正态分布和对数正态分布精编版
对数正态分布和正态分布均值和方差的关系
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对数正态分布 标准正态分布
对数正态分布标准正态分布【对数正态分布 vs 标准正态分布：理解两种分布的特点与应用】1. 前言在统计学和概率论中，对数正态分布和标准正态分布是两个重要的概念。
它们在金融、医学、生态学等领域有着广泛的应用，对于理解和分析数据具有重要意义。
本文将深入探讨对数正态分布和标准正态分布的概念、特点和应用，以帮助读者更深入地理解这两种分布。
2. 对数正态分布的概念和特点对数正态分布是指连续随机变量的概率分布，其对数服从正态分布。
如果一个随机变量 X 服从对数正态分布，那么 ln(X) 应该服从正态分布。
对数正态分布通常用来描述生态学中的种群增长、金融市场中的资产价格变动等现象。
其概率密度函数为：f(x) = (1 / (x * σ * √(2 * π))) * exp( -((ln(x) - μ)^2) / (2 * σ^2) )其中，μ和σ是分布的参数，x是随机变量。
对数正态分布的特点包括右偏、非对称以及具有长尾分布的特点。
3. 标准正态分布的概念和特点标准正态分布是统计学中常用的一种连续型概率分布，其概率密度函数为：φ(x) = (1 / √(2 * π)) * exp( -x^2 / 2 )其中，φ(x)表示标准正态分布的概率密度函数，x表示随机变量。
标准正态分布的特点包括均值为0、标准差为1，且其曲线关于y轴对称。
4. 对数正态分布与标准正态分布的联系和区别对数正态分布与标准正态分布之间存在着一定的联系和区别。
对数正态分布的特点之一是右偏，而标准正态分布是对称的。
对数正态分布是描述随机变量的对数服从正态分布，而标准正态分布是描述随机变量本身服从正态分布。
对数正态分布和标准正态分布在应用上也有所不同，对数正态分布常用于描述增长率、金融资产价格的分布，而标准正态分布常用于统计推断和假设检验。
5. 对数正态分布与标准正态分布的应用对数正态分布和标准正态分布在现实生活中有着广泛的应用。
在金融领域，对数正态分布常用于描述股票价格、汇率等金融资产的分布情况，而标准正态分布常用于风险评估和价值-at-risk的计算。
对数正态分布的介绍
对数正态分布的介绍
对数正态分布（Lognormal Distribution）是一种常见的统计分布，它是基于正态分布的变换，其中变量的对数服从正态分布。
它是一个双峰分布，其峰值位于变量的均值处，并且具有较低的偏度和峰度。
在许多应用中，对数正态分布被用来描述观察到的数据，因为它能够捕捉和描述数据中的双峰结构。
对数正态分布可以用来描述一系列自然现象，如植物的生长率、气候变化、地震活动、经济变化、股票市场价格变动、人群的出生率等。
它也可以用来模拟许多随机过程，如蒙特卡罗模拟、金融模拟、经济模拟等。
正态分布详解(很详细)
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
用求导的方法可以证明， x=μσ
为f (x)的两个拐点的横坐标。
这是高等数学的内容，如果忘记了，课下 再复习一下。
根据对密度函数的分析，也可初步画出正 态分布的概率密度曲线图。
回忆我们在本章第三讲中遇到过的 年降雨量问题，我们用上海99年年降雨 量的数据画出了频率直方图。
定理1
设 X ~ N (, 2 ) ,则Y X ~N(0,1)
根据定理1,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的概 率计算问题.
四、正态分布表
书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
表中给的是x>0时, Φ(x)的值.
