奥赛法静电场

7
2.点电荷系的电场 由n个点电荷q1, q2,… qn产生的电场，可利用点电 荷场强公式，直接由叠加原理求得
E
4 r
i 1
n
qi eir
2
(矢量和)
(11-6)
o i
3.带电体的电场 对电荷连续分布的带电体,可划分为无限多个电荷 元dq(点电荷), 用点电荷的场强公式积分：
(a) 图11-15
25
对包围点电荷q的任意形 状的曲面S来说, 显然
E
球面
பைடு நூலகம்曲面S

r
q s
E dS
q
o
如果闭合面S不包围点电荷 q, 如图11-15(c)所示,则
(b) 图11-15
曲面S

E dS
0
o
0
s
o
qi
q
E
图11-15(c)26
设封闭曲面S内有n个点电荷 q1,q2,…qn， 封闭曲面S外有m个 点电荷Q1,Q2,Qm, 则任一点的电 场为 n m
]
R r
图11-8
dr
1 q x 这正是无限大平面的电场。 E 2 4 o ( x 2 R17 ) 3 / 2
例题11-7 一均匀带电的半球面，半径为R，电 荷面密度为，求球心o处的电场。 解 图中圆环产生的电场： 1 dqz r dE 2 2 3/ 2 4 o ( z r ) z R dq= .2 r.Rd d z2+r2=R2,z =Rcos
dqer E 2 4 o r 带电体

(11-7)
以上内容的学习重点：用积分的方法求电场。
8
例题11-1 有一均匀带电直线，单位长度上的电量 为 ，求离直线的距离为a的P点处的场强。 解 此类题可按下列步骤求解: (1)建立适当的坐标系，如图11-3所示。 (2)将直线分为长为dx的无限多个电荷元dq=dx(视 为点电荷)，并写出一个有代表性(位置用变量x表示) 的电荷元在P点产生的电场： y dE dx dEy dE 4 o r 2 P dEx (3)分析问题的对称性。 a r 由于不同位置的电荷元在 P点产生的场强dE方向不同, o x 故应将dE向x轴和y轴方向投 x dx 图11-3 dq 影,于是有 9
图11-10
E ds
de E ds
(11-9)
de —通过ds的电场线条数
19
(a)正电荷
图11-11
(b)负电荷
20
(c)一对等量正电荷
(d)一对等量异号电荷
静电场电场线的特点： (1)电场线起自正电荷,止于负电荷,或延伸到无穷 远处。 (2)电场线不形成闭合曲线。 (3)在没有电荷处,两条电场线不会相交,也不会中 断。


完成积分得:
E 2 o
(11-8)
dE
E
P.
y
dE
1
dx
=.1dx
x
12
E 2 o a
a
o
r
x dx
图11-4

E 2 o E 2 o
记住无限大 平面电场！
3 E 2 O
(匀强电场)
+ E=0
E O

2
-
E 2 o
3 E 2 O
s
q1 qi
Q1 Qj Qm
E
E E
i i 1 j 1
n i 1
qn
图11-15(d)
j
m
e E dS Ei dS E j dS
s


i 1
s n
j 1
s
qi
o
+0

s
1 E dS
o ( s内 )
q
i
这就是高斯定理。
dEx=dEcos dEy=dEsin (4)统一积分变量,定积 分限,完成积分,得到所求场 强分量式 x dx Ex cos θ 2 x 4 r o x dx Ey sin θ 2 x 4 r o
dE
dEx
1
y
dEy
P
a
r

