2013届高三数学二轮复习 专题六 第3讲 统计与统计案例教案
第3讲统计、统计案例自主学习导引真题感悟1．(2012·福建)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取的女运动员人数是________．解析利用分层抽样的特点，按比例抽样去分析．依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x人，根据分层抽样特点，得x42＝2898，解得x＝12.答案122．(2012·湖北)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65解析根据频率的定义求解．由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间[10.40)的频率为9200.45.答案 B考题分析统计与统计案例部分的高考试题难度一般不大，考查的内容多为抽样方法，用样本估计总体、线性回归分析、独立性检验等，这类题目作为解答题出现时，往往与概率结合命题．网络构建高频考点突破考点一：抽样方法【例1】(2012·中山模拟)某校共有学生2 000名，各年级男、女学生人数如图表示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法(按年级分层)在全校学生中抽取100人，则应在高三级中抽取的学生人数为________.[审题导引] 据题意求出字母的值，按照分层抽样的规则计算．[规范解答] 据题意得x ＝2 000×0.19＝380，∴高三级的学生人数为y ＋z ＝2 000－385－375－380－360＝500， ∴在高三级中抽取的学生人数为500×1002 000＝25. [答案] 25 【规律总结】抽样方法的选取注意分层抽样与系统抽样的计算方法，分层抽样是按比例抽样，比例的性质、方程的方法起主要作用；系统抽样首先是对总体分段的计算，注意分段时可能要排除一些个体，各段的间隔距离是一样的，但各段中抽取的个体就可有不同的规则，要根据这些规则通过计算确立抽取的个体． 【变式训练】1．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号．若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生． 解析 由于组距为5，所以所抽号码为(8－3)×5＋12＝37. 答案 37考点二：用样本估计总体【例2】 (1)(2012·西城二模)下图是1、2两组各7名同学体重(单位：kg)数据的茎叶图．设1、2两组数据的平均数依次为1和2，标准差依次为s 1和s 2，那么(注：标准差s ＝1n[x 1－x －2＋x 2－x －2＋…＋x n －x －2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数) A.x －1＞x －2，s 1＞s 2 B.x －1＞x －2，s 1＜s 2 C.x －1＜x －2，s 1＜s 2D.x －1＜x －2，s 1＞s 2(2)(2012·徐州模拟)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在[16,18]的学生人数是________．[审题导引] (1)根据茎叶图中的数据分别计算x －1，x －2，s 21，s 22，然后比较大小； (2)根据直方图中各小矩形的面积和为1计算出成绩在[16,18]的频率，然后计算成绩在[16,18]的学生人数．[规范解答] (1)由茎叶图知 x －1＝58＋57＋56＋53＋61＋72＋707＝61.s 21＝17[(58－61)2＋(57－61)2＋(56－61)2＋(53－61)2＋(61－61)2＋(72－61)2＋(70－61)2]＝2997， 同理x －2＝64，s 22＝3907，所以x －1＜x －2，s 1＜s 2.(2)由频率分布直方图可知成绩在[16,18]的学生的频率为6＋31＋3＋7＋6＋3＝920，所以成绩在[16,18]的学生人数为920×120＝54.[答案] (1)C (2)54 【规律总结】用样本估计总体时应注意的问题(1)理解在抽样具有代表性的前提下，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，用样本的特征数估计总体的特征数，这是统计的基本思想；(2)反映样本数据分布的主要方式，一个是频率分布表，一个是频率分布直方图，要学会根据频率分布直方图估计总体的概率分布以及总体的特征数，特别是均值、众数和中位数；(3)要掌握好样本均值和方差的实际意义，并在具体的应用问题中会根据计算样本数据的均值和方差对实际问题做出解释；(4)茎叶图是表示样本数据分布的一种方法，其特点是保留了所有的原始数据，这是茎叶图的优势．【变式训练】2．(2012·义乌模拟)在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是________；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是________组．解析 把乙组数据从小到大排， 得79,84,84,84,86,87,93，故中位数是84，x －甲＝84，x －乙＝85， ∴x －乙＞x －甲．答案 84 乙3．(2012·杭州二模)将容量为n 的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 的值为 A ．70 B ．60 C ．50 D ．40解析 据题意知2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1＝27n，∴n ＝60.答案 B考点三：线性回归分析【例3】某种设备的使用年限x 和维修费用y (万元)有以下的统计数据，如表所示(1)画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ∧＝bx ＋a ； (3)估计使用年限为10年，维修费用是多少？[审题导引] (1)根据对应值组成点的坐标，画出各点即可；(2)直接套用求回归直线系数的公式，求出b ，a ；(3)根据求出的回归直线方程，求当x ＝10时对应的y 值，即使用年限为10年时，维修费用的估计值．[规范解答] (1)作出散点图如图所示．(2)∑4i ＝1x i y i ＝66.5，∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， x －＝4.5，y －＝3.5，b ＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7， a ＝y －－b x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以所求的回归方程为y ∧＝0.7x ＋0.35.(3)当x ＝10时，y ∧＝0.7×10＋0.35＝7.35，所以使用年限为10年，维修费用的估计值是7.35万元．【规律总结】求线性回归分析问题的方法(1)画出两个变量的散点图；(2)求回归直线方程；(3)用回归直线方程进行预报．其中求回归直线方程是关键．而求回归直线方程的最好方法是“最小二乘法”，即对于线性回归模型y ∧＝a ＋bx 来说，估计模型中的未知参数a 和b 的最好方法就是用最小二乘法，其计算公式为b ＝∑n i ＝1 x i －x －y i －y －∑ni ＝1 x i －x －2＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x 2i －n x －2，a ＝y －－b x －. [易错提示] 虽然由任何一组不完全相同的数据都可以求出回归直线方程，但只有具有线性相关关系的一组数据才能得到有意义的回归直线方程，求出的方程才具有实际价值．线性相关系数可以是正、负或零，线性相关系数为正时是正相关，为负时是负相关，反之也成立． 【变式训练】4．(2012·深圳模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ∧＝0.67x ＋54.9.现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________．解析 由表知x －＝30，设模糊不清的数据为y ，则y －＝15(62＋y ＋75＋81＋89)＝307＋y 5，∵y －＝0.67 x －＋54.9， 即307＋y5＝0.67×30＋54.9， 解得y ＝68. 答案 68考点四：独立性检验【例4】有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表.已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为27.(1)请完成上面的列联表．(2)根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？ (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率．[审题导引] 第(1)问由题易知成绩优秀的概率是27，则成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，据此即可以完成列联表；第(2)问按照独立性检验的原理进行判断；第(3)问列举基本事件个数和随机事件含有的基本事件个数，按照古典概型的概率公式进行计算． [规范解答] (1)列联表如表所示(2)根据列联表中的数据，得到k ＝105×10×30－20×45255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )．所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，…(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，故P (A )＝836＝29.【规律总结】独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出2×2列联表，假设两个变量无关系；(2)根据公式K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d计算K2的值；(3)比较K2与临界值的大小关系作统计推断．【变式训练】5．(2012·南京模拟)某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表的数据，可以有________%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.独立性检验临界值表：独立性检验随机变量K2值的计算公式：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.解析k＝204×12－3×125×15×7×13＝5.934，根据临界值表可知有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．答案97.5名师押题高考【押题1】根据下面频率分布直方图(如图所示)估计样本数据的中位数、众数分别为A．12.5,12.5 B．13,12.5C．12.5,13 D．14,12.5解析中位数是位于中间的数，故中位数是13，众数是12.5，中位数把图形的面积一分为二．答案 B[押题依据] 高考要求考生能通过样本的分布估计总体的分布；根据样本的特征数估计总体的特征数，考查考生的读图能力、概括能力，故押此题．【押题2】某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得频率分布表如下：(1)写出表中位置①②处的数据；(2)为了选拔更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求出第三、四、五组参加考核的人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1人在第四组中的概率．解析 (1)由题知位置①的数据是50×0.24＝12，位置②的数据是1550＝0.30.(2)第三组参加考核的人数为1530×6＝3；第四组参加考核的人数为1030×6＝2；第五组参加考核的人数为530×6＝1.(3)设第三组的3名学生为A 、B 、C ，第四组的2名学生为D 、E ，第五组的1名学生为F ，则从这6名学生中录取2名学生的方法有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，而至少有1人是第四组的有AD ，AE ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，DF ，EF ，共9种．故所求的概率P ＝915＝35.[押题依据] 概率与统计相结合的解答题是高考的一个热点题型．本题考查了频率分布表、抽样方法、古典概型，突出了知识和能力的考查，故押此题．。
【高考二轮课程】数学理科 第3讲 概率与统计 教案
高考二轮复习第3讲概率与统计随机事件的概率、古典概型、几何概型；概率的基本概念与公式；用样本估计总体、回归分析和独立性检验等；条件概率与相互独立事件的概率；离散型随机变量及其分布列；二项分布与正态分布；离散型随机变量的分布列、均值与方差.一、高考回顾概率与统计是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查古典概型及其二项式定理，二项式定理主要考查求特定项或系数或求参数等，试题的难度一般不大；解答题考查多在概率与统计的综合问题，重点考查随机变量的期望与方差．二、知识清单1.思维导图2.知识再现1.排列排列数公式：),,()!(!)1()1(**N n N m n m m n n m n n n A mn ∈∈≤-=+--=Λ2.组合(1)组合数公式：),,()!(!!1)1()1()1(**N n N m n m m n m n m m m n n n A A C m m m n m n∈∈≤-=-+--==ΛΛ.由于1!0=，所以10=n C .(2)组合数的性质m n n m n C C -=①；1-1m n m n m n C C C +=+②.3.二项式定理(1)二项展开式：)()(*111N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n nn n∈+++++=+--ΛΛ通项：).2,1,0(1n k b aC T k kn kn k Λ==-+(2)二项式系数的有关性质：①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即1425312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ；②若,)(2210nn x a x a x a a x f ++++=Λ则)(x f 展开式中的各项系数和为)1(f ，奇数项系数和为2)1()1(420-+=+++f f a a a Λ，偶数项系数之和为2)1()1(531--=+++f f a a a Λ.4.三种抽样方法的特点简单随机抽样:操作简便、适当,总体个数较少 分层抽样:按比例抽样 系统抽样:等距抽样5. 必记公式——数据n x x x x ,,,,321Λ的数字特征公式： （1）平均数：nx x x x x n++++=Λ321（2）方差：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=Λ（3）标准差：])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=Λ 6.