一类非线性周期边值问题在共振情况下解的存在性
一维非线性梁振动方程周期解的存在性
一维非线性梁振动方程周期解的存在性
唐秋林;耿建生;吴美云
【期刊名称】《南通大学学报（教育科学版）》
【年(卷),期】2001(017)003
【摘要】对一维非线性梁振动方程utt+uxxxx+m2u+u3+f(u)=0,在[0,π]上满足铰链边界条件,其中f(u)=∞∑m=5u5为解析的奇函数,文章证明了对于大多数的m2,上述方程存在小振幅周期解.这个证明利用了 Lyapunov-Schmidt分解及隐函数定理.
【总页数】3页(P51-53)
【作者】唐秋林;耿建生;吴美云
【作者单位】南通师范学院,数学系,江苏,南通,226007;滨州师范专科学校,数学系,山东,滨州,256604;南通师范学院,数学系,江苏,南通,226007
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.非线性弦振动方程的新周期解 [J], 司军辉;赵汇涛;杨海波
2.非线性弦振动方程的孤子解、周期孤立波解和拟周期解 [J], 王媛;徐桂琼
3.非线性振动方程周期解的不存在性 [J], 杨启贵;郑继明
4.具有结构阻尼和无限时滞的梁振动方程\rmild解的存在性 [J], 李爱
5.非线性振动方程周期解的存在性 [J], 颜跃新
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一类非线性周期边值问题解的存在唯一性
为 了后 面 的讨论 ， 本文先 论述 下列 定义 和引理 ． 定义 １９ 设 ，， Ｂｎｃ ［ ３ ｌ为 ａａｈ空 问 ， 射 Ｆ： 映
ｍ ＋６＜ （ ）＜（ ） ∽ ｍ ＋１ 一８ ，
（） ４
ｍ ，ｍ ＋１ 为 ，的相邻 的特征值 ； Ｊ ｍ 为非 Ｄ（ 一 ｌ若 对一切 （。Ｙ Ｆ） ， ， ，）∈Ｄ（ Ｆ）×Ｙ和 每条 路径 其中： （ ） 零整 数． ｇ ［ ，） （ ） 。 ０ １ 满足 ：０。 一Ｄ Ｆ ， ∈（ ，］
，、 １ １ ，
其中 厂 是以 ２ｒ ７为周期 的连续 函数 ； ： Ｒ—Ｒ是关于 连续可微 ， ｇ Ｒ× 关 于 ｔ 续 的 ２ｒ 期 的 函数 ． 多研 究 者也 讨 论 过 式 （ ） 的存 在 连 ￣周 许 １解
性 与 唯一 性 ， 文 献 ［ —］ 证 明方 法 大 多 较烦 琐 ， 到 像 Ｐ ｉｃｒ 如 １５ ， 用 ｏ ａ６映 ｎ
１ 预 备 知 识
Ｐｒ ｌｍｉ ａ ｉ ｓ ｅ ｉ ｎ ｒｅ
记Ｘ ｛（ ｌ∈２ ， ］，义内 ＝ Ｌｏ ）定 积 ） ２ Ｅ
ｒ
２ｒ ￣
（，） （）（）ｔ Ｙ ＝Ｊ ｔｄ，
０
其中 ＿ Ｘ Ｘ为 Ｈｌ ｒ空间， ，∈ ， ｙ ｉｅ ｂｔ 其范数为 ｌ 丽 ｌ ＝
（） ５
引理 １ 设连续映射 Ｆ Ｄ Ｆ 一ｙ Ｄ Ｆ 上 ：（ ） 在 （ ） 局部 同胚 ， － Ｄ（ ） 中任 一线性 函数 对厂 Ｆ ） （
ｇｔ （）＝（ 一ｔＹ ＋ｙ ， ｔ ０ １ ， １ ）０ ｔｌ ∈［ ，］ 其中， ， Ｅ （ Ｆ）为任意的，０ （ｏ （ （ｏ Ｙ Ｆ Ｄ（ ） ｏ。 Ｘ ∈Ｆ Ｙ）Ｆ Ｙ）
文章编号 ：６ ４７ ７ （ ０ ０ ０ － ７ －４ １７ －０ ０ ２ １ ） １ ０ ９０ ０
一类非线性微分方程耦合系统无穷边值问题解的存在性
一类非线性微分方程耦合系统无穷边值问题解的存在性张海燕;李耀红【摘要】在Banach空间中，利用Mönch不动点定理，结合一个新的比较结果，研究一类一阶非线性微分方程耦合系统无穷边值问题，其非线性项和边值条件均具有耦合性。
获得该问题解的存在性定理，并给出一个应用实例。
