二次函数课标 (1)
二次函数1教案
第12部分 二次函数第1课时 二次函数的意义课标要求通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义. 中招考点二次函数的概念及意义.典型例题例1 下列函数中，哪些是二次函数？（1）02=-x y ； （2）2)1()2)(2(---+=x x x y ；（3）xx y 12+=； （4）322-+=x x y . 分析：形如y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 为常数，且a ≠0)的函数是二次函数，在判别某个函数是否为二次函数时，必须先把它化成y=ax 2+bx+c 的形式，如果a ≠0，那么它就是二次函数；否则，就不是二次函数.例2 m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．解：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ． 解得0≠m 且1≠m ．因此，当0≠m 且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数．归纳反思形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？ 例3 写出下列各函数关系，并判断它们分别是什么类型的函数？（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．解：（1）由题意，得 )0(62>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；（2）由题意，得 )0(42>=x x y π，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得 10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），其中y 是x 的一次函数；（4）由题意，得 )260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S ，其中S 是x 的二次函数． 例4 正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．解:（1）)2150(4225415222<<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时，189342252=⨯-=S （cm 2）．强化练习一、选择题：1．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是（ ）A ．22)1(x m y -=B ．22)1(x m y +=C ．22)1(x m y +=D ．22)1(x m y -=2．下列各式中，y 是x 的二次函数的是 （ ）A ．xy=x 2＋1 B.x 2+y –2= 0 C.y 2–ax =–2 D.x 2–y 2+1=03．若二次函数y =（m + 1）x 2 + m 2 – 2m – 3的图象经过原点，则m 的值必为 （ ）A ．– 1和3 B.– 1 C.3 D.无法确定4.对于抛物线y=x 2+2和y=x 2的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同.其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个 输入x y=x+2 －2≤x ≤－1 y=x 2 －1＜x ≤1 y=x+2 1＜x ≤2输出y 值 第5题图C ．2个D ．3个5.根据如图的程序计算出函数值，若输 入的x 的值为32，则输出的结果为（ ）. A ．72 B.94 C.12 D.92二、填空题：6．当=m 时，函数m x m x m m y +-+--=)2()32(22是二次函数.7．当k 为 值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数.8．如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 .9．已知函数72)3(--=m x m y 是二次函数，则m 的值为 ．10．已知抛物线y =（m – 1）x 2，且直线y = 3x + 3 – m 经过一、二、三象限，则m 的范围是 .11．若函数y =（m 2 – 1）x 3 +（m + 1）x 2的图象是抛物线，则m = .12．已知函数m m mx y -=2，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．13．抛物线9)1(22-++=k x k y ，开口向下，且经过原点，则k= ．14．点A （-2，a ）是抛物线2x y =上的一点，则a= ； A 点关于原点的对称点B 是 ；A 点关于y 轴的对称点C 是 ；其中点B 、点C 在抛物线2x y =上的是 ．15．若抛物线c x x y +-=42的顶点在x 轴上，则c 的值是 ．16．已知函数42)1(22-++-=m x x m y ．当m 时，函数的图象是直线；当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线．。
22.1.1二次函数
关闭 关闭
答案
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5.一台机器原价 60 万元,如果每年的折旧率为 x,两年后这台机器的价格为 y
万元,则 y 与 x 之间的函数关系式为
.
y=60(1-x)2
关闭
答案
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6.有一矩形的长是 4 cm、宽是 3 cm,如果将其长与宽都增加 x cm,对应的面
积增加 y cm2,那么 y 与 x 之间的函数关系式为
A.1
B.-1
C.2
D.-1 或 2
关闭
根据题意,得
������2-m = 2,解方程 ������-2 ≠ 0.
m2-m=2,得
m1=2,m2=-1.又因为
m-2≠0,
故 m=2 不合题意,舍去.所以 m=-1.
关闭
B
解析 答案
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3.已知二次函数 y=1-3x+5x2,它的二次项系数为 a,一次项系数为 b,常数项为 c,那么 a,b,c 分别为( ) A.a=1,b=-3,c=5 B.a=5,b=-3,c=1 C.a=5,b=-3,c=1 D.a=1,b=3,c=5
C.y=(x+3)2-x2
D.y=���1���2-x
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选项 B,D 中的函数都不是整式函数,选项 C 中的函数化简后为 y=6x+9, 它们都不是二次函数;根据二次函数的定义,选项 A 中的函数是二次函关闭 A数.
