第五章 稳恒磁场3节
lecture3 稳恒磁场的基本规律
稳恒电流
电流密度(Current Density)
矢量，常用符号j表示 a) 矢量，常用符号 表示 大小: b) 大小: 等于单位时间内垂直通过单位面积的电量 方向: c) 方向: 规定为该点正电荷流动的方向 矢量场：电流线越密， d) 矢量场：电流线越密，电流密度越大
电流强度： 电流强度：电流密度通量
介质的磁学性质
磁介质的磁化
近代科学实践证明： 近代科学实践证明：电子在原子或分子中的运动 包括轨道运动 自旋运动两部分 轨道运动和 两部分， 包括轨道运动和自旋运动两部分，其微观磁效应分 别用轨道磁矩和自旋磁矩表示。 别用轨道磁矩和自旋磁矩表示。 分子电流的磁偶极矩， 分子电流的磁偶极矩，就是分子中各个电子轨道 磁矩和自旋磁矩的矢量和。 磁矩和自旋磁矩的矢量和。 磁介质的分子可以分为两类：一类分子中各电子 磁介质的分子可以分为两类：一类分子中各电子 磁矩不能完全抵消，因而整个分子具有一个固有的 磁矩不能完全抵消，因而整个分子具有一个固有的 磁矩；另一类分子中各电子的磁矩相互抵消 分子中各电子的磁矩相互抵消， 磁矩；另一类分子中各电子的磁矩相互抵消，因而 整个分子不存在固有磁矩。 整个分子不存在固有磁矩。
µ0 Idl × r B( x) = 3 4π r
∫
毕奥-萨伐尔定律的前提是稳恒电流， 毕奥-萨伐尔定律的前提是稳恒电流，类比库仑公式 只适用于静电荷之间的相互作用
稳恒磁场磁感强度的散度和旋度
稳恒电流产生的磁场是稳恒磁场
1 r ∇ =− 3 r r
j( x′) ×r µ0 B( x) = ∫∫∫ r3 dV′ 4π µ0 µ0 1 1 = − ∫∫∫ j( x′) ×∇ dV′ ∇ ×j( x′)dV′ 4π r 4π ∫∫∫ r
大学物理稳恒磁场解读
2018/9/27
24
r the displacement from
I dl
I
Idl toward P.
dB
the contribution of Idl to the magnetic induction at point P.
r
P
B
the magnetic field of I at point P.
I
S
2018/9/27 5
I
Magnetic field lines surrounding a long and straight wires
2018/9/27
6
I
Magnetic field lines for a tightly wound solenoid of finite length carrying a steady current.
Gauss’ theorem
B dS 0
Ampere’s circulation theorem (Ampere’s Law) L B d l 0 Ii
i
11
2018/9/27
Affect of magnetic field force on currents
right hand rule
26
Superposition Principle of Magnetic Induction
B d B
L
B Bi
u Idl r B d B＝ 4 r
L
0
L
3
2018/9/27
27
DISCUSSION
基础物理学全套课件-第5章-稳恒磁场
1
2020年3月7日星期六
吉林大学 物理教学中心
载流圆形线圈的磁场
B L dB//
2. 欧姆定律
通过一段导体的电流与导体两端电压成正比
I
U R
GU
G 1 称为电导， R
单位是西门子 ( S = －1 )。
（1）电阻与材料长度l成正比、横截面积S成反比；
R
l S
l
S
是电阻率； 是电导率。
当导体的电阻率 或横截面积S不均匀时
R
dl
S
（2）欧姆定律的微分形式
FK q
(5.14)
2020年3月7日星期六
吉林大学 物理教学中心
l
r J
S
U
q FK F EK
场力推动正电荷 q 沿回路一周所做的功是
rr r
rr
Ñ Ñ A q r
(E
rL
EK
) dl
q
L EK dl
Ñ Ñ 利用 E dl 0 ；于是定义电动势为
L
A q
rr L EK dl
电动势是在非静电力作用下，使单位正电荷
绕闭合回路一周时，非静电力做的功。
（1）非静电力一般存在于电源 内部，这时有
Ar r B EK dl
（2）电动势是标量，规定负极经电源内部到正极
方向为电动势方向。
2020年3月7日星期六
吉林大学 物理教学中心
5.2 基本磁现象
有相互作用。
基本磁现象 磁悬浮
2020年3月7日星期六
《大学物理》稳恒磁场
第四节 安培环路定理
Bdl L
0 (I1 I2 )
（0 I1
I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1
问（1）B 是否与回路 L 外电流有关？
（2）若
LB d l 0 ,是否回路 L 上各处
B
0
？
是否回路 L 内无电流穿过？
43
第四节 安培环路定理
安培环路定理的应用
例题 无限长载流圆柱体的磁场
33
第三节 磁通量 磁场的高斯定理
例题 如图载流长直导线的电流为 I, 试求通过矩形面积的磁通量.
