极端原理
初中数学竞赛 知识点和真题 第31讲 极端原理
第31讲极端原理我们要证明存在具有某种性质的对象，极端原理告诉我们去找使某函数最大或最小的对象。
——A·恩格尔知识方法扫描让我们先看一个有趣的放硬币游戏．两人相继轮流往一张圆桌上平放一枚同样大小的硬币，条件是后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。
谁放入了最后一枚硬币谁获胜。
问：先放的人有没有必定取胜的策略？这是一个古老而值得深思的难题．当有人向一位确有才能的数学家提出这个难题时，引出了如下一段意味深长的对话：数学家：这有什么难？如果圆桌小到只能容纳一枚硬币，那么先放的人当然能够取胜。
提问者：这还用你讲？简直废话！数学家：不！这是一个很重要的特殊情况，它的解决将导致一般问题的解决．提问者：怎么解决？数学家：我先将第一枚硬币放在桌子的中心，利用圆桌的对称性，我就可以获胜．不管是圆桌还是方桌，也不管是桌子有多大，只要有一个对称中心就行．数学家独具慧眼，能从一般性问题中一下子找到一个极易求解的极端情形，并能将极端情形下的解法推向一般，轻而易举地解决了上述难题，而且还作了推广．这位数学家大概是这样思考的：一般性的问题比较复杂，先将其极端化，注意到所放硬币总数1n≥，取其极端情形1n=即假设桌子小到只能放下一枚硬币，得出特殊问题的解，即先占中心者为胜．然后根据圆桌的对称性，先放者把硬币放在中心位置Ｏ，若后放者把硬币放在C处，则先放者把硬币放在中心位置Ｏ的对称点C'处，这样只要后放者能放下硬币，先放者总能根据对称性，放下硬币，最后获胜．这种思考问题的方法称为极端原理.从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值，如最大或最小的数、最大或最小距离、最大或最小边(角、面积)、得分最多或最少的队员等；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。
极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。
经典例题解析例1设有n(n≥2)名选手进行比赛，任两选手都进行一场比赛，每场比赛均决出胜负．求证：存在选手A，使得其他的任一选手，或是输给A，或是输给被A打败的某一名选手．证明要寻找的选手A，依直觉，应是“实力”最强的选手．因此，在这n名选手中，设取胜的场次最多的一名选手为A(考虑极端！)．下面证明他满足题目的要求．对其他的任一选手B ，若B 不是输给A ，即B 胜A.因B 战胜的对手不多于A 战胜的对手，故除A 、B 之外，A 战胜的对手必多于B 战胜的对手，从而，必存在选手C ，是A 战胜的，但不是B 战胜的，即B 输给被A 打败的选手C ．故结论成立．评 注 例1的解法关键是抓住了“取胜的场次最多的一名选手”，利用这一点，解决了我们“无从着手”的难处，使解题简捷明快．例2 把1600颗花生，分给100只猴子．证明：不管怎样分，至少有4只猴子得到的花生一样多．并设计一种分法，使得没有5只猴子得到的花生一样多.并设计一种分法，使得没有5只猴子得到一样多的花生.分析与解 要使没有4只猴子得到的花生一样多，我们考虑极端情况：最经济（即所用花生数目最少）的分法是3只得0颗，3只得1颗，…，3只得32颗，还有一只得33颗，这样分需花生数3×(0+1+2+…+32)+33=1617已经超过了花生总数1600颗．所以不管怎样分，至少有4只猴子分得的花生一样多．