《超级画板》第五篇 函数图像

《超级画板》第五篇函数图像函数及其图像，是中学数学课程的重要内容。

《超级画板》提供了制作动态函数图像的丰富的功能，并具有辅助教学和学习的一些附加的功能，例如在函数曲线上取点，作函数曲线的切线，列出函数值的表格，对曲线和x轴之间的面积填充或作细分，等等。

另外，还有许多办法作出教学所需要的特殊效果，那就要了解更多的操作方法了。

一函数图像配合函数表函数通常有三种表示方法：解析表达式、图像和表格。

用《超级画板》可以把三种表示方法紧密结合起来。

输入解析表达式，画出图像，再让图像和表格关联，以显示出函数值的表格。

请看本书配套资源中的文件5-1图像和列表.zjz，如图5-1。

图5-1这个课件有如下的功能:（1）显示曲线所对应的函数的表达式当鼠标指着左边对象工作区中编号为[5]的曲线条目时，旁边会显示出函数的表达式。

从图中看到，y是x的平方根。

（2）呈现函数的定义域所画的函数曲线，函数的定义域为[a,b]。

在左上部的两个测量数据文本中显示出，a的当前值为0，b的当前值为9。

（3）显示描点画线时所取的点和对应的函数值表函数曲线上，连同两端点共有19个点，把自变量x的范围[0，9]均匀分为18份。

曲线就是根据这19个点描出来的。

这19个点所对应的自变量x和函数y（x的平方根）的值可以在右上方的函数表里查出来。

（4）用一个按钮控制着函数表的显示或隐藏。

（5）改变描点的数目和对应的函数表描点的数目并非固定是19。

拖动下方参数n的变量尺上的滑钮，可以改变描点的数目。

点的数目越多，曲线就画得越准确。

当点的数目变化时，函数表也就随着改变。

例如，当描点的数目减少到5时，函数表里也就只有5组数据了。

（6）可以显示或不显示曲线上所取的点在函数曲线的属性对话框里，如图4-23，可以在左下角勾选或不勾选画点。

即使不把点显示出来，曲线仍然是根据这些点的位置而画出来的。

（7）可以选择用曲线或线段来组成图像曲线的画法有两种方案：一种是用曲线来连接这些点，一种是用线段来连接这些点。

当前是用曲线来连接的。

如图在属性对话框的右部可以勾选或不勾选“折线段”。

若勾选“折线段”，就是用线段来连接这些点了。

（8）在曲线上有一个样例点曲线上有一个红点A。

这个点的坐标，可以在属性对话框里查出来，是u000和u000^(1/2)。

当u000变化时，点A的轨迹或踪迹比较准确地显示出曲线的样子。

在图上，我们用x来标示A的横坐标，用f(x) 来标示A的纵坐标。

图中看到，点A的横坐标和纵坐标都被测量出来了，从测量数据中可以对更多的自变量x的值查出对应的函数值，准确到10位小数。

（9）可以准确地设置函数定义域和样例点为了更准确地控制参数a、b和u000, 我们制作了3个动画按钮和参数k的变量尺，并测量出floor(k)，但测量数据命名为k。

打开动画按钮的属性对话框，可以查出动画的设置：动画的参数范围是floor(k)到pi*floor(k)；频率小于10；类型是一次运动且为逆向运动。

例如，若用变量尺把k的值调整到2至3之间，这时测量数据显示k=2。

若单击a的动画按钮的主钮，则a的值变为2；单击a的动画按钮的副钮时，则a的值变为2π。

同样方法可以把b或u000的值准确地设置为整数或π的整数倍。

如果想要a、b和u000准确地取其它数值，可以在动画按钮属性对话框里设置。

（10）可以改变函数的表达式，一图百变单击“显示或隐藏说明”按钮，出现如图5-2所示的说明。

按说明操作，可以变换函数的表达式。

图5-2回忆学过的操作，可知上述功能除作函数表外都不难实现。

而作函数表的功能，可以用文本作图命令中“文本”类倒3行的函数命令Grid(5,10,10,70, 20, ); 其中第1个参数5是函数曲线的编号；第2，3两个参数11和8是表格的行列数目；第4，5两个参数70和20是表格中一格的宽度和高度的像素数目。