B
I
l
d1 d2
o
x
解
B 0I
2π x
dΦm
BdS
0I
2πx
ldx
Φm
B dS 0Il
S
2π
d2 dx x d1
Φm
0 Il
2π
ln
d2 d1
34
第三节 磁通量 磁场的高斯定理 磁场的高斯定理
d
I
B1
r1
dl1
B2 dl2
r2
l
B1
0I ，
2 π r1
B2
0 I
2 π r2
B1
dl1
B2
dl2
0 I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
40
第四节 安培环路定理
多电流情况
I1
I2
I3
l
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
第13章
第五章 稳恒磁场典型例题
第五章 稳恒磁场设0x <的半空间充满磁导率为μ的均匀介质，0x >的半空间为真空，今有线电流沿z 轴方向流动，求磁感应强度和磁化电流分布。
解：如图所示令 110A I H e r = 220A IH e r= 由稳恒磁场的边界条件知，12t t H H = 12n n B B = 又 B μ= 且 n H H =所以 1122H H μμ= (1) 再根据安培环路定律H dl I ⋅=⎰得 12IH H rπ+= (2) 联立(1),(2)两式便解得，21120I I H r rμμμμπμμπ=⋅=⋅++012120I I H r rμμμμπμμπ=⋅=⋅++ 故， 01110IB H e r θμμμμμπ==⋅+ 02220IB H e rθμμμμμπ==⋅+ 212()M a n M M n M =⨯-=⨯ 220()B n H μ=⨯-00()0In e rθμμμμπ-=⋅⋅⨯=+ 222()M M M J M H H χχ=∇⨯=∇⨯=∇⨯0000(0,0,)zJ Ie z μμμμδμμμμ--=⋅=⋅++ 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势A 的微分方程，设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。
？解： 由电流分布的对称性可知，导体内矢势1A 和导体外矢势2A 均只有z e 分量，而与φ，z 无关。
由2A ∇的柱坐标系中的表达式可知，只有一个分量，即 210A J μ∇=- 220A ∇= 此即101()A r J r r r μ∂∂=-∂∂21()0A r r r r∂∂=∂∂ 通解为 21121ln 4A Jr b r b μ=-++212ln A c r c =+ 当0r =时，1A 有限，有10b =由于无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，设r a =时， 120A A ==,得202121ln 04Ja b c a c μ-+=+=)又r a =时，12011e A e A ρρμμ⨯∇⨯=⨯∇⨯，得 112c Ja a μ-=所以 2221220111,,224c Ja c Ja b Ja μμμ=-=-=所以， 22101()4A J r a μ=--221ln 2a A Ja rμ=写成矢量形式为 22101()4A J r a μ=--221ln 2a A Ja rμ=设无限长圆柱体内电流分布，0()z J a rJ r a =-≤求矢量磁位A 和磁感应B 。
第五章稳恒磁场.
