2.4 随即变量的相互性与条件分布
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第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
1、含义：用来表示随机现象结果的变量。 ①样本点本身是用数量表示的； T ②样本点本身不是用数量表示的。 H 总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性 质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，使之与数值发生联系，用随机变量的 取值来表示事件。 2、定义：定义在样本空间Ω＝｛ω｝上的实值 函数X＝X(ω)称为随机变量，常用大写英文字 母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英 文字母表示其取值。
为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我 们引入了分布函数的概念。
定义：设X 是一随机变量，对x R,
称F ( x ) P ( X x )为随机变量X的分布函数；
并称X 服从分布F ( x )，记为X ~ F ( x ).
注：（1）分布函数表示的是随机事件的概率。 （2）分布函数与微积分中的函数没有区别。
P ( X 0) F (0) F (0 0) 0.8 0.3 0.5 P ( X 1) F (1) F (1 0) 1 0.8 0.2
X P
1 0.3
0 0.5
1 0.2
思考：X还能取 到其他数值吗？
例4 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个设有红绿信号 灯的路口，且信号灯的工作相互独立，以X表示汽车首 次遇到红灯已通过的路口数，求X的概率分布列。 解：记Ai—汽车在第i个路口遇到红灯，i＝1，2，3. 1 P ( Ai ) P ( Ai ) , 且A1 , A2 , A3相互独立. 2 X的可能取值为 0, 1, 2, 3.
共有10个不同的样本点
记X表示“空格个数”，则有
X ( ) 2
X ( ) 1 X ( ) 0
2.4随即变量的相互独立性与条件分布
i, j 1,2,
Hale Waihona Puke 5目录上页
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例1 设随机向量(X,Y)的联合概率函数为
Y X
1
2
1 1/ 4 1/8
3
pi
1/8 1/ 2
2 1/12 1/12 1/ 6 1 / 3
3 1/18 1/18 1/18 1 / 6
p j 7/18 19/72 25/72
试求
（1）已知事件Y 1发生时X的条件概率函数； （2）已知事件X 2发生时Y的条件概率函数；
P(X=m)= P( X m,Y n)
n m 1
( m=1,2,…)
pq =
p2qn2 p2
qn2 p2qm1
nm1
nm1
1 q
=
m1
n1
P(Y=n)= p2qn2 (n 1) p2qn2 (n=2,3,…)
m1
P(X=m|Y=n)=
p2qn2 (n 1) p2qn2
1 n 1
X Y
0
1
2
01 1 1 6 9 18
11
3
解：由于随机变量 X 和Y 相互独立，可知
PX 1,Y 0 PX 1 PY 0
即
1 9
1 9
1 6
1 9
1 18
得 2
9
2024年4月4日星期四
2
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返回
例：已知随机变量 X 和Y 相互独立，且分布律为
求α，β。 续解。。。
X Y
P(Y yj )
p•j
记作
P(X xi Y yj )
i 1,2,
为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布律 类似乘法公式
条件分布律条件分布函数条件概率密度
§3条件分布
( ) 对于条件密度函数 fY X y x 也有类似的性质．
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第三章 随机变量及其分布
例 3 设随机变(X量 ,Y)的概率密度为 §3条件分布
f(x,y) 1 0,,|其 y|<.x它 ,0<x<1,
试 （ 1 ） f X ( 求 x )f Y , ( y ) ; ( 2 ) ： f X | Y ( x |y )f Y , |X ( y |x ) ;
- x < y < x, 其它。
(3)
P{X1|Y0} P{X
1 2
,Y
0}
2
P{Y 0} y
yx
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
01 1
x
2
2
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
例4
设二维随机变量 (X， Y )服从二元正态分布：
( ) (X， Y )~ N 1， 2， 12， 22， r
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
F X |Y (x |y ) l 0 iP m {X P { y x - ,y- < Y < Y y y } }
F(x,y)-F(x,y-) l i0m F Y(y)-F Y(y-)
F (x, y)
l yli 0 im 0 [- F m y[F -(xY xff(,Y(yy(uy ,)v)))d- -uF F dY v((xy,y-- -x))]/ff2 ]/Y(2u(,yy))dddy uF
概率统计 第二章 离散型随机变量.
