连续性方程是描述流体运动中物质守恒的基本方程之一。
它表明在一个密闭系统中，物质的质量在任何一个时刻都是守恒的，在物质的进出过程中，质量的变化与流体流速和流量之间存在一定的关系。
2. 连续性方程的表达形式连续性方程可以用数学表达式来表示，其表达形式如下：\[ \frac{{\partial \rho}}{{\partial t}} +abla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，\(\rho\)表示流体的密度，\(\mathbf{v}\)表示流体的速度矢量，\( abla \cdot (\rho \mathbf{v})\)表示速度矢量的散度。
3. 连续性方程的原理连续性方程的原理可以归纳为以下几个方面：1.质量守恒：连续性方程表明在任何一个时刻，流体中的质量不会发生净变化。
2.流体流动：连续性方程表明流体在运动过程中，不会出现局部堆积或空洞的情况，流体是连续不断的。
3.质量流量守恒：连续性方程表明质量流量进出过程中的变化与流体的速度和密度有关，保证了质量的守恒。
4. 连续性方程的应用连续性方程在流体力学、热力学、电磁学等领域中有广泛的应用。
以下是连续性方程在不同领域的应用示例：4.1 流体力学中的应用•流体力学中的连续性方程可以用于描述液体或气体在管道、河流、空气动力学等流动过程中的质量守恒，进而计算流速、流量等物理量。
•在航空航天工程中，连续性方程被用来研究飞机气动特性和流体力学性质，以及优化飞行器的设计和性能。
4.2 热力学中的应用•热力学中的连续性方程可用于描述热传导、热对流和热辐射等过程中的能量守恒。
•在能源工程中，连续性方程被用来研究热能转换和传递，以及优化能量系统的设计和效率。
4.3 电磁学中的应用•电磁学中的连续性方程可用于描述电荷守恒和电流的流动。
•在电力系统工程中，连续性方程被用来研究电力传输和配电网的稳定性和效率。
第五章-连续性方程
p t
Dp
2 p x2
p
p x
p
p
x
gp
p
p
扩散部分
漂移部分
产生部分
复合部分
同样，对于P型材料，少子连续方程：
n t
Dn
2n x2
n
n x
nn
x
gn
n
n
2．连续性方程的应用
(1) 稳态少子连续性方程
假设材料为N型材料，均匀掺杂，内部也没 有其它产生，沿x方向加光照后，并加均匀电 场，求达到稳态时少子的分布规律。
2L2p
显然： L2p ( ) 4L2p Lp ( )
1 Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2L2p
0
2 Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2L2p
0
对很厚的样品： p() 0
x ,
0 Ae1 Be2
A=0， p(x) Be2x
x 0,
p(0) p0
p(x) poe2x
均匀掺杂的N型半导体，光均匀照在半导体
上，其内部均匀地产生非子，没有电场，内 部也没有其它产生，求光照停止后的衰减方 程。
●均匀掺杂，均匀光照：
dp d( p0 p) 0
dx
dx
●无 电 场：E=0 ●内部无其它产生：gp=0
dp p
dt t
p(t) Ae p
t=0，停止光照，p(0)=p0，A=p0
(2)求出简化方程的通解 (3)确定边界条件和初始条件，由此求出积分常数，
从而求出符合条件的特解
3.少子的电流连续方程(区分各部分的意义）
（1） N型：
p t
Dp
2 p x2
5.8 连续性方程(雨课堂课件)
上式表示，电场很强，扩散运动可以忽略时，由表面注入的非平
衡载流子深入样品的平均距离是牵引长度 Lp
E
，而不是扩散长
二、稳态连续性方程及其解(续)
度Lp。
2、电场很弱， Lp E Lp ,
Lp E L2p E 4L2p
2
2L2p
0
2
1 Lp
,
（5-141）
p p ex / LP 0
一、扩散运动和漂移运动同时存在时，连续性方程的建立
研究对象：以n 型半导体为例 对象所处的环境：表面光注入，E 沿x 方向。如图5-18。
目标：建立非平衡少数载流子的运动方程-连续性方程。 运用的物理规律： 扩散定律、复合理论、 欧姆定律(微分形式) 连续性方程建立采用的方法：微元、建立微分方程。
1012 1013 ed Lp , ed Lp 10
d Lp ln10 2.3 Dp 1.72102 cm
第九节 硅的少数载流子寿命与扩散长度 课后阅读
第五章作业布置(p156)
解题分析：要求出离表面多远处过剩空穴密度等于1012 cm-3，
首先要求出恒定光照条件下的非平衡载流子的分布情况，p x
然后，根据已知的浓度求位置x。 因此，解决此问题的关键是从连续性方程出发，得出给定条件 下的非平衡载流子的分布。
解： 第一步，建立连续性方程(没有电场)
p t
Dp
2 p x2
S p xdx S p x
• S dSp dx • S dx
➢ 单位时间单位体积内净流入的粒子数： dSp x ，它与空穴电
dx
流密度的关系是
一、扩散运动和漂移运动同时存在时，连续性方程的建立(续)
dSp x 1 d qSp x 1 dJ p
连续性方程公式
连续性方程公式
连续性方程公式是一种基本的方程，它描述了不受外力影响，封闭系统中物质的连续流动。