没有5只猴子一样多的分法是很多的，例如，对前述极端情况稍作调整可得到一种分法：4只得0颗，3只得1颗，3只得2颗，…，3只得31颗，2只得32颗，还有一只得48颗，共计3×(0+1+2+…+32)-32+48=1600(颗)，例3 平面上给定n 个点(n ≥3)，任三点不共线，求证：在这n 个点中存在三个点A 、B 、C ，使其余n-3个点都在△ABC 之外．分 析 此题有多种思考方法，其中最自然的想法是：面积越小的三角形，其内的点越少，而形外的点越多，所以要使其余n-3个点都在△ABC 之外，自然取面积最小的三角形．证 明 在n 个点中任取两点B 、C ，作线段BC ，则其余n-2个点都不在BC 所在的直线上，以BC 为底边，其余n-2个点为顶点可得n-2个三角形，取面积最小的，记为△ABC 即为所求，事实上，如果△ABC 内还有—点A ′，则S BC A '∆＜S ABC ∆，这与S ABC ∆最小矛盾．评 注 本题还可从以下几种极端状态着手：（1）取其余n-2个点到直线BC 的距离最小的一点A ，则△ABC 即为所求；(2)其余n-2个到BC 的视角最大的点设为A ，则△ABC 为所求；(3)以B 为顶点，旋转BC ，首先交到的点(或说旋转角最小的点)设为A ，则△ABC 为所求．以上四种思考方法，从不同角度取定一个几何量，在系统自身状态不断变化时考虑极端情况(最大或最小)，使问题迎刃而解．例4 平面上有n 个点，其中任三点都可组成三角形，且其面积均不超过1，证明存在一个面积不超过4的三角形，它能覆盖住所有n 个点．分 析 由于面积越大的三角形，覆盖的点越多，所以我们自然地会想到：从取面积最大的三角形入手．证 明 平面上由n 个点组成的三角形的数目是有限的，其中必有一个面积最大的三角形，设为△ABC ，过各顶点分别作对边的平行线，可得一个新△A ′B ′C ′.如图，S C B A '''∆=4S ABC ∆，∵S ABC ∆≤1，∴S C B A '''∆≤4.平面上所有的n 个点全被△A ′B ′C ′覆盖住，否则设△A ′B ′C ′外有一点P ，则有S PBC ∆＞S ABC ∆，这与S ABC ∆最大矛盾．评 注 由以上三例的分析、证明，我们不难发现利用极端性原理的步骤：选取适当的量——考虑极端状态——反证法证明．例5 平面上给定n 个点，其中没有三点共线.证明:存在通过其中三个点的圆，它的内部(圆上除外)不包含任何一个已知点.证明 给定的n 个点总存在具有最小距离的两个点，不妨设为A 、B .以线段AB 为直径画O ，则其余的2n -个点与A 、B 的距离均不小于AB ，它们都位于O的外面，将这2n -个点分别与点A 、B 连结，所得视角依大小顺序排成一列，有122180.n AP B AP B AP B -∠≤∠≤≤∠<现过A 、B 、2n P -三点作圆(如图所示)，显然该圆内部不包含任何一个已知点，即为所求．例6 在凸五边形ABCDE 的边和对角线中，没有互相平行的线段．延长边AB 和对角线CE ，使之相交于某个点，然后在边AB 上标上一个箭头，使之指向交点的方向．依此办法把五条边都标上箭头．求证：必有两个箭头指向五边形的同一个顶点．证 明 考查由凸五边形的每三个相邻顶点所成的五个三角形，其中必有面积最小者．设△ABC 的面积最小．下面证明：BC 边上箭头必指向B 点．由于DA 不平行于BC(如图)，再由S ABC ∆的最小性知S ABC ∆＜S DBC ∆.