第五章稳恒磁场第一节磁场运动电荷的磁场1. 磁场磁现象的发现要比电现象早得多，公元前300 多年我国就发现了磁石吸铁现象，东汉时期就有了“司南”。
从1820 年开始，科学家逐步发现了磁和电的紧密关系：①磁铁有磁性，即有吸引铁、钻、镍等磁性物质的性质；②磁铁有磁极(磁性最强处)，且恒有N 极和S极，磁极间有相互作用力，同性相斥，异性相吸；③运动电荷和电流对磁针有作用；④磁铁对运动电荷和电流也有作用；⑤运动电荷和电流与运动电荷和电流之间都有相互作用等。
由此而得，磁铁周围有磁场，运动电荷和电流周围也有磁场，它们之间的相互作用是通过磁场进行的，而非超距作用，安培磁性起源假设表明：一切磁现象的根源都是运动电荷(电流).2. 磁感应强度为了表征磁场的强弱及分布，引入物理量磁感应强度，用 B 表示，单位是特斯拉(T) , 1T= 1N-A-1•m-1。
关于B的定义有各种不同的方法，有的用电流在磁场中受的力来定义，有的用通电线圈在磁场中受的力矩来定义，为了更好地反映磁场的本质，且与电场强度E的定义相对应，我们定义：磁感应强度B为单位运动正电荷qv 在磁场中受到的最大力 F ，即F=q(v x B)实验证明磁场像电场一样，也满足叠加原理B 二刀B 或B = /dB第二节 电流的磁场 毕-萨定律1.电流的磁场电流周围有磁场，稳恒电流的磁场是稳恒磁场。
由于稳恒电 流总是闭合的，且形状各异，所以要想求得总磁场分布，必须先 研究一小段电流的磁场。
沿电流方向取一小段电流 I dl,称作电流元。
得出电流元产生磁场的规律：2d B =卩 o ldl x r/4 n r称作毕奥-萨伐尔定律，它表明一小段电流元产生的磁感应强度 dB 的大小，与电流元I dl 成正比，与电流元到场点距离r 的平方 成反比，且与I dl 和r 夹角的正弦成正比，其方向由右手螺旋法 则确定。
毕-萨定律可以从运动电荷的磁场公式中推得，而它也是一 个实验定律，虽然电流元不可能单独存在，但大量间接的实验都 证明了它的正确性。
大学物理稳恒磁场 ppt课件
NI R
B2
0 NI R2
2(R2 x2 )32
R
O1
O2
x
(1) 电流方向相同：
B B1 B2
0 NI
2R
[1
(R2
R3
x2
3
)2
]
8.51105 T
(2) 电流方向相反：
B B1 B2
0 NI
2R
[1 pp(t课R件2
R3
x
2
)
3 2
]
4.06 105 T
R 2 Indx R2 x2 3/2
B
dB 0nI
2
x2 x1
R2dx μ0nI ( R2 x2 3/2 2
x2 R2 x22
x1 ) R2 x12
B
0nI
2
cos2
ppt课件
cos1
27
讨论
B
0nI
2
cos2
cos1
I
在弧长为 dl 的线元内 流过的电流元为：
dI
dI I dl
真空的磁导率ppt课件
13
O
r P
Idl
dB
dB
Idl
P r
dB
I
电流元的磁感应线在垂直于电流元的平面内 是圆心在电流元轴线上的一系列同心圆。
磁感应线绕向与电流流向成右手螺旋关系
磁场叠加原理: B dB
oIdl rˆ
ppt课L件
L 4r 2
dB
μ0 4π
大学物理稳恒磁场
B2
0
r
r2 R2
I
rR
I
0I rR p r
B20R I2r rR
rp
B 0I rR 2r
B
无限长圆柱导体电流外面的磁场与电流
都集中在轴上的直线电流的磁场相同
.
R
r
无限长通电柱面
B2r 0 rR
0I rR p r I
B0 rR
rp
B 0I rR 2r
B
思考：有人说：“环路不环绕
电流时，环路上磁场必处处为
o
( D ) 20I R
B
( E ) 20I 8R
.
[A]
5.如图所示，电流由长直导线 1 经 a 点流 入电阻均匀分布的正方形线框，再由 b 点 流出，经长直导线 2 返回电源（导线 1、2 的延长线均通过 o 点）。设载流导线 1、2 和正方形线框在框中心o 点产生的磁感应 强度分别用 B1、B2、B3 表示，则 o 点的感 应强度大小
单位长度的电流）到处均匀。大小为 j
解：视为无限多平行
长直电流的场。 B
p
分析场点p的对称性
B
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
.