连续性方程公式表明，物质的流动受到物质密度、流速和压力等物理量的影响。
这个方程公式为科学家提供了深入了解物质流动规律的重要方法。
连续性方程公式是微分方程的一种，它是高等数学中关于流体动力学的核心理论。
连续性方程的一般形式为：
T/t + VT=(λT)
其中，T代表一个物质的总数，t时间，V物质的流速，λ物质的导热系数，代表的是梯度算子。
连续性方程的特点是它表明物质的流动受到物质的产品因子（即流速）和物质之间的相互作用（即压力）的影响。
连续性方程公式在工程中同样重要，其用于解释流体系统中的动量和能量传输，以及热传导和物理过程中物质的流动。
解决连续性方程可以帮助科学家们更好地掌握物质流动的规律，例如连续性方程可以用来解释流体中的热传导及其作用。
在飞机设计方面，连续性方程也有重要意义。
在飞机翼的设计中，连续性方程被用来模拟气动流动，以保证飞机翼的低阻力性能、高抗性性能和低摩擦系数等。
当飞机在空中飞行时，连续性方程可以帮助飞行员准确地控制飞机的垂直和水平姿态，同时实现最佳油耗。
在热力学和化学方面，连续性方程也拥有重要的应用。
例如，连续性方程可以用来解释气体的扩散和流动，以及物质在某一温度压力
下的变化。
连续性方程还可以用来求解流体的稳定性，解释温度的变化以及流体环境中的热量传递。
总之，连续性方程是物理学、工程学和化学中一类重要的方程。
它具有丰富的实际应用，为研究物质流动提供了有力的支持。
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
高量6--连续性方程
i q * [ (r ' , t )' (r ' , t )] 2m i q * (r , t ) (r r ' ) (r , t ) d 3 r 2m
利用分部积分法，有 * (r , t ) (r r ' ) (r , t ) d3 r * (r r ' ) (r , t ) (r , t ) d 3 r * (r ' , t ) (r ' , t ) 所以 iq * * J [ (r ' , t )' (r ' , t ) (r ' , t )' (r ' , t )] 2m
I i A (t ) [ H 0I , A I (t )] t
式中
I S H0 H0 , H1I U0 1 (t )H1S (t )U0 (t )
以下两式
i | (t ) I H1I | (t ) I t
I i A (t ) [ H 0I , A I (t )] t
(x' ) q (X x' ) q j(x' ) [ ( X x' )P P ( X x' )]
2m
写成HP下的形式是
1
H (x' , t ) q (XH x' )
H q J (x' , t ) [ ( X H (t ) x' )P H (t ) P H (t ) ( X H (t ) x' )] 2m
IP中态矢量和算符的运动方程可以对以下两式
| (t ) I e AI (t ) e
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也是调和函数
例：不可压缩流体，ux=x2－y2，uy= － 2xy，是否满足连续 性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函 数？并写出流函数。
解：（1）ux uy 2x 2x 0
x y
满足连续性方程
（2） z
1 2
u y x
ux y
0
是无旋流
（3）无旋流存在势函数：
d
uxdx
u ydy
例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运 动特征
解：流线方程： 线变形：
y c （流线是平行与x轴的直线族）
x
ux x
0
y
u y y
0
（无线变形）
角变形：
z
1 2
u y x
u x y
k 2
（有角变形）
旋转角速度：
z
1 2
u y x
ux y
k 2
（顺时针方向为负）
y
o
x
例：平面流场ux=－ky，uy= kx （k为大于0的常数），分析流 场运动特征
a→0：偶极流
φ=C Ψ=C
源流和源流的叠加
离心泵的叶片形状
源流和环流的叠加 （流线与等势线为相互正交的对数螺旋线族）
例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的 直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？
解： z
1 2
u y x
ux y
1 (0 a) 1 a 0
2
2
是有旋流
y ux
o
x
相当于微元绕瞬心运动
速度势函数
1.速度势函数
无旋
有势
类比：重力场、静电场——作功与路径无关→势能
无旋条件：
逆时针方向的转角为正
顺时针方向的转角为负
AA'
u y x
xdt
u y
dt
x
x
x
ux ydt
BB' y
ux dt
y
y
y
微团的旋转： 1
2
1 2
u y x
u x y
dt
zdt
z
1 2
u y x
ux y
是微团绕平行于oz轴的旋转角速度
同理
y
1 2
u x z
u z x
x
1 2
uz y
u y z
取（x0，y0）为（0，0）
(
x,
y)
y
0
x2
y2
dy
x2y
y3 3
几种简单的平面势流
1.均匀平行流
