三角形的三线及面积讲义及答案
专题--三角形中的三线(高角分线中线)
目录
1 三角形的中线问题 2 三角形的角分线问题 3 三角形的高线问题
【PART.01】
三角形的中线问题
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变式 在△ABC 中，已知 b＝acosC＋ 33csinA，点 M 是 BC 的中点．
(1) 求角 A 的大小；
【解答】因为 b＝acosC＋ 33csinA，根据正弦定理得 sinB＝sinAcosC＋ 33sinCsinA，
所以 sin(A＋C)＝sinAcosC＋ 33sinCsinA，
所以
b＝c＝
3时，中线 AM 的长度
4
42
4
取得最大值32.
【PART.02】
三角形的角分线问题
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例
在△ABC 中，asinB＝bsinA＋π3.
(1) 求角 A 的大小； 60°
(2) 若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长．
【解答】 因为 S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以12AB·AC·sin∠BAC＝12AB·AD·sin∠BAD
三角形的三线及面积(二)2024
三角形的三线及面积（二）引言:三角形是高中数学中的基本概念之一，它具有许多特性和性质。
在前一篇文档中，我们已经介绍了三角形的基本知识和一些重要概念。
在本文中，我们将继续探讨三角形的三线及其与面积的关系。
正文:一、三角形的三线1. 欧拉线：欧拉线是连接三角形的重心、外心和垂心的线段。
它具有许多重要的性质，如重心将欧拉线分成两等分部分，垂心到三角形三条边的距离之和等于三角形的周长等。
2. 高线：高线是从三角形的顶点到相对边上的垂线。
每个三角形都有三条高线，它们的交点称为三角形的垂心。
高线具有许多特性，如垂线互相垂直，垂心到三角形三个顶点的距离相等等。
3. 中线：中线是连接三角形两个顶点和中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们的交点称为三角形的重心。
中线具有许多特性，如重心将中线分成两等分部分，重心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形三个顶点到重心距离的三倍等。
4. 垂径：垂径是从三角形的顶点到相对边上的垂线的长度。
一般情况下，三角形的三个顶点到相对边上的垂径长度是不相等的。
5. 辅助线：辅助线是在三角形内部或外部引入的额外线段，用于研究三角形的性质。
常见的辅助线有角平分线、中垂线等。
二、三角形面积与三线的关系1. 欧拉线与面积关系：三角形的面积等于欧拉线长度乘以外接圆半径的两倍。
2. 高线与面积关系：三角形的面积等于高线长度乘以对应底边的长度的一半。
3. 中线与面积关系：三角形的面积等于中线长度乘以对应底边的长度的四分之一。
4. 垂径与面积关系：三角形的面积等于垂径长度乘以对应底边的长度的一半。
5. 辅助线与面积关系：通过引入合适的辅助线，可以简化计算三角形面积的过程。
常见的方法包括利用角平分线将三角形分成两个形状相同的小三角形，或者利用中垂线将三角形分成两个底边相等的梯形。
总结:在本文中，我们介绍了三角形的三线及其与三角形面积的关系。
这些性质和关系对于解决与三角形相关的问题非常有用。
通过深入理解三角形的性质，我们可以更好地应用它们来解决实际问题，从而提高数学问题解决的能力。
三角形三线
三角形三线一、情景创设，引入新课二、自主学习（阅读课本） 活动1 预备知识1．在△ABC 中，请指出与顶点A 相对的边．2．请作P 点到直线l 的距离．活动2 三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫做三角形的角平分线（angular bisector of a triangle ）．如图，△ABC 的平分线交AC 于D ，线段BD 是三角形的角平分线．我们可以用折叠的方法折出角平分线．请同学们按照课本P136图11-11所示的步骤，折出三角形的角平分线．一个三角形，可以折出几条角平分线？请你折出一个三角形的所有的角平分线．你发现三角形的角平分线相交于一点吗？和其他同学交流，你们有什么发现？三角形的三条角平分线相交于一点．三角形三条角平分线的交点在三角形 部．活动3 三角形的中线 在三角形中，连结一个顶点与它对边的 点的线段，叫做三角形的中线（median of triangle ）．如右图，D 是BC 的中点，线段AD 就是三角形的中线．分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，并画出每个三角形的三条中线． 你发现什么规律？PlA B C D A B C D三角形的三条中线相交于一点．这个交点叫做三角形的 .三角形三条中线的交点在三角形 部．活动4 三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（height oftriangle ），简称三角形的高．如右图，AD 就是三角形的一条高．请在下图中的三个三角形中分别画出三角形的高．三条高线还相交于一点吗？．三角形的三条高所在的直线相交于一点．锐角三角形的三条高线的交点在三角形的 部；直角三角形的三条高线的交点是 角顶点；钝角三角形三条高线所在的直线的交点在三角形的 部．三、知识运用 把握三线特征1．三角形的高具有以下特征：如图6，△ABC 中，AD 是△ABC 的BC 边上的高，则有 （1） ⊥ .（2） = =90°；（3）S △ABC=.图6 图7 图82．三角形的中线具有以下特征：如图7，△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，则有 （1） = ；（2） = =21S △ABC .3．三角形的角平分线具有的特征：如图8，△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，则有：A B CD（1） = =21∠BAC.随堂练习1如图，△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，BF 是中线， 则 ＝ ＝90°； ＝ ＝21∠BAC ；＝ ＝21AC2．如图：在锐角三角形ABC 中，C D 、BE 、分别是AB 、AC 边上的高，且CD,BE 交于一点P ，∠A ＝50°，则∠BPC ＝3．三角形的中线是（ ）A ．直线B ．线段C ．射线D ．射线或线段4．△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD 是∠ACB 的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A 的度数（ ）A ．36°B ．40°C ．60°D ．70°5．如果一个三角形的两条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能6．△ABC 中∠ACB=90°，把△ABC 沿直线AC 翻折180度，使B 点落在D 点位置，则在△ABD 中，线段AC 具有的性质（ ） A ．是BD 的中线 B ．是BD 的高C ．是∠BAD 的角平分线 D ．以上答案均正确四、体会联想，总结反思1．三角形的角平分线是射线吗？ 2．三角形的中线是直线吗？ 3．三角形的高线是直线吗？4．直角三角形的两条直角边也是三角形的高吗？5．三角形的角平分线、中线、高线的交点一定在三角形的内部吗？课后反思AFCE D B第1题第2题CA EDBP。
几何法巧解三角形“三线”问题(两篇)2024
引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。
