2-2 矩阵的运算
线性代数 2-1,2-2矩阵运算
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一、矩阵概念
⎛ a11 a12 ⎜a a22 21 ⎜ 1. 定义：数表 A = ⎜ 1.定义：数表 ⋮ ⎜ ⎝ am 1 am 2 ⋯ ⋯
a1n ⎞ a2 n ⎟ ⎟ = (a ) ij m ×n ⋮ ⎟ ⎟ ⋯ amn ⎠
1)m≠n,称为m×n矩阵，简称矩阵. . 阶矩阵. 2)m＝n，称n阶方阵或n阶矩阵 . 维行向量. : m＝1 A= (a1 a2 … an),又称为n维行向量 行矩阵: 3)行矩阵
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二、矩阵的加法
1.定义
⎛ a11 … a1n ⎞ ⎛ b11 … b1n ⎞ ⎛ a11 ± b11 … a1n ± b1n ⎞ ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⋱ ⋮ ± = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⋯ a ⎟ ⎜b ⋯ b ⎟ ⎜a ± b ⋯ a ± b ⎟ mn ⎠ ⎝ m1 mn ⎠ ⎝ m1 m1 mn mn ⎠ ⎝ m1
线性代数
数学科学学院 陈建华
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第二章
矩阵
1850年J.J.Sylvester(西尔威斯特)首先提出矩阵概念, 1858年 A.Cayley(凯莱)提出矩阵的运算规则, 从此矩阵的应用更广泛, 成为 经济研究和经济工作中处理线性模型的有力工具。如投入产出模型、 线性规划、决策论等，均运用矩阵作为重要工具解决实际问题。
线性代数 2-2 第2章2讲-矩阵的运算(1)
1
3 0
2 4
1
3 0
13
0
51，BA
1 2 4
1
3 0
1 2
0 1
1
3 0
8 4
1 3 0
3 6 . 12
注 当AB不是方阵时，AB 、BA 不是同型矩阵.
10
二、线性变换与矩阵乘法(1)
例2
求矩阵
A
1 1
11，B
2
2
11，C
2 1
33，D
1 2
11，
计算 AB 、BA、AC、AD.
线性代数（慕课版）
第二章 矩阵
第二讲 矩阵的运算(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 矩阵的线性运算 02 线性变换与矩阵乘法(1)
一、矩阵的线性运算
定义2.2—矩阵的相等
设A (aij )mn , B (bij )mn 是两个同型矩阵， 规定A B aij bij , (i 1, 2,, m, j 1, 2,, n). 即完全一样的两个矩阵才相等.
bmn
即将两个矩阵的对应元素相加.
4
一、矩阵的线性运算 注 只有两个矩阵同型才能进行加法运算.
负矩阵 记 A (aij ，) 称 A为A 的负矩阵. 矩阵的减法 A B A (B)
性质2.1—矩阵加法运算规律
(1) 交换律 (2) 结合律
A B B A； (A B) C A (B C).
(3) ( A B) A B； (4) A n A
6
本讲内容
01 矩阵的线性运算 02 线性变换与矩阵乘法(1)
二、线性变换与矩阵乘法(1)
设变量x1 、x2与变量y1 、y2 、y3 关系
2-2逆矩阵及其运算
线性代数第二节逆矩阵及其运算一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵线性代数（或称的逆）；其中为的倒数，a 11a a -=a ,111aa a a --==在数的运算中，对于数，有是否存在一个矩阵,.11AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A ，1A -使得一、逆矩阵的概念和性质0a ≠线性代数对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。
,AB BA E ==例1设,01011010A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。
定义1（可逆矩阵）线性代数例1 设,2110A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭解设是A 的逆矩阵,a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭则2110a b AB c d ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1001⎛⎫= ⎪⎝⎭221001a c b d ab ++⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求A 的逆矩阵线性代数,,,,212001a c b d a b +=⎧⎪+=⎪⇒⎨-=⎪⎪-=⎩,,,.0112a b c d =⎧⎪=-⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-01120112-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛-0112=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1001⎛⎫= ⎪⎝⎭所以.10112A --⎛⎫= ⎪⎝⎭A BA B (待定系数法)线性代数注：不是每个非零矩阵都有逆矩阵。
0102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭例如11AA A A E --==不论一个怎样的矩阵的第一列全都是零。
因此，不可能有一个矩阵, 使,B 1A -BA线性代数定理1若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是惟一的.,,AB BA E AC CA E ====又B EB =()CA B =()C AB =.CE C ==所以A 的逆矩阵是惟一的,即B C=证明:设B 和C 是A 的逆矩阵，则有以后，把A 的逆矩阵记为。
2-2逆矩阵
解
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
Cramer法则(定理1.3.1)的证明：
方程组有唯一解，
xj Dj D ( j 1, 2, , n)，
12
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
证明 记
则方程组为Ax=b, D=|A|≠0, 所以A可逆, 1 * 1 A b, x A b A
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
第二节 逆矩阵
作业 习题2.2(A) 1，4,7,10
1
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
一、背景
1、数 在数的运算中，当a≠０时， 有 aa 1 a 1a 1, 1 1 则 a 称为 a 的倒数， （或称为 a 的逆）； a 在矩阵的运算中， 单位阵I 相当于数的
1 1 记作 A , 即A B .