下面我们在计算机上模拟这个游戏： 街头赌博
高尔顿钉板试验
平时，我们很少有人会去关心小球 下落位置的规律性，人们可能不相信 它是有规律的。一旦试验次数增多并 且注意观察的话，你就会发现，最后 得出的竟是一条优美的曲线。
高 尔 顿 钉 板 试 验
这条曲线就近似我们将要介 绍的正态分布的密度曲线。
正态分布的定义是什么呢？
由于连续型随机变量唯一地由它 的密度函数所描述，我们来看看正态 分布的密度函数有什么特点。
请看演示 正态分布
二、正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形
P(|Y | 3 ) 0.9974
对数正态分布word版本
对数正态分布在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。
如果X是正态分布的随机变量，则exp(X) 为对数分布；同样，如果Y 是对数正态分布，则 ln(Y) 为正态分布。
如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。
一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。
对于，对数正态分布的概率分布函数为其中与分别是变量对数的平均值与標準差。
它的期望值是方差为给定期望值与标准差，也可以用这个关系求与与几何平均值和几何标准差的关系对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。
在这种情况下，几何平均值等于，几何平均差等于。
如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。
置信区间界对数空间几何3σ 下界2σ 下界1σ 下界1σ 上界2σ 上界3σ 上界其中几何平均数，几何标准差[编辑]矩原始矩为：或者更为一般的矩[编辑]局部期望随机变量在阈值上的局部期望定义为其中是概率密度。
对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为其中是标准正态部分的累积分布函数。
对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用。
[编辑]参数的最大似然估计为了确定对数正态分布参数μ与σ的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。
我们来看其中用表示对数正态分布的概率密度函数，用—表示正态分布。
因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：由于第一项相对于μ与σ来说是常数，两个对数最大似然函数与在同样的μ与σ处有最大值。
因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计[编辑]相关分布•如果与，则是正态分布。
•如果是有同样μ参数、而σ可能不同的统计独立对数正态分布变量，并且，则Y 也是对数正态分布变量：。
正态分布和对数正态分布
对数正态分布的峰度为$frac{e^{2sigma^2}1+6sigma^2}{sigma^2}$。
描述性统计量
偏度和峰度用于描述数据的形状，偏度表示数据分布的不对称性， 峰度表示数据分布的尖锐程度。
06
对数正态分布在实践中的 应用
数据建模
自然现象
医学研究
对数正态分布常用于描述自然现象，如地震、 火山喷发、降雨量等，因为这些现象的强度 或频率往往呈现对数增长的特点。
正态分布的应用领域
自然现象
01
许多自然现象的随机变量服从正态分布，如人类的身高、智商、
考试分数等。
金融领域
02
金融市场中的许多随机变量，如股票收益率、汇率波动等，也
呈现出正态分布的特征。
统计学与数据分析
03
在统计学中，正态分布被广泛应用于样本数据的统计分析，如
参数估计和假设检验。
正态分布在统计学中的重要性
正态分布和对数正态 分布
目录
• 正态分布概述 • 正态分布的性质 • 正态分布在实践中的应用 • 对数正态分布概述 • 对数正态分布的性质 • 对数正态分布在实践中的应用
01
正态分布概述
定义与特性
定义
正态分布是一种连续概率分布， 其特征是数据呈现钟形曲线，且 曲线关于均值对称。
特性
正态分布具有集中性、对称性和均 匀分散性的特点，其中标准正态分 布的均值为0，标准差为1。
中心极限定理在金融、生物、医学、工程等多个领域都有广泛应用。例如，在金融领域，我们经常使用正态分布 来描述股票价格的波动；在生物和医学领域，我们使用正态分布来描述人类身高、血压等生理指标的分布。
参数估计
参数估计
参数估计是统计学中的一种重要方法，其目的是通过样本数据来估计总体参数 的值。在正态分布的背景下，我们通常使用样本均值和样本标准差来估计总体 均值和总体标准差。
正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题: xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5 2.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
对数正态分布
i0
此时令 k
2 同样得到 DX
E X
EX
2
e2
2
C2i
1
ei
2i2 i 2
2
e2
e2 2 2e 2 e 2
e 2 1 e2 2
i0
5. 对数正态分布参数的矩估计量
设随机变量 X 满足 ln X N , 2 ， X1, X2, , Xn 是来自总体 X 的一个样本.那
么
^ 和 2 的矩估计量分别为
1 ln 2
X X
4 2
^ ， 2
ln
X2
2
X
.
证明如下：
2
X EX e 2
X
2
E
X2
e2 2 2
X 2 e 2 2
X
2
e2 2 2
1
ln
X
4
2 X2
ln 2
Xi
2 .
证明如下：
当 xi 0i 1, 2, , n 时，似然函数 L, ; x1, x2, , xn
n
i 1
1 xi
ln
xi
n
n i 1
1 2
xi
exp
1 2
ln
xi
对数正态分布的性质
1. 标准正态分布
称随机变量 X 服从标准正态分布，若 X 的分布函数为 x 1
x t2
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＆ 对数正太分布
正态分布的概念和特征
变量的频数或频率呈中间最多，两端 逐渐对称地减少， 表现为钟形的一种概率分布。从理论上说，若随机变 量x的概率密度函数为：
f ( x) 1 e( x )2 / 2 2
2
则称x服从均数为μ，方差为σ2的正态分布
标准正态分布
定义 X ~ N（0，1）分布称为标准正态分布
若 X 是一个随机变量， Y＝ln(X)服从正态分布： Y=ln(X)～N(,2)
则称 X 服从对数正态分布。 对数正态概率密度函数是：
f(x)=
1 x 2exp1 2来自lnx 2
0
x0
（3-9）
x0
和 不是对数正态分布的均值和标准差，而分别称为它的对数均值和对数标 准差。
对数正态分布的均值是：
E(x )
exp
2
2
对数正态分布的方差是：
var(x ) exp 2 2 exp 2 －1
密度函数
(x)
1
x2
e2
2
分布函数
x
(x)
1
x2
e 2 dx
2
0 1
正态分布的密度函数的图形
y
1
2
-
+
x
中间高 两边低
对数正态分布：
是对数为正态分布的任意随机变
量的概率分布。如果 X 是正态分布的 随机变量，则 exp(X) 为对数分布；同 样，如果 Y 是对数正态分布，则 ln(Y) 为正态分布。