重要性质及结论(1)频率分布直方图的三个结论 ①小长方形的面积=⨯=组距频率组距频率;②各小长方形的面积之和等于1;③小长方形的高组距频率=. (2)回归直线方程:一组具有线性相关关系的数据),(,),,(),,(2211n n y x y x y x Λ其回归方程^^^a xb y +=，其过样本中心点),(y x .(3)独立性检验))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n k ++++-=（其中d c b a n +++=为样本容量）.7.随机事件的概率：(1)随机事件的概率范围：1)(0<<A P .(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0. 8.互斥事件、对立事件的概率公式:(1))()()(B P A P B A P +=⋃.(2)若B A ,为对立事件，则)(1)(B P A P -=. 9.古典概型的概率公式：基本时间总数中所含的基本事件数A n m A P ==)(. 10.几何概型的概率公式：）区域长度（面积或体积试验全部结果所构成的积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)(.11.相互独立事件同时发生的概率：)()()(B P A P AB P =.12.独立重复试验与二项分布:如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为kn kkn k n p p C P --=)1()(，.,,2,1,0n k Λ=用X 表示事件A 在n 次独立重复试验中发生的次数，则X 服从二项分布，即),(~p n B X 且kn kkn p p C k X P --==)1()(.13.超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则nNKN MN k M C C C k X P --==)(，.,,2,1,0m k Λ=其中},min{n M m =，且*,,N N M n N M N n ∈≤≤、、.此时称随机变量X 服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样. 14.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量X 的分布列为离散型随机变量X 的分布列具有两个性质：①0≥i p ；②),,3,2,1(121n i p p p p n i ΛΛΛ==++++. (2) ))(2211n n i i p x p x p x p x X E ++++=ΛΛ为随机变量X 的数学期望或均值.n n i i p X E x p X E x p X E x p X E x X D ⋅-+⋅-++⋅-+⋅-=22222121))(())(())(())(()(ΛΛ叫做随机变量X 的方差.性质：①b X aE b aX E +=+)()(，)()(2X D a b aX D =+；②),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=；),(~2σμN X ,则2)(,)(σμ==X D X E ; ③X 服从两点分布，则p X E =)(,)1()(p p X D -=.三、例题精讲题型一 古典概型与几何概型例1【2018全国1卷理10】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形、此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC ，△ABC 的三边所围成的区域记为I ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为III .在整个图形中随机取一点。
《导学教程》高三数学二轮复习教案专题六第3讲统计与统计案例
第 3 讲统计、统计事例自主学习导引真题感悟1．(2012·福建 )一支田径队有男女运动员98 人，此中男运动员有56 人，按男女比率用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为取的女运动员人数是 ________．28 的样本，那么应抽分析利用分层抽样的特色，按比率抽样去剖析．依题意，女运动员有98－56＝ 42(人 )．设应抽取女运动员x 人，依据分层抽样特x 28点，得42＝98，解得 x＝12.答案122．(2012·湖北 )容量为 20 的样本数据，分组后的频数以下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数234542则样本数据落在区间A． 0.35C． 0.55[10,40)的频次为B．0.45D．0.65分析依据频次的定义求解．由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，9所以样本数据落在区间 [10.40)的频次为20＝ 0.45.答案B考题剖析统计与统计事例部分的高考试题难度一般不大，考察的内容多为抽样方法，用样本预计整体、线性回归剖析、独立性查验等，这种题目作为解答题出现时，常常与概率联合命题．网络建立高频考点打破考点一：抽样方法【例 1】(2012·中山模拟 )某校共有学生 2 000 名，各年级男、女学生人数如图表示，已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二级女生的概率是 0.19，现用分层抽样的方法 (按年级分层 )在全校学生中抽取 100 人，则应在高三级中抽取的学生人数为 ________.高一级高二级高三级女生385x y男生375360z[ 审题导引 ]据题意求出字母的值，依照分层抽样的规则计算．[规范解答 ]据题意得x＝2 000×0.19＝380，∴高三级的学生人数为 y＋z＝ 2 000－385－375－380－ 360＝500，100∴在高三级中抽取的学生人数为500×2 000＝ 25.[答案]25【规律总结】抽样方法的选用注意分层抽样与系统抽样的计算方法，分层抽样是按比率抽样，比率的性质、方程的方法起主要作用；系统抽样第一是对整体分段的计算，注意分段时可能要排除一些个体，各段的间隔距离是同样的，但各段中抽取的个体便可有不一样的规则，要依据这些规则经过计算确定抽取的个体．【变式训练】1．某班级有 50 名学生，现要采纳系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生，将这 50 名学生随机编号 1～50 号，并分组，第一组 1～ 5 号，第二组 6～10号，，第十组 46～50 号．若在第三组中抽得号码为 12 的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．分析因为组距为 5，所以所抽号码为 (8－ 3)×5＋12＝37.答案37考点二：用样本预计整体【例 2】 (1)(2012·西城二模 )以下图是 1、2 两组各 7 名同学体重 (单位： kg)数据的茎叶图．设 1、2 两组数据的均匀数挨次为1和2，标准差挨次为 s1和 s2，那么(注：标准差＝ 1 1－2＋ x2－－2＋＋ xn－－2]，s n[ x － x x x－， 2，， n 的均匀数此中 x 为 x1)x x－－－－A. x1＞x 2，s1＞s2B. x1＞x 2，s1＜s2－－－－C. x1＜x 2，s1＜s2D. x1＜x 2，s1＞s2(2)(2012·徐州模拟 )某年级 120 名学生在一次百米测试中，成绩所有介于 13 秒与18 秒之间．将测试结果分红 5 组： [13,14)，[14,15)， [15,16)， [16,17)， [17,18] ，获得以下图的频次散布直方图．假如从左到右的 5 个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在 [16,18]的学生人数是 ________．[审题导引 ](1)依据茎叶图中的数据分别计算 － －22 ，而后比较大x1， x2，s，s1 2小；(2)依据直方图中各小矩形的面积和为1 计算出成绩在 [16,18]的频次，而后计算成绩在 [16,18]的学生人数．[规范解答 ] (1)由茎叶图知－ 58＋ 57＋ 56＋53＋61＋72＋ 70 x 1＝ 7＝61.21 2－ 2 2 ＋ － 2 －2 ＋－2 s 1＝[(58 －61) ＋(5761)＋ －61)61)＋61)61)＋7(56 (53(61(722299(70－61) ]＝ 7 ，－2 390 －－ ， s ＜ s .122212(2)由频次散布直方图可知成绩在[16,18] 的学生的频次为6＋ 3＝1＋3＋7＋6＋3920，9所以成绩在 [16,18]的学生人数为 20× 120＝54.[ 答案 ] (1)C (2)54 【规律总结】用样本预计整体时应注意的问题(1)理解在抽样拥有代表性的前提下，能够用样本的频次散布预计整体的频次分布，用样本的特色数预计整体的特色数，这是统计的基本思想；(2)反应样本数据散布的主要方式，一个是频次散布表，一个是频次散布直方图，要学会依据频次散布直方图预计整体的概率散布以及整体的特色数，特别是均值、众数和中位数；(3)要掌握好样本均值和方差的实质意义，并在详细的应用问题中会依据计算样本数据的均值和方差对实质问题做出解说；(4)茎叶图是表示样本数据散布的一种方法，其特色是保存了所有的原始数据，这是茎叶图的优势．【变式训练】2．(2012·义乌模拟 )在以下图的茎叶图中，乙组数据的中位数是________；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的均匀数中较大的一组是 ________组．分析把乙组数据从小到大排，得 79,84,84,84,86,87,93，－－故中位数是 84， x甲＝84， x 乙＝85，－－∴x 乙＞ x 甲．答案 84乙3．(2012·杭州二模 )将容量为 n 的样本中的数据分红 6 组，若第一组至第六组数据的频次之比为 2∶3∶ 4∶ 6∶ 4∶ 1，且前三组数据的频数之和等于27，则 n 的值为A．70B．60C．50D．40分析据题意知2＋3＋4＝27n，2＋3＋4＋6＋4＋1∴n＝ 60.答案B考点三：线性回归剖析【例 3】某种设施的使用年限x 和维修花费 y( 万元 )有以下的统计数据， 如表所示x3 4 5 6y2.5344.5(1)画出上表数据的散点图；∧(2)请依据上表供给的数据，求出 y 对于 x 的线性回归方程 y ＝ bx ＋a ； (3)预计使用年限为 10 年，维修花费是多少？[ 审题导引 ] (1)依据对应值构成点的坐标，画出各点即可；(2)直接套用求回归直线系数的公式，求出b ，a ；(3)依据求出的回归直线方程， 求当 x ＝10 时对应的 y 值，即便用年限为 10 年时，维修花费的预计值．[ 规范解答 ] (1)作出散点图以下图．442 2 22 2 ＝86，i ＝1 i ii ＝ 1 i－ － x ＝ 4.5， y ＝3.5，66.5－4×4.5×3.5 66.5－63 b ＝ 86－4× 4.52＝＝ 0.7，86－81－－ ＝ － × ＝ ，a ＝ y－b x3.5 0.74.5 0.35∧所以所求的回归方程为 y ＝0.7x ＋ 0.35.∧(3)当 x ＝10 时， y ＝0.7×10＋ 0.35＝7.35，所以使用年限为 10 年，维修花费的预计值是7.35 万元．【规律总结】求线性回归剖析问题的方法(1)画出两个变量的散点图；(2)求回归直线方程；(3)用回归直线方程进行预告．此中求回归直线方程是重点．而求回归直线方程的最好方法是“ 最小二乘∧a 和b 的最法”，即对于线性回归模型 y＝a＋bx 来说，预计模型中的未知参数n－－∑xi－ x y i－ yi ＝1好方法就是用最小二乘法，其计算公式为 b ＝n ＝－ 2∑x i－ xi ＝1n－－∑ i i－n x y－－i ＝1x yn， a＝ y －b x .∑2－－2i＝1x i n x[ 易错提示 ]固然由任何一组不完整同样的数据都能够求出回归直线方程，但只有拥有线性有关关系的一组数据才能获得存心义的回归直线方程，求出的方程才拥有实质价值．线性有关系数能够是正、负或零，线性有关系数为正时是正有关，为负时是负有关，反之也建立．【变式训练】4．(2012 ·深圳模拟 )某车间为了规定工时定额，需要确定加工部件所花销的时间，为此进行了 5 次试验．依据采集到的数据 (以下表 )，由最小二乘法求得回∧归方程 y＝0.67x＋54.9.现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推测出该数据的值为________．－分析由表知 x ＝30，设模糊不清的数据为y，－1307＋y则 y＝5(62＋ y＋75＋81＋ 89)＝5，－－＋54.9，∵y ＝0.67x307＋ y即5＝0.67×30＋ 54.9，解得 y＝ 68.答案68考点四：独立性查验【例 4】有甲、乙两个班级进行数学考试，依照大于等于下为非优异统计成绩后，获得以以下联表.85 分为优异，85 分以优异非优异总计甲班乙班共计 1051030已知在所有105 人中随机抽取 1 人为优异的概率为2 7.(1)请达成上边的列联表．(2)依据列联表中的数据，若按95%的靠谱性要求，可否定为“成绩与班级有关系”？(3)若按下边的方法从甲班优异的学生中抽取一人：把甲班优异的10 名学生从 2 到 11 进行编号，先后两次投掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到 6 号或 10 号的概率．2[审题导引 ] 第 (1)问由题易知成绩优异的概率是7，则成绩优异的学生数是30，成绩非优异的学生数是 75，据此即能够达成列联表；第 (2)问依照独立性检验的原理进行判断；第 (3)问列举基本领件个数和随机事件含有的基本领件个数，依照古典概型的概率公式进行计算．[ 规范解答 ](1)列联表如表所示优异非优异总计甲班104555乙班203050共计3075105依据列联表中的数据，获得105× 10× 30－20×452k＝≈6.109＞ 3.841，(2)55×50×30× 75所以有 95%的掌握以为“成绩与班级有关系”．(3)设 “抽到 6 号或 10 号”为事件 A ，先后两次投掷一枚均匀的骰子，出现的点数为 (x ，y)．所有的基本领件有 (1,1)，(1,2)， (6,6)，共 36 个．事件 A 包括的基本领件有 (1,5)，(2,4)，(3,3)， (4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共 8 个，故8 2P(A)＝36＝9.【规律总结】独立性查验的一般步骤(1)依据样本数据列出 2×2 列联表，假定两个变量没关系；(2)依据公式 K 2＝n ad －bc2计算 K 2的值；a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d(3)比较 K 2 与临界值的大小关系作统计推测．【变式训练】5．(2012·南京模拟 )某研究小组为了研究中学生的身体发育状况，在某学校随机抽出 20 名 15 至 16 周岁的男生，将他们的身高和体重制成 2× 2 列联表，依据列 联表的数据，能够有 ________%的掌握以为该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和 体重之间有关系 .