设M 、N 分别是由A 及D 向BC 所引垂线的垂足，于是DN＞AM ．所以，直线AD 与直线BC 交点在CB 的延长线上，且位于B 的一方．从而，依箭头的标法，BC 边上的箭头指向B ．同理，AB 边上的箭头指向B ．结论得证．例7 晚会上(2)n n ≥对男女青年双双起舞，设任何一个男青年都未与全部女青年跳过舞，而每个女青年至少与一个男青年跳过.求证:必有两男12,b b 及两女12,g g ，使得1b 与1g ，2b 与2g 跳过舞而1b 与2g ，2b 与1g 均未跳过.证法1 记与之跳过舞的女青年数最多的男青年之一为1b ，因1b 未与全部女青年跳过，故可找到女青年2g 未与1b 跳过.因2g 至少与一个男青年跳过舞，故存在2b (1b ≠)与2g 跳过.如果凡事与1b 跳过舞的女青年都与2b 跳过，则与2b 跳过舞的P 2 P 1 P KA B P n -2= C。
极端原理
第十二讲 极端原理一、极端原理：直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有某种极端性质加以研究、解决问题的方法.二、几个极端性原理1．最小数原理、最大数原理最小数原理I ：在有限个实数组成的集合中，必存在最小的数.最小数原理II ：设N 是自然数全体组成的集合，若M 是N 的非空子集，则M 中必有最小的数.例1 已知12,,,n a a a 与12,,,n b b b 是2n 个正数，且222121n a a a +++=，222121n b b b +++=，求证：1212,,,nn a a a b b b 中存在一个值一定不大于1.（广东数学竞赛，1979）最大数原理I ：在有限个实数组成的集合中，必存在最大的数.最大数原理II ：在由负整数组成的集合（有限或无限）中，必存在着最大的负整数.2．最短长度原理最短长度原理I ：任意给定相异两点，所有连接这两点的线中，以直线段的长度为最短.最短长度原理II ：在连接一已知点与一已知直线或已知平面上的点的所有中，以垂线段的长度为最短.例2 求证：单位长的任何曲线能被面积为1的闭矩形覆盖.4（美国普特南试题）3．规化论的一个基本原则当点(,)x y在平面上一个区域D（包括边界）上变动时，一次函数p ax by=+在D上的最大值和最小值总是在D的边界上达到；当区域D是一个多边形时，就一定在顶点上达到；=+平行，则在这条边上的值如果D有一条边与直线p ax by都相等，且是最大值或最小值.例3 设R为平面上以A(4,1)，B(-1,-6)，C(-3,2)三点为顶x y在点的三角形区域（包括三角形内部和周界），试求当(,)R上变动时函数43-的极大值和极小值，并证明之.（全国x y高中数学联赛）三、极端原理在数学解题中的作用1．为解决一般问题提供有价值的结论矛盾的普遍性存在于特殊性之中，在极端情形下所获得的结论中，蕴涵着问题的一般结论.因此，可利用在极端情形下的结论来推测一般问题的结论.例4 在四边形ABCD中，(1)如果对角线AC=BD=a（定值），证明内接于这个四边形且各边分别平行于两对角线的四边形周长为定值.（2）如果AC=m，BD=n（m,n为定值且m n≠）,上述结论还成立吗？（福州市竞赛题）2．为解决一般问题提供解题模式解决极端情形时所使用的方法和解题过程也可为解决一般问题提供有效的解题模式例5 平面上有n （n 是确定的自然数且4n ≥）个点，任意三点都能组成一个三角形，证明：一定可以找到三点，使这三点为顶点组成的三角形内没有其他的点.3．