解析 答案
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高中数学二次函数与一元二次方程教案新课标人教版必修1（A）
⾼中数学⼆次函数与⼀元⼆次⽅程教案新课标⼈教版必修1（A）⼆次函数与⼀元⼆次⽅程（2）三维⽬标⼀、知识与技能1.会⽤函数图象的交点解释⽅程的根的意义.2.继续了解函数的零点与对应⽅程根的联系.3.理解在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0这⼀结论的实质.⼆、过程与⽅法1.体验并理解函数与⽅程的相互转化的数学思想⽅法.2.通过探究、思考，培养学⽣理性思维能⼒以及分析问题、解决问题的能⼒.三、情感态度与价值观通过现代信息技术的合理应⽤，转变学⽣对数学学习的态度，加强学⽣对数形结合、分类讨论等数学思想的进⼀步认识.教学重点“在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0”的理解.教学难点“在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0”的理解.教具准备多媒体课件、投影仪.教学过程⼀、创设情景，引⼊新课师：观察⼆次函数f（x）=x2－2x－3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x2－2x－3在区间［－2，1］上有零点.计算f（－2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?在区间［2，4］上是否也具有这种特点呢?引导学⽣探究，可以发现，在区间［－2，1］的端点上，f（－2）＞0，f（1）＜0，即f（－2）·f （1）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在区间（－2，1）内有零点x=－1，它是⽅程x2－2x－3=0的⼀个根.同样，在区间［2，4］的端点上，f（2）＜0，f（4）＞0，即f（2）·f（4）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在（2，4）内有零点x=3，它是⽅程x2－2x－3=0的另⼀个根.我们能从⼆次函数的图象看到零点的性质：1.⼆次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是⼆重零点），函数值变号.例如，函数y=x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第⼀个零点－2时，函数值由正变负，再通过第⼆个零点3时，函数值⼜由负变正.2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.师：对任意函数，结论也成⽴吗?同学们可以任意画⼏个函数图象，观察图象，看看是否得出同样的结论.⼆、讲解新课1.零点的性质如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f（a）·f （b ）＜0，那么，函数y =f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=0，这个c 也就是⽅程f （x ）=0的根.求⽅程f （x ）=0的实数根，就是确定函数y =f （x ）的零点.⼀般地，对于不能⽤公式法求根的⽅程f （x ）=0来说，我们可以将它与函数y =f （x ）联系起来，利⽤函数的性质找出零点，从⽽求出⽅程的根.2.应⽤举例【例1】教科书P 102例1.本例是考查函数零点的个数.通过它要让学⽣认识到函数的图象及其基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作⽤.（1）函数f （x ）=ln x +2x －6的图象可以让学⽣利⽤计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.1－3，发现函数的图象与x 轴有⼀个交点，从⽽对函数有⼀个零点形成直观的认识.（2）教科书上的表3－1，可以让学⽣⽤计算器或计算机得出，使学⽣通过动⼿实践获得对表3－1的认同感.通过观察表3－1，结合图象3.1－3，不难得出函数的⼀个零点在区间（2，3）内.（3）要说明函数仅有⼀个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+∞）上是增函数，也可以由g （x ）=ln x 、h （x ）=2x －6在（0，+∞）上是增函数，说明函数f （x ）=g （x ）+h （x ）在（0，+∞）上是增函数.【例2】已知函数f （x ）=ax 2+bx +1具有以下性质：①对任意实数x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2）时，满⾜x 1+x 2=2；②对任意x 1、x 2∈（1，+∞），总有f （221x x +）＞2)()(21x f x f +. 则⽅程ax 2+bx +1=0根的情况是A.⽆实数根B.有两个不等正根C.有两个异号实根D.