其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。
通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。
本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。
正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。
1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。
1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。
首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。
连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。
2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。
2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。
2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。
首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。
通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。
3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。
3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。
3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。
首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。
然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。
4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。
4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。
三角形讲义(一)
三角形讲义（一）知识讲解三角形：由不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫三角形。
三角形的三要素：⎪⎩⎪⎨⎧在三角形内部的角内角：相邻两边组成的端点顶点：相邻两边的公共线段边：组成三角形的三条三角形的表示方法：如果三角形的三个顶点为A 、B 、C ，三角形可表示为ABC ∆三角形三边的表示法：三角形的三边都是线段，可用表示线段的办法表示边。
用表示端点的两个大写字母或一个小写字母表示。
三角形的周长：用代数式表示为c b a C ++=。
三角形的面积：用代数式表示为Cab ah S ∠==sin 2121 三角形的稳定性：如果三角形的三边固定，那么三角形的形状和大小就固定了。
三角形的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜角三角形直角三角形按角分类等边三角形腰、底不相等等腰三角形不等边三角形按边分类三角形 三角形的三线和五心三线⎪⎩⎪⎨⎧高线中线角平分线角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段。
定理：三角形的三条角平分线交于一点。
已知：AD,BD 分别平分ABC ∆的内角B A ∠∠,，求证：CD 平分C ∠证明：过点D 作AC DF BC DE ⊥⊥,,AB DG ⊥CCD DFDE DEDG BCDE AB DG B DFDG ACDF AB DG A ∠∴=∴=∴⊥⊥∠=∴⊥⊥∠平分平分平分,,BD ,,AD注意：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。
三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段。
定理：三角形的三条中线交于一点。
已知：AF,BD 分别是ABC ∆的中线，CE 过AF,BD 的交点，求证：CE 是ABC ∆的中线。
证明：连接DF,与CE 交于点G 。
,,11//,,221212D E AC BC DF DH DF AB DG AE AB DB DG DH EB DB DG EB AE EB CE ABC ∴===∴==∴=∴=∴∆分别是的中点是的中线三角形的高线：从三角形的顶点向对边做垂涎，顶点与垂足之间的线段。
三角形的“三线”(一)
三角形的“三线”（一）引言概述:在几何学中，三角形是一种常见的图形，由三条边和三个角所确定。
而在三角形的研究中，有三条特别重要的线段，它们被称为三角形的“三线”。
这三条线分别是：三角形的中线、三角形的角平分线和三角形的高线。
本文将对这三条线段进行详细的阐述和解释。
正文:第一节: 三角形的中线1. 中线的定义: 三角形的中线是连接三角形一个顶点与该顶点对边中点的线段。
2. 中线的性质:a. 中线互相平分: 三角形的三条中线互相平分。
b. 中线长度关系: 三角形的中线长度满足中线长度的关系公式。
c. 重心: 三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。
d. 重心的性质: 重心到各顶点的距离与中线的长度成正比。
第二节: 三角形的角平分线1. 角平分线的定义: 三角形的角平分线是从三角形一个顶点出发，将该顶点的相邻两个角平分的线段。
2. 角平分线的性质:a. 角平分线相交于内切圆心: 三角形的三条角平分线交于一点，该点是三角形内切圆的圆心。
b. 角平分线长度关系: 三角形的角平分线长度满足角平分线长度的关系公式。
c. 角平分线与边的关系: 角平分线将相对顶点的边等分为两段。
第三节: 三角形的高线1. 高线的定义: 三角形的高线是从三角形一个顶点出发，垂直于该顶点所对边的线段。
2. 高线的性质:a. 高线相交于垂心: 三角形的三条高线交于一点，该点被称为三角形的垂心。
b. 高线长度关系: 三角形的高线长度满足高线长度的关系公式。
c. 垂心与外心关系: 三角形的垂心和外心在同一条直线上。
第四节: 三角形三线的关系1. 三角形三线的共点性: 三角形的三条中线、角平分线和高线交于一点，该点被称为三角形的费马点或第一等心点。
2. 三线长度比较: 三角形三线的长度具有特定的大小关系。
3. 三线与特殊点的关系: 三角形的三线与其它特殊点（如垂心、内心、外心）之间存在一定的关联。
第五节: 应用举例1. 实际应用中的三线: 三角形的三线在几何学和实际问题中有广泛的应用。
新人教版八年级上数学第十一章-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)
第十一章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。
2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。
）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。
（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
中考数学典型题解析——三角形的有关三线典型题
中考数学典型题解析——三角形的有关三线典型题
三角形的三线