注意，表格的宽度和高度可以用鼠标拖动调整，行列的数目可以在属性对话框里修改。

这命令也适用于参数曲线、极坐标曲线和点的轨迹。

你也可以把这个文件当作模板使用，只要把函数表达式和点A的坐标改一下，就能作出你所要的带有函数表的函数的图像了。

例如，上述文件的第2页（如图5-3），呈现出在[0, 2π]上的函数y=sinx 的图像和函数表，就是从第一页修改得到的。

这里重要的是两点修改：在曲线的属性对话框里把函数的表达式改成sin(x)；在点A的属性对话框里把“y-参数”（即A的y坐标）改为sin(u000)。

此外，还要把定义域调整为[0, 2π]。

方法是先用变量尺把k调到2和3之间，再单击b 的动画按钮的副钮。

当描点个数n=9时，得到图5-3所示曲线。

图5-3虽然只取了9个点，图像已相当准确了。

拖动点A检查一下，便知分晓。

如果减少到只用4个点，误差就大了。

图5-4显示出用4个点描出的曲线和对点A的跟踪的对比。

图5-4用折线代替曲线，在描点数很多时效果相当好，在描点数很少的情形，误差比曲线大得多。

图5-5是取6点用线段连接的情形。

若用曲线，要好得多。

你不妨试试。

图5-5[习题5-1] 复制上述文件，利用它作为模板，分别作出适当的定义域上的二次函数，余弦函数以及对数函数的图像和函数表。

[习题5-2] 上述文件中只能把参数a、b和u000准确地调为整数或π的整数倍。

请你设计变量尺和动画按钮，使操作者能够方便地把这些参数准确地调为分数或π的分数倍。

（分子分母不超过100）。

二基本的初等函数族在中学课程中，有几族函数特别重要。

这包括二次函数族y=ax2+bx+c, 指数函数族y=a x, 对数函数族y=log a x，幂函数族y=x k以及正弦函数族y=Asin(ωx+φ)这些函数族都带有可变的参数。

用超级画板作出函数图像和有关的参数尺，拖动参数尺上的滑钮，跟踪曲线的变化，可以对函数形态和参数的关系，有非常直观地了解。

打开本书配套资源中的文件5-2二次函数.zjz，如图5-6。

图5-6用文本作图函数命令Function(y=a*x^2+b*x+c, -6, 6,500 , ); 可以作出图中的函数曲线；用文本作图函数命令Point(a, -2, a, , , a);Point(b, -3, b, , , b);和Point(c, -4, c, , ,c );可以作出可以拖动的坐标点a、b、c，用以控制参数a，b和c；曲线和x 轴的交点x1和x2以及顶点D，也都是可以用文本作图函数命令作出的坐标点；有关的坐标可以根据课本上的公式写出来，你也可以从点的属性对话框里查出来。

还可以用文本作图函数命令Variable(k, );作出一个参数k的变量尺，测量出k的整数部分floor(k)并将测量得到数据命名为k。

这是为了用动画按钮驱动系数a、b、c取到整数值。

这样的办法，在上一节已经用过，以后还会常用。

曲线方程中的系数是动态的，可以随a、b、c的变化而变化。

在文本中嵌入动态的数据，在前一章已经用过。

这次算是复习吧。

如果忘了是如何操作的，可以双击方程的文本，使它进入编辑状态，就能看到原来的输入是：y=$bl{a,21}x^2+$bl{b,21}x+$bl{c,21}这就明白了。

