第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节

第一节 平面向量的概念及坐标运算A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →2.(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.93.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)4.(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A.1<r <R <3B.1<r <3≤RC.r ≤1<R <3D.1<r <3<R5.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.6.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.7.(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.8.(2015·江苏，6)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.9.(2014·新课标全国Ⅰ，15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.10.(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山东济南一模)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心2.(2016·广东揭阳模拟)设向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量a －λb 与向量c ＝(－5，－6)共线，则λ的值为( ) A.43B.413C.－49D.4 3.(2016·甘肃嘉峪关一中模拟)已知向量a ＝(m ，1－n )，b ＝(1，2)，其中m ＞0，n ＞0，若a ∥b ，则1m ＋1n 的最小值是( ) A.22B.3＋22C.42D.3＋ 24.(2016·广西柳州铁路一中月考)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝⎛⎭⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( ) A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB 边的中点5.(2016·济宁高三期末)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 6.(2015·浙江慈溪余姚模拟)在△ABC 中，设三边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，D ，则EC →＋F A →＝( )A.BD →B.12BD →C.AC →D.12AC →7.(2015·广东佛山模拟)如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.238.(2015·广东江门质检)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°,如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动,若OC →＝xOA →＋yOB →,其中x ,y ∈R ,则x ＋y 的最大值是( )A.1B.2C.3D.29.(2016·黑龙江大庆模拟)设向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量a －λb 与向量c ＝(－5，－6)共线，则λ的值为________.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.A[∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2.B [由A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4，0),设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[-1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x -6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.]3.B [法一 若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.法二 因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.]4.A [由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.]5.－2[由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.]6.12[∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.]7.12 －16 [MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.]8.－3 [∵a ＝(2,1),b ＝(1,-2),∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,-8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.] 9.90°[由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90.]10.1＋7 [设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.]B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.B [作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →.∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.]2.A [由已知得a －λb ＝(1－2λ，2－3λ)，∵向量a －λb 与向量c ＝(－5，－6)共线. ∴(1－2λ)×(－6)－(2－3λ)×(－5)＝0，解得λ＝43,]3.B[∵向量a ＝(m ，1－n )，b ＝(1，2)，a ∥b ，∴2m －(1－n )＝0.即2m ＋n ＝1. 又m ＞0，n ＞0，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋2m n ＋nm ≥3＋22m n ·nm＝3＋2 2. 当且仅当2m n ＝n m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时取等号，∴1m ＋1n的最小值为3＋22，故选B.] 4.B[设AB 的中点是E ，∵O 是三角形ABC 的重心， ∴OP →＝13⎝⎛⎭⎫12OA →＋12OB →＋2OC →＝13(OE →＋2OC →)， ∵OC →＝2EO →，∴OP →＝13(OE →＋4EO →)＝13×3EO →＝EO →，∴P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心.故选B.]5.A [AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c ，故选A.]6.A [如图，EC →＝12(AC →＋BC →)，F A →＝12(CA →＋BA →)，所以EC →＋F A →＝BD →.故选A.]7.A[∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，则AB →＝52AE →，AD →＝2AF →，由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线可得，λ＝29， 8.B[法一以O 为原点，向量OA →，OB →所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设<OA →,OC →>＝θ,θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2,则OA →＝(1,0),OB →＝(0,1),OC →＝(cos θ，sin θ). 由OC →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.∴x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴x ＋y 的最大值为 2. 法二 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2＝1≥（x ＋y ）22.所以x ＋y ≤ 2.当且仅当x ＝y ＝22时等号成立.]9.43[由已知得a －λb ＝(1－2λ，2－3λ)，∵向量a －λb 与向量c ＝(－5，－6)共线，∴1－2λ－5＝2－3λ－6，解得λ＝43.]。