第五章 稳恒磁场1节
大学物理稳恒磁场解读
2018/9/27
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r the displacement from
I dl
I
Idl toward P.
dB
the contribution of Idl to the magnetic induction at point P.
r
P
B
the magnetic field of I at point P.
I
S
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I
Magnetic field lines surrounding a long and straight wires
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6
I
Magnetic field lines for a tightly wound solenoid of finite length carrying a steady current.
Gauss’ theorem
B dS 0
Ampere’s circulation theorem (Ampere’s Law) L B d l 0 Ii
i
11
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Affect of magnetic field force on currents
right hand rule
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Superposition Principle of Magnetic Induction
B d B
L
B Bi
u Idl r B d B＝ 4 r
L
0
L
3
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DISCUSSION
大学物理稳恒磁场
1.通电密绕长直螺线管内部的磁感强度
设总匝数为N、总长为L 通过稳恒电流电流强度为I 分析对称性，知内部场沿轴向，
l B
B外 0
I
方向与电流成右手螺旋关系
螺线管均匀密绕无漏磁 B外 0
B外 0 I B d l B d l B d l B d l B d l 外 内
沿半径方向引到很远的电源上,求：环中心处 o 点的 磁感应强度。
E
解：如图所示的电流系统在 o 点激发的 B 为 5 段电流 所产生的 B 矢量的迭加。 o 点在直电流 IAE 与 IFB 所 在延长线上。
A
c
o
I1
R
I2 D
B
F
B AE B FB 0
又O点离IEF很远，此电流的磁场可不计。
(C) L3 B dl 0 I
(D) L4 B dl 0 I
2 I
L1
L3
I
L2
[ D ]
L4
二、安培环路定理在解场方面的应用 对于一些对称分布的电流 可以通过取合适的环路L 利用磁场的环路定理比较方便地求解场量 (类似于电场强度的高斯定理的解题) 以例题说明解题过程
R1 的阴影部分均匀带正电荷,面电荷密度为 + ,其余部分均匀带负电荷,面电荷密度为 – , 当圆盘以角速度 旋转时,测得圆盘中心点 o 的磁感应强度为零, 问 R1 与 R2 满足什么关系？
解：当带电圆盘转动时,可 看作无数个圆电流的磁场 在 o 点的迭加,
R1 R2
o
半径为 r ,宽为 dr 的圆电流 dI= 2rdr / 2 = rdr 磁场 dB = 0dI/2r =0dr/2
《大学物理》稳恒磁场
第四节 安培环路定理
Bdl L
0 (I1 I2 )
（0 I1
I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1
问（1）B 是否与回路 L 外电流有关？
（2）若
LB d l 0 ,是否回路 L 上各处
B
0
？
是否回路 L 内无电流穿过？
43
第四节 安培环路定理
安培环路定理的应用
例题 无限长载流圆柱体的磁场
33
第三节 磁通量 磁场的高斯定理
例题 如图载流长直导线的电流为 I, 试求通过矩形面积的磁通量.
B
I
l
d1 d2
o
x
解
B 0I
2π x
dΦm
BdS
0I
2πx
ldx
Φm
B dS 0Il
S
2π
d2 dx x d1
Φm
0 Il
2π
ln
d2 d1
34
第三节 磁通量 磁场的高斯定理 磁场的高斯定理
d
I
B1
r1
dl1
B2 dl2
r2
l
B1
0I ，
2 π r1
B2
0 I
2 π r2
B1
dl1
B2
dl2
0 I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