1 2 1 1 ,B 例如 A 1 1 1 2 AB BA I ,
1 2 , 1 2
B 是 A 的逆矩阵.
3
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
结论 证明
若 A 是可逆矩阵，则 A的逆矩阵唯一. 若设 B 和 C 是 A 的逆矩阵， 则有
B均是 n 阶可逆方阵） （设 A，
-1 T (2) AT 可逆，且（AT） （A-1 ） 1 -1 -1 (3)kA可逆，且（kA ） A k -1 -1 -1 (4) AB可逆，且（AB ）B A
推广
-1
A1 A2 Am
1
Am A2 A1 .
1
1
1
1 (5) A A
1
A
1
1
A A
矩阵的四则运算
矩阵的四则运算
矩阵的四则运算指的是矩阵之间的加法、减法、乘法和除法运算。
1. 加法：两个矩阵的加法定义为将对应元素相加。
要求两个矩阵的行数和列数相等。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A +
B = [1+5 2+6
3+7 4+8]
= [6 8
10 12]
2. 减法：两个矩阵的减法定义为将对应元素相减。
同样要求两个矩阵的行数和列数相等。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A -
B = [1-5 2-6
3-7 4-8]
= [-4 -4
-4 -4]
3. 乘法：两个矩阵的乘法定义为将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行内积运算。
要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A *
B = [1*5+2*7 1*6+2*8
3*5+4*7 3*6+4*8]
= [19 22
43 50]
4. 除法：矩阵的除法没有直接定义，但可以通过矩阵的乘法和逆矩阵来实现。
要求被除矩阵的逆矩阵存在且除数矩阵的行数等于被除矩阵的列数。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A /
B = A * B^(-1)
其中 B^(-1) 是矩阵 B 的逆矩阵。
这些运算规定了矩阵之间的加减乘除运算法则，能够在很多领域中被广泛应用，如线性代数、图像处理、机器学习等。
2-2逆矩阵
A −1
2 6 −4 1 3 −2 1 ∗ 1 = A = −3 −6 5 = − 3 2 −3 5 2 . A 2 2 2 −2 1 1 −1
14
三、逆矩阵的求法及应用
用可逆矩阵求解矩阵方程 矩阵方程AX=B的矩阵 其中 的矩阵X,其中 例3：求满足矩阵方程 ：求满足矩阵方程 的矩阵
左乘方程AX=B两边得： 两边得： 用A-1左乘方程 两边得
15
三、逆矩阵的求法及应用
1 1 X = A −1 B = 2 9 2 2 1 −2 2 8 − 2 − 5 1 2
2 3 9 = 7 9 9 28 15 9
第二章 矩阵及其运算
第二节 逆矩阵 (Inverse matrix) 一、逆矩阵的定义及性质
二、方阵可逆的充要条件 三、逆矩阵的求法及应用 四、小结 思考题
1
一、逆矩阵的定义及性质
1、数 、
−1
在数的运算中，当数α≠０时， 在数的运算中，当数 ０
有
aa −1 = a −1a = 1,
1 的倒数， 则 a = 称为 a 的倒数， a
17 3 − 5 3 1 3
注: 1)上例中X≠BA-1; 1)上例中 2)若矩阵方程为XB=C 或 AXB=C,其中矩阵A与B是可逆 2)若矩阵方程为XB=C 若矩阵方程为 方阵, 方阵,则 X=CB-1或 X=A-1CB-1; 注：若Ａ不是可逆阵，或者不是方阵，矩阵方程不能 不是可逆阵，或者不是方阵， 用可逆矩阵求解
A11 = ( −1)
2
2 1 4 3
= 2,
A12 = ( −1)
3
2 1 3 3
线性代数--2-2-矩阵的运算
一、矩阵的加法
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
a11
3
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
aij
,
am1 am1 amn
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
二、数与矩阵的乘法
§2.2
矩 阵 的 运 算
• 一、矩阵的加法 • 二、矩阵的数乘 • 三、矩阵的乘法 • 四、其它运算 • 复习小结
程学汉
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
一、矩阵的加法