2

2
1

2
1
Ex 4 o a Ey 4 o a
E
4 o R Q sin 2 2o R 2
2

2
cos
R


dq
图11-5
14
例题11-4 一半径为R的圆环， 电荷线密度=ocos , 其中o为 常量,求圆心o点的场强。 解 将圆环分为若干个点电 荷dq积分。
y
d
dq
R

dE
o
Ex

0
2 cosRd o
(11-11)
22
de Edscos E dS
(11-12)
对一个任意曲面S(图11-13), 通过的电通量应为
e Eds cos E dS
s s
(11-13)
en
图11-13
23
通过一个封闭曲面S的电通量(图11-14)可表示为
e E dS
5
三.场强叠加原理
设源电荷是由n个点电荷q1, q2,… qn构成,在该电 场中试验电荷qo受的力为
F F1 F2 ... Fn
F E qo
F
i 1
i
n
i
(11-3) (11-4)

i 1
n
Fi qo
E
i 1
n
式中的Ei是电荷qi单独存在时产生的电场强度。
式(11-4)表示:在n个点电荷产生的电场中某点的 电场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生 的电场强度的矢量和,这一结果称为场强叠加原理。
x
0
o 4 o R
4 o R 2
cos
图11-6
E y
2
o cosRd sin 0 2 4o R
15
例题11-5 一圆环半径为R、均匀带电q，求轴线 上一点的场强。 解 由对称性可知，轴线上的 E 电场方向是沿轴线向上的。 dE dE p dq cos E 2 环 4 o r x r q cos θ dq 2 o 4 o r R q 1 qx 图11-7 即 E 4 o ( x 2 R 2 ) 3 / 2 注意： 任何均匀带电的旋转体(如圆形、球形、柱形) 用圆环公式积分求电场最为方便。 16
s
(11-14) en
对于闭合曲面,规定由内向外 的方向为各处面元法向的正方向。 由de=E dS⊥=Edscos 知
E

en

E
当电场线从面内穿出时, de 为正; 当电场线由面外穿入时, de 为负。 S
图11-14
因此，式(11-14)中表示的通过整 个封闭曲面的电通量e,就等于穿出与 穿入该封闭曲面的电场线的代数和(净 通量)。
2
§11-3 库仑定律
真空中,点电荷q1对点电荷q2的作用力为
F
q1q2 er 2 4 o r 1
(11-1)
(1) er 是从点电荷q1指向点电荷q2的 单位矢量。 r则表示两个点电荷之间的距离。 (2)公式中的系数是SI制要求的。
1 4 o 9 109 N m 2 C 2

例题11-6 一均匀带电的薄圆盘，半径为R、面 电荷密度为，求圆盘轴线上一点的场强。 解 分为若干园环积分。 E
1 x.2rdr E 0 4 o ( x 2 r 2 ) 3 / 2

R
p
[1 2 o
当R(x« R)时, E 2 o
x
x x 2 R2
dx dq r=a/sin , x=-a.ctg , dx=ad /sin2
o x 图11-3
x

2
1

2
1
cos θdθ (sin θ2 sin θ1 ) 4 o a (cos θ1 cos θ2 ) sin θdθ 4 o a
10
Ex (sin θ2 sin θ1 ) 4 o a Ey (cos θ1 cos θ2 ) 4 o a 讨论: (1)对无限长带电直线, 1=0和 2=；代入得
静电场
1
*§11-1 场的描述
§11-2 电荷 电力
自然界中只存在两种电荷：正电荷和负电荷。 电荷具有最小单元：e=1.610-19C。 在自然界中,带电体的电量都是这一最小电量e的整 数倍： q=Ne 这个特性叫做电荷的量子化。 1964年,盖尔-曼(M.Gell-Mann)预言：更基本的粒 子夸克和反夸克的电量应取±e/3或±2e/3。但我们 至今尚未发现单独存在的夸克。 电荷间有电力的相互作用：同号电荷相斥,异号电 荷相吸。
er
q1
F q2
r
图11-1
o 8.85 1012 C 2 / N m 2 真空的介电常数
3
§11-4 电场和电场强度 一 .电 场
一个电荷要在它的周围产生电场。 两个电荷之间的相互作用力是通过 电场来进行的。即 e 电荷 电场 电荷 F q2
r
图11-1
r
q1
电场是什么？电场是一种物质。场和(由基本粒 子组成的)实物物质一样，具有能量、动量和质量。 场和实物是物质存在的两种基本形式。 场和实物物质的主要区别是：实物独占一定的空 间；而场总是弥漫在一定的空间内，具有可叠加性。
dE
dEx
1
y
dEy
P
a
r

2
o x 图11-3