有两个相等正根⽅法探究：（1）本题由条件①，知函数f （x ）的对称轴为x =1；由条件②，知函数f （x ）是凸函数，即a ＜0；再由函数f （x ）的表达式，知f （x ）的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数f （x ）的草图，如下图，发现函数f （x ）与x 轴交点的位置，可知f （x ）=0有两个异号实根，故应选C.（2）由条件②，知函数f （x ）的图象开⼝向下，即a ＜0.⼜由x 1x 2=a1＜0，可知 f （x ）=0有两个异号实根，故应选C.⽅法技巧：解析（2）的求解过程明显⽐解析（1）简捷，但却不如解析（1）直观，⽤数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析（1）中的三个函数语⾔之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语⾔，那么本题就可能会错选.⽤数形结合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.【例3】研究⽅程|x 2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数.⽅法探究：纯粹从解⽅程⾓度来考虑，必须研究两个⽅程，讨论相当⿇烦.从函数图象⾓度分析，只需研究函数y =|x 2－2x －3|与y =a 的图象的交点的个数.解：设y =|x 2－2x －3|和y =a ，利⽤Excel 、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给⽅程实根的个数.如下图，当a =0或a ＞4时，有两个实根；当a =4时，有三个实根；当0＜a ＜4时，有四个实根.⽅法技巧：有关实根个数的题⽬，通常都采⽤数形结合思想.做这类题⽬，必须遵循两个步骤：⼀是构造两个熟悉的函数，⼆是画出图象，关键点画图要准确.【例4】设⼆次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0），⽅程f （x ）－x =0的两个根x 1，x 2满⾜0＜x 1＜x 2＜a 1. （1）当x ∈（0，x 1）时，求证：x ＜f （x ）＜x 1；（2）设函数f （x ）的图象关于直线x =x 0对称，求证：x 0＜21x . ⽅法探究：由于已知⼆次⽅程f （x ）－x =0的两个根，因此新出现的⼆次函数f （x ）－x 应有双根式、⼀般式两种表现形式.故本题⼀定是在此进⾏问题设置，解题的关键就是恰当地把握好两种形式的转化.证明：（1）∵x 1，x 2是⽅程f （x ）－x =0的两根，且f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0），∴f （x ）－x =a （x －x 1）（x －x 2）=a （x 1－x ）（x 2－x ）.∵0＜x 1＜x 2，且x 1＜x 2＜a1，a ＞0，∴a （x 1－x ）（x 2－x ）＞0，即f （x ）－x ＞0，a （x 1－x ）（x 2－x ）＜a ·a 1（x 1－x ）=x 1－x ，即f （x ）－x ＜x 1－x .故0＜f （x ）－x ＜x 1－x ，即x ＜f （x ）＜x 1.（2）∵f （x ）－x =ax 2+（b －1）x +c ，且f （x ）－x =0的两根为x 1，x 2，∴⼆次函数f （x ）－x =0的对称轴为x =221x x +=－a b 21-. ∴21x =－a b 2+a21－22x . ⼜由已知，得x 0=－a b 2，∴21x =x 0+a21－22x . ⼜∵x 2＜a 1，∴a 21－22x ＞0. 故21x =x 0+a21－22x ＞x 0，即x 0＜21x . ⽅法技巧：函数与⽅程思想的恰当转化，是解决本题的关键，这种思想⽅法的转化往往是多次的.三、课堂练习教科书P 103练习题1.（1）（2），2.（1）（2）.解答：1.（1）令f（x）=－x2+3x+5，作出函数f（x）的图象，它与x轴有两个交点，所以⽅程－x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.（2）2x（x－2）=－3可化为2x2－4x+3=0，令f（x）=2x2－4x+3，作出函数f（x）的图象，它与x轴没有交点，所以⽅程2x（x－2）=－3⽆实根.2.（1）作出函数图象，因为f（1）=1＞0，f（1.5）=－2.875＜0，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有⼀个零点.⼜因为f（x）是（－∞，+∞）上的减函数，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有且只有⼀个零点.（2）作出函数图象，因为f（3）＜0，f（4）＞0，所以f（x）=2x·ln（x－2）－3在区间（3，4）上有⼀个零点.⼜因为f（x）=2x·ln（x－2）－3在（2，+∞）上是增函数，所以f（x）在（2，+∞）上有且仅有⼀个（3，4）上的零点.四、课堂⼩结1.本节学习的数学知识：零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0；零点的确定.2.本节学习的数学⽅法：归纳的思想、函数与⽅程思想、数形结合思想.五、布置作业补充题：1.定义在区间［－c，c］上的奇函数f（x）的图象如下图所⽰，令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是A.