为证明“存在性”命题奠基证明具有某种性质的对象存在或不存在时，这些对象常与某种极端状态相关，从极端状态出发常可以找出或构造出所需的对象来.例6 在一次有n(3n ≥)名选手参加的乒乓球循环赛中，没有一名选手保持不败，并且也无平局出现，证明在这些选手中，一定可以找出A ，B ，C 三名选手，他们之间将出现“三怕”情况（A 胜B ，B 胜C ，C 胜A ）.4．为所研究的对象确定范围极端状态是事物发展过程的临界点，它是所研究的事物与其他事物区别的分界点，利用它可以确定所研究对象的范围.例7 在锐角ABC ∆中，1,,60AC AB c A ==∠=，ABC ∆的外接圆半径1R ≤，则11() 2 (B)0<c (C) c>2 (D)c=2 22A c <<≤ 答（ ）（全国竞赛试题）5．为应用化归方法提供推理依据化归方法是解数学问题的重要方法，其实质是化未知为已知.极端状态下所得到的结论可作为已知事项，来推导一般问题的结论.例8在同一平面上有点A 和P.一个人从点P 开始向点A 直线前进，到达A 点后，向左拐90，继续直线前进，取同样长的距离到达一点1P ，这样，就说这个人完成了一次关于A 的左转弯运动.平面上正方形ABCD （顶点按逆时针顺序排列），另一点P 距离D 有10公里.一个人从点P 出发先关于点A 做左转弯运动达一1P ，接着从1P 出发关于点B 做左转弯运动到达2P ，然后依次关于C 、D 、A 、B …连续做左转弯运动，做过11111次左转弯后达到点Q.求点Q 与P 的距离.四、应用极端原理的注意点1．要认真分析各种具体问题的极端状态的具体表现形式.例如，数理关系中的最值、变动图形的极端位置（端点、中点、极限点等）、对象运动的初始状态、终止状态或某特定状态.2．由极端状态下所得到的结论仅为解决一般问题创造条件，不能用它去化替一般问题的解答，并且还须知在极端状态下所获得的结论中，有的具有普遍性，有的不具有普遍性，只有具有普遍性的结论对解决一般问题才有指导意义.3．极端原理仅是分析问题解决问题的一种思维方法，它必须与其他方法配合使用，才能以挥作用.。
极端原理在函数最值问题中的应用
极端原理在函数最值问题中的应用【摘要】极端原理在函数最值问题中的应用是数学中重要且常见的方法。
在极大值问题中，通过求导数找到函数的临界点并比较极值，可以确定函数的最大值；在极小值问题中，同样的方法可以确定函数的最小值。
在复合函数最值问题中，可以通过链式法则将复合函数拆分为简单函数求解。
在多元函数最值问题中，需要找到所有偏导数为0的点，并比较极值。
在无穷函数极值问题中，需要利用函数的性质分析其极限情况。
极端原理在函数最值问题中提供了一种简单而有效的方法，但也存在一定的局限性，需要结合其他方法进行综合分析。
【关键词】关键词：极端原理、函数最值问题、极大值、极小值、复合函数、多元函数、无穷函数、应用、总结、局限性1. 引言1.1 极端原理在函数最值问题中的应用极端原理在函数最值问题中的应用是一种常见且有效的数学方法，通过分析函数的极大值和极小值来确定函数的最值。
在数学问题中，确定函数的最值是一项重要的任务，因为最值通常代表了函数的最优解或极限情况。
极端原理提供了一种简单而直观的方式来解决这类问题，通过研究函数的极值点，可以更好地理解函数的性质和行为。
在实际问题中，极端原理的应用范围非常广泛，包括极大值问题、极小值问题、复合函数最值问题、多元函数最值问题以及无穷函数极值问题等。