超重不超重共计 偏高 4 1 5 不偏高 3 12 15 共计71320独立性查验临界值表：P(K 2≥k 0)0.025 0.010 0.005 0.001k 05.0246.6357.879 10.828独立性查验随机变量 K 2 值的计算公式：2K 2＝n ad －bc.a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d20 4×12－3×1 2分析 k ＝5× 15×7×13＝5.934，依据临界值表可知有97.5%的掌握以为该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和体重之间有关系．答案97.5名师押题高考【押题 1】依据下边频次散布直方图 (以下图 )预计样本数据的中位数、众数分别为A． 12.5,12.5B． 13,12.5C． 12.5,13D．14,12.5分析中位数是位于中间的数，故中位数是13，众数是12.5，中位数把图形的面积一分为二．答案B[ 押题依照 ]高考要求考生能经过样本的散布预计整体的散布；依据样本的特色数预计整体的特色数，考察考生的读图能力、归纳能力，故押本题．【押题 2】某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50 名学生的成绩作为样本，得频次散布表以下：组号分组频数频次第一组[230,235)0.16第二组[235,240)①0.24第三组[240,245)15②第四组[245,250)100.20第五组[250,255]50.10共计50 1.00(1)写出表中地点①②处的数据；(2)为了选拔更优异的学生，高校决定在第三、四、五组顶用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮查核，分别求出第三、四、五组参加查核的人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生，求 2 人中起码有1人在第四组中的概率．分析(1)由题知地点①的数据是50×0.24＝12，15地点②的数据是50＝ 0.30.15(2)第三组参加查核的人数为30×6＝3；10第四组参加查核的人数为30×6＝2；5第五组参加查核的人数为30×6＝1.(3)设第三组的 3 名学生为 A、B、C，第四组的 2 名学生为 D、E，第五组的 1 名学生为 F，则从这 6 名学生中录取 2 名学生的方法有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共 15 种，而起码有 1 人是第四组的有 AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE，DF ，EF，共 9 种．故所求的概9 3率 P＝15＝5.[ 押题依照 ]概率与统计相联合的解答题是高考的一个热门题型．本题考察了频率散布表、抽样方法、古典概型，突出了知识和能力的考察，故押本题．。
高三二轮复习(理数) 第三讲 统计与统计案例(教案)(Word版,含答案)
第三讲统计与统计案例[考情分析]统计部分在选择、填空题中的命题热点有随机抽样、用样本估计总体以及变量的相关性，难度较低．回归分析常在解答题中考查1．(2016·高考全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确，故D错误．答案：D2．(2015.高考全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2， (8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝1w i.(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 (u i －u )(v i －v )∑ni ＝1(u i －u )2，α^＝v －β^ u . 解析：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． (2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑8i ＝1(w i －w )(y i －y )∑8i ＝1(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值 y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值 z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．抽样方法[方法结论]三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n ，总体的个体数为N ，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是nN.[题组突破]1．(2017·荆门调研)将参加数学竞赛决赛的500名学生编号为001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第三考点被抽中的人数为( ) A ．14 B ．15 C ．16D ．21解析：系统抽样的样本间隔为50050＝10，第一个号码为003，按照系统抽样的规则，抽到的号码依次为003,013,023,033,043,053，…，493，第三考点抽到的第一个号码为363，最后一个号码为493，由等差数列的通项公式得493＝363＋(n －1)×10，解得n ＝14，故选A. 答案：A2．工厂生产的A 、B 、C 三种不同型号的产品数量之比依次为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A 、B 、C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本中A 型产品有16件，则n 的值为________． 解析：由已知得n ×22＋3＋5＝16，解得n ＝80.答案：80 [误区警示]利用系统抽样分段时，若分段间隔不为整数，应先随机剔除部分元素，再分组，但每个个体被抽到的概率仍为样本容量总体个数.此问题易忽视．用样本估计总体[方法结论]1．在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用各小矩形的面积表示，各小矩形的面积总和为1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小矩形高的比也就是频率比． 2．当样本数据较少时，用茎叶图表示数据效果较好，要分清何为茎，何为叶，并明确其特征数字的含义． 3．特征数字(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．在频率分布直方图中，众数的估计值是最高的矩形的中点的横坐标．(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．在频率分布直方图中，把使左边和右边的直方图的面积相等的直线所对应的横坐标的估计值作为中位数的值．(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(4)方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中s 为标准差．方差与标准差都反映了样本数据的稳定与波动、集中与离散的程度．s 2越小，样本数据的稳定性越高，波动越小．[典例] (1)如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各4名学生完成某道数学题的得分情况，该题满分为12分．已知甲、乙两组学生的平均成绩相同，乙组某个数据的个位数字模糊，记为x .则下列命题正确的是( )A ．甲组学生的成绩比乙组稳定B ．乙组学生的成绩比甲组稳定C ．两组学生的成绩有相同的稳定性D ．无法判断甲、乙两组学生的成绩的稳定性解析：x 甲＝14×(9＋9＋11＋11)＝10，x 乙＝14×(8＋9＋10＋x ＋12)＝10，解得x ＝1.又s 2甲＝14×[(9－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(11－10)2]＝1，s 2乙＝14×[(8－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝52，∴s 2甲＜s 2乙，∴甲组学生的成绩比乙组稳定．选A. 答案：A(2)海尔公司的n 名员工参加“我是销售家”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，由统计的数据得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频数分布表：②现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组中抽取的人数分别是多少？③在②的条件下，从这6人中随机抽取2人参加“我是销售家”的彩排活动，求恰有1人的年龄在第3组的概率．解析：①由频率分布直方图可知年龄在[35,40)的频率为0.08×5＝0.4，又其人数为100，所以100n ＝0.4，解得n ＝250.所以x ＝0.02×5×250＝25.②因为第1,2,3组共有25＋25＋100＝150(人)，利用分层抽样在150人中抽取6人，则第1组抽取的人数为6×25150＝1，第2组抽取的人数为6×25150＝1，第3组抽取的人数为6×100150＝4，所以年龄在第1,2,3组中分别抽取的人数为1,1,4.③由②可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为C 1，C 2，C 3，C 4，则从这6人中抽取2人的所有情况为{A ，B }，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{A ，C 3}，{A ，C 4}，{B ，C 1}，{B ，C 2}，{B ，C 3}，{B ，C 4}，{C 1，C 2}，{C 1，C 3}，{C 1，C 4}，{C 2，C 3}，{C 2，C 4}，{C 3，C 4}，共有15种情况． 其中恰有1人的年龄在第3组的所有情况为{A ，C 1}，{A ，C 2}，{A ，C 3}，{A ，C 4}，{B ，C 1}，{B ，C 2}，{B ，C 3}，{B ，C 4}，共有8种情况． 所以恰有1人的年龄在第3组的概率为815.[类题通法]1．用样本估计总体充分体现了数形结合思想的运用，主要考查利用茎叶图或频率分布直方图来估计总体． 2．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，易出错，应注意区分这三者，在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．[演练冲关]空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数．空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图如图．利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数(按这个月总共30天计算)为( ) A ．15 B ．18 C ．20D ．24解析：从茎叶图中可以发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610＝35，估计该地本月空气质量优良的频率为35，从而估计该地本月空气质量优良的天数为30×35＝18.选B.答案：B回归分析[方法结论]1．方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定参数，回归方程的截距和斜率分别为b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx － y－∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，(x ，y )是样本中心点，回归直线过样本中心点．2．(1)正相关与负相关就看回归直线的斜率，斜率为正则为正相关，斜率为负则为负相关．(2)样本相关系数r 具有以下性质：r >0表示两个变量正相关，r <0表示两个变量负相关；|r |≤1，且|r |越接近于1，线性相关程度越强，|r |越接近于0，线性相关程度越弱．[典例]某家具厂对每日的原材料费支出与销售额之间的关系进行分析研究，12月1日～5日的原材料费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下数据：选取的2组数据进行检验，(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并判断该线性回归方程是否可靠(若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差不超过2万元，则认为得到的线性回归方程是可靠的)．解析：(1)设选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据为事件A,5组数据分别记为a ，b ，c ，d ，e ，从5组数据中任选2组，总的基本事件有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种， 事件A 包含的基本事件有ac ，ad ，ae ，bd ，be ，ce ，共6种， 所以P (A )＝610＝35.(2)x ＝11＋13＋123＝12，y ＝25＋30＋263＝27， ∑3i ＝1x i y i ＝11×25＋13×30＋12×26＝977，∑3i ＝1x 2i ＝112＋132＋122＝434， b ^＝977－3×12×27434－3×122＝52，a ^＝y －－b ^x ＝27－52×12＝27－30＝－3， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝2.5x －3， 当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝25－3＝22；当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝20－3＝17；|23－22|＝1＜2，|17－16|＝1＜2，经检验估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2万元，所以该线性回归方程可靠． [类题通法]化归思想在回归分析的应用体现在以下两个方面(1)如果两个变量呈非线性相关关系，则可通过恰当的变换，将其转化成线性关系，再求线性回归方程．(2)利用回归直线方程可以进行预测与估计，但要注意回归直线方程表明的是两组数据之间的相关关系，而不是函数关系，所以利用该方程求出的数值都是估计值，而不是一个确定的数值．[演练冲关]某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日营业额y (单位：万元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：(1)求y 关于x 的回归方程y ^＝b ^x ＋a ；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．解析：(1)x ＝15×(2＋5＋8＋9＋11)＝7，y ＝15×(1.2＋1＋0.8＋0.8＋0.7)＝0.9.