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 练习： 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
解
A2 0 1 0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
三、矩阵与矩阵的乘法
2 2
1 1
0
A3 A2 A 0 2 2 0 1
0 0 2 0 0
3
0
0
k
Ak
0
0
32 3
3 32 0 3
矩阵的运算的所有公式
矩阵的运算的所有公式矩阵是线性代数中非常重要的一种数学工具，它广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
矩阵的运算包括加法、减法、乘法、转置以及求逆等操作。
下面将详细介绍这些矩阵运算的公式。
一、矩阵的加法和减法设有两个矩阵A和B，它们都是m行n列的矩阵，即A和B的大小相同。
矩阵的加法和减法操作定义如下：1.加法：A+B=C，其中C是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：C(i,j)=A(i,j)+B(i,j)，其中i表示矩阵的行数，j表示矩阵的列数。
2.减法：A-B=D，其中D是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：D(i,j)=A(i,j)-B(i,j)。
二、矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵。
矩阵的乘法操作定义如下：1.乘法：A×B=C，其中C是一个m行p列的矩阵。
计算C的方法如下：C(i,j)=A(i,1)×B(1,j)+A(i,2)×B(2,j)+...+A(i,n)×B(n,j)，其中i表示C的行数，j表示C的列数。
需要注意的是，两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
三、矩阵的转置给定一个矩阵A，它是m行n列的矩阵。
矩阵的转置操作定义如下：1.转置：A'，表示矩阵A的转置。
即将A的行变为列，列变为行。
例如，如果A是一个3行2列的矩阵，那么A的转置A'是一个2行3列的矩阵。
四、矩阵的求逆对于一个非奇异的n阶矩阵A，它的逆矩阵记作A^{-1}。
求逆的公式如下：1.A×A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。
即矩阵A与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
需要注意的是，只有方阵（行数等于列数）并且满秩的矩阵才有逆矩阵。
五、矩阵的幂运算给定一个n阶矩阵A，A的幂运算定义如下：1.A^k=A×A×...×A（共k个A相乘），其中A^k表示A的k次幂，k是一个正整数。
2-2可逆矩阵与分块矩阵
例2.5 n阶方阵A满足A2-3A-4I=0且|A|=2, 求|A-2A*|. 解 :由A2 3 A 4 I 0可知 A2 3 A 4 I . 即 1 4 ( A 3I ) A I . 1 从而 A 1 ( A 3 I ). 由A* | A | A1可知 4 A 2 A* A 2 | A | A1 A 4 A1 3 I | A 2 A* || 3 I | 3n. 因此 例2.6 设A2=B2=I 且|A|+|B|=0, 证明A+B不可逆. 证明 由A2 B 2 I及 | A | | B | 0可知 | A | | B | 0 又因为 A( A B ) A2 AB B 2 AB ( A B ) B 所以 | A || A B || B || A B | | A || A B | . 故 2 | A || A B | 0 即 | A B | 0. 所以A B不可逆.
4 分块矩阵的运算规则
A11 A1r A11 A1r 1 A , 为数, 那末 A . As1 Asr As1 Asr
( 2) 设矩阵A与B的行数相同, 列数相同, 采用相同的分 块法, 有
A11 A1r B11 B1r , B A As1 Asr Bs1 Bsr
其中Aij 与Bij的行数相同, 列数相同, 那末 A11 B11 A1r B1r . A B As1 Bs1 Asr Bsr
证明:只需要证明充分条件 此时 | A | 0, 因此 . 1 * 1 1 * * A A I AA A( A ). | A| | A| | A| 1 因此A可逆且A1 | A| A* . 即 | A | A1 A*
2-2可逆矩阵和分块矩阵
1 0
2 1
使得
AB
1 0
10
BA
因而A可逆. A1 B
注: 逆矩阵唯一.
