高海拔地区公路测量投影变形与坐标系选择分析及应用

城市地理062高海拔地区公路测量投影变形与坐标系选择分析及应用叶　伟（四川省地矿局四０二队测绘公司，四川　成都　６１１７３０）摘要：工程测量要求投影变形超过规范限差时重新选择坐标系统，本文通过对投影变形的产生及其影响分析，介绍了高海拔地区线路测量坐标系统投影面和投影带的选择方法。

关键词：投影变形；变形影响分析；坐标系选择１、引言：《工程测量规范》、《公路勘测规范》等国家标准明确规定，平面控制网的坐标系统，应在满足测区内投影长度变形不大于２．５ｃｍ／ｋｍ（相对误差１／４００００）的前提下选择。

并且为保证测图成果、施工放样数据等工程测量数据直接利用和计算的方便，当长度变形超过容许值时，做如下选择：①投影于抵偿高程面的高斯正形投影３°带平面直角坐标系；②投影于抵偿高程面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系；对于高海拔地区的公路测量等这一类工程测量任务，既有大比例尺测图任务，又要满足工程建设和施工放样的要求。

根据这样的目的和要求合适的选择投影面和投影带，在满足上述精度要求的前提下，使得测量结果一测多用，经济合理地选择平面控制网的坐标系，依然是此类项目首先需要解决的关键问题。

２、投影变形的产生及其影响众所周知，有投影就有变形。

高斯正形投影的过程中存在两种变形：一是地面实测边长化算到设定的参考椭球面上的变形，二是将参考椭球面上的边长归算到高斯投影平面上的变形。

2.1实际测量边长值归算到参考椭球面的变形ΔS 1（大地高引起的长度变形）。

假如基线两端已经过垂线偏差改正，则基线平均水准面平行于椭球体面。

此时由于水准面离开椭球面一定距离，引起长度归算的改正，这就是实际测量边长值归算到参考椭球面的归化变形ΔＳ１。

（１） （２）式中，为归算边高出参考椭球面的平均高程，Ｓ为归算边的地面实测距离，Ｒ为归算边方向参考椭球曲率半径。

ΔＳ１值是一个负值，表明将地面观测值归算到参考椭球面上，总是缩短的；并且ΔＳ１的绝对值与Ｈｍ成正比，随着Ｈｍ增大而增大。

2.2参考椭球面上边长归算至高斯平面而产生的距离改正ΔS 2：根据高斯正形投影（等角投影）的基本原理和特性，将椭球面上大地线长度Ｓ０归算在高斯投影面上，变为平面长度Ｄ。

其距离改正计算公式为：（３）对于三等以下的距离改正数为：（４）式中，ｙｍ取大地线投影后两端点的横坐标平均值，即　，Ｒｍ为测距边中点的参考椭球面平均曲率半径。

从（４）式中可以看出，椭球面向高斯面边长改正ΔＳ２主要与测距边两端点的横坐标ｙ的平均值ｙｍ有关，ΔＳ２值总是一个正值，表明将椭球面上的大地线长度Ｓ０投影到高斯投影面上，总是增大的；并且ΔＳ２与ｙｍ的平方成正比。

也就是说：距离中央子午线越远，变形越大。

2.3变形影响分析。

由此，我们可以得出一个结论：地面测距边归化到参考椭球面上，其边长就会变短；把椭球面上边长投影到高斯面上，这时边长会变长。

二者可以相互抵消一部分，但是边长仍然存在变形，我们可以把这种综合变形统称为投影变形。

同时，我们知道：只要测距边平均高程大于１５０ｍ或是ｙｍ地理研究·GEOGRAPHY大于４０ｋｍ任意一项满足时，就有可能超限。

在经过了上述２次改正计算后，长度变形有ΔＳ２＋ΔＳ１＝ΔＳ，代入（１）式和（４）式，有（５）式中项的值极小，略去不影响精度。

同时，为了计算方便，取，则有综合变形公式：（６）（１）要使综合变形最小，可令ΔＳ　＝０，那么当ｙｍ一定时，有（７）；当Ｈｍ一定时，有 （８）。

（２）要使综合变形不超过容许误差值，则令，那么当ｙｍ一定时，有：　（９）当Ｈｍ一定时，有：（１０） （１１）其中：当综合变形ΔＳ超过允许变形精度２．５ｃｍ／ｋｍ（相对误差１／４００００）时，这时就要根据边长变形的规律，重新计算和选择投影面和投影带。