∑5i ＝1x 2i ＝4＋25＋64＋81＋121＝295，∑5i ＝1x i y i ＝2.4＋5＋6.4＋7.2＋7.7＝28.7，∴b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝28.7－5×7×0.9295－5×72＝－2.850＝－0.056，a ^＝y －b ^x ＝0.9－(－0.056)×7＝1.292. ∴回归方程为y ^＝－0.056x ＋1.292.(2)∵b ^＝－0.056＜0，∴y 与x 之间是负相关． 当x ＝6时，y ^＝－0.056×6＋1.292＝0.956. ∴该店当日的营业额约为9 560元．独立性检验与概率、统计的交汇考查[典例] (2017·贵阳模拟)2016年3月31日贵州省第十二届人民代表大会常务委员会第二十一次会议通过的《贵州省人口与计划生育条例修正案》全面开放二孩政策．为了解人们对于贵州省新颁布的“生育二孩放开”政策的热度，现在某市进行调查，对[5,65]岁的人群随机抽取了n 人，得到如下统计表和各年龄段抽取人数的频率分布直方图：(1)求n ，p 的值；(2)根据以上统计数据填下面2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能否有99%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“生育二孩放开”政策的支持度有关系？参考数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解析：(1)从[5,15)岁这一年龄段中抽取的人数为40.8＝5，频率为0.010×10＝0.1，∴n ＝50.1＝50.由题可知，第二组的频率为0.2，∴第二组的人数为50×0.2＝10，则p ＝510＝0.5.(2)2×2列联表如下：K 2＝50×(3×11－7×29)(3＋7)(29＋11)(3＋29)(7＋11)≈6.27＜6.635，∴没有99%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“生育二孩放开”政策的支持度有关系． [类题通法]求解独立性检验应用交汇问题的模型(1)读懂列联表：明确列联表中的数据． (2)计算K 2：根据提供的公式计算K 2值．(3)作出判断：依据临界值与犯错误的概率得出结论．(4)计算随机变量的分布列、期望：利用给定数据分析变量取值，计算概率，得分布列后求期望．[演练冲关]1．(2017·石家庄模拟)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥根据表中数据，得到K 2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________．解析：由K 2＝4.844＞3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%.答案：5%2．(2017·高考全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ，新养殖法的箱产量不低于50 kg ”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3)0.01)． 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解析：(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg ”． 由题意知P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )． 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K 2＝200×(62×66－34×38)100×100×96×104≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．。
2013年高三数学二轮复习专题五第二讲统计、统计案例教案理
第二讲 统计、统计案例研热点（聚焦突破）类型一 抽样方法抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．[例1] (2012年高考山东卷)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．15[解析] 结合系统抽样的概念、等差数列的概念及通项公式求解．由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9，39，69，…，939.落入区间[451，750]的有459，489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． [答案] C跟踪训练(2012年高考江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析：抽取比例与学生比例一致．设应从高二年级抽取x 名学生，则x ∶50＝3∶10.解得x ＝15. 答案：15类型二 用样本估计总体 1．频率分布直方图(1)各矩形的面积和为1；(2)纵轴表示的不是频率而是频率/组距；(3)样本数据的平均数为各组中值与各组频率积的和； (4)众数为最高矩形底边中点的坐标． 2．茎叶图：没有数据的流失．3．样本平均数：x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )样本方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋（x n －x )2]．4．众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)． 5．中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．例2] (1)(2012年高考山东卷)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5，22.5)，[22.5，23.5)，[23.5，24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．[解析] 结合直方图和样本数据的特点求解．最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9. [答案] 9(2)(2012年高考陕西卷)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙，中位数分别为m 甲、m 乙，则( )A ．x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B ．x 甲<x 乙，m 甲<m 乙C ．x 甲>x 乙，m 甲>m 乙D ．x 甲>x 乙，m 甲<m 乙 [解析] 直接利用公式求解．x 甲＝116(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516， x 乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716. ∴x 甲<x 乙．又∵m 甲＝20，m 乙＝29，∴m 甲<m 乙．[答案] B跟踪训练从甲、乙两个班级各抽取8名学生参加英语口语竞赛，他们的成绩的茎叶图如图：其中甲班学生的平均成绩是85，乙班学生成绩的中位数是84，则x ＋y 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．10解析：由题意可知，甲班学生的平均成绩为78＋79＋80＋（80＋x ）＋85＋87＋92＋968＝85，解得x ＝3.由题中图可知，乙班学生成绩的中位数就是83与(80＋y )的平均数，即83＋（80＋y ）2＝84，解得y ＝5. 所以x ＋y ＝8.答案：C类型三 线性回归分析1．判断两变量是否有线性相关关系的方法(1)作散点图；(2)利用相关系数判断相关性的强弱．2．回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过定点(x －，y －)．[例3] (2012年高考湖南卷)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg [解析] 根据线性回归方程中各系数的意义求解．由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本中心点(x －，y －)，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确．当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确． [答案] D跟踪训练已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )A.y ^＝1.5x ＋2 B.y ^＝－1.5x ＋2 C.y ^＝1.5x －2 D.y ^＝－1.5x －2解析：设回归方程为y ^＝bx ＋a .由散点图可知变量x 、y之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，所以b <0，a >0，因此其回归直线方程可能为y ^＝－1.5x ＋2.答案：B类型四 独立性检验 2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表为：构造一个随机变量：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．[例4] (2012年高考辽宁卷)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2[解析] (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×（30×10－45×15）275×25×45×55＝10033≈3.030.因为 3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中a i表示男性，i＝1，2，3，b j表示女性，j＝1，2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝710.跟踪训练一个车间为了规定工时定额．需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验．测得的数据如下：(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少？解析：(1)列出下表：由于r ＝0.999 8>0.75，因此x 与y 之间有很强的线性相关关系，因而可求回归直线方程． (2)设所求的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则有因此，所求的回归直线方程为y ^＝0.668x ＋54.96.(3)这个回归直线方程的意义是当x 每增大1时，y 的值约增加0.668，而54.96是y 不随x 增加而变化的部分．因此，当x ＝200时，y 的估计值为y ^＝0.668×200＋54.96＝188.56≈189.因此，加工200个零件所用的工时约为189分．析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考陕西卷)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．【解析】 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.【名师点睛】 本题通过直方图考查频率的求解及频率与概率间的关系，着重考查读图、识图能力，难度中等．解答本题时要注意甲、乙两图中纵轴含义为“频数”．考情展望概率统计部分是高考命题热点，各种题型都有，主要有两个方面：一是在选择填空中考查抽样方法，用样本估计总体、回归分析以及独立性检验等基本问题．二是在解答题中，考查概率与统计中内容的综合问题，应用性较强． 名师押题【押题】 第30届夏季奥运会于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：若身高在180 cm 以上(包括180 cm)定义为“高个子”，身高在180 cm 以下(不包括180 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？ (2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．【解析】 (1)根据茎叶图可知，这20名志愿者中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法从中抽取5人，则每个人被抽中的概率是520＝14，所以应从“高个子”中抽8×14＝2人，从“非高个子”中抽12×14＝3人．用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有一人是“高个子”的概率是710.2)依题意知，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 34C 38＝114，P (X ＝1)＝C 14C 24C 38＝37，P (X ＝2)＝C 24C 14C 38＝37，P (X ＝3)＝C 34C 38＝114.因此，X 的分布列如下：所以X 的数学期望EX ＝0×14＋1×7＋2×7＋3×14＝2.。
高中数学高考二轮复习统计与统计案例教案(全国专用)
1．(2016·山东，3，易)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22．5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56 B．60 C．120 D．1401．D[考向2]由频率分布直方图可知，每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，所以每周的自习时间不少于22.5小时的人数是200×0.7＝140.2．(2016·课标Ⅲ，4，易)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个2．D平均最高气温高于20 ℃的为七、八月份，∴D错．3．(2013·安徽，5，易)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是()A．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数3．C [考向1，3]五名男生成绩的平均数是x －男＝86＋94＋88＋92＋905＝90， 五名女生成绩的平均数是x －女＝88＋93＋93＋88＋935＝91， 五名男生成绩的方差是s 2男＝15(16＋16＋4＋4＋0)＝8， 五名女生成绩的方差是s 2女＝15(9＋4＋4＋9＋4)＝6， 由s 2男>s 2女知应该选C.4．(2014·山东，7，中)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．184．C [考向2]由题图可知，第一组和第二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.40，故该试验共选取志愿者200.40＝50(人)．所以第三组共有50×0.36＝18(人)，其中有疗效的人数为18－6＝12.5．(2014·天津，9，易)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．5．[考向1]【解析】 一年级本科生人数占总人数的比例为44＋5＋5＋6＝420＝15，所以应从一年级本科生中抽取的学生数为300×15＝60.【答案】606．(2015·湖南，12，易)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．6．[考向1，2]【解析】根据系统抽样原理，应将数据按照顺序分成7组，每组5人．区间[139，151]恰好包含第3组到第6组的数据，所以应该从中抽取4人．【答案】 47．(2014·江苏，6，易)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.7．[考向2]【解析】由频率分布直方图可知，在抽测的60株树木中，底部周长小于100 cm的频率是(0.015＋0.025)×10＝0.4，所以底部周长小于100 cm的株数是60×0.4＝24.【答案】248．(2016·四川，16，12分，中)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．8．[考向2]解：(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)因为前6组的频率之和为0．04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85.而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3，由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．9．(2015·广东，17，12分，中)某工厂36名工人的年龄数据如下表.。