事实上,若B,C均为A的逆矩阵, 则有
BA AB I; CA AC I. 因而 B BI BAC IC C.
定义2.2: 若n阶方阵A的行列式满足|A|0, 则称A 是非奇异的, 否则称为奇异的.
注: 可逆矩阵必是非奇异矩阵 因为,若A可逆,则存在B使得AB I 从而
定理2.1 n阶方阵A可逆的充要条件是A非奇异, 即 |A|0. 此时 A1 1 A*
| A|
证明:只需要证明充分条件. 此时 | A | 0, 因此
1 A* A I 1 AA* A( 1 A* ).
| A|
| A|
| A|
因此A可逆且A1
1 |A|
A*
.
即|
A|
A1
A*
推论2.2 若方阵AB=I, 则A, B均可逆且A-1=B, B-1=A.
A
5 0 0
0 3 2
110
A1 O
O A2
,
其中
A1 5,
A2
3 2
11,
由
A11
1 5
;
A21
1 2
31 可知
A1
Btr
,
其中Ai1 , Ai2 , , Ait的列数分别等于B1 j , B2 j , , Btj
的行数, 那末 AB
C11
C s1
C1r
C sr
其中Cij
t
Aik Bkj
i 1, , s; j 1, , r .
k 1
例2.9
设A
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§ 2 矩阵的运算一、矩阵的加法定义 设有两个m n ⨯矩阵()ij A a =，()ij B b =，则矩阵A 与B 的和记作A B +，规定为()ij ij A B a b +=+=111112121121212222221122n n n nm m m m m n m n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭注意 只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
设矩阵()ij A a =，记()ij A a -=-则称A -为矩阵A 的负矩阵，显然有()A A O+-=由此规定矩阵的减法为()()ij ij A B A B a b -=+-=-二、数乘矩阵定义 数λ与矩阵A 的乘积记作A λ或A λ，规定为111212122212n nn n nn a a a a a a A A a a a λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪==⎪⎪⎝⎭矩阵的加法与数乘矩阵运算，统称为矩阵的线性运算。
容易验证，矩阵的线性运算有以下8条性质：假设,,A B C 都是m n ⨯矩阵，,λμ都是数，则（1）A B B A +=+（2）()()A B C A B C ++=++ （3）A O A += （4）()A A O +-= （5）1A A ⋅= （6）()()A A λμλμ= （7）()A B A B λλλ+=+ （8）()A A A λμλμ+=+ 三、矩阵乘法设有两个线性变换11111221332211222233y a x a x a x y a x a x a x =++⎧⎨=++⎩ （1） 111112222112223311322x b t b t x b t b t x b t b t=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ （2） 若想求出从12,t t 到12,y y 的线性变换，可将（2）代入（1），便得到111111221133111112122213322221112221233112112222223322()()()()y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t =+++++⎧⎨=+++++⎩（3） 线性变换（3）可看成是先作线性变换（2）再作线性变换（1）的结果。
我们把线性变换（3）叫做线性变换（1）与（2）的乘积，相应地把（3）所对应的矩阵定义为（1）与（2）所对应的矩阵的乘积，即111211121321222122233132b b a a a b b a a a bb ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭111112211331111212221332211122212331211222222332a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++⎛⎫=⎪++++⎝⎭一般地，我们有定义 设有矩阵()ij m s A a ⨯=和()ij s n B b ⨯=，则规定矩阵A 与B 的乘积是一个m n ⨯矩阵()ij m n C c ⨯=，其中11221sij i j i j is sj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑（1,2,i m = ；1,2,j n = ）并把该乘积记作C AB=注意 只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。
例1 求下列矩阵的乘积：（1）132102131250-⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎪-⎝⎭07158-⎛⎫= ⎪-⎝⎭（2）1112111211-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭000000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）12232131-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8175-⎛⎫= ⎪-⎝⎭（4）23123121-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4157-⎛⎫= ⎪⎝⎭通过例1的计算，我们可以看到，对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘法并不都成立，值得提出的是以下两点：①两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。