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有
L B d lB 2 lojl
(A )BR2B r. (B)BRBr. (C )2BRB r. (D )BR4Br.
.
[B]
4.两半径为R的相同导体细圆环,互相垂直放 置,且两接触点A、B连线为环的直径,现有 电流1沿AB连线方向由A端流入,再由 B端流 出,则环中心处的磁感应强度大小为:
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§3 磁场的“高斯定理”与安培环路定理
引言：
磁场、电场均是矢量场，但磁场与电场性质不同。
在电学中有场方程：
⎰∑=⋅S
s q s d D 内
0ϖϖ， ⎰=⋅0l d E ϖ
ϖ
而在磁学中相应的该两方面（通量、环流）又该如何？即
⎰=⋅s
s d B ?ϖϖ， ?=⋅⎰L
l d B ϖ
ϖ
它们均可由毕奥－萨伐尔定律，结合叠加原理导出。
一、磁场的“高斯定理”
1、磁通量
引入磁力线形象化地描述磁场，疏密和切向所代表的含义类同电力线。
如图5-17，规定：通过一曲面S 的磁通量为
⎰
⎰=⋅=ΦS
S
m dS B S d B θcos ϖ
ϖ
在SI 制中各物理量的单位为
m Φ：韦伯（Wb ），1韦伯=1特21米⨯
B ρ
： 特斯拉（T ），2111米
韦伯特=，具有磁通密度概念。
2、B ρ
线的闭合性
即磁场的高斯定理：⎰=⋅S
S d B 0ϖ
ϖ。
表明：闭合曲面S 的磁通量为零，自然界
中不存在自由磁荷（磁单极）。
因稳恒电流本身是闭合的（⎰
=⋅S
S d j 0ϖ
ϖ）
，故闭合电流与闭合B ϖ
线相互套链。
高斯定理也表明，磁力线是无头无尾的闭合线，磁场是无源场。
图5-17 图5-18
θ B ϖ
d n ds s ϖ
ϖ=
Id l ϖθ r
d B ϖ
闭面S
3、高斯定理的证明思路
高斯定理可从毕奥－萨伐尔定律严格证明，这里仅提供思路。
如图5-18。
(1) 首先考虑单个电流元l Id ϖ
之场中
以l Id ϖ为轴线取一磁力线元管，其上磁场2
04sin r Idl dB πθμ=处处相等；再取任意闭曲面S ，若S 与之交链，则一进一出，0=Φm d ；若S 与之不交链，仍0=Φm d ；
再展扩至整体S 面上，得0=Φm 。
(2) 然后再考虑任意回路之总场是各电流元之场的叠加，因l Id ϖ
是任一电流
元，故对整体考虑，其结论不变。
二、安培环路定理
1、研究：⎰=⋅L
l d B ?ϖ
ϖ
2、特点：取积分回路L （称之为安培环路）沿B ϖ线，因B ϖ线闭合，且B ϖ
与l
d ϖ的夹角为零，而有⎰≠⋅L
l d B 0ϖ
ϖ。
3、内容：∑⎰=⋅)
(0内L L
I l d B μϖ
ϖ，其中右侧为穿过闭路L 的电流之代数和，按右
手定则规定，参见图5-19。
图5-19
4、定理证明：该定理可由毕奥－萨伐尔定律证明，下面先看l d B ρ
ρ⋅，再计算⎰⋅L
l d B ρ
ρ，最后再用叠加原理。
如图5-20，L －安培环路，L '－载流回路，作一负l d ρ
位移后成L ''。
I
I
L （正）
L （负） 右手定则 → →
图5-20
(1) 计算l d B ρ
ρ⋅
∵⎰
'
⨯'=
L r
r l d I B 2
04)ρπ
μ
∴l d r r
l d I l d B L ϖϖ
ϖϖ⋅⨯'=
⋅⎰')ˆ(42
0πμ ⎰'⋅'⨯=L r r