%By applyingthe Mönch fixed theorem and using a new comparison result,we study existence of so⁃lutions of infinte boundary value problems for a class of nonlinear coupled differential equations systems in Banach spaces,where the system is coupled not only in the differential system but also through the boundary conditions. A new existence theorem is established.As an application,we give an example to demonstrate our result.【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】5页(P1-5)【关键词】Banach空间;边值问题;不动点定理;比较结果【作者】张海燕;李耀红【作者单位】宿州学院数学与统计学院，安徽宿州 234000;宿州学院数学与统计学院，安徽宿州 234000【正文语种】中文【中图分类】O177.91令（E，‖·‖）是Banach空间，考虑E中一阶非线性微分方程耦合系统无穷边值问题：这里J=[0 ,+∞),f,g ∈C[J × E ×E,E],α,β ＞ 1.近年来，微分方程耦合系统受到广泛关注，获得许多有价值的结果.如在无穷区间上，文［1-4］获得了微分方程耦合系统解的存在性或多解性；在分数阶情形下，文［5-8］也获得许多微分方程耦合系统的可解性结论.但上述文献中微分方程系统的耦合性主要是指非线性项中变量的耦合，对边值条件的耦合性研究相对较少.注意到耦合边值条件在反扩散问题、热学问题、流体力学等应用科学领域有着广泛的应用.本文将利用Mönch不动点定理，结合一个新的比较结果，研究非线性微分方程耦合系统无穷边值问题（1），其非线性项和边值条件均具有耦合性.1 预备知识和引理记C［J，E］={u：J→E|u（t）连续}，C1［J，E］={u：J→E|u（t）连续且一阶可微}.令BC［J，E］={u∈C［J，E］| X=BC[J,E]×BC[J,E], 则易知 BC[J,E]和 X 分别在范数和‖(u,v)‖X=‖ u‖B+‖ v‖B 下为一Banach空间.定义算子T：X→X 如下其中若（u，v）∈X且满足（1），则称（u，v）为边值问题（1）的解.对Banach空间中的有界集C，用α（C）衷示Ku⁃ratowski非紧性测度［9］.另记Br={(u,v)∈ X |‖ (u,v‖X≤ r}(r ＞ 0).为方便下文，给出几个需要用到的引理.引理1 若f,g ∈C[J×E×E,E]，则(u,v)∈BC[J,E]⋂C1[J,E]×BC[J,E]⋂C1[J,E]是耦合系统（1）的解有且仅当(u,v)是T(u,v)=(u,v)在X中的不动点.证明若(u,v)是耦合系统（1）的解，则直接对耦合系统（1）前两式两边直接从0到t积分，可知令t➝∞，则有将边值条件u(∞)=αv(0),v(∞)=βu(0)代入式（6），直接解方程组计算可知将式（7）（8）代入式（5），易知 u(t)=T1(u,v),v(t)=T2(u,v)，即 (u,v)是T(u,v)=(u,v)的不动点.反之，若(u,v)是T(u,v)=(u,v)的不动点，则对等式两边求导，容易验证(u,v)满足系统（1）.命题得证.引理2［2］若m(t),γ(t)∈C[J,J],m(t)是有界函数，，且有其中M1≥0,M2,M3 ＞0，则引理 3［9］若 H 是 C[J0,E](J0=[0,b]⊂J)中的可数可测集，对任给x∈H，存在ρ(t)∈L[J0,J]，使得‖ x(t)‖≤ρ(t),t ∈J0，则有α(H(t))∈L[J0,J]，且引理4［10］若 B={un}⊂C[J,E](n=1,2,…)，存在ρ(t)∈L[J,J]，使得‖u ‖n(t)≤ρ(t)(t ∈J,n=1,2,…)，则有α(B(t))在J上可积，并且引理5［10］设下文（A1）成立，H是E中的有界集，则，其中αE(TiH)表示TiH(i=1,2)在E中的非紧性测度.注1 由（2）式及引理5易知，αE(TH)≤αE(T1H)+αE(T2H).