中学高三数学总复习专题六统计及统计案例新人教APPT学习教案
解析：选 D.由于线性回归方程中 x 的系数为 0.85，因 此 y 与 x 具有正的线性相关关系，故 A 正确．又线性 回归方程必过样本点的中心( x ， y )，因此 B 正确．由 线性回归方程中系数的意义知，x 每增加 1 cm，其体 重约增加 0.85 kg，故 C正确．当某女生的身高为 170 cm 时，其体重估计值是 58.79 kg，而不是具体值，因此 D 不正确．
A．7
B. 9
C．10
D．15
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思路点拨►本题为系统抽样，按 照系统抽样的步骤进行求解. 【解析】 由系统抽样的特点知，抽取号码的间隔为93620
＝30，抽取的号码依次为 9,39,69，…，939.落入区间 [451,750]的有 459,489，…，729，这些数构成首项为 459， 公差为 30 的等差数列，设有 n 项，显然有 729＝459＋ (n－1)×30，解得 n＝10.所以做问卷 B 的有 10 人．
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【解】 (1)由所给的数据可以看 出，年需求量与年份之间
是年近份－似200直6 线－上4 升－，2 下0面来2 求4 回归 直需线求量方－2程57 ．－为21 此－对11 数0据1预9 29
处理如下： 对预处理后的数据，容易算得 x ＝0， y ＝3.2，
^b＝－4×－21－＋42－＋2－×2－2＋1122＋＋24×2 19＋4×29 ＝24600＝6.5，
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^a＝ y －^b x ＝3.2. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 ^y －257＝^b (x －2006)＋^a＝6.5(x－2006)＋3.2， 即^y ＝6.5(x－2006)＋260.2① (2)利用直线方程①，可预测 2012 年的粮食需求量为 6.5×(2012 － 2006) ＋ 260.2 ＝ 6.5×6 ＋ 260.2 ＝ 299.2( 万 吨)≈300(万吨)．
高中数学统计解答教案
高中数学统计解答教案
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握统计学中的基本概念和计算方法，并能够灵活运用到解决实际问题中。
教学重点：频数、频率、平均数、中位数、众数等统计学基本概念的理解和应用。
教学难点：如何根据给定的数据计算出相应的统计量，并作出合理的分析。
教学过程：
一、引入情境（5分钟）
老师出示一组实际的数据，如班级同学的身高、体重等，让学生进行观察并谈论数据的特点，引导学生思考如何从这些数据中得出有意义的信息。
二、学习基本概念（15分钟）
1. 定义频数、频率、平均数、中位数、众数等基本概念，并通过实例讲解其计算方法。
2. 通过练习题让学生掌握基本概念的运用方法。
三、综合应用（20分钟）
1. 老师出示一组数据集合，要求学生计算出各项统计量，并进行分析。
2. 学生分组进行讨论，总结出有关数据的规律和特点。
四、课堂练习（10分钟）
老师布置一些相关练习题，让学生在课堂上进行解答，并在过程中引导学生思考问题的解决方法。
五、总结复习（5分钟）
老师对本节课的重点内容进行总结，并提醒学生进行复习和巩固。
教学反思：通过本节课的教学，学生对统计学的基本概念有了更深入的理解，并能够灵活运用到实际问题中解决。
同时，通过学生的合作讨论和自主学习，培养了学生的团队合作精神和分析问题能力。
需继续鼓励学生多进行实际练习，加深对统计学知识的理解和运用能力。
2019-2020学年度高三理科数学二轮复习：专题六第三讲 正态分布、统计与统计案例-含解析
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习：专题六第三讲正态分布、统计与统计案例-含解析______年______月______日____________________部门20xx最新高三理科数学二轮复习：专题六第三讲正态分布、统计与统计案例-含解析第三讲正态分布、统计与统计案例高考导航1．考查正态曲线的性质及正态分布的概率计算．2．考查系统抽样和分层抽样、样本的频率分布与数字特征、线性回归分析、独立性检验．3．与概率知识交汇进行综合考查.1．(20xx·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了20xx年1月至20xx年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图：根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳[解析] 折线图呈现出的是一个逐渐上升的趋势，但是并不是每个月都在增加，故A说法错误；折线图中按照年份进行划分，可以看出每年的游客量都在逐年增加，故B说法正确；折线图中每年的高峰出现在每年的7,8月，故C说法正确；每年的1月至6月相对于7月至12月的波动性更小，变化的幅度较小，说明变化比较平稳，故D说法正确．[答案] A2．(20xx·山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋，已知i＝225，i＝1600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )A．160 B．163C．166 D．170[解析] 由题意可得＝22.5，＝160，∴＝160－4×22.5＝70，即＝4x＋70.当x＝24时，＝4×24＋70＝166，故选C.[答案] C3．(20xx·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．[解析] 从丙种型号的产品中抽取的件数为60×＝18.[答案] 184．(20xx·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量<50 kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K2＝.[解] (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg旧养殖法62 38新养殖法34 66K2＝≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋≈52.35(kg)．考点一正态分布1．正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线关于直线x＝μ对称，且在x＝μ处达到峰值．(2)曲线与x轴之间的面积为1.(3)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．正态分布X～N(μ，σ2)的三个常用数据(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；(2)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.[思维流程][解] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X ～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X 的数学期望为E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(ⅱ)由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 115×(16×9.97－9.22)＝10.02， 因此μ的估计值为10.02.i ＝116x2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134， 剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09.正态分布应关注的两点(1)利用P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值直接求解．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1来求解．[对点训练]1．(20xx·兰州检测)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)[解析] 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错．[答案] C 2．某校组织了“20xx年第15届希望杯数学竞赛(第一试)”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(72,121)(单位：分)，此次考生共有500人，估计数学成绩在72分到83分之间的人数约为(参数数据：P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544.)( )B．170A．238D．477C．340 [解析] 因为X～N(72,121)，所以μ＝72，σ＝11，又P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，所以P(61<X<83)＝0.6826，因为该正态曲线关于直线x＝72对称，所以P(72<X<83)＝P(61<X<83)＝×0.6826＝0.3413，所以0.3413×500＝170.65，从而可得在72分到83分之间的人数约为170，故选B.[答案] B考点二抽样方法、用样本估计总体1．抽样方法抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽样方法都是等概率抽样．2．频率分布直方图(1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3．方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2][对点训练]1．(20xx·怀化二模)某校高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为( )B．26A．27D．24C．25 [解析] 根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，则抽取的号码差相等，易知相邻两个学号之间的差为11－3＝8，所以在19与35之间还有27，故选A.[答案] A 2．(20xx·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )B．60A．56D．140C．120 [解析] 由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选D.[答案] D 3．(20xx·山东临沂一模)传承传统文化再掀热潮，在刚刚过去的新春假期中，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是( )A ．甲的平均数大于乙的平均数B ．甲的中位数大于乙的中位数C ．甲的方差大于乙的方差D ．甲的平均数等于乙的中位数[解析] 由茎叶图，知：甲＝(59＋45＋32＋38＋24＋26＋11＋12＋14)＝29，x －乙＝(51＋43＋30＋34＋20＋25＋27＋28＋12)＝30，s ＝[302＋162＋32＋92＋(－5)2＋(－3)2＋(－18)2＋(－17)2＋(－15)2]≈235.3，s ＝[212＋132＋02＋42＋(－10)2＋(－5)2＋(－3)2＋(－2)2＋(－18)2]≈120.9，甲的中位数为：26，乙的中位数为：28，∴甲的方差大于乙的方差．故选C.[答案] C4．(20xx·正定中学抽测)从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数为________，中位数为________．[解析] 由图可知，平均数＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x ，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x－120)＝0.5，解得x ＝124.[答案] 125 124统计问题应关注的3点(1)分层抽样的关键是确定抽样比例，系统抽样主要是确定分段间隔，应用等差数列计算个体号码数．(2)在频率分布直方图中，众数为最高矩形的底边中点的横坐标，中位数为垂直横轴且平分直方图面积的直线与横轴交点的横坐标，平均数为每个小矩形的面积乘以相应小矩形底边中点的横坐标之积的和．(3)计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算．方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大．考点三 线性回归分析、独立性检验1．线性回归方程方程＝x ＋称为线性回归方程，其中＝，＝－；(，)称为样本中心点．2．独立性检验K2＝(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．