若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称B.若a=－1，－2＜b＜0，则函数g（x）有⼤于2的零点C.若a≠0，b=2，则函数g（x）有两个零点D.若a≥1，b＜2，则函数g（x）有三个零点2.⽅程x2－2mx+m2－1=0的两根都在（－2，4）内，则实数m的取值范围为________.3.已知⼆次函数f（x）=x2+2（p－2）x+3p，若在区间［0，1］内⾄少存在⼀个实数c，使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是________.板书设计3.1.1⽅程的根与函数的零点（2）⼆次函数零点的性质零点的性质例1例2例3例4课堂练习课堂⼩结。
基于“课标要求”的“二次函数”课例及分析
1案例分析2018年1月基于“课标要求”的“二次函数”课例及分析"浙江象山县石浦中学李丽君一、背景介绍《义务教育数学课程标准(2011年版)》中课程内容 的教学要求（以下简称“课标要求”)是课堂教学活动的 指南，也是教学评价的尺度和标准.但在以浙教版《数 学》九年级上册第一章第1节“二次函数”为载体的“多人 同课异构”式的研修活动中发现，课堂教学普遍与“课标 要求”存在较大偏差.网上查阅同类课例发现也有类似 现象.鉴于此，笔者在重复式观课与反思的基础上，在浙 江省特级教师邬云德先生的指导下，对该课的教学进行重建与再实践，改进后的教学得到了同仁认可.现将其整理出来，以獪读者.二、教学实录环节1:经历产生并感悟二次函数的过程一明确研 究问题.师:我们知道，现实生活中有许多数量变化关系问 题可以转化为一次函数、反比例函数问题.一次函数、反 比例函数够用吗？请大家根据下列问题中的条件列出函 数关系式.^就有必要“小题大做”.反之，应尽量避免.在浙教版八上“5.1常量和变量”这节课中，有这样①求这个“奇特函数”的解析式.②把反比例函.!=■%0图像向右平移6个单位，再&向上平移_______个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图像.过线段的中点-的一条直线.与这个“奇特 函数”的图像交于/、0两点，若以'、（、/、0为顶点组成的四边形的面积为# !0，请直接写出点/的坐标.3学生如果通过与研究函数的思想方法类比，从整体 到部分、从粗略到精细、从定性到定量，运用函数问题研 究的常用策略（1)研究函数按图像-性质-应用的途径；(2)先运用特例研究，再归纳一般；（3)画图，归纳对称 性、最值、特殊点、增减性等性质，必定可提升宏观的数 学视野，不会再对此类问题心存恐惧.因此，凡是能提升学生学习效率，提升学习和研究 数学的水平，提升数学思维能力，发展核心素养的例题，一道习题：圆周长C 与圆的半径2之间的关系式是C *2!2,其中 常量是_____，变量是_____.这里的常量是2!还是2、！呢？要不要在课堂上谈论呢？概念是思维的基本单位，为什么要学常量和变量？P .1常量和变量”为什么是函数的起始课？课标是这样叙述的:“探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解 常量和变量的意义./常量和变量是为函数学习所准备 的概念，它服务于函数，离开具体函数谈常量和变量是 毫无意义的.因此结合大量的生活中的、数学中的问题，让 学生站在函数视角研究常量、变量，即在充分体验现实 生活、数学问题、其他学科中各种量与量之间的变化规 律和数量关系中，引导学生抽象出变量和常量的概念， 才是本节课的重中之重.不能抛开核心素养的培养，纠 结于这些细碎的有争议的问题，那真的是小题大做了.参考文献：1.吴增生.数学抽象的认知机制及其教学策略[J ].中国数学教育，2017(4).24 十•？炎，？初中版2018年1月案例分析(1'王师傅存人银行2万元，先存一个一年期，一年 后将本息转存为又一个一年期.设年利率均为"，两年后 王师傅共得本息#0.问E#与"之间是怎样的关系？(2 )$个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛%问：比赛的场次&与球队数'是怎样的关系？(3)—个温室连同外围通道的矩形平面图如图1%这 个矩形的周长为120m，设一边长为"m，种植用地面积为 #m2.问:#与"之间是怎样的关系？1K_______________->11种植用地通道图1(约4分钟后）师:谁来回答第(1)问？生 1:#=20000( 1+" )2，即 #*20000"2+40000"+20000.师:不错.谁来回答第⑵问？生2:&*^-'('-1)，即m=—n2—r e.2 2 2师:不错.谁来回答第⑶问？生 3:("-2) (56-")，即#*-"2+58"-112.师:不错.列上述函数关系式经历了哪几个步骤？生4 :审题！分析！列式.师:不错.上述所列的函数是不是一次函数？是不是 反比例函数？生5:它们既不是一次函数，也不是反比例函数.师:不错.这说明从实际问题中还可以抽象出新形 式的函数.其实，这种函数有丰富情景.例如，函数“#* !"2，#="2+1”等都是从生活问题中抽象出来的.师:既然这类函数有丰富的现实情景，就有研究这 类函数的必要.这类函数有何特征？有何性质？有何用 处？本章就来研究这些问题.(揭示课题）环节2:参与定义二次函数的活动一形成二次函数 的概念.