引理6［11］（Mönch定理）设E是Banach空间，Ω ⊂E 是有界开集，θ∈Ω,A:E →E 是一个连续算子，且满足下列条件：（1）x ≠ λAx,∀λ ∈[0,1],x ∈ ∂Ω ；（2）由 H ⊂可数及 H ⊂({θ}⋃A(H))可推出H为相对紧集.则A在Q中至少有一个不动点.引理7［12］设D和F是E中的有界集，则α(D×F)=max{α(D),α(F)}，其中α和α 分别为E×E和E中的Kuratowski非紧性测度.2 主要定理为方便，先给出下列假设：（A1）f,g ∈C[J×E×E,E]，且存在ai(t),bi(t)∈L[J,J](i=1,2,3)，使得其中（A2）对∀t ∈J和H1,H2 ⊂Br，存在ci(t),di(t)∈ L[J,J](i=1,2)，使得这里定理1 若条件（A1）-（A2）成立，则耦合系统（1）在BC[J,E]⋂C1[J,E]×BC[J,E]⋂C1[J,E]中至少有一个解.证明由引理l知，只需证明算子T在X中至少有一个不动点.首先证明是X中的有界集.事实上，对任给的(u,v)∈Ω0，则相应地存在0≤λ0≤1，使得当t ∈J=[0,+∞)时，由式（3）（4）（9）及假设（A1）得令则m(t)∈C[J,E]且有界，于是结合式（10）（11）得故由引理2知因此，故Ω0 是 X 中的有界集.令 R ＞M，取则Ω 是X中的有界开集，且(θ,θ)∈Ω .由R的取法可知，对任何(u,v)∈∂Ω,(u,v)≠λT(u,v),∀λ ∈[0,1].即引理6的条件（1）满足.下面验证引理6 的条件（2）满足.设 H ⊂为可数集且由非紧性测度的性质，结合引理3-4，引理7及假设（A2），可知这里ρ(s)=c1(s)+c2(s),w(s)=d1(s)+d2(s).由H的定义及引理5有于是由引理l知，α(H(t))=0,t ∈J.即H 是Ω 中的相对紧集，于是引理6的条件（2）满足.又注意 f,g 的连续性，显然T是连续算子.故由引理6知，算子T 在Ω 内至少有一个不动点.从而耦合系统无穷边值问题（1）至少有一个解.证毕.例1 考虑一阶非线性微分方程耦合系统无穷边值问题：则耦合系统无穷边值问题（12）至少有一个解.证明令E={x=(x1,x2,…,xn,…)|xn ∈J,xn →0}，对x ∈E，令显然耦合系统（12）可转化为X中的系统其中而显然f,g ∈C[J×E×E,E].则可令显然，故条件（A1）满足.利用锥理论中常规方法容易知，存在，使得对任何t ∈J，有界集 H1,H2⊂E,α(f(t),H1,H2))＜c1(t)α(H1)+c2(t)α(H2),α(g(t,H1,H2))＜d1(t)α(H1)+d2(t)α(H2)，故条件（A2）满足.由定理1即知结论成立.参考文献：［1］CHEN Xu，ZHANG Xingqiu.Existence of positive solutions for singular impulsive differential equations with integral boundary conditions on an infinite interval in Banach spaces［J］.Electron J Qual Theory Differ Eq，2011（29）：1-18.［2］张海燕，张祖峰.Banach 空间中一阶非线性微分方程组无穷边值问题解的存在性［J］.华中师范大学学报（自然科学版），2011，45（4）：529-533. ［3］汤小松，王志伟，罗节英.Banach空间中一阶脉冲微分方程组的无穷边值问题解的存在性唯一性［J］.四川师范大学学报（自然科学版），2012，35（6）：802-808.［4］李耀红，张祖峰.无穷区间上一阶非线性脉冲微分方程组边值问题的多个正解［J］.华中师范大学学报（自然科学版），2014，48（2）：171-175.［5］LI Yaohong，WEI Zhongli.Positive solutions for a coupled systems of mixed higher-order nonlinear singular fraction⁃al differential equations ［J］.Fixed Point Theory，2014，15（1）：167-178.