通过对这些不同类型的问题进行分析和求解，我们可以深入理解极端原理在函数最值问题中的应用，并在实际问题中灵活运用这一方法来解决复杂的数学难题。
极端原理在函数最值问题中的应用是一种重要且有力的工具，帮助我们解决各种函数最值问题，提高数学问题的解题效率和准确性。
通过深入学习和理解极端原理的原理和方法，我们可以更好地应用这一思维模式，分析和解决各种数学问题，提高数学建模和问题求解的能力。
2. 正文2.1 极端原理在极大值问题中的应用在数学中，极端原理是一个非常重要且常用的方法，它在函数最值问题中有着广泛的应用。
极端原理在极大值问题中的应用尤为重要。
极端原理的应用
极端原理的应用什么是极端原理极端原理是一种科学研究方法，其基本思想是通过将事物推向极端状况来发现事物的本质规律和特性。
极端原理被广泛应用于各个科学领域，如物理学、化学、生物学等。
它的核心理念是通过对事物的边界条件和极端情况进行研究，揭示事物内部的规律和机制。
极端原理的应用领域极端原理的应用范围广泛，以下是一些典型的应用领域：1.物理学：在物理学中，极端原理被广泛应用于对物质的特性和行为进行研究。
例如，在研究材料的性质时，可以通过将材料推向极高温度或极低温度来观察其行为变化。
同时，在研究电子器件时，可以通过将电压推向极限值来研究电子器件的特性和稳定性。
2.生物学：在生物学中，极端原理被应用于对生物体的适应性和生存能力进行研究。
例如，研究极端环境下的生物体，如极地动物或深海生物，可以揭示生物体适应极端环境的机制和策略。
3.地质学：在地质学中，极端原理常用于研究地球表面的形态和地质过程。
例如，通过研究极端气候条件下的河流侵蚀和风化作用，可以揭示河流和风的作用对地质地貌的塑造。
4.工程学：在工程学中，极端原理可以应用于设计和测试工程结构的极限承载能力和安全保障。
例如，研究极端荷载条件下的建筑物抗震性能，可以提高建筑物的安全性和抗灾能力。
极端原理的优势和挑战极端原理的应用具有以下优势和挑战：优势•解释机制：通过推动事物到极端状况，可以揭示事物内部的机制和规律，从而更好地理解事物的本质。
•创新应用：极端原理可以激发创新思维，推动科学研究和工程应用的突破。
•风险评估：通过研究事物的极限情况，可以评估事物的可靠性和抗风险能力，为决策提供依据。
挑战•实验难度：研究极端条件下的事物通常需要进行特殊的实验设计和条件控制，增加了实验的复杂性和难度。
•数据获取：由于极端条件下的数据获取难度大，因此需要采用先进的设备和技术手段来解决数据获取问题。
•伦理和安全问题：某些研究极端原理的实验可能涉及到安全和伦理问题，需要严格的规范和审查。
例析-极端原理-在中考数学中的应用
例析”极端原理”在中考数学中的应用极端原理是一种从特殊对象看问题的方法，它以对象数量上的极端情况（如最大值、最小值、最长、最短等），图形的极限、边缘位置，问题的特殊之处为出发点，寻求解题的突破口和答案. 极端原理作为一种解题的思想，在几何，组合，图论，数论等方面都有着广泛的应用. 利用这个简单而通俗的原理，可以解决不少与存在性有关的数学问题和极值问题。
在近几年的河南中考数学试题中我们也常会碰到一些求极值的情况，大致分为三类：
（1）常利用”小羊喝水原理”解决两条线段之和最短的问题.
解决的策略是利用轴对称、构造全等三角形将两条线段的求和问题改造成一条线段，再根据”两点之前线段最短”来说明最短.
（2）利用函数的增减性结合自变量的取值范围去确定函数值或自变量值的最大值或最小值.
（3）利用图形的极端点或极端位置来取得极端值.