1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段．
2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段；
3.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
典型例题
三角形的中线
如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则
图中阴影部分的面积是。
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
【总结】根据三角形的面积公式，易得三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个部分．如图所示，AD是△ABC的中线，则S1=S2
练习
设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、
AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，
BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为（用含n的代数式表示，其中n为正整数）
典型例题
三角形的角平分线和高线
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是
【方法一】等积法
解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
【方法三】相似
【总结】求线段的长度，可以使用等积法、相似、勾股定理或三角函数．
练习
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为。
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三角形的三线及面积讲义
及答案
The pony was revised in January 2021
三角形的三线及面积（讲义）
一、知识点睛：
1.三角形的三线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．
（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．
如图，在△ABC中，作出AC边上的高线．
________即为所求．
2.面积问题：
（1）处理面积问题的思路
①_____________________________；
②_____________________________；
③_____________________________．
（2）处理面积问题方法举例
①利用平行转移面积
如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．
②利用等分点转移面积
两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比．
二、精讲精练：
1.如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：
①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中（）
A．①②都正确B．①②都不正确
C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确
2.如图所示，在△ABC中，BC边上的高是_______，AB边上的高是_______；在△BCE
中，BE边上的高是________，EC边上的高是_________；在△ACD中，AC边上的高是________，CD边上的高是________．
3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．都有可能
4.如图，在正方形ABCD中，BC=2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的平分线
CF上任意一点，则△PBD的面积等于_________．
5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，延长DC到E，使CE=AB，连接BD，BE．若梯形ABCD
的面积为25cm2，则△BDE的面积为__________．
第5题图第6题图
6.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方
形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为____________．
7.已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点
上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数是_______个．
第7题图第8题图
8.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的
两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2，则满足条件的格点C的个数是_______个．
9.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在AD上，AE=2DE，若△ABE的面积是4，
则△ABC的面积是_______．
10.如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=16，则
S
=_____________．
△DEF
11.如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，
△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF S△BEF=（）A．1 B．2 C．3 D．4
12.如图所示，S△ABC=6，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE=______．
13.如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，CF交于点D．若△BDF，
△BCD，△CDE的面积分别是3，7，7，则△EDF的面积是_______，△AEF的面积是______．
14.如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和△BOC的面积分别为
25cm2和35cm2，那么梯形的面积是_____________．
15.如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为20cm2，△CDQ的面积为35cm2，则阴影四边
形EPFQ的面积是_________．
16.如图，若梯形ABCD面积为6，E，F为AB的三等分点，M，N为DC的三等分点，则四
边形EFNM的面积是_________．
【参考答案】
一、知识点睛
1.（1）线段，在三角形内部，重心．
（2）线段，在三角形内部，内心．
（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部．
作图略
2.（1）①公式法；②割补法；③转化法．
（2）②对应高，对应底．
二、精讲精练
1. C
2.AF，CE；CE，BE；DC，AC．
3. C
4. 2
5.25cm2
6.16
7.6
8.5
9.12
10.2
11.B
12.1
13.3，15
14.144 cm2
15.55 cm2
16.2。