［6］申腾飞，宋文耀.一类分数阶微分方程系统边值问题正解的存在性［J］.常熟理工学院学报，2012，26（4）：28-34.［7］程玲玲，刘文斌.带有p-Laplace 算子分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性［J］.湖北大学学报（自然科学版），2013（1）：48-51.［8］曹竞文，胡卫敏.两点分数阶微分方程耦合系统边值问题的解［J］.江汉大学学报（自然科学版），2014，42（3）：23-26.［9］GUO Dajun，LAKSHMIKANTHAM V，LIU Xinzhi.Nonlinear integral equations in abstract spaces［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publisher，1996.［10］刘振斌，刘立山.Banach 空间中一阶非线性微分方程组无穷边值问题解的存在性［J］.数学学报，2007，50（1）：97-104.［11］DEIMLING Klaus.Nonlinear functional analysis［M］.Berlin：Spring-Verlag，1985.［12］GUO Dajun，LAKSHMIKANTHAM V.Coupled fixed points of nonlinear operators with applications［J］.Nonlinear Analy⁃sis：TMA，1987，11（5）：623-632.。
一类非线性方程组正解的存在性
ｔ— ） （ 一∑ （Ｊ ） ｍ ｘ ， １ ｒ —ｓｔ 『 ， ｛ ｔ ｌ
叼
其 中ｉ１２ …ｍ一 ， 然 ， ｔ ）Ｏ， （， ＝ １ ＝ ，， １显 Ｇ（ｓ＞ ｃ ｏＳ Ｇ（， ， ）
（ ＝ １一 － （ ） ０ （ ∑ 卵 ：０ ） ）ｍ ２
ｍ－２
（ ３ ）
３ 定理
那么当“ Ｋａ ，，ｕ＞ ：ｙ 时， ∈ （， Ｆ ｌ ｄ ＂Ｊ ｂ） ｆ － ｂ
ａＴ） （ ：卿 （ （ ｕ ）） Ｉｂ Ｉ ＞
综 上 所述 ， 压 缩锥 拉 伸 不 动点 定理 的条 件得 锥 到 满 足 ， 们 得 到 至 少有 ３个 不动 点 ｕ ，２ ， 足 我 ／ ， １ 满 ＂
由 “＝ ￣ ｕ ） 我们定义函数 ｏ Ｋ—Ｒ 。 （ ｎｎ （ ， ） ｔ Ｌ ：
定 义算 子 Ｔ （ ＝ Ｇ ｔ ） （， Ｇ ｓ ｇ ）盯 ， ∈Ｋ， ６ ｕｔ （ ｓｆｓ ） ， （， （，（） ） “ ） （）
由以上 讨 论 可 知 ，３ 的正解 的 存在 性 可 以 转 化 为 （） 算子 Ｔ的 正不 动点 的存 在性 问题 。
第 １ 第 ３期 ４卷 ２１ ０ ２年 ６月
黄 山 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌｏ ａ ｇ ｈ ｎ ｏ ｒａ ｆ Ｈｕ ｎ ｓ ａ Ｕｎｖ ｒｉ ｉｅ ｓｔ ｙ
Ｖ０ ． ４ ＮＯ． １１ ． ３
Ｊ ｎ２ １ ｕ ．０ ２
一
类非线性方程组正解 的存在性
胡 玲
（ 山学 院 数 学与 统 计 学 院 ， 徽 黄 山 ２ ５４ ） 黄 安 ４ ０ １
其 中 ， ｇ∈ｃ ［， ） 尺 ， ， ＜ ， （ １ × Ｒ ） ｏ】 ０
１ 引言
＜１ 。
一类非线性三点边值问题正解的存在性
｛∈
［ ，］ ｌ ｌ＜ ｄ） ０ １ ：ｌ ｌ ．
其中寺 ＜ 叩 １０ ａ １，满足： ＜ ，＜ ＜ ，
厶 。
１ 引理 设 定
引理 １ ［ 设 Ｘ为 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ， ｎ为 Ｘ 的一 个
（ ） Ｈ。 ，∈ Ｃ ［ ，３× ［ ， 。 ） ［ ， Ｃ ） ； （０ １ Ｏ ＋ 。 ，Ｏ ＋ × ） 。
（ ）一 （ ） ￡ （ ）一 删 （ ） （ Ｏ １ ， ）一 ０， （ ）＝ ０ １ （） ３ （） ４
Ｂ （ ）２ ＶＰ １ （ ）存在惟 一 非平 凡正解 的充 分条 件．