以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值 为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率为p， 发生的概率为1-p=q。 (X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即
A
AA A A A A A A A A A A AA A A A A
因此X的分布律为
P ( X k ) C 0 .6 0 .4
k 7 k
7k
, k 0 ,1, 2 ,..., 7
所求概率为 P ( X 4 ) P7( X 4 ) P ( X 5 ) P ( x 6 ) P ( X 7 )
C
k 4
k 7
( 0 .6 ) ( 0 .4 )
k
( p q) 1
n
k 0
正好是二项式(p+q)n展开式的一般项，故称二 项分布。特别地，当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为 0-1分布。
例2.6 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见 的概率为0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见 相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见， 并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概 率。 解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人 数”， 则X可能取值为0，1，2，…，7。 （视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出 正确意见）,X~B(7,0.6)。
1 X 0 当 e1 发生时 当 e 2 发生时
即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同 的问题参数p的值不同而已。
3、超几何分布（参见第一章）
4、二项分布
(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。 设随机试验满足： 1°在相同条件下进行n次重复试验； 2°每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 3°在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p； 4°各次试验是相互独立的， 则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。 在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发 生的次数。
2.4 概率论——二维随机变量的独立性
y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的 边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的 边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目 标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表 首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定
第二章 随机变量及其概率分布
第二章随机变量及其概率分布【授课对象】理工类本科二年级【授课时数】8学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、了解随机变量的概念；2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质；3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质；4、理解分布函数的概念，并知道其性质；5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率；6、会求简单的随机变量函数的概率分布；7、了解二维随机变量的概念，知道二维随机变量的边缘（边际）分布、联合分布函数等概念；8、了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数的概念及性质，进一步掌握其边缘分布与联合分布的关系，并会计算有关事件的概率；了解二维连续型随机变量独立性的概念。
【本章重点】随机变量的概念；连续型（离散型）随机变量的密度函数（分布律）的概念和性质以及它们的分布函数的概念和性质；二维随机变量的边缘分布、联合分布函数等概念；随机变量函数的概率分布以及二维随机变量独立性的概念。
【本章难点】随机变量的概念及性质；连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的性质与相关计算；二维连续型随机变量的边缘分布与联合分布的关系以及独立性的概念。
【授课内容及学时分配】§2.1 随机变量的概念在第一章里，我们主要研究了随即事件及其概率，同学们可能会注意到在某些例子中，随即事件和实数之间存在着某种客观的联系。
例如，在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时期在工作的车床数；在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等。
对于这类随机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。
然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。
比如，在投硬币问题中，每次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系，但我们可以通过指定数“1”代表正面，“0”代表反面，为了计算n 次投掷中出现的正面就只须计算其中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。
多维随机变量及其分布,随机变量相互独立性,条件概率
P {Y0X1 }P {X1 ,Y0} 0.030 , P {X1 } 0.045
P {Y1X1 }P {X1 ,Y1 } 0.010 , P {X1 } 0.045
P {Y2X1 }P {X1 ,Y2} 0.005 , P {X1 } 0.045
三、连续型随机变量的条件分
布
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
xp 0(,xy,y ) 0p X(x)p Y(y) 其它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX(x)
xe(xy)dy
0
xex
x>0
pY(y)0x e(xy)dx e y
y >0
即：
xex, x0
pX(x)0, 其它
ey,
pY
(
y)
0,
y0 其它
例3 设随机X变 和Y量 相互独 ,并立 且 X服从 N(a,σ2)Y , 在[b,b]上服从均,求 匀 (X分 ,Y)布 的联合概. 率密度
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
则称X和Y相互独立.
例1 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
3
(1)求 与 应满足;的条件
(1)求在 X1的条件 ,Y的 下条件分 ; 布律
(2)求在 Y0的条件 ,X的 下条件分 . 布律
解 Y X 0 1 2 3P{Yj}
0 0 .84 0 .0 03 0 .0 02 0 .0 0100 .900 1 0 .06 0 .0 01 0 .0 00 0 .0 8002 .080 2 0 .01 0 .0 00 0 .0 50 0 .0 4001 .020 P{Xi} 0 .91 0 .0 04 0 .0 53 0 .0 2113 .000
P {Y1X1 }P {X1 ,Y1 } 0.010 , P {X1 } 0.045
P {Y2X1 }P {X1 ,Y2} 0.005 , P {X1 } 0.045
三、连续型随机变量的条件分
布
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
xp 0(,xy,y ) 0p X(x)p Y(y) 其它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX(x)
xe(xy)dy
0
xex
x>0
pY(y)0x e(xy)dx e y
y >0
即：
xex, x0
pX(x)0, 其它
ey,
pY
(
y)
0,
y0 其它
例3 设随机X变 和Y量 相互独 ,并立 且 X服从 N(a,σ2)Y , 在[b,b]上服从均,求 匀 (X分 ,Y)布 的联合概. 率密度
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
则称X和Y相互独立.