40
第四节 安培环路定理
多电流情况
I1
I2
I3
l
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
第13章
第五章 稳恒磁场典型例题
第五章 稳恒磁场设0x <的半空间充满磁导率为μ的均匀介质，0x >的半空间为真空，今有线电流沿z 轴方向流动，求磁感应强度和磁化电流分布。
解：如图所示令 110A I H e r = 220A IH e r= 由稳恒磁场的边界条件知，12t t H H = 12n n B B = 又 B μ= 且 n H H =所以 1122H H μμ= (1) 再根据安培环路定律H dl I ⋅=⎰得 12IH H rπ+= (2) 联立(1),(2)两式便解得，21120I I H r rμμμμπμμπ=⋅=⋅++012120I I H r rμμμμπμμπ=⋅=⋅++ 故， 01110IB H e r θμμμμμπ==⋅+ 02220IB H e rθμμμμμπ==⋅+ 212()M a n M M n M =⨯-=⨯ 220()B n H μ=⨯-00()0In e rθμμμμπ-=⋅⋅⨯=+ 222()M M M J M H H χχ=∇⨯=∇⨯=∇⨯0000(0,0,)zJ Ie z μμμμδμμμμ--=⋅=⋅++ 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势A 的微分方程，设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。
？解： 由电流分布的对称性可知，导体内矢势1A 和导体外矢势2A 均只有z e 分量，而与φ，z 无关。
由2A ∇的柱坐标系中的表达式可知，只有一个分量，即 210A J μ∇=- 220A ∇= 此即101()A r J r r r μ∂∂=-∂∂21()0A r r r r∂∂=∂∂ 通解为 21121ln 4A Jr b r b μ=-++212ln A c r c =+ 当0r =时，1A 有限，有10b =由于无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，设r a =时， 120A A ==,得202121ln 04Ja b c a c μ-+=+=)又r a =时，12011e A e A ρρμμ⨯∇⨯=⨯∇⨯，得 112c Ja a μ-=所以 2221220111,,224c Ja c Ja b Ja μμμ=-=-=所以， 22101()4A J r a μ=--221ln 2a A Ja rμ=写成矢量形式为 22101()4A J r a μ=--221ln 2a A Ja rμ=设无限长圆柱体内电流分布，0()z J a rJ r a =-≤求矢量磁位A 和磁感应B 。
电磁场理论课件 第五章 第1节 电磁场的矢势和标势
但将
E
t
A
t
t
t
t
中的与此融合也作相应的变换，则仍
可使 E 保持不变
t
A ( ) ( A )
t
t t
( ) A ( )
t
t t
A E
t
即设任意的标量函数 (x,t)，作下述变换式：
A A A
t
于是我们得到了一组新的 A. ，满足
可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为
零，这里引入的矢势、标势（时间的函数）与静
电场（与时间无关）情况有很大的不同。
D
E
B t
B 0
H
J
D
t
? B A
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
种独立偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势
和矢势
A
构成的势方程具有对称性。它的矢势 A 的纵向部
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变
性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
总结本次课的内容
1. 用势描述电磁场
B A
E
A t
2. 两种规范
1.库仑规范 A 0
potential)。
c) 在时变场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把
第五章稳恒磁场.
第五章稳恒磁场第一节磁场运动电荷的磁场1. 磁场磁现象的发现要比电现象早得多，公元前300 多年我国就发现了磁石吸铁现象，东汉时期就有了“司南”。
从1820 年开始，科学家逐步发现了磁和电的紧密关系：①磁铁有磁性，即有吸引铁、钻、镍等磁性物质的性质；②磁铁有磁极(磁性最强处)，且恒有N 极和S极，磁极间有相互作用力，同性相斥，异性相吸；③运动电荷和电流对磁针有作用；④磁铁对运动电荷和电流也有作用；⑤运动电荷和电流与运动电荷和电流之间都有相互作用等。