师:函数#*20000"2+40000"+20000与一次函数、反比例函数、一元二次方程等相比有何特征？生6:它有两个变量"、#，且自变量"的最高次数是2.生7:右边的代数式是整式.师:好的.函数“#*20000"2+40000"+20000，m*—2-■^~'，#*!"2，#*"2+1，#*-"2+58"-112”有何共同特征？生8:它们都有两个变量.师:不错.你是从变量的个数角度来归纳.生9:它们表示自变量的字母的最高次数都是2.师:好的.你是从表示自变量的字母的次数角度来 归纳.生10:它们右边的代数式都是整式.师:不错！你是从代数式的类型角度来归纳.生11:它们都不是方程.师:有道理.你是用方程概念来归纳.生12:它们都可以表示为#*a"2+-"+c(a、-、.是常数，a"0)的形式%师:非常好！你有较强的符号表示意识.师:尽管这类函数有多种特征，但其本质特征是它 们都可以表示为#*a*2+-"+c(a、-、.是常数，a"0 )的形式%师:我们把形如#*a*2+-"+c(其中a、-、.是常数，a"0)的函数叫作二次函数，并称a为二次项系数，-为一次 项系数，.为常数项.师:二次函数#*-"2+58"-112的二次项系数、一次项 系数、常数项分别是什么？生13:a*-1，-"58，c*-112%师:不错.二次函数#*!"2呢？生 13:a*!，- "0，.*0%师:好的.在#*a*2+-"+c(其中a、-、c是常数，a"0)中，为什么要规定a"0？为什么不规定-和c也必须不为0？生14:若a*0,则它不是二次函数.当a"0时，就算-*0 或c*0,它仍是二次函数.师:好的.获得二次函数概念经历了哪几个步骤？生15:根据条件列出函数关系式！观察所列函数关 系式的个体特征！归纳所列函数关系式的共同特征！ 抽象这类函数关系式的本质特征！定义与表示这类函 数%师:好的.这个思维过程具有普适性，其蕴含的抽象 思想、归纳思想、符号表示思想等是数学中的重要思想. 二次函数与一元二次方程有何区别？生16:二次函数刻画的是变量之间的变化关系，一元 二次方程刻画的是常量之间的相等关系.二次函数的一 般形式是#*a"2+-"+c，而一元二次方程的一般形式是a"2+ -"+c*0%师:非常好.它们都是描述现实世界数量关系的重 要数学模型.环节3:参与尝试概念应用的活动一H作解答有代 表性的问题.初中版十炎，？251案例分析2018年1月师:好的.求这个函数关系式的策略与方法分别是师:现在请大家解答题1.题1!如图2，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪 去4个全等的直角三角形（图中阴影部分).设cm，四边形的面积为-cm2.(1S求-关于，的函数表达式和自变量，的取值范围.(2)当，分别为 0.25、0.5、1、1.5、1.75时，求对应的四边形#&)+的面积，并用列表法表示 其对应关系.(建议小组成员分工合作）(约5分钟后）师:谁来解答（1)?生 17 :-'22-4x^~x,(2-,)=2,2-4,+4,自变量,的取值范围是:0<,<2.师:即所求函数是:-'2,2-4,+4 (0d2).师:确定实际问题自变量取值范围有何经验？生18:既要考虑使函数关系式有意义，还要注意问 题的实际意义.师:不错.谁来回答(2)?生19:计算结果如表1:表1,/cm0.250.51 1.5 1.75y/cm2 3.125 2.52 2.5 3.125师:好的.请大家课后思考:表1中的数据有何特点？师:解决这个问题经历了哪几个步骤？生20:分析！列式！求值.师:不错.请大家再解答题2.题2!已知二次函数-',2+2,+c，当时，函数值是4; 当时，函数值是-5.求这个二次函数的表达式.(约3分钟后）师:谁来陈述解答过程？生21:解:把,$1、-$4,以及,$2、-$-5分别代人函数「1+2+3 —4式-=,2+2,+c中，得方程组| ’解这个方程组，14+22+C—-5，所求二次函数的表达式是--,2-12,+15.什么？生22:策略:把函数问题转化为方程问题.方法：待定系数法.师:好的.这种转化的策略和用待定系数法求函数表达式的方法以后会经常用到.师:要确定二次函数-—〇«2+2,+c中的a、2、3，需要几个条件？生23:需要3个条件.师:不错.由于本题中4-1是已知条件，所以只要2个条件就够了.师:题1求函数表达式与题2求函数表达式有何不同？生24:题1函数类型未知，需要根据题目的条件列函数关系式.题2函数类型已知，可用待定系数法求函数表达式.师:好的.这两种题型以后会经常遇到.下面请大家完成课本中的练习题.(待学生完成任务后教师组织学生交互反馈与评 价).环节4:参与回顾与思考的活动一合作进行反思与总结.首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.⑴本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？(2) 何谓二次函数？定义二次函数经历了哪几个步 骤？(3) 二次函数与一元二次方程有何区别？求二次函 数表达式有何经验？(4) 你在学习过程中有何感触？你认为还应该研究 什么？其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师边倾听、边评价.再次，教师让学生欣赏二次函数的自述：Hi!我是二次函数.我可以看成是从现实生活中抽象出来的，又可以看成是从函数概念中演绎出来的，还可以看成是从变量角度看二次整式的结果.