例1 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
3
(1)求 与 应满足;的条件
(1)求在 X1的条件 ,Y的 下条件分 ; 布律
(2)求在 Y0的条件 ,X的 下条件分 . 布律
解 Y X 0 1 2 3P{Yj}
0 0 .84 0 .0 03 0 .0 02 0 .0 0100 .900 1 0 .06 0 .0 01 0 .0 00 0 .0 8002 .080 2 0 .01 0 .0 00 0 .0 50 0 .0 4001 .020 P{Xi} 0 .91 0 .0 04 0 .0 53 0 .0 2113 .000
概率基本法则随机变量联合分布，边缘分布，条件概率
P(s | m) = 0.8
P(s) = 0.01
P(s | m) P(m)
P(s)
=
已给定的
0.8 x 0.0001 .
0.01
◦ 注意: meningitis 的后验概率还是非常小: 0.008 (但比先验概率大80倍 – 为什么?)
◦ 注意: 如果有了症状还是应该去检查! 为什么?
小练习
假设两个随机变量A和B，它们的值域是 A ∈{ true, false } , B
P(Roll2=5 | Roll1=5) = P(Roll2=5)
举例: 独立性
n 个公平，独立的硬币翻转:
P(X1)
P(X2)
P(Xn)
H
0.5
H
0.5
H
0.5
T
0.5
T
0.5
T
0.5
P(X1,X2,...,Xn)
2n
真实世界里的（概率事件）独立性
独立性是简化建模的假设
有时对于真实世界的变量是合理的
0.01
30
条件独立性（条件无关）
Conditional Independence
无条件的 (绝对的) 独立性非常稀少 (为什么?)
条件独立性是我们对于不确定环境的最基本和鲁棒的知识蕴藏
形式
X 是 条件独立于(conditionally independent) Y, 给定 Z
当且仅当:
x,y,z
上次的内容
概率
概率基本法则
随机变量
联合分布，边缘分布，条件概率，条件分布
人工智能导论：
概率推理
概率推理(Probabilistic Inference)
概率推理: 从其他已知概率里计算一个想知
P(s) = 0.01
P(s | m) P(m)
P(s)
=
已给定的
0.8 x 0.0001 .
0.01
◦ 注意: meningitis 的后验概率还是非常小: 0.008 (但比先验概率大80倍 – 为什么?)
◦ 注意: 如果有了症状还是应该去检查! 为什么?
小练习
假设两个随机变量A和B，它们的值域是 A ∈{ true, false } , B
P(Roll2=5 | Roll1=5) = P(Roll2=5)
举例: 独立性
n 个公平，独立的硬币翻转:
P(X1)
P(X2)
P(Xn)
H
0.5
H
0.5
H
0.5
T
0.5
T
0.5
T
0.5
P(X1,X2,...,Xn)
2n
真实世界里的（概率事件）独立性
独立性是简化建模的假设
有时对于真实世界的变量是合理的
0.01
30
条件独立性（条件无关）
Conditional Independence
无条件的 (绝对的) 独立性非常稀少 (为什么?)
条件独立性是我们对于不确定环境的最基本和鲁棒的知识蕴藏
形式
X 是 条件独立于(conditionally independent) Y, 给定 Z
当且仅当:
x,y,z
上次的内容
概率
概率基本法则
随机变量
联合分布，边缘分布，条件概率，条件分布
人工智能导论：
概率推理
概率推理(Probabilistic Inference)
概率推理: 从其他已知概率里计算一个想知
概率论：相互独立的随机变量
第四节
相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性
二、小结
随机变量相互独立是概率论中非常重要的 概念,它是随机事件相互独立的推广.
本节主要讨论两个随机变量相互独立的一
般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个 连续性随机变量相互独立进行不同的处理.
A {Y y} 设A是随机变量Y所生成的事件：
（4）随机变量x于Y相互独立的充分必要条件是X所 生成的任何事件与Y生成的任何事件独立， 即，对任意实数集A,B
P{ X A, Y B} P{ X A}P{Y B}
(5)若n个随机变量X1,X2,…,X n相互独立,则它们中 的任意m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
4 xy 0 x 1,0 y 1 f ( x, y) . 其它 0
(1)求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数; (2)X 与 Y 是否独立?说明理由.