角度1：线性回归方程的求解及应用【例2－1】 (20xx·全国卷Ⅲ)下图是我国20xx 年至20xx 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份20xx ～20xx. [解] (1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，(ti －)2＝28，＝0.55，i ＝17 (ti －)(yi －)＝iyi －i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.103，a ^＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y 关于t 的回归方程为＝0.92＋0.10t.将20xx 年对应的t ＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测20xx 年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．角度2：独立性检验的应用[解] (1)优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计3080110(2)根据列联表中的数据，得到K2＝≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩是否优秀与班级有关系”．(1)求回归直线方程的关键①正确理解计算，的公式和准确的计算，其中线性回归方程必过样本中心点(，)．②在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．(2)独立性检验的关键根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大．[对点训练]1．[角度1]某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)如下表：年份x20xx20xx20xx20xx20xx储蓄存款y/千亿元567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－20xx，z＝y－5得到下表：时间代号t12345z01235(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程＝x ＋，其中＝，＝－) [解] (1)令z 关于t 的线性回归方程为＝t ＋，∵＝3，＝2.2，izi ＝45，＝55，b ^＝＝1.2，＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4，∴＝1.2t －1.4.(2)将t ＝x －20xx ，z ＝y －5，代入＝1.2t －1.4， 得－5＝1.2(x －20xx)－1.4，即＝1.2x －2408.4.(3)∵＝1.2×2020－2408.4＝15.6(千亿元)，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．2．[角度2](20xx·××市高三第一次调研)近年来，随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来．如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方法从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如表：愿意被外派不愿意被外派 合计 70后 20 20 40 80后402060合计6040100(1)根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；(2)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加.70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x；80后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y.求x<y的概率．参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. [解] (1)有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，理由如下：K2＝错误!＝错误!＝≈2.778>2.706，所以有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”．(2)“x<y”包含“x＝0，y＝1”、“x＝0，y＝2”、“x＝0，y＝3”、“x＝1，y＝2”、“x＝1，y＝3”、“x＝2，y＝3”六个事件，且P(x＝0，y＝1)＝×＝，P(x＝0，y＝2)＝×＝，P(x＝0，y＝3)＝×＝，P(x＝1，y＝2)＝×＝，P(x＝1，y＝3)＝×＝，P(x＝2，y＝3)＝×＝，所以P(x<y)＝＝＝.即x<y的概率为.热点课题23 统计知识的实际应用[感悟体验](20xx·山西吕梁二模)某校某次N名学生的学科能力测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．(1)求总人数N和分数在110～115分的人数n；(2)现准备从分数在110～115的n名学生(女生占)中选3位分配给A老师进行指导，求选出的3位学生中有1位女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导建议，对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析，该生7次考试成绩如表数学(x)888311792108100112物理(y)949110896104101106已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程＝x＋.若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.[解] (1)分数在100～110内的学生的频率为P1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以该班总人数为N ＝＝60，分数在110～115内的学生的频率为P2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1，分数在110～115内的人数为n ＝60×0.1＝6.(2)由题意分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，从6名学生中选出3人，有1位女生的概率为P ＝＝.(3)计算＝×(88＋83＋117＋92＋108＋100＋112)＝100，y －＝×(94＋91＋108＋96＋104＋101＋106)＝100；由于x 与y 之间具有线性相关关系， 根据回归系数公式得到＝＝＝0.5，a ^＝－＝100－0.5×100＝50， ∴线性回归方程为＝0.5x ＋50，∴当x ＝130时，＝0.5×130＋50＝115.。
专题六第3讲统计与统计案例
A．10
考 点 核 心 突 破
B．11
C．12
D．16
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
考 点 核 心 突 破
[自主解答] (1)依表知 x＋y＋z＝4 000－2 000 ＝2 000， x 4 000＝0.2，于是 x＝800， 1 y＋z＝1 200，高二抽取学生人数为 1 200×40＝30. (2)因为 29 号、42 号的号码差为 13， 所以 3＋13＝16， 即另外一个同学的学号是 16，选 D.
考 点 核 心 突 破
A.－ x 甲＞－ x 乙，y 甲＞y 乙 C.－ x 甲＜－ x 乙，y 甲＞y 乙
菜 单
B.－ x 甲＜－ x 乙，y 甲＜y 乙 D.－ x 甲＞－ x 乙，y 甲＜y 乙
训 练 高 效 提 能
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
考 点 核 心 突 破
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
(2)(2013·潍坊二模)某市为增强市民的节约粮食意识， 面向全市征召务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中 随机抽取100名按年龄分组：第 1组[20,25) ，第2组 [25,30)， 第 3 组 [30,35) ，第 4 组 [35,40) ，第 5 组 [40,45] ，得到的频率 分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从第 3,4,5 组
高中数学 第三章 统计案例教案 北师大版选修23
第三章统计案例§1回归分析1．1 回归分析(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析．(2)明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析．(3)会解决实际问题．2．过程与方法(1)通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想．(2)从散点图中的点的分布上，发现直接求回归直线方程存在明显不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路——进行回归分析．3．情感、态度与价值观(1)培养学生用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题．(2)进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心．(3)加强与现实生活中的联系，以科学的态度评价两个变量的相关关系．●重点难点重点：掌握回归分析的步骤、相关系数、建立回归模型的步骤；体会有些非线性模型通过变换，可以转化为线性回归模型；在解决实际问题的过程中寻找更好的建型方法．难点：求线性回归方程的系数a，b；相关系数；选择不同的模型建模．回归分析主要是研究两个变量间的关系，是在必修三的基础上学习，教材的1.1回归分析是复习必修三的内容，为了使建立回归方程有意义，提出了相关系数，这与回归直线中b的系数有关联，教师可通过实例，让学生了解相关系数的大小与线性相关的关系；在现实中又有一种非线性的相关性，如何解决引导学生转化为线性关系，主要通过数形结合思想、函数思想，使问题化归为线性关系，教学中可通过提醒、猜想、练习等方法，使学生掌握本节的重点内容．(教师用书独具)●教学建议建议本节课用3课时讲解完成．教学中通过组织学生自己动手操作计算、观察、分析、交流、讨论、归纳让他们在探究学习中经历知识形成的全过程，从而形成“自主探究、合作交流”的数学学习方法．教师在课堂上可以用计算机软件进行参数的估计、相关系数的计数，让学生掌握利用计算器进行线性回归方程的求解和评价．●教学流程第1课时以实际问题作为课题引入．⇒回顾建立回归直线方程的基本步骤．⇒通过实例巩固、体验线性回归直线方程的求法及应用．⇒第2课时提出新问题，如何用其他方法刻画变量之间的线性相关．⇒师生共同探究，得出相关系的概念及相关系数的大小与线性相关之间的关系．⇒通过例题，巩固验证相关系数刻画变量之间的线性相关的特点．⇒第3课时引导学生探究如果不是线性回归模型，如何估计参数，能否利用线性回归模型．⇒对数据进行分析变换后，对新数据建立线性模型．⇒转化为原来变量模型，得出结论，总结建模思想，补充拓展．⇒课堂小结并完成当堂双基达标，巩固本节所学知识.课标解读 1.通过实例掌握回归分析的基本思想方法．2．利用最小二乘法会求线性回归直线方程，并能用线性回归直线方程进行预报.变量之间的相关关系【问题导思】1．正方形的面积S 与其边长a 是什么关系？圆的周长l 与半径r 是什么关系？ 【提示】 ∵S ＝a 2，l ＝2πr ， ∴它们都是确定的函数关系．2．父亲的身高与儿子的身高之间有何关系？耕种深度与水稻产量之间有何关系？ 【提示】 非确定关系．1．变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．如人的体重y 与身高x .一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系．相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性．2．在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常把这种图叫作变量之间的散点图．线性回归方程【问题导思】1．确定线性回归方程，只需得出哪两个量？【提示】 确定线性回归直线方程，只需确定a ，b 两个量即可．2．在线性回归方程y ＝a ＋bx 中，当一次项系数b 为正数时，说明两个变量有何相关关系？在散点图上如何反映？ 【提示】 说明两个变量正相关，在散点图上自左向右看这些点呈上升趋势．假设样本点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，设线性回归方程为y ＝a ＋bx ，要使这n 个点与直线y ＝a ＋bx 的“距离”平方之和最小，即使得Q (a ，b )＝(y 1－a －bx 1)2＋(y 2－a －bx 2)2＋…＋(y n －a －bx n )2达到最小，a ，b 需满足b ＝∑nb ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x .由数据求线性回归方程已知x ，y 之间一组数据：x 0 1 2 3 y1357(1)分别计算：x 、y 、x 1y 1＋…＋x 4y 4，x 21＋x 22＋…＋x 24； (2)求出线性回归方程y ＝bx ＋a .【思路探究】 可利用表格的数直接计算，然后把这些结果代入线性回归方程系数公式，分别求得a ，b ，再求出线性回归方程． 【自主解答】 (1)x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，x 1y 1＋…＋x 4y 4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x 21＋x 22＋…＋x 24＝02＋12＋22＋32＝14；(2)b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4－4x yx 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x 2＝34－4×1.5×414－4×1.52＝2；a ＝y －b x ＝4－2×1.5＝1.故y ＝2x ＋1.答：(1)所求的值分别为：1.5,4,34,14； (2)所求的线性回归方程是：y ＝2x ＋1.求线性回归方程的步骤：(1)列表求出x ，y ，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i ；(2)利用公式b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x ，求出b ，a ；(3)写出线性回归方程．观察两相关量得如下数据：x －1 －2 －3 －4 －5 5 3 4 2 1 y－9－7－5－3－115379求两变量间的回归方程． 【解】 列表i 12345678910 x i－1－2－3－4－55342 1 y i－9－7－5－3－115379 x2i1491625259164 1 x i y i9141512551512149由此可得x＝0，y＝0，∑10i＝1x2i＝110，∑10i＝1x i y i＝110，b＝∑10i＝1x i y i－10x y∑10 i＝1x2i－10x2＝110－10×0110－10×0＝1，a＝y－b x＝0，∴所求回归方程为y＝x.