2.1.1-3无理数指数幂
无理数指数幂及其运算性质课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1
1
令( ) ＜ ，
2
10
证得n≥4，
∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
作者编号：32101
1
) ，
2
练4.如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，
那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成____个.
64
作者编号：32101
(3)a－a-1
1
2
12 2
1
2
12 2
1
1
2
(a a ) a a 2 3, a a
a 2 a 2 ( a a 1 )( a a 1 ) 5 21
12
3.
1
2
练2.已知 x x
1
2
解析：将 x x
1
2
7
5，则x2＋x－2＝____.
1
2
5 ，两边平方得x＋x
－1＋2＝5，
则x＋x－1＝3，
两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
作者编号：32101
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−2
练3.已知x＋x－1＝7，求值：① + ；②x2－x－2；③求x3＋x－3的值.
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−2
解：①设m＝ + ，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，
(1)a2+a-2
1
2
(2) +
1
2
−
1
2
(4) －
1
2
12
7.
20§2.1.1指数与指数幂的运算(第3课时)
班级：高一 班 姓名： 编号：20§2.1.1 指数与指数幂的运算第3课时 无理指数幂山东省淄博四中·高一数学组课时学习目标与重难点：☆学习目标：理解无理指数幂的含义；掌握无理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行实数指数幂的运算和化简。
★重难点：无理指数幂的含义的理解、无理指数幂的运算性质的掌握是本节的重点；无理指数幂的含义的理解、实数指数幂的运算与化简是本节的难点。
课时学案：一、新知探究与知能训练1．无理指数幂的意义一般地，无理指数幂αa (0>a ，α是无理数)是一个确定的 。
※合作探究：在规定无理指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？试举例说明之。
★2．实数指数幂的运算性质规定了无理指数幂的意义之后，指数幂的概念就从有理指数推广到实数指数。
对于有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂。
请同学们总结一下它们的共同运算性质：对于任意的实数r 、s ，均有下面的运算性质：① ；② ；③ 。
3．例题讲解例1 写出使下列等式成立的x 的取值范围：(1)5)5()25)(5(2+-=--x x x x ； (2)31)31(33-=-x x 。
课堂训练1：要使式子504253)2(341---+++x x x x 有意义，则实数x 的取值范围是 。
例2 化简下列各式(式中字母都表示正数)：(1)a b ba b a b a b a b a 11))((1122221111-++-+--+----------；(2)xy xy xy ⋅⋅-312。
例3 已知22121=+-a a ，求(1)1-+a a ；(2)22-+a a ；(3)33-+a a 的值，比较以上结论，你还可以得到什么？(不必证明)课堂训练2：已知32121=+-a a ，求(1)1-+a a ；(2)22-+a a ；(3)21212323--++aa a a 的值。
例4 计算下列各式：(1)31213125.01041.010])833(81[])87(3[)0081.0(⨯-+⋅⨯------；(2)433333391624337+--。
2019A新高中数学必修第一册：2.1.1 指数与指数幂的运算
1 3
);
x-
1 2
y
2 3
)(-4
x
1 4
y
2 3
);
(7)
(2
x
1 2
+
3
y-
1 6
)(2
x
1 2
-
3
y
- 16
);
(8)
4
x
1 4
(-3
x
1 4
y-
1 3
)
(-6
x
- 12
y-
2 3
).
解:
(1)
13 7
a 3a4a12
=
a
13+
3 4
+172
=
a
5 3
.
(2)
23
a3a4
5
a6
=
a
32+
43-
3. 分数指数幂
我们将下面根式变形:
10
a>0 时, 5 a10 = 5 ( a2 )5 = a2 = a 5 .
12
a>0 时, 4 a12 = 4 ( a3 )4 = a3 = a 4 .
m
规定: a n = n am (a 0, m, nN *. 且n1).
a-
m n
=
1
m
(a 0,
m,
解:
(1)
原式
=
x3
y2(-
27
1 x3
y31)
=
-
1 27 y
.