解 (1)
f X ( x)
1 4 xydy 0 x 1 2 x 0 x 1 f ( x, y )dy 0 0 其它 0 其它
N (a , σ 2 ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布 , 求 ( X ,Y ) 的联合概率密度 .
解 由于X 与Y 相互独立,
所以 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
1 又 f X ( x) e , x ; 2 πσ 1 , b y b, fY ( y ) 2b 其他. 0,
(2 X ) 4Y 0,
2
故所求概率为;
P{Y X }
2
相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性
二、小结
随机变量相互独立是概率论中非常重要的 概念,它是随机事件相互独立的推广.
本节主要讨论两个随机变量相互独立的一
般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个 连续性随机变量相互独立进行不同的处理.
A {Y y} 设A是随机变量Y所生成的事件：
（4）随机变量x于Y相互独立的充分必要条件是X所 生成的任何事件与Y生成的任何事件独立， 即，对任意实数集A,B
P{ X A, Y B} P{ X A}P{Y B}
(5)若n个随机变量X1,X2,…,X n相互独立,则它们中 的任意m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
4 xy 0 x 1,0 y 1 f ( x, y) . 其它 0
(1)求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数; (2)X 与 Y 是否独立?说明理由.
解 (1)
f X ( x)
1 4 xydy 0 x 1 2 x 0 x 1 f ( x, y )dy 0 0 其它 0 其它
N (a , σ 2 ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布 , 求 ( X ,Y ) 的联合概率密度 .
解 由于X 与Y 相互独立,
所以 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
1 又 f X ( x) e , x ; 2 πσ 1 , b y b, fY ( y ) 2b 其他. 0,
(2 X ) 4Y 0,
2
故所求概率为;
P{Y X }
2
随机变量的独立性及联合分布的定义及计算方法
随机变量的独立性及联合分布的定义及计算方法随机变量是统计学中一个重要的概念，指的是随机试验中可能取到的数值。
对于多个随机变量之间的关系，独立性和联合分布是常用的概念和方法。
本文将依次介绍随机变量独立性的定义和判定方法、随机变量的联合分布的定义和常见计算方法。
一、随机变量的独立性随机变量的独立性是指在给定条件下，多个随机变量之间不存在相关性，即一个随机变量的取值不会对其他随机变量的取值产生影响。
常用的判定方法包括：1. 互不影响如果两个随机变量之间互不影响，则这两个变量是独立的。
例如，投掷两个骰子，其中一个骰子的点数不会影响另一个骰子的点数，因此两个骰子的点数是独立的随机变量。
2. 相互独立如果多个随机变量之间的任意两个变量都是独立的，则这些随机变量是相互独立的。
例如，投掷三个骰子，每个骰子的点数都是独立的随机变量，因此三个骰子的点数是相互独立的随机变量。
3. 独立性定义下的概率乘法公式对于两个独立的随机变量X和Y，它们同时取到某个值的概率等于它们各自取到这个值的概率的乘积。
即P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)。
该公式也适用于多个独立的随机变量。
二、随机变量的联合分布多个随机变量的联合分布是指这些随机变量取值组合所对应的概率分布函数。
常用的计算方法包括：1. 联合分布函数对于两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数定义为F(x,y)=P(X<=x,Y<=y)。
该函数可以用来计算任意两个随机变量的联合分布。
对于多个随机变量，联合分布函数的定义相应地拓展。
2. 联合概率密度函数对于连续型随机变量，它们的联合概率密度函数可以通过对应的联合分布函数求导得到。
即f(x,y)=∂^2 F(x,y)/∂x∂y。
该函数可以用来计算任意两个连续型随机变量的联合分布。
对于多个连续型随机变量，联合概率密度函数的定义相应地拓展。
3. 边缘分布和条件分布对于联合分布中的任意一个随机变量，我们都可以将它的概率分布函数单独计算出来，称为边缘分布。
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P(X=m)=
= P(Y=n)=
n m 1
P( X
2 n2
m, Y n)
( m=1,2,…)
p 2 q m1 1 q
n m1
p
q
p
2
n m 1
q
n2
= pqm 1
n 1
m 1
2 n2 2 n 2 , (n=2,3,…) p q ( n 1 ) p q
3
p23 1 p2 2
Pr
2018年10月10日星期三
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例：一射手进行射击，击中目标的概率为p,射击到击 中目标两次为止.以X表示首次击中目标时的射击次数， Y表示射击的总次数，试求X,Y的联合分布律与条件 分布律. 解： 由题意，Y=n表示前n-1次恰有一次击中目标， 且第n次击中目标.各次射击是独立的，因此对m<n, P(X=m,Y=n)=p2qn-2, q=1-p. n=2,3,…；m=1,2,…,n-1 P(X=m)= =