求实际问题的回归方程某企业想通过做广告来提高自己的知名度，经预测可知本企业产品的广告费支出x 与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 24568y 3040605070(1)判断y与x是否具有线性相关关系；(2)求回归直线方程．【思路探究】先画出散点图，即可判断y与x是否具有相关关系，如果y与x具有相关关系可将有关数据代入公式求得回归直线方程．【自主解答】(1)散点图如图所示：根据散点图可知，所给的数据点都在一条直线的附近，所以y与x具有线性相关关系．(2)列出下表，并且科学地的进行有关计算．i 1234 5x i24568y i3040605070x i y i60160300300560x＝5，y＝50，∑5 i＝1x2i＝145，∑5i＝1y2i＝135 000，∑5i＝1x i y i＝1 380于是可得，b＝∑5i＝1x i y i－5x y∑5 i＝1x2i－5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a＝y－b x＝50－6.5×5＝17.5，于是所求的回归直线方程是y＝6.5x＋17.5.对一级数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a、b的计算公式，算出a、b.由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：汞含量x 2 4 6 8 10 消光系数y64138205285360(1)作散点图；(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程． 【解】 (1)散点图如图．(2)由散点图可知，y 与x 呈相关关系，设线性回归方程为：y ＝bx ＋a .经计算：得x ＝6，y ＝210.4，∑5i ＝1x 2i ＝220，∑5i ＝1x i y i ＝7 790.∴b ＝7 790－5×6×210.4220－5×62＝36.95， a ＝210.4－36.95×6＝－11.3.∴线性回归方程为y ＝36.95x －11.3.利用回归直线方程进行统计某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下关系：x 35 40 45 50 y 56 41 28 11(1)画出散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系； (2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程；(3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(2)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．【思路探究】 两个变量呈现近似的线性关系，可通过公式计算出其线性回归方程，并根据方程求出其预测值．【自主解答】 (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．(2)∵x ＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5，y ＝14×(56＋41＋28＋11)＝34，∑4i＝1x i y i＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410，∑4i＝1x2i＝352＋402＋452＋502＝7 350，∴b＝∑4i＝1x i y i－4x·y∑4 i＝1x2i－4x2＝5 410－4×42.5×347 350－4×42.52＝－370125＝－2.96.∴a＝y－b x＝34－(－2.96)×42.5＝159.8.∴y＝－2.96x＋159.8.(3)依题意有P＝(－2.96x＋159.8)(x－30)＝－2.96x2＋248.6x－4 794，∴当x＝248.62×2.96≈42时，P有最大值，约为426，即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．1．b＝－2.96是斜率的估计值，说明单价每增加一个单位，日销售量就减少2.96. 2．借助于回归方程对实际问题的估计值是个近似值，不是一个准确值．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费y (万元)有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0若由资料可知y 对x 呈线性相关关系． (1)求线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少万元？ 【解】 (1)列表如下：ix iy ix 2ix i y i1 2 2.2 4 4.4 2 3 3.8 9 11.4 3 4 5.5 16 22.0 4 5 6.5 25 32.5 5 6 7.0 36 42.0 ∑202590112.3由此可得：x ＝4，y ＝5.进而可以求得b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝1.23，a ＝y －b x ＝0.08.∴线性回归方程为y ＝0.08＋1.23x .(2)当x ＝10时，y ＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)，即估计使用10年时维修费用是12.38万元.数形结合思想在回归分析中的应用(12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨标准煤)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．x 345 6y 2.534 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)【思路点拨】(1)可直接由表格提供的点，列出散点图；(2)可利用线性回归方程中a，b公式直接求解；(3)直接用方程来估计所求值．【规范解答】(1)图形如图所示．3分(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5；y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5；∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86. 6分∴b ＝∑4i ＝1x i y i －4x ·y ∑4i ＝1x 2i －4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， 8分 a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 9分∴y ＝0.7x ＋0.35. 10分 (3)现在生产100吨甲产品用煤y ＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴降低90－70.35＝19.65吨标准煤. 12分线性回归方程的应用(1)描述两变量间的依存关系；(2)利用回归方程可进行预测；(3)利用回归方程还可以进行统计控制．1．作回归分析要有实际意义．2．回归分析前，最好先做出散点图．3．应用回归分析预测时，最好先作出散点图．1．下列说法正确的是( )A．任何两个变量都具有相关关系B．球的体积与该球的半径具有相关关系C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性的关系D．某商品的生产量与该商品的销售价格之间是一种非确定性的关系【解析】两个变量之间的关系有两种，即函数关系与相关关系，故A错误．B中球的体积与该球的半径是函数关系．C中农作物的产量与施化肥量之间不是严格的函数关系，但是具有相关关系，因而是非确定性的关系．D中商品的生产量还和市场需求有关，故商品的生产量与该商品的销售价格之间是非确定性的关系．故选D.【答案】 D2．一位母亲记录了儿子3岁～9岁的身高(数据略)，由此建立的身高y(单位：cm)与年龄x(单位：岁)的回归模型为y＝7.19x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是( )A．身高一定是145.83 cmB．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm以下D．身高在145.83 cm左右【解析】x＝10时，y＝7.19×10＋73.93＝145.83，但这是预测值而不是精确值，所以只能选D.【答案】 D3．在一次实验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为________．【解析】通过检验A，B，C，D四点共线，都在直线y＝x＋1上．【答案】y＝x＋14．已知一个回归直线方程为y＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，求y.【解】由已知可知：x＝1＋7＋5＋13＋195＝9.又∵回归直线过点(x，y)，∴y ＝1.5x ＋45，即y ＝1.5×9＋45＝58.5.一、选择题1．对具有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y ＝a ＋bx 中，回归系数b ( ) A ．可以小于0 B ．只能大于0 C ．可能等于0D ．只能小于0【解析】 b 可能大于0，也可能小于0，但当b ＝0时，x ，y 不具有线性相关关系． 【答案】 A2．下列两个变量间的关系不是函数关系的是( ) A ．正方体的棱长与体积 B ．角的弧度数与它的正弦值C ．单产为常数时，土地面积与粮食总产量D ．日照时间与水稻亩产量【解析】 ∵A 、B 、C 都可以得出一个函数关系式，而D 不能写出确定的函数关系式，它只是一个不确定关系． 【答案】 D3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y ＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.36万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元D ．72.0万元【解析】 x ＝4＋2＋3＋54＝3.5，y ＝49＋26＋39＋544＝42，∴a＝y－b x＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回归方程为y＝9.4x＋9.1，∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B.【答案】 B4．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到回归直线方程y＝bx＋a，那么下列说法中不正确的是( ) A．直线y＝bx＋a必经过点(x，y)B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)(x2，y2)，…，(x n，b n)中的一个点C．直线y＝bx＋a的斜率为∑ni＝1x i y i－n x·y∑ni＝1x2i－n x2D．直线y＝bx＋a的纵截距为y－b x【解析】回归直线可以不经过任何一个点．其中A：由a＝y－b x代入回归直线方程y＝bx＋y－a x，即y＝b(x－x)＋y过点(x，y)．∴B错误．【答案】 B5．已知两个变量x和y之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是( )A．l1与l2一定有公共点(s，t)B．l1与l2相交，但交点一定不是(s，t)C．l1与l2必定平行D．l1与l2必定重合【解析】由于回归直线y＝bx＋a恒过(x，y)点，又两人对变量x的观测数据的平均值为s，对变量y的观测数据的平均值为t，所以l1和l2恒过点(s，t)．【答案】 A二、填空题6．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y＝0.849x－85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以预测其体重约为________．【解析】将x＝172代入线性回归方程y＝0.849x－85.712，有y＝0.849×172－85.712＝60.316(kg)．【答案】60.316 kg7．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析，结果如下：x＝72，y＝71，∑6i＝1x2i＝79，∑6i＝1x i y i＝1 481.b ＝1 481－6×72×7179－6×722≈－1.818 2，a ＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．【解析】 由上表可得，y ＝－1.818 2x ＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元． 【答案】 1.818 28．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】 由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254. 【答案】 0.254 三、解答题9．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x /年 3 5 6 7 9 推销金额y /万元23345(1)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． 【解】 (1)设所求的线性回归方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝15x i －xy i －y∑i ＝15x i －x2＝1020＝0.5， a ＝y －b x ＝0.4.所以年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ＝0.5x ＋0.4. (2)当x ＝11时，y ＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4 ＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．10．一种机器可以按各种不同速度运转，其生产物件中有一些含有缺点，每小时生产有缺点物件的多少随机器运转速度而变化，用x 表示转速(单位：转/秒)，用y 表示每小时生产的有缺点物件个数．现观测得到(x ，y )的4组值为(8,5)，(12,8)，(14,9)，(16,11)．(1)假设y 与x 之间存在线性相关关系，求y 与x 之间的线性回归方程．(2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为10，则机器的速度不得超过多少转/秒？