由此而得，磁铁周围有磁场，运动电荷和电流周围也有磁场，它们之间的相互作用是通过磁场进行的，而非超距作用，安培磁性起源假设表明：一切磁现象的根源都是运动电荷(电流).2. 磁感应强度为了表征磁场的强弱及分布，引入物理量磁感应强度，用 B 表示，单位是特斯拉(T) , 1T= 1N-A-1•m-1。
关于B的定义有各种不同的方法，有的用电流在磁场中受的力来定义，有的用通电线圈在磁场中受的力矩来定义，为了更好地反映磁场的本质，且与电场强度E的定义相对应，我们定义：磁感应强度B为单位运动正电荷qv 在磁场中受到的最大力 F ，即F=q(v x B)实验证明磁场像电场一样，也满足叠加原理B 二刀B 或B = /dB第二节 电流的磁场 毕-萨定律1.电流的磁场电流周围有磁场，稳恒电流的磁场是稳恒磁场。
由于稳恒电 流总是闭合的，且形状各异，所以要想求得总磁场分布，必须先 研究一小段电流的磁场。
沿电流方向取一小段电流 I dl,称作电流元。
得出电流元产生磁场的规律：2d B =卩 o ldl x r/4 n r称作毕奥-萨伐尔定律，它表明一小段电流元产生的磁感应强度 dB 的大小，与电流元I dl 成正比，与电流元到场点距离r 的平方 成反比，且与I dl 和r 夹角的正弦成正比，其方向由右手螺旋法 则确定。
毕-萨定律可以从运动电荷的磁场公式中推得，而它也是一 个实验定律，虽然电流元不可能单独存在，但大量间接的实验都 证明了它的正确性。
大学物理稳恒磁场 ppt课件
NI R
B2
0 NI R2
2(R2 x2 )32
R
O1
O2
x
(1) 电流方向相同：
B B1 B2
0 NI
2R
[1
(R2
R3
x2
3
)2
]
8.51105 T
(2) 电流方向相反：
B B1 B2
0 NI
2R
[1 pp(t课R件2
R3
x
2
)
3 2
]
4.06 105 T
R 2 Indx R2 x2 3/2
B
dB 0nI
2
x2 x1
R2dx μ0nI ( R2 x2 3/2 2
x2 R2 x22
x1 ) R2 x12
B
0nI
2
cos2
ppt课件
cos1
27
讨论
B
0nI
2
cos2
cos1
I
在弧长为 dl 的线元内 流过的电流元为：
dI
dI I dl
真空的磁导率ppt课件
13
O
r P
Idl
dB
dB
Idl
P r
dB
I
电流元的磁感应线在垂直于电流元的平面内 是圆心在电流元轴线上的一系列同心圆。
磁感应线绕向与电流流向成右手螺旋关系
磁场叠加原理: B dB
oIdl rˆ
ppt课L件
L 4r 2
dB
μ0 4π
稳恒磁场
安培定律
一、安培力
安培力:电流元在磁场中受到的磁力. 安培力:电流元在磁场中受到的磁力. 一个自由电子受的洛仑兹力为: 一个自由电子受的洛仑兹力为
f 洛 = qv × B = −ev × B
电流元所受磁力: 电流元所受磁力
方向： 方向：×
v
dl
B
I
设截面积为S,单位体积电子数为 设截面积为 单位体积电子数为n 单位体积电子数为
1 2 m = NISn = NI πR n 2
方向:与 B 成600夹角. 夹角. 方向: (2)此时线圈所受力矩的大小为: )此时线圈所受力矩的大小为:
)60
0
B
3 2 πR M = mB sin60 = NIB 4 方向: m× B 方向: ×
0
n
即垂直于 B向上,从上往下俯视，线圈是逆时针转动。 向上,从上往下俯视，线圈是逆时针转动。
1T = 1N ⋅ S ⋅ m−1 ⋅ C−1
磁通量
一、磁力(感)线 磁力( 直线电流的磁力线
磁场的高斯定理
圆电流的磁力线
通电螺线管的磁力线
I
I
I
I
通量(通过一定面积的磁力线数目) 二、磁通量(通过一定面积的磁力线数目)
v v dΦ = B ⋅ dS
v v Φ = ∫s B ⋅ dS
单位
1Wb= 1T ⋅ m
I
该式对任意形状的线圈都适用. 该式对任意形状的线圈都适用.
例1如图，求圆心O点的 B . 如图，求圆心 点的 I O
• × R
B=
µ0 I
4R
I
O• •
R
B=
µ0 I
8R
R
• •O
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第五章 稳恒磁场引言：电流通过导体有热效应，通过电解液有化学效应。
本章讨论电流的磁效应：电流在其周围空间激发磁场，磁场对电流有磁力作用。
本章重点介绍真空中静磁学知识，建立稳恒磁场之基本方程式。
研究方法仍为场论方法，注意与静电场比较和区别。
§1 磁的基本现象和规律一、磁作用电与磁常相伴随、相互转化，相互作用综述为图5-1所示几种情况。