(2) 原式 = 4(- 32)a2-(-1)b-1-(-1)= -6a3.
(3)
原式
高中数学：第二章 2.1.1 指数与指数幂的运算 (1)
指数函数2．1.1指数与指数幂的运算预习课本P48～53，思考并完成以下问题(1)n次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？[新知初探]1．n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0 x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±n aa＜0x不存在*.2．根式(1)定义：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(n＞1，且n∈N*)①(na)n＝a.②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，n为奇数，|a|，n为偶数.[点睛](n a)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而n a n中a∈R.3．分数指数幂的意义分数指幂正分数指数幂规定：amn＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂规定：a-mn＝1amn＝1n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义[点睛]分数指数幂amn不可以理解为mn个a相乘．4．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．5．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个．()(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．()(3)(π－4)2＝4－π.()(4)分数指数幂a mn可以理解为mn个a相乘．()(5)0的任何指数幂都等于0.()-=答案=-：(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×2.5a－2可化为()A．a2-5B．a52C．a25D．.－a 52-=答案=-：A3．化简2532的结果是()A．5 B．15 C．25 D．.125 -=答案=-：D4．计算：π0＋2－2×⎝⎛⎭⎫21412＝________.-=答案=-：118[例1] 化简： (1)n(x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. [解] (1)∵x ＜π，∴x －π＜0. 当n 为偶数时， n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ；当n 为奇数时， n(x －π)n ＝x －π.根式的化简与求值综上可知，n(x －π)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a .根式化简应遵循的3个原则(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数．(3)被开方数中不能含有分母；使用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．[活学活用]1．若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＞0，y ＜0 C ．x ≥0，y ≥0D ．x ＜0，y ＜0解析：选B ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0. 又∵xy ≠0，∴xy ＜0，故选B.2．若(2a －1)2＝3(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________． 解析：(2a －1)2＝|2a －1|，3(1－2a )3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ， 故2a －1≤0，所以a ≤12.-=答案=-：⎝⎛⎦⎤－∞，12根式与分数指数幂的互化[例2] 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)13a 2；(2)a 3·3a 2；(3)3b －a 2. [解] (1)13a2＝12123a ＝a2-3. (2)a 3·3a 2＝a 3·a 23＝a 3＋23＝a113.(3) 3b －a 2＝⎝⎛⎭⎫b －a 213＝b 13·⎝⎛⎭⎫－1a 213＝b 13·(－a －2) 13＝－b 13a2-3根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数 化为 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 化为 分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．[活学活用]3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12(x ＞0) B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)解析：选C －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；x －34＝(x －3)14＝ 4⎝⎛⎭⎫1x 3(x ＞0)； x 1-3＝⎝⎛⎭⎫1x —13＝31x(x ≠0)． 4．将下列根式与分数指数幂进行互化： ①a4-3；②3a a (a ＞0)；③a 3a ·5a 4(a ＞0)．解：①a4-3＝14a 3.②3a a ＝a 13·a 16＝a 12.③原式＝a 3·a1-2·a4-5＝a143--25＝a1710.[例3] 计算下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－0.010.5； (2)0.0641-3－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] 4-3＋16－0.75；(3)⎝⎛⎭⎫141-223320.1()a b -- (a >0，b >0)．3-2指数幂的运算[解] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝g 132244100·a 32·a 123-2·b3-2·b 32＝425a 0b 0＝425.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． [活学活用] 5．计算：(1)0.02713－⎝⎛⎭⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0； (2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (3)23a ÷46a ·b ·3b 3.解：(1)原式＝(0.33) 13－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫52212＋(44) 34＋(223)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715.