本文所 研 究 的 空 间 为 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ｃ ｏ １ ， ［ ，３ 其 中范 数为 ｌ Ｉ＝ ｍａ （）Ｉ Ｉ ｌ Ｕ ｘｌ ￡ ．
（ ） 在ｔ Ｈ， 存 。∈ ［ ， ］ 使得 ｆ ｔ，）≠ ０ Ｏ１ ， （。 ０ ．
文献［— ］ １ ４ 以及其 中所 引用 参考 文献 对非 线性 边 值 问题正解 的存 在 性 作 了 大量 的研 究 ． 在文 献 ［ ３
—
有界 开子 集 ， 且 ∈ｎ， Ｆ： 若 ｎ— Ｘ 为一个 全连续 算 子 ， ： 么存在 Ｕ∈ 则 要 及 ＞ １ 使得 Ｆ（ 一 Ａ ， ） ｘ，
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｂｙ ｕｓｎｇ ｔ ｒ ｙ — Ｓｃ ａ ｅ ｏ ｉ ｅ ｒａ ｔ ｒ ａ ｉ ｅ ａ ｄ ｔ ｒ ｅ ｔｅ ｆＧｒ ｅ ｕ — ｉ ｈｅ Ｌｅ ａ ｈ ｕｄ ｒ ｎ ｎｌｎ ａ ｌｅ ｎ ｔｖ ｎ ｈｅ ｐ ｏｐ ｒ ｉｓ ｏ ｅ ｎ ｆ ｎｃ ｔｏ ｉ ｎ，ａ ｄ ｃ ｓｄｅ ｉ ｇ ｔ ｒ ｐｅ ｔ ｆｎ ｌｎｅ ｒｔ ｏ ｏｕ ａ ｙ ｓ ｔ ｕ ｆｃ ｅ ｏ ｉｉ ｏ ｎ ｏｎ ｉ ｒ ｎ ｈｅ ｐ ｏ ｒ ｙ ｏ ｏｎ ｉ ａ ｉｙ ｏｎ ｓ ｍｅ ｂ ｎｄ ｒ ｅ ，ａ ｓ ｆ ｉｉｎｔｃ ｎｄ ｔｏｎ ｆ ｒ
一类非线性三阶边值问题正解的存在性
（ ）ｏ４ ｆ＜ ２， ＨＥ ｆ ０， １ ＞ －
则ＢＰ １ Ｖ ０． 至少 存在一个正解 ． ）
由定理 １ 还可得到
取ｘｃ） 义Ａ — ＝Ｉ （定 ： 为Ａ＝。（ｆ （ ｓ ， ， Ｘ ｕＪ ｔ（ ｓ ， Ｘ则Ａ Ｃ，ｓ ） ｕ ｓ， ｌ ｅ ）ｕ ｄ
的不动点就是积分方程 的解． １（． 式， ￣ ２１ 易得 ｔ ） 引理 １Ｇ １） （ｓ有如下性质： ＇
【 （）ｕ（＝ ’）０ ｕ０ ’）ｕ（ ＝ ， ＝ ０ １
其 中， ： ×Ｒ＋ 为连续函数． ｆＩ ．Ｒ 受文［卜［】 ４ ５的启发， 应用指数 不动点定理代替锥拉伸与锥压缩不动点定理， 获得 了正解 的 存在性结果。 并且在非线性项的增 长限制上更加精确 ．
为了方便介绍， 先引入以下记号：
其 中 ｆ＋ ＝ｉ 。 （ ／ ， Ｂ Ｐ１２至少 存 在一 个正 （ ）ｌ ｍ ｆｕ ｕ 则 Ｖ （． ）） ）
解． ２ 准 备 工作 和 主 要 结 果证 明
ｆ ｌ ｉ ｍｉｔ ｌ 【ｕ／）ｏ］ ｓｐ ｍａｔ ｌ （ｕ／） ｏｉ ｎ ＝ ｍ Ｉｅ 】 ｔ ） ，－ｉ ｕ ｌｎ（ ’ ｕ ｆ ｍ ｆ ｘ ｎｌ ｔ ） ， ｓ （ ， ｕ ｆ
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第１ 第２ （０ ２ 卷 期 ２７ ０）
寸 Ｉ拒 青离 孑 牛
Ｖ１ ．２７ ｏ ２ｏ（０ ． Ｎ ２０ ） １
一
类非线性三 阶边值 问题 正解 的存在 性
魏 晋 滢
（ 西北师范大学 ， 甘肃兰州 ７ ０７ ） ３００
摘
要 ： 了三阶常微分方程边值 问题 讨论
把定理 １ 应用到问题
三阶微分方程在天文学 、 流体力学等学科 的研究 中有 着
广泛 的应用． 因此， 其解的存在性受到广泛 的关 注， 见文【卜【】 １ ３． 本文考察 了如 下的三阶常微分方程边值 问题： Ｉ［。 ， 设 ＝ｏ１ 】
一类非线性微分方程渐近概周期解的存在性
］ ｎ ＝ ｉｆ
；
２ ， ］≤ ｌ ） ＹＩ ＝ ３ ［， ＋Ｚ ≤［，】 ｚ ］ ） Ｙ ］ Ｙ ＋［， ；
收稿 日期： ０ ９０－０ ２０—７２ 资助项 目： 国家 自然科学基金 （ ５１３ ） １ ７０ ７ ０
第１ 期
姚慧丽：一类非线性微分方程渐近概周期解的存在性
时也 讨论 了当 ｆｔ 是 概周期 函数 以及 Ａ ｔＸ 是 ｔ的且 一致关 于 Ｒ （ ） （， ） 的任意紧 子集 中的点 Ｘ是概
周期 函数时， 方程 （． １１ ）的概 周期解 的存在性 ．