图5-1 图5-21、磁铁间的相互作用 结合实物演示说明：(1)同种磁极相互排斥、异种磁极相互吸引，参见图5-2； (2)将一磁棒分为两段，N 、S 极并不能相互分离，不存在磁单极； (3)地球本身是一大磁体，其磁性N 极在地理南极，磁性S 极在地理北极。
自由悬挂的条形磁棒或长磁针始终指南北，即是上规律的体现——指南针及应用。
2、电流对磁铁的作用图5-3NS NSSNN S N S电流磁铁磁铁电流③ ②② ③①④I SNNI NSSINN SSS通电导线周围产生磁场，通电螺线管相当于条形磁铁，参见图5-3。
3、磁铁对电流的作用电流是运动电荷形成，表明磁极对运动电荷也有磁力作用，参见图5-4。
图5-4 右手定则判受力4、电流对电流的作用 参见图5-5说明。
同向电流：吸引 反向电流：排斥图5-5以上均称为磁相互作用，是基本的磁现象。
二、磁场1、物质磁性的基本来源螺线管通电后的磁性与磁棒的相似性，启发人们：磁铁与电流是否在本源上一致？（19世纪，法国）安培分子电流假说：组成磁铁的最小单元——磁分子就是环形电流。
若这些分子电流定向排列，宏观上即显示N 、S 极。
●磁分子的“分子电流”等效成图5-6●分子环流形成的微观解释：原子、分子内电子的绕核旋转和自转。
综上可见：一切磁效应均来源于电流；一切磁作用都是电流与电流之间的相互作用，或说成运动电荷之间的相互作用。
I NSFN SF图5-62、磁场在静电学中，电的作用是近距作用，同样磁作用也是近距的：即磁作用是通过磁场传递。
电流（或N 、S 极）在空间激发磁场，而磁场对置于其中另外的电流（或磁极）施力作用，这一观点与电场近距观点一致。
即：电流 ———— ————电流无论电荷静止与否均存在库仑作用，但只有运动电荷之间才存在磁作用！ 三、安培定律既然一切磁作用均归于电流之间的相互作用，本节当研究电流之间的相互作用规律—— A mpere’s Law 。
1、电流元的概念电学中：研究带电体间相互作用时，先引入点电荷理想模型，研究点电荷间的作用满足库仑定律； 再椐叠加原理，把任带电体视作点电荷之集合把整个问题求出。
磁学中：研究电流之间相互作用时，仿上——把载流回路看作大量无穷小载流线元之集合。
这些载流线元称为电流元（与点电荷位置相当），用l Id表示，只要知道任一对电流元之间相互作用规律，即可据叠加原理计算整体回路间的相互作用。
需要指出——稳恒电流只能存在于闭合回路中，孤立电流元是不存在的，如磁场mi s磁矩s i m内部消磁棒断面 相当于螺线管5-7(a)，无法由实验直接验证，只能由此假设导出的结论间接验证。
(a) (b)图5-72、安培定律通过对各种载流回路间相互作用分析、概括。
安培认为：载流回路上任一电流元对另一载流回路上任一电流元之作用力，如图5-7(b)，即电流元1：11l d I电流元2：22l d I作用力为21212112212)(r r l d I l d I k F d式中k 为比例系数，与单位的选取有关。
在SI 制中，电流强度为安培，比例系数k 取为40k (2A N )式中0 为真空磁导率，实验测得为 70104 （2A N ）故安培力公式成为212121122012)(4r r l d I l d I F d[讨论]I 回路lIdL 2I 1L 1I 211l d I22l d I12rL 1、L 2两载流回路(1) 12F d 的大小—12F d： 与（221l d I l d I ）成正比；与212r 成反比（平方反比律）；与两电流元的取向有关。
(2) 12F d的方向。
如图5-8，设11l d I 与12r 组成的平面为1S 平面，它们之间的夹角为1 ；22l d I 与1211r l d I组成的平面为2S 平面，对应夹角为2 。
则：2S 平面垂直于1S 平面（22l d I在2S 平面内）； (1211r l d I)垂直于1S 平面（即在1S 面之法向）。
可见：12F d 在1S 平面内，且与22l d I 、（1211r l d I ）均垂直，即12F d既垂直于22l d I （受力者）、又垂直于（1211r l d I）（施力者）所决定的平面。
图5-8有了方向分析，便可写出其大小表式212212211012sin sin 4r dl I dl I dF 在其中，当仅仅改变.1 、2 时，只改变了12F d 的大小，而不影响12F d的方向。
分析如下：若11l d I 在1S 面内仅方向发生变化，即改变1 时，但不改变1211r l d I之方向，即12F d 的方向不变。
当1 =0 时，即11l d I //12r 时，12F d =0；当21时，即垂直时，12F d达最大。
1 θ1 S 1S 22θ2 I 11l d22l d II 1121r l dd 12F12r若22l d I 在2S 面内仅改变方向时，即2 变化时，则12F d方向不变。