选择投影面（抵偿高程面），实际就是改变了参考椭球面，此时的Ｈｍ就是各点与抵偿高程面之间的高差；选择投影带，就是改变中央子午线。

根据式（９），绘制出Ｈｍ与ｙｍ的两条函数曲线（见图２），以便更加直观地揭示二者之间的规律。

１、当Ｈｍ一定的时候，ｙｍｉｎ≤ｙｍ≤ｙｍａｘ，也就是说横坐标（抵偿范围）是有区间限制的。

２、当Ｈｍ＞１５０ｍ时，抵偿范围限制在两条曲线之间的区域，并且随着Ｈｍ的增大，区域范围值减小。

３、当Ｈｍ≤１５０ｍ的时候，ｙｍｉｎ无解，此时，ｙｍａｘ在Ｘ轴上连续，也就是ｙｍａｘ说在中央子午线两侧连续，中央子午线位于测区中央。

并且，随着Ｈｍ　的增大ｙｍａｘ的绝对值也增大，最大可能达到６２千米。

在Ｈｍ＝０的时候，ｙｍａｘ在子午线两侧的距离均为４５千米，东西区间范围９０千米。

（３）如果Ｈｍ＜０，对变形有什么影响呢？接下来当我们讨论一下Ｈｍ＜０时的变形规律：　当Ｈｍ＜０时，根据图２可见，随着Ｈｍ的减小，ｙｍａｘ的绝对值也减小。

为了更方便地说明，我们通过列表计算来看。

令ΔＳ　＝０．０２５ｍ，限定Ｙｍ只能在±４０千米以内取值，根据ΔＳ２＋ΔＳ１＝ΔＳ和式（９）分别计算对应的△Ｓ１及Ｈｍ的数值，如下表１：根据结合图和上表可见，当－１５０≤Ｈｍ＜０时，△Ｓ１和△Ｓ２同是正值，两项变形是相互叠加的，并且随着Ｙｍ的增大，临界允许高差的绝对值减小。

也就是说：距离中央子午线越远，能够允许的高差的绝对值就越小。

063GLOBAL CITY GEOGRAPHY 综上所述，当抵偿高程面一定，且０≤Ｈｍ≤１５０米时，此时变形抵消在允许误差范围内，理论上抵偿区域东西区间范围达到最大；当Ｈｍ＞１５０米时，横坐标的起始值与中央子午线（坐标原点）两侧不连续，横坐标的取值区间有限制。

当－１５０≤Ｈｍ＜０时，两项变形相互叠加，抵偿区间随高差绝对值的减小而增大。

为了保证数据精度有足够的预留空间，在选择抵偿高程面的时候，应使测区各处与抵偿高程面的高差尽量保持在－３０≤Ｈｍ≤１５０米之间；当Ｈｍ＞１５０米时，必须计算测区东西跨度是否在横坐标抵偿范围内；改变中央子午线时，投影带东西跨度应限制在７０千米左右，不要超出８０千米。

３、坐标系统选择分析及应用实例1、项目概况。

某改建公路最起点为Ｎ０３２°５３′２６．３１１２４″，Ｅ０９５°１７′２７．０４５８６″，终点Ｎ０３２°５９′５２．２８３５８″，Ｅ０９３°４４′０３．２９２９５″，线路长度约２２０千米，东西跨度约１４５千米；测区海拔最高点约４９００米，最低点约４４００米。

控制点位沿道路两侧横向５００米内，纵向５０００米布设；地形起伏大时，按线路的地形特征增设了点位；控制测量采用ＧＰＳ以边连接方式按四等平面控制的要求施测，与测绘局连续运行基准站同步数据解算及平差，获得２０００坐标和８０坐标及８５高程。

