类比思想

cc
c
c2 c
c2
得 ln b a ， 设 b x ， a y ，在处理 y ln x 时可以类比： y x 是表示直线 y x 的下方区域，
cc
c
c
所以 y ln x 表示曲线 y ln x 下方区域，这就是线性与非线性的类比．
y ln x
x
7
则
x，y
满足
பைடு நூலகம்
y
2 1
2
，可先求 y 的取值范围． x
Q
解：（1）设直线 AP 的斜率为 K.
k
x2 1 4
x1
x
1 2
，因为 1 2
x
3 2
A
，所以直线
P
AP
斜率x 的
2
取值范围为 1,1 。
对于第二问，常规方法设 AP,BQ 直线方程，联立方程求得 Q 坐标求解，有一定的运算。
2
AC
a
b
2
2
a
2a
b
b
2
…①同理，
DB
2
a b 2 a 2 2a b b 2 …②
2
2
①+②得， AC DB 2
2
2
a b
2
2
2
AB AD
，即
2
AC
2
BD
2( AB2
AD2 )
．
类似地，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，可设 AB a ， AD b AA1 c 则 AC1 a b c , BD1 a b c , CA1 a b c , DB1 a b c
1、在Rt△ABC中，∠C=900，CD⊥AB于点D，则
1 CD2
1 CA2
1 CB2
成立，类比此性质，在四面体P-ABC中，PA、PB、
PC两两垂直，PD⊥平面ABC于点D，则可得到的结论是：
1 PD2
1 PA2
1 PB2
1 PC 2
．
2、已知△ABC中，内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则△ABC的面积为 S 1 r(a b c) ，若一个四面体内切球的半径为 2
x 0, y 0
例 3：．已知正数 a，b，c 满足： 5c 3a ≤b ≤4c a ，clnb≥a cln c ，
则 b 的取值范围是
．
a
作出（ x，y ）所在平面区域（如图）：利用 y 的几何意义：可行域内的任一点和点 (0, 0) 所在 x
直线的斜率，由图像可知 y 分别在点 (7 , 1) 和切点分别取得最小值和最大值．
例 4：（2017 年浙江 21）如图，已知抛物线 x2 y ，点 A( 1 , 1) ， B( 3 , 9) ，
24
24
抛物线上的点 P(x, y) ( 1 x 3) ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q.
2
2
(1)求直线 AP 斜率的取值范围 （2）求 PA • PQ 的最大值 。 y B
R，四个面的面积分别是
S1,
S2,
S3, S4 ，则这个四面体的体积是：V
1 3
R(S1
S2
S3
S4 )
．
3、如图，在平面几何中△ABC的内角平分线AD分BC所成的线段比BD：DC=AB：AC，把这个结论类比空间有： 在三棱
锥中 A BCD 中，平面DCE平分二面角A-CD-B，且与棱相交于点E，则有 AE S ACD ． BE S BCD
类比 思想
2020/8/4
内容概述：
类比思想就是由已知两个（类）事物具有某些 相似性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似 的推理思想（由特殊到特殊）。在高中数学中，类 比是最基本、最重要的数学思想方法之一，它不仅 能由已知解决未知，由简单问题解决复杂问题，更 能体现数学思想方法之奇妙，恰当的运用类比思想， 可以帮助我们举一反三、触类旁通，提高解题能力。
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3
例 2：在平行四边形 ABCD 中，有 AC2 BD2 2( AB2 AD2 ) ,类比在空间平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，类似的结论是_______。
D1
C1
D
C
A1
B1
D
C
A
B
A
B
解：如图，平行四边形 ABCD中，设向量 AB a ， AD b ,则 AC a b ， DB a b , 有
A
B
D
C
A
E B
D C
例 3：已知正数 a ，b，c 满足： 5c 3a ≤b ≤4c a ，clnb≥a cln c ，
则 b 的取值范围是
．
a
解：由 5c 3a b 4c a 得 5 3 a b 4 a ， ∴ a 1 ， b 4 a 7 ，由 c lnb a c ln c ，
同上面方法可计算出下列结论成立:
AC2 1
BD2 1
CA2 1
DB12
4(AA2 1
AB2
AD2
)
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4
评析：在解决空间几何问题时，有很多可以类比平面几何问题求解，美国数学家、数学教育家波利亚曾指出：“类比是一
个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”
平面与空间类比的例子还有很多，如：
x
22
设过点 (0, 0) 的直线与 y
ln x 相切于点
p(
x0
,
y0
)
，∴
ln x0 x0
1 x0
，解得 x0
e ， y0
1，
∴ 1 y 1 ， e b x 7 ，即 b 的取值范围是e，7 ．
7xe
ay
a
评析：此题求解中充分利用条件和结论的形
式特征，将不等条件与线性规划中约束条件类 比，将所求分式与斜率类比，将求线性规划问 题的方法与非线性的方法进行类比。解决问题 的策略就是把不熟悉的问题类比到熟悉的问题 中，降低思维难度。
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例题示范 例 1：等差数列{ an }中，若 a10 0 ，则有 a1 a2 an a1 a2 a19n
(n 19, n N ) 成立，类比上述性质，在等比数列{ bn }中，若 b9 =1，则_______.
解：在等差数列中， a10 0 ，那么以 a10 为中心，前后间隔相等的项和为 0， 即 a9 a11 0, a8 a12 0 ，…所以有 a1 a2 an a1 a2 a19n (n 19, n N ) 成立．
类比过来：同样在等比数列{ bn }中，若 b9 =1，则以 b9 为中心，前后间隔相等的项的积为 1， 即 b8b10 1,b7b11 1 ，所以有下列结论成立： b1b2 bn b1b2 b17n (n 17, n N )
评析：在等差数列和等比数列的性质类比中，常见的运算 类比有：和类比为积，差类比为商，算术平均类比几何平均 等等。当然此题中已知等式的左右式子各项特征，特别是下 标变化规律是类比的关注点。