本 文 的 目的是 讨论 方程 （． １１ ）的渐近 概周期 解 的存 在性 ， 于是 我们利 用函数 的遍 历性推 广 了文 献 ｆ 中的存在性 结果 ． ６ １
２ 预 备 知识
我 们定义泛 函 ｆ ， １＝Ｒ ×Ｒ 一 Ｒ 如下 ：
ｉ Ｉ ］ ｈｍ ｘ， ｌ。＋
—
云Ｉ ｌＩ１ （ ＋ ｌＩ） ｆ —ｘ ｌ
下 面关 于泛 函 ［ ｊ 引理是 众所周 知的 （ 献 ［） ］的 见文 ７． 】
引理 ２ １ 设 Ｘ， ． Ｙ和 是 Ｒ 中的元， 么泛 函 ［ 那 ｛ ］有下 面的性质
定义 ２ １ 实数集 Ｒ 的一个 子 集 Ｓ称作 是相对 稠 的， 指存 在数 ２ ． 是 ＞０满足
ｏ】 ）
［， ａ 。＋１ｎＳ≠ ， ｎ∈Ｒ ］
这 里 表 示 空集．
定 义 ２２ 一个 函数 ｆ∈Ｃ（ Ｒ （ （ ×Ｒ Ｒ ） 称作是 概周期 的 （ 于 ｔ ． Ｒ， ）ｆ∈ Ｒ ， ） 关 ∈Ｒ且 一致 对 ∈Ｉ ｆ是概 周期 的， 是 Ｒ 的任意 紧子集 ）是 指对 任意 的 Ｅ＞０ 都 存在 一个 相对稠 子集 满 ， ，
一类非线性四阶常微分方程边值问题正解的存在性
摘
要：
用 一 种 较 简 单 的 方 法 建 立 了 非 线 性 四 阶 常 微 分 方 程 边 值 问 题
ｇ
部 条件．
正的 对线项 只求满一局 解祧巨 非性 厂要其足个
文献标 识码 ： Ａ
关键 词 ： 边值 问题 ； 解 ； ｃ ａ ｄ ｒ 动点 定理 正 Ｓ ｈｕ ｅ 不
可知 ｌ ［ ，］上 的 非 负 上 凸 函数．下面 我 们 ‘ ）是 Ｏ １ （
分 两种情 况证 明 ：
（ ｉ ｔ Ｅ ，３ 则 ）若 ∈ ｏ ｃ ，
（）一 （ － ｔ ｆ ６－ ｏ＋ ）≥ （ ）＋ ｔ （） ０ ｆ
定理 ， 打靶 法 ，以及 上下 解方 法 ． 本文试 图用 一 种 较 简 单 的 方 法 建 立 问 题 （ ） １ 正解 的存在 性结 果 ，对 非 线 性 项 ，只要 求 其 满 足 个局 部条 件 即可 ， 文 的工作 受 到文 献［ ３ 本 ７ 的启
这 里
一 ｍａ ＩＧ（，） ｓｒｄｄ ， ｘＩ ￡ｓＧ（，）ｒｓ
Ｏ ≤ｌ Ｊｏ ≤ｔ Ｊｏ
Ｇ
二
㈤
惫一 Ａ ｍａ ＩＧ（，） ｓ ｘ ￡ｓ ｄ 则 Ａ～ ， 为大 于 ０的常 数． 七均
（） ５
证 明 容 易 验 证 （ ）定 义 的 ｌ ｔ 为 问 题 ３ ‘ ）确 （ （ ）的解 ， 由 Ｇ（，）≥ ０可得 （）≥ ０ ｔ ［ ， ２ 且 ｔ ， ∈ Ｏ
１． ］ 下证对 Ｖｔ （ ，） ｔ ＞ ０ ∈ Ｏ１，（ ） ． 由 （ 在［ ，］ ￡ ） Ｏ １ 上不恒 为 。可得 。 不是 问题 （ ） ２
① 收藕 日期 ：Ｏ Ｏ １ ２ ２ １ 一０ — ８
２ 主 要 结 果 及 证 明
一类非线性特征值问题正解的存在性
第７ 卷 第 １期 ８
２０ 年 ９ ０７ 月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖ １７ Ｎｏ １ ｏ ． ．８
Ｓｐ ０ ７ ｅ ．２ ０
１７ —８９ ２０ ）８４ ９ ．３ ６ １１ １ （０ ７ １—６３ ０
Ｓ ｉｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ｃｅ ｃ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｅ ｇｎ ｅ ｉ ｎ
２ 证 明
文中正解 的存 在性定理 的证 明要 用到下面两
个 引理 ： 引理 １ 非 线性 二择 一不 动点定 理 ） 朝 （ ’
假设 Ｋ是一个 赋范 线性 空 间 Ｅ中的 凸集 ， 是
的相 对开子 集 ， 映射 Ⅳ：Ｌ 是 一 个带 有 中 若 己
通信作者简介 ： 郑连存 ， ， 男 北京科 技大学 数力 系， 教授 ， 士 博
＝
１ 在（， 上非负， 满足ｆ（） ｓ ） ０１ ） 同时 ｓ ｄ ＜∞， （） 记Ｇ ｕ
ｇ （ ｆ
。
及
ｓ ｐ ｕ
…
｛
） （ 上
确界可 以为 ∞） 那 么有 下 面 两 个 关 于 特 征值 问题 ，
【（ ）＝ Ｉ０ ｙ０ 口 ， ＞