2、投影带和投影面的分析与选择。

根据项目基本资料，按照标准的３度分带划分，测区横跨中央子午线分别是９３°００′００″、９６°００′００″的两个３度带，平均高程约４７００，最大高差６００米左右。

消除本线路的投影变形，需要选择多个投影带和投影面来解决。

各分段投影之间有２个以上的距离不小于５００米的公共点，以便检核施工测量。

下面以中央子午线为９３°００′００″的３度分带为例进行投影带和投影面的分析与选择。

线路在本带东、西两端的ＧＰＳ点跨度是７２公里，平均高程约４７５０米，最高点约４８８０米，最低点约４６５０米，高差２２０米左右。

依照本文２．３的内容和项目资料，进行初步的投影变形数据分析，见下表：显而易见，投影变形远远超过了限差±０．０２５ｍ，并且长度变形主要来源于高程引起的向椭球面归化变形，必须重新重新计算和选择投影面或者投影带。

（１）、此时我们根据引言１，不改变中央子午线的位置，而选择一个合适的抵偿高程面，即先求相对于抵偿高程面的高差。

根据式（７）求得高差Ｈｍ≈８６０ｍ，也就是说将地面测距归算到抵偿高程面：４７６０－８６０＝３９００ｍ时，两项长度改正可能得到完全补偿。

根据２．３的内容，可知抵偿范围是有区间限制的，那么是不是这个范围内所有的变形都能得到完全补偿呢？现在我们要估算抵偿范围，即根据Ｈｍ的值反算横坐标的最大值ｙｍａｘ和最小值ｙｍｉｎ。

现将Ｈｍ＝８６０ｍ代入（１０）式和（１１）式，得到ｙｍｉｎ ＝９４．４９１千米，ｙｍａｘ ＝１１３．９６３千米。

当前方法适合的抵偿范围区间东西跨度最大为１９．４７千米。

本段测区的东西跨度是７２公里，抵偿范围不能涵盖所有的路段。

（２）根据引言２采取这样的策略：中央子午线选在本路段的中央９４°０５′００″，抵偿高程面选择测区平均高程面４７４０米。

此时检查投影路段内各点位与测区平均高程面之间的高差（见图３），本段中央附近的点位Ｈｍ＜１５０米，变形不会超限，不必改变已经选定的抵偿高程面；东端Ｈｍ≤－３０米的点位，须将其剔除出本投影带，就近归入其他投影带。

同理，依次类推，完成线路的抵偿高程面和投影带选择。

结束语：１、有投影就有变形，选择合适的投影面和投影带，使得工程项目的全部区域范围内的投影变形都要足够小，并且保证测图、施工等的直接利用和计算方便，这是工程测量选择平面基准的根本要求。

２、在高原地区，长度变形主要来源于海拔高程引起的实测地面边长向椭球面归化变形。

通常情况下首选“投影于抵偿高程面的高斯正形投影３°带平面直角坐标系”，其优点是坐标数值与国家统一坐标系统的数值非常接近，只是存在平移、缩放的关系。

但是当确定了抵偿高程面后，应该还要考虑测区的东西跨度是否超出了横坐标抵偿范围。

３、线路工程东西距离较长，地形起伏较大，特别是当它处于高海拔地区时，可直接选择“投影于抵偿高程面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系”。

此时的抵偿高程面可以选测区平均高程面，中央子午线选在测区中央，为了将投影变形降低到允许范围以内，可以分区／段选择多个投影面和投影带。

４、为了保证测量数据精度有足够的预留空间：投影带东西跨度应限制在７０千米左右，不要超出８０千米；在选择抵偿高程面的时候，测区各点位与抵偿高程面的高差Ｈｍ的值应保持在－３０￣１５０米之内。

参考文献[1]中国计划出版社，2008年5月，GB 50026-2007《工程测量规范》[2] 人民交通出版社， 2007年6月，JTG C10—2007《公路勘测规范》[3]孔祥元、梅是义《控制测量学》下册(1996年武汉测绘科技大学出版社)[4] 白建军，宋伟东，马维若，测绘科学，2006，31-4《高速公路平面控制测量中投影问题的分析》作者简介：叶伟（1973- ），男，四川成都人，工程师，主要从事测绘、GIS 工作。