我的本质特征是解析式具有--a*2+2,+c(其中a、2、c是常数，a#0)的形式.我与一元二次方程的区别是:我刻画的是变量之间的变化关系，一元二次方程刻画的是常量之间的相等关系.求我的表达式有两种题型：一是问题没有告诉你函数关系是我的类型，你可用列式法求我的表达式;二是问题告诉了你函数关系是我的类型，你可用待定系数法26•?炎，7初中版2018年1月求我的表达式.由于我与/次函数有许多相似之处，所 以研究我的内容与方法可与研究/次函数的内容与方 法类比.之所以人们喜欢我，是因为我是刻画现实世界 数量变化的重要数学模型.告诉你:在认识我和用我解 决实际问题的过程中，能感受到许多蕴含其中的数学思 想和积淀许多蕴含其中的数学活动经验，还能发展你的 智力、能力和个性.三、教学分析“二次函数”的“课标要求”是“通过对实际问题的分 析，体会二次函数的意义这暗示着：产生二次函数要 选择从实际问题中抽象出来的方式.事实上，尽管二次 函数可以看成是从实际问题中抽象出来的，也可以看成 是数学自身逻辑的产物，但采用从实际问题中抽象出二 次函数的方式，更能反映二次函数的数学本质，更有利 于学生体会二次函数的意义，也能化解列二次函数关系 式的难点.这样，用于产生二次函数的情境性问题要有 代表性，并且问题的情境要有教育价值，以丰富学生的 生活常识和体会二次函数也是刻画现实世界数量变化 关系的有效数学模型.尽管课标对二次函数的概念没有 提出具体的教学要求，但浙教版教材将二次函数概念归 于“归纳”层次，并且提出了用待定系数法求二次函数表 达式及确定实际问题自变量取值范围的教学要求，旨在 再认待定系数法及积累求自变量取值范围的数学活动 经验.但目前许多教师对该课的理解与实践方式与“课 标要求”和教材意图存在偏差:在“产生二次函数”的教 学中，有些教师采用“举一反三”(从单一的情境中通过 变式抽象出多个二次函数)的方式;有些教师提供的情 境性问题不具有代表性，并且问题的情境不能满足学生 丰富生活常识的需要.这很难达到体会二次函数意义的 教学目标.在“定义二次函数”的教学中，大多数教师没 有引导学生经历“观察！归纳！抽象！定义！巩固！反 思”的完整过程，导致失去了发展学生能力和个性及感 悟其蕴含的数学思想方法的机会.在“尝试概念应用”的教学中，有些教师选用的载体没有紧扣“课标要求”;有 些教师在解决问题之后没有引导学生反思(或教师没有 及时追问），导致不能促进学生积累求函数关系式和确 定实际问题中自变量取值范围的思维活动经验及认识 求函数解析式有两种题型的需要.本课例根据“课标要求”和教材的意图，将其教学立 意定位于“再认、体验、铺垫”，并以有代表性的实际问题 为载体(对教材提供的载体作了优化），从学生已有的知识与经验出发，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，引导学生经历完整的认知过程.在“产生二次函数”的教学中，既有回顾与提出问题的过程，以激发学生的学习兴趣，又有“审题！分析！列式！交流”的过程，以产生具体对象，也有产生具体对象之后的反思与提出问题的过程，以再认列函数表达式的思维过程和明确研究的问题.在“定义二次函数”的教学中，既有“观察！归纳！抽象！定义！巩固”的过程，以获得二次函数概念，又有获得概念之后的反思，以感悟获得二次函数概念的思维过程和所蕴含的归纳思想、符号表示思想等及二次函数与/元二次方程的区别.在“尝试概念应用”的教学中，既有“分析！列式！求解”的过程，以解决给定的求函数表达式问题，又有解决问题之后的反思，以积累求函数表达式和自变量取值范围的数学活动经验.这体现了过程教育和以学为中心思想，也遵循了处于归纳层次的概念教学的基本规范.参与研修的教师普遍认为，本课例虽没有高深别致的题型，也没有跌宕起伏的情节，更没有热闹非凡的场面，但教师根据“课标要求”和教材意图，引导学生经历了有价值的思维过程，能实现“能根据简单实际问题的条件列出二次函数表达式，并能体会二次函数的意义；能说出二次函数的/般形式，并会求二次项系数、/次项系数和常数项;会用待定系数法求二次函数表达式和能根据实际问题确定自变量的取值范围”的教学目标.因此，高效能的教学需要教师研读“课标要求”和领会教材意图./般地，处于归纳层次的概念教学要经历“用适当的方法提出问题！用适当的方式产生对象！观察对象的个体特征！归纳对象的共同特征！抽象对象的本质特征！定义与表示对象！反思其蕴含的思维与思想！解决有代表性的问题”的过程，并在认知过程中留给学生自主思考与实践的时间和合作交流的机会，以体现过程教育和以学为中心思想，促使学生对概念的认识达到/定的“深度”和“宽度”，促使学生学会主动提出问题，独立思考问题，合作探究问题，以及养成敢于质疑、善于表达、认真倾听、勇于评价和不断反思的良好品质和习惯.参考文献：1. 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社,2012.2. 范良火.义务教育教科书•数学（九年级上册）[M].杭州：浙江教育出版社，2014.初中版十•？炎，？27。
22.1.2 二次函数的图象和性质(1)教案
描点，并连线
图略
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质。回忆一下如何研究一次函数的图象和性质的？
2、类比探究二次函数
y＝ax2的图象与性质。