Ｙ１ ｂ ０ （ ）＝ Ｉ ＞
（） １ 的正解存在性原则 ：
以是奇 异 的 ）
－
下均假设 ｂ ≥口（ 对于 ｂ 口 ＜ 的情况类似 ） 。
２ －ｄ‘ （ 上 ｓ ）
那么当 ０≤ ＜ 时 ， 征值 问题 （ ） 。 特 １ 有一 个 非
负解 。
１ 主要结果
本文设特征值 问题 （ ） １ 中的 Ｐ与 厂满 足 以下
条件 ：
一类非自治共振二阶系统周期解的存在性
（ ４ ）
： 的 数， 见 ４ 极 可 １ 常 易 式（ 中 限 ）
以 下 有 的 极 的 围 ＋放 到 ，ｊ 是 方 界 ， 限 范 从 ｏ 宽 ｌ ＋１ 。 Ｌ ∞．
本文 的主要 结 果如 下 ：
定 １１ 设 满足条 １ 式（） ４，则问 １ Ｓｂｌｖ空间Ｈ； 至 一个 理 ． 件（ ） ２式（） ， 题（ 在 ｏｏｅ ） 中 少有
，
２Ｒ） Ⅳ ；｝
，
‘ 料 辫
ｍ
［ 要］ 利用鞍点定理讨论 了一类 非 自治二 阶系统周期解 的存在 性，其 中 Ａ是 Ｎ × 实对称矩阵 ， 摘 Ｎ
具有 形
如ｋ 的特征值 ，非线性项 Ｖ ｔ （ ） 次线性 的． Ｆ（ ｆ 是 ， ）
［ 关键词］ 二 阶系统； 共振 ； 周期解； 临界点 ［ 中图分类号】 Ｏ１ ５２ ７ ．５ ［ 文献标识码】Ａ
形如 ｋ 的特 征 值 时， 文献 ［］ 论 了问题 （） 期解 的存 在性 ： 当 具有 形 如 ｋ ３讨 １周 的特 征 值 ，文 献 ［］ ４ 中定理 １ 在非线性项有界，即
ｆ （ ） Ｍ２ ≠ ｌ ，
成 立 时，讨 论 了 问题 （） １ 周期解 的存在 性．
奎 查 基查 如 的特 值，且非线性项满ห้องสมุดไป่ตู้次线性条件， 即式（ 成立时，利用鞍点定理得 ２ ）
其 中 ＋ １ ＋ｍ２＝Ｎ．
＋＝… ＝ １
＝ｋ Ⅳ ＋ … Ⅳ＜（ ） ＜ 一， １ ｋ＋１
次线 性条 件指 ，存 在正 常数 ， ， ０≤ ＜１ 及 ，使 得
ｌ （ ） Ｍｌ ＋ Ｖ ｔ ｌ ２ Ｆ ， Ｘ
对所有 Ｘ∈Ｒ 和几乎所有 ｔ ０２ ］ ∈［，刀 成立．
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【（＝ （ Ｔｕ ｏ ｕ（ ） ｕ ） ２ ） ，） ， ０ ｕ １， （ ＝ ２ 当ｇ ） （ 满足次线性增长时 ，订 ｘ ２ 周期解 的存在性 。 中ｔ ０ ＂＝，∈ （，）ｍ 其 ∈［２ｒ Ｉ ｃ Ｒ ， 为正整数 ，为关于 ，ｔ ｇ Ｒ ］ Ｐ ｔ 的周期函数。 定理 １ 若如下条件满足 ：
Ｌ ： Ｕ ｕＧ ． （） ２
容易得ｋｒ ＝ ｕ Ｐ ： ｔ ｃ ｔｔ ｎ ｔ ， ∈ ｝ ｅ Ｌ ｛ ∈ ２ｕ ） １ｓ ＋２ ， １２ Ｒ （ ｏ ｍ Ｃ ｉｍ 其中 ａ ＝ ｓ
ｆ ： １
ＩＬ｛ Ｐ： （ｃｍｔ Ｊ【ｎｔ。 ｍ ＝ ∈２Ｊｃ。 ｔ０ｕｓｍｔ｝ ｕ ｕ＝ｓｄ ，（ｉ ｄ ， ） ＝ ） ＝ ＝
—
’
‘
Ｉ ａ， ＋ 、 Ｉ ．９ ４ ／２） １ （ 一 丌
＿
＝＝
，
Ｉ ２ Ｊ ｛ Ｉｇｃｔｓ ，中＝ａ ｔＩ＜＋ ． 。Ｒｓｏ ｔ 厂叮 其 】 ） ＲＭ＞ （ｏｃｄ≥ ｒ ）ｔＩ Ｍ ｍ【 （：Ｊ Ｊ ｆ ｌ ｌ ｘ ｇ ｏ ０ Ｉ
那么问题（ ） １至少有一个２ 周期解 。
１ 预 备知识
定义 设ｘ 是两个Ｂ ｎｅ空间 ， 和ｚ ａａｈ 考虑算子方程：
Ｌｘ Ｎｘ． ＝
收稿 日期 ：０ １ ０ — ５ ２１－５２
作者简介 ： 吴春晨（ ９ ８ ）女 ， １７ 一 ， 福建福清人 ， 师， 讲 硕士。研究方向为偏微分方程。
６
福建师范大学福清分校学报
２ １ 年 ９月 ０１
中图分类号： １５１ ０７ ． ４ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ：０ ８ ３２ （０ １０ － ０ ５ ０ １０ — ４ １２ １ ）５ ０ ０ — ３
０ 引言与主 要结论
微分方程周期解问题一直受到人们的广泛关注 ｎ 对于共振边值问题的研究 文献【，挺 。 ２３ 用
，