(2)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c ) ＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c.(3)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)·(3b 32) ＝12a 11-36b1-6·3b 32＝32a 16b 43.[例4]已知a 12＋a1-2＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[解](1)将a 12＋a1-2＝5两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.[一题多变]1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y ＝±35，即a2－a－2＝±3 5.-=答案=-：±3 52．[变条件]若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求112211 22-a b a b+值．解：11221122-a ba b+＝1122211112222--a ba b a b+（）（）（）＝12+-2-a b aba b（）（）. ①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.∵a＜b，∴a－b＝－6 3. ③条件求值问题将②③代入①，得11221122-a ba b+＝129＝－33.条件求值的步骤层级一 学业水平达标1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( ) A ．(－1)13和(－1)26B ．0－2和012C ．212和414D ． 43-2和⎝⎛⎭⎫ 1 2 －3解析：选C 选项A 中，(－1) 13和(－1)26均符合分数指数幂的定义，但(－1) 13＝3－1－1，(－1)26＝6(－1)2＝1，故A 不满足题意；选项B 中，0的负分数指数幂没有意义，故B 不满足题意；选项D 中，43-2和⎝⎛⎭⎫12－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D 不满足题意；选项C 中，212＝2，414＝422＝212＝2，满足题意．故选C.2．已知：n ∈N ，n ＞1，那么2n(－5)2n 等于( ) A ．5 B ．－5 C ．－5或5D ．不能确定解析：选A2n(－5)2n ＝2n52n ＝5.3．计算⎝⎛⎭⎫8116－14的结果为( )A.23B.32 C ．－23 D ．－32解析：选A ⎝⎛⎭⎫8116－14＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫324－14＝⎝⎛⎭⎫32－1＝23.4．化简[3(－5)2]34的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．.－5解析：选B [3(－5)2]34＝[(－5)23]34＝512＝ 5.5．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( )A ．－32b 2 B.32b 2 C ．－32b 73 D.32b 73解析：选A 原式＝-4-464a b a b-133-5＝－32b 2.6．若x ≠0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________. 解析：∵x ≠0，∴原式＝|x |－|x |＋|x ||x |＝1.-=答案=-：1 7．若x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则(x 2 019)y ＝___________________.解析：因为 x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，所以(x ＋1)2＋ (y ＋3)2＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0，所以x ＝－1，y ＝－3.所以(x 2 019)y ＝[(－1)2 019]－3＝(－1)－3＝－1. -=答案=-：－1 8.614－ 3338＋30.125 的值为________． 解析：原式＝ ⎝⎛⎭⎫522－ 3⎝⎛⎭⎫323＋ 3⎝⎛⎭⎫123＝52－32＋12＝32. -=答案=-：329．计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)⎝⎛⎭⎫2a 23b 12⎝⎛－6a 12b 13)÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56 ； (2)(m 14n －38)8.解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4ab 0＝4a . (2)原式＝(m 14)8(n3-8)8＝m 2n －3＝m 2n3.10．已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4(a ＋b )4＋3(a ＋b )3的值． 解：因为4a 4＋4b 4＝－a －B. 所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ， 所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.层级二 应试能力达标1．计算(2n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6D.⎝⎛⎭⎫122n －7解析：选D 原式＝22n ＋2·2－2n －1(22)n ·(23)－2＝2122n －6＝27－2n ＝⎝⎛⎭⎫122n －7. 2.1⎛⎫ ⎪⎝⎭12 0－(1－0.5－2)÷⎝⎛⎭⎫27823的值为( )A ．－13 B.13 C.43 D.73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝⎛⎭⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 3．设a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 23B ．a 55C ．a 76D ．.a 32解析：选Ca 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝2＝212a a ⨯53＝a 2·a －56＝a 2－56＝a 76.4．设x ，y 是正数，且x y ＝y x ，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19B.43 C ．1 D.39解析：选B ∵x 9x ＝(9x )x ，(x 9)x ＝(9x )x ，∴x 9＝9x . ∴x 8＝9.∴x ＝89＝43.5．如果a ＝3，b ＝384，那么a [()]b a17n －3＝________.解析：a [()]b a 17n －3＝3384[()]317n －3＝3[(128)17]n －3＝3×2n －3. -=答案=-：3×2n －36．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.-=答案=-：14 2157．