当02 时，即22l d I 在（1211r l d I ）方向时，12F d=0，-----此方向有特殊意义（见后）；当22时，即22l d I ⊥（1211r l d I ），则12F d最大，------此最大值很有用（见后）。
（注：它们分别定义了B的方向、大小）(3) 同理，1122l d I l d I的作用力仍有类似形式：221212211021)(4r r l d I l d I F d(4) 电流元之间的作用力一般不满足牛顿第三定律。
举一反例进行说明如下：如图5-9放置的两电流元，则 0)(4212121122012 r r l d I l d I F d，（∵1 =0，故括号内因子为零） 0)90sin (90sin 4221022011012 r dl I dl I F d 但可以证明（见作业）：两闭合回路1L 、2L 间的合作用力满足牛顿第三定律。
图5-9 图5-10(5)若电流不是线分布，则需考虑细节。
因稳恒电流线闭合，可取电流管元作为电流元，然后积分之。
此时替代关系为：dv j l Id，参见图5-10予以理解。
3、安培力的叠加原理(1) 回路1L 对电流元22l d I的合作用如图5-11，只考虑22l d I 受1L 作用时，可对1L 上各电流元对22l d I的作用进行dSjd ι电流元21F d 11l d I22l d I 2112r r矢量叠加2212l d I L F d F d =)(412121211220 L r r l d I l d I式中积分只与空间取定点的场点P 有关，由1L 而定，而与22l d I的情况无关。
图5-11(2)回路1L 对回路2L 的合作用上述2F d是22l d I 所受1L 之合作用，2L 上有许多电流元，2L 所受1L 的合作用则为221212L L L F d F F122121211220)(4L L r r l d I l d I可证：两闭合回路间的相互作用满足牛顿第二定律（见练习）。
四、磁感应强度矢量B1、B的定义仿照电学中定义电场：0q FE，变形成E q F 0 。
磁学中稍复杂：电流在其周围空间激发磁场，仍从置于场中的试探电流元00l d I 受安培力角度定义描述磁场的物理量B----磁感应强度（历史用名）。
电流元00l d I受回路L 的作用力为（见上述）：L 1 I 111dl I变12rP 22l d I)4(2000 L r r l Id l d I F d式中r为L 上电流元l Id 指向00l d I 的位置矢，如图5-12(a)。
对于确定的载流回路L ，式中积分值与00l d I的大小、方向无关，但与其所在位置P 有关（因为涉及r）。
若用B 表示此积分结果，即L r r l d I B 204则B反映了00l d I 所在处P 点磁场的强弱，它完全由回路L 所确定，是计算电流回路（L ）激发磁场的计算公式。
以后会发现此B表式特别有用，另有研究，称毕奥—萨伐尔定律。
需要说明：这样的分解与E q F0 形式上一致。
(a) (b)图5-12 引入B的表示之后，则回路对00l d I 的作用力可写为B l d I F d 00此公式称为安培公式，是B 的定义式。
值得指出：上式中B可不只局限于回路L激发的,应理解成除00l d I 之外的空间存在的总磁场，F d则为此场中对00l d I 之作用，故F d的大小、方向可列于下sin 00B dl I dF ，式中 为B l d与0的夹角,如图5-12(b)，最大值为F dθ 00dl IBI l IdL 场源rP 00l d I场点dF Bdl I dF 00max(c) (d)图5-12定义空间某点磁场B：分别地就大小、方向进行定义 大小----B 0000max dl I dF dl I dF，对应于：图5-12(c)。
方向---00l d I不受力的方向（即 ,0 ）。
对应于：图5-12(d)。
最后，再根据B l d I F d 00即可唯一地确定B。
这样定义的B的方向，与中学内容有关磁针北极受力方向即磁场方向相一致。
2、B的单位在SI 制中，据00dl I dF B 知B 的单位为：1T m A N1 （特斯拉）。
文献中常沿用实用制单位GS （高斯）: GS T 4101 。
3、磁感应线----B线引入B 线形象化地描述磁场矢量场，象电力线描述电场一样。
B线的切向代表该点磁场方向，疏密表示磁场的强弱，磁感应线在实验上可显示。
综上，比较静电与静磁静电：r r q q F221041， E q F 0， r r dq E2041；B0l d I 00l d I 00l d I BB静磁：212121122012)(4r r l d I l d I F d，B l d I F d 00， L r r l d I B 204。
两个常数：21201085.8mN C，270104A N。