(精确到1) 【解】 (1)设回归方程为y ＝a ＋bx ，则x ＝8＋12＋14＋164＝12.5，y ＝5＋8＋9＋114＝8.25， ∑4i ＝1x 2i ＝660，∑4i ＝1x i y i ＝438，b ＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i －4x2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73， a ＝y －b x ＝8.25－0.73×12.5＝－0.875，所以所求回归方程为y ＝－0.875＋0.73x .(2)由y ≤10，即－0.875＋0.73x ≤10，得x ≤10.8750.73≈15，即机器速度不得超过15转/秒．11．高二(3)班学生每周用于数学学习的时间x (单位：小时)与数学成绩y (单位：分)之间有如下数据：x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y92799789644783687159若某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该同学的数学成绩．【解】 显然学习时间与学习成绩间具有相关关系，可以列出下表，并用科学计算器进行计算．i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y i 927997896447 83687159 x i y i2 208 1 185 2 231 1 691 1 024 5171 660 1 088 1 207767∑10i ＝1x 2i＝3 182，∑10i ＝1x i y i＝13 578于是可得b ＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x2＝545.4154.4≈3.53，a＝y－b x＝74.9－3.53×17.4≈13.5.因此可求得回归直线方程为y＝3.53x＋13.5.当x＝18时，y＝3.53×18＋13.5≈77.故该同学预计可得77分左右.(教师用书独具)在一段时间内，某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据如下表所示：价格x 1.4 1.6 1.82 2.2需求量y 121075 3(1)画出散点图；(2)求出y对x的回归直线方程；(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．(精确到0.01 t)【思路探究】先根据所给数据画出散点图，判断y与x是否具有线性相关关系，在此基础上利用回归方程系数的有关公式，求出相应的系数，然后结合函数知识预测需求量．【自主解答】(1)散点图如图所示．(2)采用列表的方法计算a与回归系数b.序号x i y i x2i x i y i1 1.412 1.9616.82 1.610 2.56163 1.87 3.2412.64 25 4 105 2.2 3 4.84 6.6Σ9 37 16.6 62x＝15×9＝1.8，y＝15×37＝7.4，b＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－11.5，a＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.所以y对x的回归直线方程为y＝a＋bx＝28.1－11.5x.(3)当x＝1.9时，y＝28.1－11.5×1.9＝6.25，所以价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t.解答本类题目的关键首先应先通过散点图来分析两变量间的关系是否相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行预测．已知10只狗的血球体积x(单位：mm3)及红血球数y(单位：百万)的测量值如下：x 45424648423558403950y 6.53 6.309.257.50 6.99 5.909.49 6.20 6.557.72(1)画出散点图；(2)求出y对x的回归线性方程；(3)若血球体积为49 mm3，预测红血球数大约是多少？【解】(1)散点图如图(2)设线性回归方程为y ＝bx ＋a ，由表中数据代入公式，得b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.16，a ＝y －b x ≈0.12.所以所求线性回归方程为y ＝0.16x ＋0.12. (3)把x ＝49代入线性回归方程得：y ＝0.16×49＋0.12≈7.96(百万)，计算结果表明，当血球体积为49 mm 3时，红血球数大约为7.96百万．拓展阅读GDDS 和SDDS随着世界经济一体化的加快，各国间的交流与合作越来越频繁，为加强国际组织对各国经济运行状况的监督，国际社会在各领域纷纷建立了国际通行标准，其中国际货币基金组织(简称IMF)制定的数据公布通用系统(简称GDDS)和数据公布特殊标准(简称SDDS)．GDDS 的主要内容和要求：在统计范围内，它将国民经济活动划分为5大经济部门，对每一部门各选定一组能够反映其活动实绩和政策以及可以帮助理解经济发展和结构变化的最为重要的数据．系统提出了五大部门综合框架和相关的数据类别和指标编制、公布的目标．选定的数据类别和指标中规定为主要部分．SDDS 将国民经济活动划分为4大经济部门．选定的数据类别分为：必须的、受鼓励的和“视相关程度”三类．必须的数据类别包括：综合统计框架、跟踪性数据、与部门有关的其他数据.IMF 为什么制定GDDS 和SDDS 呢？进入20世纪90年代以来，世界一些地区金融危机频繁爆发.1994年墨西哥的金融危机、1997年东南亚金融危机都导致国际金融市场剧烈动荡．两次金融危机给IMF 一个深刻的教训，也对其职能提出了挑战，在总结经验教训的基础上，IMF 认为，在新的国际经济、金融形势下，必须制定统一的数据发布标准，使各成员国按照统一程序提供全面、准确的经济金融信息，从而可以有效及时地对各国的经济进行正确的分析预测，从宏观上来作出调控，减少金融危机的发生和影响．1．2 相关系数课标解读 1.了解两个随机变量间的线性相关系数r ，并能利用公式求出相关系数r ；了解正相关、负相关、不相关的概念． 2．能利用相关系数r 判断两个随机变量间线性相关程度的大小，从而判断回归直线拟合的效果.相关系数【问题导思】1．有什么办法判断两个变量是否具有线性相关关系？【提示】 作出散点图，看这些点是否在某一直线的附近，计算线性相关系数． 2．线性相关系数与最小误差有何关系？ 【提示】 Q (误差)＝l yy (1－r 2)．3．相关系数r 的绝对值的大小对相关性有何影响？【提示】 |r |越大，变量之间的相关程度越高；|r |越小，变量间线性相关程度越低；当r ＝0时，两个变量线性不相关．4．r 的正负对相关性的影响． 【提示】 r >0，b ＝l xyl xx>0两变量正相关； r <0，b ＝l xyl xx<0，两变量负相关．1．判断两个变量之间的线性相关关系的方法有： (1)计算线性相关系数r . (2)画散点图．2．假设两个随机变量的数据分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则变量间线性相关系数r 的计算公式为r ＝l xyl xx l yy＝∑ni＝1x i－x y i－y∑ni＝1x i－x2i＝1ny i－y2＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2相关系数及其应用维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐热水性能就越好，而甲醛浓度是影响“缩醛化度”的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批试验，获得如下表数据．甲醛浓度18202224262830(克/升)缩醛化度26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36(克分子%)求相关系数r.【思路探究】可直接利用相关系数r的公式直接计算．【自主解答】列表如下：i x i y i x2i x i y i y2i11826.86324483.48721.459 622028.35400567803.722 532228.75484632.5826.562 542428.87576692.88833.476 952629.75676773.5885.062 562830.0078484090073030.36900910.80921.729 6∑168202.94 4 144 4 900.16 5 892.013 6 x＝24，y＝28.99，r＝∑7i＝1x i y i－7x y∑7i＝1x2i－7x2∑7i＝1y2i－7y2＝4 900.16－7×24×28.994 144－7×242×5 892.013 6－7×28.992≈0.94.当相关系数|r|越接近1时，两个变量的线性相关程度越高，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的线性相关程度越低．下列是小麦产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15202530354045小麦产量320330360410460470480 判断施化肥量与水稻产量是否有相关关系．【解】i x i y i x2i y2i x i y i115320225102 400 4 800220330400108 900 6 600325360625129 6009 000430410900168 10012 300535460 1 225211 60016 100640470 1 600220 90018 800745480 2 025230 40021 600∑210 2 8307 000 1 171 90089 200∴r＝∑i＝17x i y i－7x y∑i＝17x2i－7x2∑i＝17y2i－7y2＝4 300700×27 771.43≈0.975.由于r＝0.975>0，因此施化肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．线性回归分析的综合应用“阿曼德匹萨”是一个制作和外卖意大利匹萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各店铺的销售额与店铺附近地区大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，得到数据如下：店铺编号 区内大学生数(万人)季度销售额(万元)1 0.2 5.8 2 0.6 10.53 0.8 8.84 0.8 11.85 1.2 11.76 1.6 13.7 7 2 15.78 2 16.9 9 2.2 14.9 10 2.620.2(1)试对区内大学生人数与店铺的销售额的关系进行相关性检验；(2)试根据这些数据建立回归模型，然后再进一步根据回归方程预测一个区内大学生人数1万人店铺的季度销售额； (3)若店铺的季度销售额低于10万元则亏损，试求建店区内大学生人数至少约多少人？【思路探究】 先根据表中的数据作相关检验，然后判断是否具有相关关系，再根据所给的数据解出线性回归方程，最后进行预测． 【自主解答】 (1)根据数据我们对区内大学生人数x 与店铺季度销售额y 作相关检验．根据数据可知：x ＝110(0.2＋0.6＋…＋2.6)＝1.4；y ＝110(5.8＋10.5＋…＋20.2)＝13，∑10i ＝1x 2i －10x 2＝5.68，∑10i ＝1x i y i －10x y ＝28.4，∑10i ＝1y 2i －10y 2＝157.3，因此r ＝28.45.68×157.3≈0.95；|r |接近1，因此有把握认为区内大学生人数x 与店铺季度销售额y 具有线性相关关系，求y 对x 的回归直线方程有意义．(2)回归系数b ＝28.45.68＝5，a ＝13－5×1.4＝6.因此回归直线方程是y＝bx＋a＝5x＋6.当x＝1时，y＝5×1＋6＝11，即区内大学生人数1万元店铺的季度销售额约11万元．(3)由回归直线方程是y＝5x＋6.令y≥10，解得x≥0.8，所以当建店区内大学生人数至少8 000人时才适合建店．进行相关性检验主要有两种常用方法，一是作散点图，观察所给的数据点是否在一条直线的附近，作散点图的优点是既直观又方便，是解决相关性检验问题比较常用的方法；缺点是作图总是存在误差，有时很难判断这些点是不是分布在一条直线的附近．二是利用样本相关系数对其进行相关性检验，优点是判断准确，缺点是计算繁琐，但可以借助计算器进行处理．在我国某地的一个县城，近期发现了好几个癌症村．政府部门十分震惊，马上组成调查组调查病因，经调查发现致癌的罪魁祸首是水源中的金属砷，它们来自附近的几家化工厂，化工厂排出的废水中含有金属砷，废水污染了水源，人食用了这种水就会致癌．下面就是调查组对几个癌症村水源中的砷超标的倍数和患癌症的人数统计的数据：砷超标的倍数x 34 5.5 4.2 5.86 3.5患癌症人数y 15202824354434(1)画出表中数据的散点图； (2)求y 对x 的回归方程；(3)若一个村的水源中砷超标的倍数为7，试估计这个村的患癌症的人数． 【解】 (1)散点图如图所示：(2)观察散点图，可知x 、y 成线性相关关系． 计算得x ＝327，y ＝2007，根据求b 公式代入数据计算得b ≈6.065，a ＝2007－6.065×327≈0.846. 所以患癌症人数y 对水源中砷超标的倍数x 的回归直线方程为y ＝6.065x ＋0.846.(3)根据上面求得的回归直线方程，当水源中砷超标的倍数为7时，y ＝6.065×7＋0.846＝43.301. 即该村患癌症的人数约为43人．对误差的大小与变量相关关系的理解有误对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则下列说法中不正确的是( )A．由样本数据得到的回归方程y＝bx＋a必过样本点的中心(x，y)B．在回归分析中，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高C．相关系数r越小，说明变量之间的线性相关程度越小D．在散点图中，若n个点在一条直线上，说明变量之间的相关性强【错解】 B【错因分析】对误差Q与变量间的相关关系理解错误．【防范措施】正确理解回归方程、相关系数r、误差Q、散点图等概念是解决概念题的基础．【正解】∵误差Q越小，|r|越大，变量之间的线性相关程度越高，而相关系数r的范围为－1≤r≤1，∴C错误．【答案】 C1．相关系数是用来刻画两个变量相关关系的强与弱的．2．相关系数的计算公式r＝∑ni＝1x i－x y i－y∑ni＝1x i－x2∑ni＝1y i－y2＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y21．在对变量y和x进行线性相关检验时，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：①n＝7，r＝0.953 3；②n＝15，r＝0.301 2；③n＝17，r＝0.499 1；④n＝3，r＝0.9950.则变量y和x具有较高线性相关程度的是( )A．①和②B．①和④C．②和④D．③和④【解析】相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性相关程度越高，故选B.【答案】 B2．对相关系数r，下列说法正确的是( )A．|r|越大，相关程度越大B．|r|越小，相关程度越大C．|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大D．|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小【解析】由两个变量相关系数公式。