l d l d I 20ˆ)(4ϖ
ϖπμ （轮积） ＝⎰'⋅'-⨯L r r
l d l d I 20ˆ)(4ϖ
ϖπμ （换位）
如图5-20，s d l d l d ϖ
ϖϖ=-⨯)(，则
Ω-=-⋅-=⋅=⋅-⨯'d r r s d r r s d r r l d l d 2
22)
()()ϖ)ϖ)ϖϖ
为对P 点所张元立体角，从而
Ω-
=Ω-=⋅⎰
'
π
μπ
μ4400
I
d I l d B L ϖϖ Ω代表L '回路作位移l d ϖ
-所扫过带状面S 对P 点所张立体角。
S ″ L ″(后) S S ′
L ′（前）
I 载流回路L ′
r
ϖ P
d l ϖ
积分回路L
位移-d l ϖ
-r ˆ d s ϖ
-d l ϖ
再取以L '、L ''为周界（前后）之闭面：s s s '++''，使之不套链L （P 点在外），则0=Ω+Ω'-Ω''，即
l d l d l
ϖϖ
ϖ⋅Ω∇=⋅∂Ω∂=Ω'-Ω''=Ω-
代入上式给出
l d I
l d B ϖϖϖ⋅Ω∇=⋅π
μ40
又因l d ϖ
具有任意性，故
Ω∇=π
μ40I B ϖ
(2) 再看⎰⋅L
l d B ϖ
ϖ
上述场点P 为指定点，在P 处一元位移l d ϖ
所引起结果。
现P 点沿安培环路L
移动一周，则
⎪⎩
⎪
⎨⎧=⋅=∆Ω'=⋅=∆Ω'⎰⎰L L I l d B L L b l d B L L a .4;
000μπϖ
ϖϖϖ，有：变总量相套链，则因立体角改与、若，有：变总量不套链，则因立体角改与、若 (3) 最后再用叠加原理
以上为单回路L '，若多载流回路，则从叠加原理知，每一回路均有上述结 论，进而有一般式：
⎰
∑=⋅L
L I l d B )
(0内μϖ
ϖ
5、说明
(1) 安培环路定理表达式中左边的B ϖ
是空间所有电流在回路处的合场，其积分结果可以用回路所围电流之代数和表示。
（区分：场本身与环流含义不同！）
(2) 磁场为无源有旋场，在磁场中一般不能象电场中那样引入标势描述。
(3) 两种类型举例：如图5-21，结果分别为
I l d B L
02μ-=⋅⎰ϖϖ ；
⎰
-=⋅L
I I l d B )(210μϖ
ϖ。
图5-21
三、安培环路定理应用举例
上述两定理普遍适用，但单独用⎰
∑=⋅L
l I l d B 内
0μϖ
ϖ解决问题，范围有限，只用
于问题具有某种对称性情况。
解决问题时，首先分析对称性，然后取安培环路L
过场点，再用定理求出场B ϖ。
例1：无限长载流I 的直导线外之场。
解：问题具有Z 轴对称性
∵,20I rB μπ=
∴θπμ)ϖr
I B 20=
该结果在前已有。
例2：无限长载流为I 、半径R 的圆截面载流直导线，求内、外B ϖ
分布。
解：如图5-22，电流密度2
R
I
j π=，导线内、外场点之场均呈轴对称，且方向沿圆周切向。
① R r >：I r B 02μπ=⋅
r
I
B πμ20=
∴ ② R r <：2
2
2r R
I r B ππμπ=⋅
2
02R r
I B πμ=
∴
r B ~ 曲线参见图5-22。
I
L
I
I 2
I 3
I 4
L
→
↓
例3：求螺绕环内的磁场。
设螺绕环平均半径为R ，总N 匝，载流I 。
解：经对称分析可知，B ϖ
沿圆周等大、方向沿切向，安培环路取半径R 的圆，则
NI RB 02μπ= nI R
N
I
B 002μπμ==∴内、0=外B 。
Z I R
P
B ϖ
B
O
R r
正比 反μ0I ∕2πR 图5-22。