问题1：类比一次函数的研究内容和研究方法，画二次函数y＝x2的图象，你能说说它的图像特征和特性吗？你是如何描点画图的？你打算从哪些角度去观察、概括特征？
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
2．难点、关键：用描点法画二次函数y＝ax2的图象、探索其性质及二次函数y＝ax2的灵活运用
教学准备
教科书、多媒体课件
教学时间
1课时
教学过程
第（2）课时
教学环节
教师活动预设
学生活动预设
设计意图
备注
情境导入
如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5，然后准确落入篮筐内。已知，篮圈中心离地面距离为3.05m
（2）已知抛物线y=-2x2,在对称轴的左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而
通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和特性，如位置、形状、函数随自变量的增大如何变化。
二次函数图像与性质(1)说课稿
22.1 二次函数的图象和性质(第1课时)说课稿一、教材分析1、教材的地位及作用函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具，二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位。
本节内容的教学，在函数的教学中有着承上启下的作用。
它既是对已学一次函数及反比例函数的复习，又是对二次函数知识的延续和深化，为将来二次函数一般情形的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础，做好铺垫。
2、教学目标(1) 掌握二此函数的概念并能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。
［知识与技能目标］(2)让学生经历观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。
［过程与方法目标］(3) 让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦，［情感、态度、价值观目标］3、教学的重、难点重点：二次函数的概念和解析式难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力4、学情分析①学生已掌握一次函数，反比例函数的概念,图象的画法，以及它们图象的性质。
②学生个性活泼，积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。
③初三学生程度参差不齐，两极分化已形成。
二、教法学法分析1、教法（关键词：情境、探究、分层）基于本节课内容的特点和初三学生的年龄特征，我以“探究式”体验教学法和“启发式”教学法为主进行教学。
让学生在开放的情境中，在教师的引导启发下，同学的合作帮助下，通过探究发现，让学生经历数学知识的形成和应用过程，加深对数学知识的理解。
教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。
同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教。
2、学法（关键词：类比、自主、合作）根据学生的思维特点、认知水平，遵循“教必须以学为立足点”的教育理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。
二次函数复习(第一课时)教学设计
二次函数复习（第一课时）教学设计一、教材分析二次函数是中考的重点内容之一，二次函数的应用是培养学生数学建模和数学思想的重要素材，是每年必考的题型。
本部分包括了初中代数的重要数学思想和方法，复习时必须高度重视。
二次函数与前面学习的二次三项式、一元二次方程有着密切联系并将为今后高中学习不等式和二次曲线打下基础、积累经验、提供可以借鉴的方法。
本节课通过对二次函数的图象与性质的复习，加深学生对函数知识的理解和应用。
二、复习目标1.知识目标会画二次函数的图象，能通过图象得出二次函数的性质；会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值；知道二次函数系数与图象的关系。
2.技能目标理解数形结合的数学思想的应用，学会用数形结合的思想解决问题。
3.情感目标通过对数学问题的解决，培养学生的钻研精神，激发学生学习数学的兴趣。
三、教材处理针对初三复习时间紧、任务重的实际情况，我决定利用梳理知识点的复习方法展开复习，对常考的知识点进行归纳整理，让学生先掌握基础知识，再让学生构建二次函数的知识体系，然后通过一些应用性的题目提升学生的能力以提高学生运用知识分析问题、解决问题的能力。
四、学情分析二次函数部分在年前学习时由于时间比较紧，一部分同学对二次函数的性质掌握不是太好。
再者，函数是初中数学的难点，学生理解和学习起来有一定的难度，所以，基础比较差一些的学生学习起来还是有一些困难。
但现在学生已经复习了一次函数和反比例函数，对函数的认识有了一定程度的加深，复习起来应该比讲新授课时应该要顺利的多。
在复习时要针对学生的实际，先掌握基础知识，再让学生构建二次函数的知识体系，然后通过一些应用性的题目提升学生的能力。