化简求值：(1)⎛⎫ ⎪⎝⎭792 0.5＋0.1－2＋⎛⎫ ⎪⎝⎭10272－23－3π0＋3748；(2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫81163-4；(3)⎛⎫ ⎪⎝⎭383－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫64272-3－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫81163-4＝(23)23－(2－1)－3＋(3－12)－6×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3243-4＝22－23＋33×⎝⎛⎭⎫32－3＝4－8＋27×827＝4. (3)原式＝(－1)－23×⎛⎫ ⎪⎝⎭383－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.8．已知a ＝3，求11+a14＋11-a14＋11+a12＋41＋a的值． 解：11+a14＋11-a14＋11+a 12＋41＋a ＝2(1+)(1-)a a 1144＋21+a12＋41＋a＝21-a12＋21+a12＋41＋a＝4(1-)(1+)a a 1122＋41＋a＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1.。
学案7： 2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.1 指数及指数幂的运算学习目标1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．分数指数幂的意义思考：(1)分数指数幂a mn能否理解为m n个a 相乘？(2)在分数指数幂与根式的互化公式a m n ＝na m 中，为什么必须规定a >0? 2．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[基础自测]1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.( ) (2)523＝53.( )(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a 2＝a 12.( ) 2．425等于( )A ．25B.516C.415D.543．已知a >0，则a －23等于( ) A.a 3B ．13a 2C.1a 3D ．－3a 24．(m 12)4＋(－1)0＝________.[合 作 探 究·攻 重 难]将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)；(2)13x5x 22；(3)⎝⎛⎭⎪⎫4b－23－23(b >0).[跟踪训练]1．将下列根式与分数指数幂进行互化． (1)a 3·3a 2；(2)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．利用分数指数幂的运算性质化简求解[跟踪训练]2．(1)计算：0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12； (2)化简：3a 92a －3)÷3a －7·3a 13(a >0)．指数幂运算中的条件求值 [探究问题]1.⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2和⎝⎛⎭⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？2．已知a ＋1a的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a－2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2 C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝a 62．把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．(－a ) 32B ．－(－a ) 32C ．－a 32D ．a 324．若10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 所以103m －n ＝103m 10n ＝83.]【参考答案】 [自 主 预 习·探 新 知]1．na m 1n am 没有意义思考：[提示] (1)不能．a mn不可以理解为m n 个a 相乘，事实上，它是根式的一种新写法．(2)①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即n a m ＝a mn＝0，无研究价值． ②若a <0，a m n ＝n a m 不一定成立，如(－2)32＝2－23无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.2．(2) a rs (3) a r b r 3．实数[基础自测]1． (1)× (2)× (3)× 2．B【解析】425＝542＝516，故选B. 3．B【解析】a －23＝1a 23＝13a 2.4．m 2＋1【解析】(m 12)4＋(－1)0＝m 2＋1.[合 作 探 究·攻 重 难][跟踪训练]1．例2[跟踪训练][探究问题]1. 提示：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2＋4. 2．提示：设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2. 解 (1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝1[当 堂 达 标·固 双 基]1． A【解析】 [a 2a 3＝a 2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1，故选A. 2． D【解析】由题意可知a ≥0，故排除A 、B 、C 选项，选D. 3. 234．83 5.。
2.1.1分数指数幂和无理数指数幂
3. 5
2 3
,5
2
有意义吗？
知识点一：分数指数幂的意义 思考1:设a>0， a ，
5 10
10 5
a
4
8
， a 分别等于什么？
4 12
8
12 4
a
10
a
2
a
5
,
a
8
a
a2,
a
12
1 3 8
(m 4 n
3
) (m , n 0)
8
(3)
25
125
4
25
(4)
a
2
(a 0)
3 2
a a
• 小结： • 1．指数幂的运算步骤： • (1)有括号先算括号里的；无括号先进行指 数运算． • (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． • (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数， 先要化成分数，底数是带分数，要先化成 假分数，然后要尽可能用幂的形式表示， 便于用指数幂的运算性质．
2
是一个确定的
数吗？
思考3:有理指数幂的运算性质适应于无理数 指数幂吗？
n m
结论:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指 数幂没有意义。
知识点二:有理数指数幂的运算性质
整数指数幂有哪些运算性质？
设 m , n Z，则 a a a
m n
mn
；
n
(a ) a
m n
mn
；
b
(ab)
n
a
n
.