再作3个动画按钮，用来分别驱动a、b、c 在一定范围变化，以便对曲线跟踪观察。

例如，当a在-5到5之间变化时，对曲线的跟踪情形如图5-7。

图5-7图中还测量了判别式b2-4ac的值。

当判别式为负时，曲线和x轴没有交点。

此外，这里的标题是漂亮的“可变换文本”，可以用文本作图的“文本”类函数命令TransformText(二次函数的图像);来实现。

用可变化文本制作的文字，可以填充，可以选择后拖动角上的“把手”来改变其长宽。

当我们选择了曲线并对它跟踪时，有时可能希望停止跟踪，或又恢复跟踪。

在对象工作区单击该“跟踪”条目前的小方框，可以在停止跟踪和恢复跟踪之间切换。

若不想在对象工作区操作，可以作一个按钮来实现跟踪的显示和隐藏，方法是使用“动态alpha”功能和变量动画。

在前一章也介绍过了。

总之，制作动态的函数图像的所有操作都是前面讲过的。

这里是复习。

类似的方法，在文件5-3指数函数族.zjz中，可以看出函数y=a x的图像当a变化时的变化情形，如图5-8.图5-8而文件5-4指数函数和对数函数.zjz 则将指数函数和对数函数做了对比，如图5-9。

图5-9至于幂函数，它的情形要复杂一些。

随着幂指数k的不同，幂函数y=x k 的定义域是不同的。

当k取一般实数值时，其定义域为(0，+∞)；而当k为整数时，其定义域为(-∞，+∞)。

文件5-5幂函数族的图像.zjz 的第一页，显示了k取一般实数值的情形。

用动画按钮驱动k并对图像跟踪，如图5-10。

该文件的第2页和第3页，则对应于k为偶数或奇数的情形。

图5-10在三角函数中，最有用的是一般正弦波函数y=A sin(ωx+φ)；作出随3个参数改变而变化的这样的图像的方法，在不少资料中有所讨论。

用超级画板作这样的图像，不过是一个简单的常规操作。

见文件5-6一般正弦波.zjz的第一页，如图5-11。

图5-11注意这里的3个参数A、ω、φ，在输入函数表达式、建立变量尺以及制作动画按钮时，实际用的参数是a、b、c。

用动画按钮驱动a、b、c，可以得到指定的正弦曲线。

如何通过参数的变化把基本的正弦函数y=sin x的曲线变为某种特定的正弦曲线，是中学数学教材的传统内容之一。

上述文件的第2页，提供了实现这种转化的具体操作，如图5-12。

图5-12在图5-12中，有5条曲线。

4条虚曲线是固定不动的，它们的表达式用同色的文本框分别标出在右上角。

一条实曲线是可以变化的, 表达式在上方，就是y=a sin(bx+c)。

自上而下顺次单击3个动画按钮的主钮，驱动3个参数a、b、c 分别变化，则红色的实曲线通过向左平移、沿x轴压缩、沿y轴放大由一条曲线顺次变为另外3条；再自下而上顺次单击3个动画按钮的副钮，则曲线通过沿y 轴压缩，沿x轴放大，向右平移而复原。

从属性对话框中，可以查到这些曲线的方程和定义域。

注意，可变化的实曲线，它的定义域是可变化的参数。

[习题5-3] 观察下面的一列文本作图函数命令，这些命令运行时将作出那些对象？命令中的数字有何意义？其中哪些命令可以用智能画笔和菜单操作实现(这些命令文本见文件“5-2二次函数.zjz”第2页)？Function(y=a*x^2+b*x+c, -6, 6, 200, );Point(a, -2, a, , , a);Point(b, -3, b, , , b);Point(c, -4, c, , , c);Point((-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a), 0, , , , x_1);Point((-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a), 0, , , , x_2);Point(-b/(2*a), (4*a*c-b^2)/(4*a), , , , D);Variable(k, 0, 20, );TransformText(二次函数的曲线);Foot(6, 3, );Foot(7, 3, );Foot(8, 3, );Segment(6, 14, );Segment(7, 15, );Segment(8, 16, );MeasureExpress(floor(k),k);MeasureExpress(b^2-4*a*c, b^2-4ac);Text(y=$bl{a,21}x^2+$bl{b,21}x+$bl{c,21});Trace(5, );AnimationVar(a, a: a->5);AnimationVar(b, b: b->5);AnimationVar(c, c: c->5);AnimationVar(a, a: -k->k);AnimationVar(b, b: -k->k);AnimationVar(c, c: -k->k);请把这些命令复制到文本作图的对话框的适当的栏里运行一遍，以证实自己的结论。