②矩阵的乘法一般不满足交换律，即一般地，AB BA ≠. 不过，矩阵的乘法仍然满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：（1）()()AB C A BC =（2）()A B C AB AC +=+， ()B C A BA CA +=+ （3）()()()AB A B A B λλλ== （其中λ为数） 对于单位矩阵E ，容易验证AE E A A ==有了矩阵的乘法，下面来定义n 阶方阵的幂：设A 是n 阶方阵，则1A A = ， 211A A A = ， … ， 11k k A A A +=其中k 为正整数，即k A 就是k 个A 连乘。
显然只有方阵的幂才有意义。
方阵的幂满足以下运算规律：klk lA A A+= ， ()k l k l A A =但是一般说来()kkkAB A B≠例2 求证cos sin sin cos nθθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭证 （采用数学归纳法）（1）当1n =时，等式显然成立。
（2）假设当n k =时等式成立，即cos sin sin cos kθθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭则当1n k =+时，1cos sin sin cos k θθθθ+-⎛⎫⎪⎝⎭cos sin sin cos kθθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭cos sin sin cos k k k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-+⎝⎭cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+⎛⎫=⎪++⎝⎭即当1n k =+时等式也成立。
综合（1）、（2）可知，等式对n N +∀∈都成立。
四、矩阵的转置定义 设有m n ⨯矩阵111212122212n nm m m n a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭将A 的行换成同序数的列所得到的n m ⨯矩阵112111222212m m Tnnm n a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭称为矩阵A 的转置矩阵。
矩阵的转置满足以下规律：（1）()T T A A = （2）()T T T A B A B +=+ （3）()T T A A λλ= （4）()T T T AB B A =例3 已知201132A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，17142321B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()T A B . 解()T A B T TB A =142217200313112⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭0171413310⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭设A 为n 阶方阵，若满足T A A =，即i j j i a a =（,1,2,i j n = ），则称A 为n 阶对称阵。
对称阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。
若方阵A 满足T A A =-，即,0,ij ji ij a a i j a i j=-≠⎧⎨==⎩则称A 为n 阶反对称阵。
例 4 已知A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，即T A A =，TB B =-，求证：（1）2B 是对称矩阵；（2）AB BA +是反对称矩阵。
证 （1）因为22()()()()T T T T B BB B B B B B ===--=，所以2B 是对称矩阵。
（2）因为()()()TTTTTTTAB BA AB BA B A A B+=+=+()()BA A B AB BA =-+-=-+所以AB BA +是反对称矩阵。
例5 设列矩阵12(,,,)T n X x x x = 满足1T X X =，且2TH E X X =-（E为n 阶单位矩阵），证明H 是对称矩阵，且TH H E =.证 (2)(2)T T T T T T H E X X E X X =-=-2TE X X H=-=，故H 是对称矩阵。
又22(2)TT H HHE X X ==-44()()TT TE X XX X X X =-+ 44()T T TE X X X XX X =-+44TTE X X X X=-+E=五、方阵的行列式定义 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作||A 或det A .注意 方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是2n 个数按一定方式排成的数表，而n 阶行列式则是由这些数（即数表A ）按一定的运算法则所确定的一个数。
由A 确定||A 的这个运算满足下列运算规律（设A 、B 均为n阶方阵，λ为数）：（1）||||T A A = （2）||A λ||n A λ= （3）||||||AB A B =⋅例 5 行列式||A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下的方阵1112121222*12n nn n nn A A A A A A A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭称为方阵A 的伴随矩阵。
试证：**AA A A ==||A E证 设()ij A a =，记*()ij AA b =，则1122ij i j i j in jn b a A a A a A =+++ ||ij A δ=故 *(||)ij AA A δ=||()ij A δ=||A E = 同样可证得 *||A A A E =六、共轭矩阵当()ij A a =为复矩阵时，用ij a 表示ij a 的共轭复数，记()ij A a =则称A 为A 的共轭矩阵。
共轭矩阵满足下列运算规律（设A、B为复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）：（1）A B A B+=+（2）A Aλλ=⋅（3）AB A B=⋅。