知识点二:有理数指数幂的运算性质
高一数学 2.1.1 指数与指数幂的运算(1) 新人教A版必修1
22＝224＝212.
[点评] 当n为奇数时，n an ＝a；当n为偶数时，
n an＝
|a|＝
a a≥0 －a a<0.
要在理解的基础上，记准、
记熟、会用、用活；(4)中被开方数是(－2)2，容易出
现4 －22＝212的错误．
变式体验1 求下列各式的值．
3 (1)
－83；
(2) －102；
4 (3)
典例导悟 类型一 根式的概念
[例1] 求下列各式的值：
3 (1)
－73；(2)
－92；
(3) a－b2(a>b)；(4)4 －22 [分析] 运用根式的运算公式进行计算．
[解]
3 (1)
－73＝－7.
(2) －92＝|－9|＝9.
(3) a－b2＝|a－b|＝a－b(a>b)．
4 (4)
－22＝4
)
A．{x|x≠1}
B．{x|x≠0}
C．{x|x≠0,1}
D．以上答案都不对
答案：C
4．当1<x<3时，化简 x－32＋ 1－x2的结果 是________．
答案：2
5．求 614－ 3 338＋3 0.125的值．
解：原式＝
25－ 3 4
27＋ 3 8
18＝52－32＋12＝32.
互动课堂
n>1，且n∈N*.
(2)a 的 n 次方根的表示 n
①当 n是奇数时， a 的 n 次方根表示为 a， a∈ R. n
②当 n是偶数时， a 的 n 次方根表示为 ± a， a∈ [0，＋∞ )． (3)根式
n 式子 a叫做根式，这里 n 叫做根指数， a叫做被开方数．
2.1.1指数与指数幂的运算
(-2)3=-8
-8的3次方根是-2. 记作：3 8 2.
(-2)5=-32 27=128
-32的5次方根是-2. 记作：5 32 2. 128的7次方根是2. 记作：7 128 2.
1.正数的奇次方根是一个正数, 奇次方根 2.负数的奇次方根是一个负数.
这时，a的 n 次方根用符号 n a 表示
偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
一个数的偶次方根有两个。
总结：
(1) 奇次方根有以下性质：
正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数.
na
零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质：
正数的偶次方根有两个且是相反数， n a 负数没有偶次方根，
一个数的奇次方根只有一个。
当n是偶数时：
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64
49的2次方根是7，-7.
记作： 49 7
81的4次方根是3，-3.
记作： 4 81 3
64的6次方根是2，-2.
记作： 6 64 2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数
an
1 an
(a
0, n
N ).
整数指数幂有哪些运算性质呢?
(1)am an amn (m, n Z ); (2)(am )n amn (m, n Z );
(3)(ab)n anbn(n Z );
(4)(a )n b
an bn
(b
0, n
Z );
问:当m, n不是整数,如是分数等,上面运算性质
练习题
【1】试根据n次方根的定义分别求出下列各
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得出结论：一般地，无理数指数幂 a （ a 0, 是无理数）是一个确定的实数。有理
数指数幂的运算同样适用于无理数指数幂。 3.当堂检测
（1）参照以上过程，说明无 理数指数幂 2 3 的意义。
（2）计算下列各式 ○1 2 3.2 5
课后练习与提高 1.化简下列各式
○2 3 5
32
（1） 3 a 4 a
3、应用示例、知能训练 例 1 求值或化简
（1） a4b2 3 ab2 (a 0,b 0)
（2） 5 2 6 7 4 3 6 4 2
例
2
已知
x
1
1
(5n
1 x2 )n 的值.