速度场 速度势函数 等势线 流函数 流线
ux a uy b （a,b为常数）
uxdx uydy ax by
c
ya xc
b
uxdy uydx ay bx
y
c
y b xc a
xi
y
j
zk
1 2
u
1 2
rotu
4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度
微团的角变形：
1
2
1 2
u y x
u x y
dt
zdt
z
1 2
u y x
u x y
是微团在xoy平面上的角变形速度
同理
x
1 2
u z y
u y z
y
1 ux 2 z
u z x
存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因
t x
y
z
满足连续性方程，此流动可能出现
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处 uz=0，求uz。
解：由
ux uy uz 0 x y z
得 uz 4x 4 y z
积分 uz 4(x y)z c 由z=0，uz=0 得 c=0
uz 4(x y)z
2.连续性方程的积分形式
得：
ux
x
uy
y
uz
z
u grad
（ φ的梯度）
2.拉普拉斯方程
由不可压缩流体的连续性方程
ux uy uz 0 x y z
将
ux x
uy
y
uz z
2
x 2
2
y 2
2
z 2
0
代入得
即
2 0
——拉普拉斯方程
2为拉普拉斯算子， φ称为调和函数 ——不可压缩流体无旋流动的连续性方程
要条件
d uxdy uydx
函数ψ称为流函数
有旋、无旋流动都有流函数
由函数ψ的全微分： d dx dy
x
y
得：
ux
y
uy x
流函数的主要性质：
（1）流函数的等值线是流线；
证明： c d 0 uxdy uydx 0
dx dy ux uy
——流线方程
（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；
证明：dq
u
ndl
ux
cos(n,
x)dl
u
y
cos(n,
y)dl
uxdy u ydx d
q ABd B A
（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程
证明：
z
1 2
u y x
u x y
0
则： uy ux 0 x y
在无旋流动中
将
ux
y
,uy
x
代入
得：
2
x 2
2
y2
0
2 0
连续性方程
1.连续性方程的微分形式
实质：质量守恒
z y
o
x
dmx
dmx’
dz
dy dx
dt时间内x方向：
流入质量 dmx uxdydzdt
流出质量 净流出质量
dmx '
ux
(ux )
x
dxdydzdt
M x
dmx'
dmx
(ux )
x
dxdydzdt
同理：M
y
(uy )
y
dxdydzdt
M z
(uz )
v1 A1
1
A2 v2 2
在dt时间内，流入断面1的流体质量必等 于流出断面2的流体质量，则
1Q1dt 2Q2dt 1Q1 2Q2
1v1A1 2v2 A2 ——连续性方程的积分形式
不可压缩流体 分流时 合流时
c
Q Qi Qi Q
Q1 Q2
v1A1 v2 A2
流体微元的运动分析
刚体——平移、旋转 流体——平移、旋转、变形（线变形、角变形）
x
x0
ux (x,
y0 )dx
y
y0
uy (x,
y)dy
取（x0，y0）为（0，0）
(x, y) x x2dx y 2xydy 1 x3 xy2
0
0
3
（4）2 2
x2 y 2
ux u y x y
2x (2x) 0
满足拉普拉斯方程， 是调和函数
（5）流函数
d uxdy uydx x2 y2 dy 2xydx
注意：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程
3.极坐标形式（二维） (r, )
ur r
u r
2
2 r 2 2
2
r 2
1 r
r
0
流函数
不可压缩平面流场满足连续性方程：
即：
ux uy 0 x y ux u y x y
由全微分理论，此条件是某位置函数ψ（x，y）存在的充
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u
)dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
t
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
解：流线方程：
dx ky
Hale Waihona Puke dy kxx2y2
c
（流线是同心圆族）
线变形： x y 0
（无线变形）
角变形： z 0
（无角变形）
旋转角速度：
z
1 2
k
k
k
（逆时针的旋转）
刚体旋转流动
有旋流动和无旋流动
1.有旋流动 2.无旋流动
0
0
即： x 0
y 0
z 0
uz u y y z ux uz z x u y ux x y
ur
Q
2r
Q ln r 2
Q 2
ψ4
φ1
φ2
ψ3
ψ1
o
ψ2
汇点o是奇点r→0 ur→∞
势流叠加原理
21 0 22 0 1 2 也满足 2 0 ——势流叠加原理 同理，对无旋流： 2 0