P(X=m)=
= P(Y=n)=
n m 1
P( X
2 n2
m, Y n)
( m=1,2,…)
p 2 q m1 1 q
n m1
p
q
p
2
n m 1
q
n2
= pqm 1
n 1
m 1
2 n2 2 n 2 (n=2,3,…) p q ( n 1 ) p q
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例1 设随机向量(X,Y)的联合概率函数为
X 1 Y 1 2 3
pi
1/ 4 1 / 12 1 / 18
j
1/ 8 1 / 12 1 / 18
19/72
1/ 8 1/ 6 1 / 18
25/72
1/ 2 1/ 3 1/ 6
2 3
p
7/18
试求 （1）已知事件Y 1 发生时X的条件概率函数； X 2发生时Y的条件概率函数； （2）已知事件
3
2 得 9
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2018年10月10日星期三
例：已知随机变量 X 和Y 相互独立，且分布律为
Y
X
0 1
0 1 6 1 3
1 1 9
2 1 18
求α，β。
续解。。。
类似地， P X 2, Y 0 PX 2 PY 0
1 1 1 1 1 即 18 18 6 9 18
2018年10月10日星期三 7
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解 按条件概率函数的定义，得到
（1）所求的X的条件概率函数为
X Y 1
1
p11 9 p 1 14
2
p21 3 p 1 14
3
p31 2 p 1 14Pr源自（2）所求的Y的条件概率函数为
Y X 2
1
p21 1 p2 4
8
2
p22 1 p2 4
n m 1
P( X
m, Y n)
( m=1,2,…)
n2
n m1
p
2 n2
q
p
2
n m 1
q
p 2 q m1 1 q
=
pqm 1
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解： 由题意，Y=n表示前n-1次恰有一次击中目标， 且第n次击中目标.各次射击是独立的，因此对m<n, P(X=m,Y=n)=p2qn-2, q=1-p. n=2,3,…；m=1,2,…,n-1
P(Y=n|X=m)=
p 2 q n2 pq
m 1
pqn m1
, (n=m+1, m+2,…)
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内容小结
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§2.4 随机变量的独立性与条件分布 —— 将事件独立性推广到 r.v.
两个 r.v. 的相互独立性
定义 设r.v. (X,Y )的联合概率函数为
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积,即
pij pi p j
对一切 i , j=1,2,
1
则称 r.v. X 和Y 相互独立
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例： 设（X,Y）的联合分布列为
解: 为判断X与Y是否相互独立，只需看边缘分布列 是否等于联合分布列的乘积.为此先求出边缘分布列
因为P{X=0}·P{Y=1}≠P{X=0,Y=1},所以X与Y不独立.
P(X=m|Y=n)=
p 2 q n2 (n 1) p q
2 n2
1 n 1
,m=1,2,…, n-1;
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解： 由题意，Y=n表示前n-1次恰有一次击中目标， 且第n次击中目标.各次射击是独立的，因此对m<n, P(X=m,Y=n)=p2qn-2, q=1-p. n=2,3,…；m=1,2,…,n-1
i 1,2,
为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布律 类似乘法公式
P( X xi , Y y j ) P( X xi ) P(Y y j X xi )
或
P(Y y j ) P( X xi Y y j )
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i, j 1,2,
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1 得 9
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二维离散 r.v.的条件分布律
设二维离散型 r.v. ( X ,Y )的分布
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2,
对任意一个固定的 i, i 1,2,
则称
P( X xi , Y y j ) P( X xi ) pij pi
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例：已知随机变量 X 和Y 相互独立，且分布律为
Y
X
0 1
0 1 6 1 3
1 1 9
2 1 18
求α，β。 解：由于随机变量 X 和Y 相互独立， 可知
P X 1, Y 0 PX 1 PY 0
即
1 1 1 1 1 9 9 6 9 18
记作
P(Y y j X xi ) j 1,2,
为在 X = xi 的条件下, Y 的条件分布律
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对任意一个固定的 j, j 1,2,
则称
P( X xi , Y y j ) P(Y y j )
pij pj
记作
P( X xi Y y j )