第一轮复习一定要注重基础，要注重实效。
五、教法分析梳理知识、查漏补缺、讲练结合、归纳总结、提升能力。
六、复习过程1、回归教材知识梳理（1）二次函数的概念；（2）二次函数的三种解析式；（3）二次函数的图象与性质；（4）二次函数的图象与a，b，c的关系。
九年级下册第二章《二次函数》第一节
课题：2.1 二次函数一、课标要求：（一）内容标准：通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
（二）能力目标：通过分析实际问题，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，引出二次函数的概念，并能利用尝试求值的方法解决实际问题。
体会函数的建模思想。
十大核心概念在本节课中突出培养的是应用意识、模型思想。
二、教材与学情分析：（一）教材分析：本节课是九年级下册第二章《二次函数》第一节，属于“数与代数”领域中的“函数”。
二次函数是一种基本初等函数，是描述现实世界变量之间关系的重要模型。
学生已经学习了函数，一次函数和反比例函数。
研究函数已经有很好的基础和经验。
二次函数是初中阶段所学的函数知识的重点内容之一，是对函数及其应用知识学习的深化和提高。
二次函数的学习为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础，积累经验，同时为第四节二次函数的应用做好铺垫有着承上启下的作用。
本节的重点是通过实际情境，引出二次函数的概念，并从中体会函数的模型思想。
（二）学情分析一、学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，具备了一定的函数方面的基础知识、基本技能，会利方程解决一些实际问题。
（2）支持性条件：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些利用函数解决实际问题的活动，感受到了函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型；经历过合作学习的过程，具有一定的合作与交流能力。
2.起点能力分析学生能够表示出比较简单的具体问题中各个量之间的关系。
二、学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：本节课通过自主学习与合作交流，少数学生能用二次函数表示简单变量之间的关系，多数学生能判断是否是二次函数、能够用尝试求值的方法解决实际问题。
多数学生在解决问题时由于实现数学化方面存在学习障碍，因此分析和建立两个变量之间的二次函数关系仍有困难，针对这一问题，采取策略：从学生感兴趣的且较简单的实际问题入手，使学生积极参与数学学习活动，把数学问题和实际问题相联系，同时使学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，增强对数学的好奇心和求知欲。
二次函数课标细化解读
细化解读课程标准案例设计科目：数学年级：九年级教材版本：北师大版章（节）或单元：九年级下册第二章第二节课题：2.1 二次函数所描述的关系一、教学目标确定依据一：数学课程标准的有关内容：通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
课程标准为本节制定的教学目标，目标用含糊的内隐心理活动词语，而不是可观察测量的外显行为动词，不够具体、明晰。
需对课程标准作进一步的细化、分解，以使不同的人在数学上得到不同的发展。
分析课程标准发现：（名词）核心知识是分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
1、确定二次函数的表达式。
细化为：根据具体的问题情境，通过自主探究、合作交流，能找到常量、变量之间的关系，列出二次函数表达式。
达标率为80%。
2、体会二次函数的意义。
体会一词含糊，不够具体，可分解为说出、概述、判断等动词。
因此，可细化为：能根据所列函数表达式，通过观察、交流，能说出它们的共同特征，能概述出二次函数的意义。
能判断所给的函数表达式是否二次函数的。
达标率90%依据二：教学参考书要求：1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2、能过表示简单变量之间的二次函数关系。
3、你能过利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题。
依据三：中招考试说明在每年的中招试题中常常二次函数解答题，并且是作为大题、难题出现，有明显的区分度。
所以它是中招的重要知识点。
依据四：教材内容二次函数使描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数还是一种非常基本的初等的函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、进而体会函数的思想奠定基础。
依据五：学生情况我校是农村初中，地处边远，学生程度参差不齐。
学生在八、九年级已经学一次函数、反比例函数。
导学法教学模式在我校已全面开展，学生能够通过自主探究、合作交流、教师引领等方式探索新知。
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。