了上下解理论和迭合度理论 ， 前较多的利用了Ｍ ｗ ｉ 目 ａ ｈ 的延拓定理 。 ｎ 本文将对这一专题继续探讨 ， 研究了一类在共振情况下非线性周期边值问题解的存在性。
｛（ｍ （ｇ）（ ｕｔ ）（ ｐ） ”＋ｕ ｕ ｆ ） ｃ
（ １ ）
（） （Ｏ ）Ｏ Ｈ ｆ）Ｓ ｄ ； １ｐ Ｃ呲 ｔ ｔ ＝
、 ｎ ｔ ｆ １ ｍ
（ ）（ｌａｘｂ Ｈ Ｉ ） ，ｌ， ２ｇ ￣ ｉ＋其 ｘ ｌ
—
面 ｍ
－ — —
；
ａ
一
ｌ＋ ｐ ｐ （３ Ｈ） 存在Ｒ Ｏ ， 满足Ｍ —＋ Ｖ＇ ）（ ｌ ， ， 使得 ＞ ，， ｐＭ ＞ ９ ４ ２ ｗ１ ｌ ， ） （
所以ｄ ｅ ＝ ｏ ｉ Ｌ ２ ｏ， ｉ ｋｒ ｃ ｍ Ｉ ＝ ＜ｏ 因此Ｌ ｍ Ｌ ｄ ｍ 为指标为零的Ｆｅｈｌ￣子。 ｒ ｏ ｄ ｍ 令Ｐ ＱＰ Ｐ 为如下的投影算－ ：ｕ ） （ ｃｓ ｔ （ ｓ ｔ ＝ ： ２ ２ ￣ Ｐ （＝ ｕ ｏ ｍ ＋ ｕ ｉ ｍ ， ｔ ａ ） ｂ ）ｎ
一
类 非 线性 周期 边 值 问题 在 共 振
情况 下解 的存 在性
天脊辰 吴春晨
（ 福州大学至诚学院， 福建福州 ３０ ０ ） ５ ０ ２
摘
要： 本文考虑一个非线性周期边值 问题 的解的存在性 ， 用迭合度 中的Ｍａ ｈｎ￣拓 定理证 明该问 利 ｗ ｉ／
题解 的存在性。
关键词 ： 非线性周期边值 问题； ｗ ｉ延拓 定理； Ｍａ ｈｎ 解的存在性
称映射Ｎ 在Ｑ上是Ｌ 紧的。既然Ｉ Ｑ ｅ ： ｍ 与Ｋ ｒ ￣同维数的线性空间 ，那么存在一个同构映射Ｊ ｍ Ｌ ：Ｑ Ｉ Ｋ ｒ。如果映射Ｎ 上的每一个有界子集Ｑ Ｌ 在ｘ 上是Ｌ 紧的， 在ｘ 称Ｎ 星是Ｌ 全连续的 。 一 引理 １ （ ａ ｈ ￣择一定理 ） 为实Ｂｎｃ空间ｘ Ｍ ｗｉ ｎ 设Ｑ ａａｈ 中的有界开集 ， 假设如下条件成立 ： （ Ｌ ＃ｋ ｕ对任意的 ｕ ） （ ｍ ８ ）（ １； １ｕ Ｇ ， ） ， ∈ ｄ ＬＩ Ｑ × ， ｏ ０） （Ｑ ｕ ， ２ Ｇ ＃０ ） 对任意的ｕ ｅ Ｉ Ｑ； ∈ｋｒ ８ Ｌ
其中Ｌ ０ Ｌ ｚ ： ｍ ｃｘ 是一个线性算子， ：— Ｚ ｄ Ｎｘ ＋是一个连续映射． 假如ｄ ｅ ＝ｏ ｉ ＜ ∞， ｉ Ｋ ｒ ｃ ｍ Ｉ Ｌ ＋ ｍ Ｌ ｄ ｍ Ｉ 是ｚ ｍＬ 的闭子集 ， 那么映射Ｌ 叫做一个指数为零的Ｆｅｈｌ 映射 。 ｒ ｏ ｄ ｍ 假如Ｉ 是一个指数为零 的Ｆｅｈｌ ｒ ｏ ｄ ｍ
２ １ 年第 ５期 ０１
《 师范大学福清分校学报》 福建
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｕ Ｉ Ｇ Ｂ ＡＮ Ｈ Ｏ Ｕ Ｉ ＮＮ Ｒ ＬＵ ＩＥ ＳＴ Ｏ Ｒ Ａ ＦＦ Ｑ Ｎ Ｒ Ｃ ＦＦ ＪＡ Ｏ ＭＡ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ Ｓ ｍ Ｎｏ１， 那么存在线性连续投影Ｐｘ ， ： 使得Ｉ ＝ ｅ ， ＝ ｅ ＝ｍＩＱ 。从而Ｌ 。。巾Ｉ ： ｘ Ｑｚ ｚ ｍＰ ＫｒＩ ＬＫｒ Ｉ（ ） Ｌｍ Ｑ － Ｉ Ｋ ：— Ｄ ｅ（
Ｐ Ｉ 是可逆的， ） ｍＬ ｘ 记这个逆映射为Ｋ。 为ｘ 有界子集，Ｎ＿及Ｋ（ Ｐ （ 设Ｑ 的 Ｑ （） — ） 是列紧的， Ｉ Ｎ 那么
（）ｅ Ｑ Ｉ Ｌ ｅＬｏ≠Ｏ ３ ｇ（ ＧＫ ， ｋｒ，） ． ｄ Ｊ ＱＩ 那 么 问题 （ ） ｄｍＬＩ １在 ｏ Ｑ内至少有 一个解 ”
．
定义 ： ｌ Ⅱ Ｉ为Ｒ欧几里德范数 ，ｈ ｛ （ Ｒｘ＋ｃ ） ｔ Ｒ ， ｌ ’ｆ＿ ・ Ｐ ＝ ｘ Ｒ ）（２） ｆＶ ｅ ）Ｉ ｌ ｘ ） Ｃ ， ： ｒ ， ｔ ＝ Ｉ ｘ （。
Ｉ ａａｈ 间 。定 义Ｌｄｍ ） 为Ｂ ｎｃ空 ： ＬＣＰ．－ ２ＧＰ Ｐ 如下 ： ｏ ２ ＋ ：２ ２ ｚＰ，
Ｉｔ， 么 （ｈ ｘ） 那 Ｐ （Ｉ
Ｉ
Ｌ（＝ ”） （，ｕ ）ｇ ） （， ｕ ）Ｕ （＋ ｕ ） （＝（ ＋ ｃ ｔ ｔｍ ｔ ｔ ｕ ｐ） Ｇ 其ｑｄｍ ＝ ｕ Ｐ ： （存在并连续 ｝ ｂ ｏ Ｌ ｛ ∈ ２１ ｃ １ ） ” 。所以问题（ ） １等价于问题 ：