2
点评：教师要板书于黑板，要渗透解题思想 练习：习题 2.1A 组 3 4、拓展提升
讨论结果：充分表明 5 2 是一个实数，一般的结论即无理数指数幂的意义：一般地，
无 理数指数幂 a （ a 0 且 是无理数）是一个确切的实数，也就是说无理数可以作为
指数，并且它的结果是一个实数，这样指数的概念又一次推广，类比实数的扩充，结合前 面 的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指 数幂.
就无法确定了，规定后就清楚了. （2）类比有理数指数幂即可得到无理数指数幂的运算法则.
（3）实数指数幂的运算性质 ：① ar as ars (a 0, r, s R) ②
(ar )s ars (a 0, r, s R) ③ (a b)r arbr (a 0,b 0, r R)
三、提出疑惑 同学们，你们通过自主学习，还有哪些疑惑请写在下面的横线上—————————
课内探究学案 一、学习目标 1.能熟练进行根式与分 数指数幂间的互化。 2.理解无理数指数幂的概念。 学习重点：实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解 学习难点：无理数指数幂的理解 二、学习过程
1
1.解释 33 的意义，理解分数指数幂与根式的互化。探究 5 2 的实际意义。
对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂 a （ a 0 且 是无理数）
是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似， 并且相通. 对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自 然就得到了.
讨论结果：（1）底数大于零是必要的，否则会造成混乱如 a 1, 那么 a 是 1 还是-1
（2） a a a
3
2.下列说法错误的是（） A.根式都可以用分数指数幂来表示 B.分数指数幂不表是相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法 C.无理数指数幂有的不是实数 D.有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂
4
2. 1.1 第三课时无理数指数幂教案
【教学目标】 1.能熟练进行根式与分数指数幂间的互化。 2.理解无理数指数幂的概念。 【教学重难点】 重点：实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解 难点：无理数指数幂的理解 【教学过程】 1、导入新课 同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到分数，这样指数就推 广到有理数，那么它是否也和数一样， 到底有没有无理数指数幂呢 ？回顾数的扩充过 程， 自然数 到整数，整数到分数，有理数到实数。并且知道在有理数到实数的扩充过程中，增 添的是是实数。对无理数指数幂，也是这样扩充而来。这样我们这节课的主要内容是：教 师板书课题 2、新知探究
③ (a b)r arbr (a 0,b 0, r R)
2
④逼近思想，体会无限接近的含义 【板书设计】 一、无理数指数幂 1. 二、例题 例1 例2
【作业布置】课本习题 2.1B 组 2
2.1.1-3 无理数指数幂
课前预习学案 一、预习目标 理解无理数指数幂得实际意义。 二、预习内容
教材 52 页至 53 页 5 2 的意义解读。
能做出判断并合理地解释吗？借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？ 活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生
有困惑是加以解释.
问题（1）从近似值分类来考虑，一方面从大于 2 的方向，另一方面从小于 2 的方
向. 问题（2）对教材中图表的观察得出无限逼近是实数 问题（3）在前两个问题基础之上，推广到一般情形，即由特殊到一般.
参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请同学们说明无理数指数幂 2 3 的意义
5、课堂小结 （1）无理数指数幂的意义
一般地，无理数指数幂 a （ a 0 且 是无理数）是一个确切的实数.
（2）实数指数幂的运算性质：
① ar as ars (a 0, r, s R)
② (ar )s ars (a 0, r, s R)
提出问题（1）我们知道 2 =1.41421356…，那么
1.41，1.414，1.4142，1.41421，…，是 2 的什么近似值？而
1.42，1.415，1.4143，1.41422，…，是 2 的什么近似值？
学生自己阅读教材发现规律。 （2）你能给教材上的思想起个名字吗？
（3）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如 5 2 ，根据你学过的知识，
提出问题 （1） 为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？
1
（2） 无理数 指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相同呢？
（3） 你能给出实数指数幂的运算法则吗？ 活动：教师组织学生相互合作，交流探讨，引导他们类比，归纳. 对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明