下面我以几个中考题为例对如何利用图形的极端点或极端位置来解决极端值问题：
例 1. （2009 河南第14 题）
动手操作：在矩形纸片abed中，ab=3, ad=5.如图1所示，折叠纸片，使点a落在be边上的a'处，折痕为pq,当点a'在be边上移动时，折痕的端点p、q 也随之移动. 若限定点p、q 分别在ab、ad边上移动，则点a'在be边上可移动的最大距离为_________________________ 。
数学极端原理
数学极端原理数学中的极端原理（E某treme Value Theorem）是一个重要的基础定理，它在分析学和拓扑学中有着广泛的应用。
它提供了函数连续性的一种有力的刻画，告诉我们在某些条件下函数必然取得最大和最小值。
极端原理的一个经典说法是：对于一个在闭区间上连续的实值函数，它必然在该区间内取到最大值和最小值。
这个原理告诉我们，在一定的条件下，一个函数无论有多复杂，总是存在一个最大和最小值。
这个原理的证明首先利用了连续函数的界性质。
如果一个函数在闭区间上连续，那么它是有界的，即存在一个上界和一个下界。
接着，我们构造了一个定义在闭区间上的新函数，这个新函数的取值范围限制在前述的上界和下界之间，并且与原函数在区间上的取值是一致的。
通过对这个新函数应用闭区间套定理（Bolzano-Weierstrass Theorem），我们可以得到它的一个收敛子序列，它的极限就是我们所求的最大值或最小值。
极端原理有许多重要的推论。
例如，Bolzano定理，也称为零点定理，它的说法是：如果一个连续函数在一个闭区间的两个端点上取不同的正负值，那么在这个区间内必有一个零点。
这个定理的证明利用了二分法和极端原理的思想，通过将区间二分成两个子区间来进行递归求解，最终得到的子区间的长度足够小，其中一部分上函数取正值，另一部分上函数取负值，从而根据极端原理，我们可以得到在这个子区间上存在一个零点。
极端原理还有一种更加广泛的形式，称为弱极值原理或全局极值原理。
它的说法是：如果一个连续函数在一个开区间上取到了极大值或极小值，那么它在整个定义域上都取到了极大或极小值。
这个原理告诉我们，在一定的条件下，寻找一个连续函数的极值点只需要在定义域的边界进行寻找即可，从而大大简化了问题的复杂程度。
极端原理不仅仅在实数域上成立，在更一般的情况下也成立。
例如，它可以推广到欧几里得空间中的连续函数，并且可以进一步推广到更一般的度量空间上。
此外，极端原理还在微积分中有着重要的应用。
极端原理
直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法称为极端性原则。
数字必须绝对准确为其特征的数学，也常常要在极端的条件下使用数字，当然那不是一种“容许”的夸张，而是要在如果“不容许”的情况下，看它会发生什么后果，以帮助我们发现问题的本质。
数学家在解决数学问题时，经常要先从下面一些角度考虑问题：诸如“假如一个都没有”、“假如每一个都有”、“假如每一个至少有”、“假如每一个最多有”、“如果只有唯一的一个”、“如果是最特殊(如最大、最小、最长、最短、最多、最少、最左、最右等等)的一个”等极端情况，在这种极端的状态下，往往能使问题的关键暴露出来，帮助我们找到解题的途径。
这种思想，在数学中称为极端原理。
西尔维斯特–加莱定理（Sylvester–Gallai theorem）说明若在平面上有有限数目的点，点的数目多于2，它们不是全部共线，就是有一条线上刚好有两点。
也就是说，如果过任意两点的直线都必过第三点，则所有的点共线。
这个定理在无限点的情况并不成立，可以考虑格点。
以下使用无穷递降法：1. 在平面上有有限多点，若它们都共线，那我们就找到想要的东西；若非，定义一条“连线”为一条连起来至少有两点的线。
设I为一条连线，因为不是所有点都共线，至少有一点P不属于I。
2. 若I不是有刚好两点，I便至少有三点，称为A,B,C。
不失一般性，设B在A和C之间，因为，所以两只角不可能同时是钝角。
不失一般性设不是钝角，而是锐角或直角。
3. 设连结C和P的线为m，m是不包括B的连线，而且B和m的距离比P和I的距离小。
4. 以B和m取代第二步的P和I。
这个动作不可能无穷次重复，因为若能无穷次重复，连线和某一不在连线上的点距离便会得出一个无穷递降的序列，但只有有限个点和有限条连线，这是不可能的。
因此，至少有一条线刚好有两点。
这个定理说明了在所有点至少有一条线有刚好两点。
在什么情况下，只有一条线有刚好两点呢？没有的这样的例子。
例析-极端原理-在中考数学中的应用
例析”极端原理”在中考数学中的应用极端原理是一种从特殊对象看问题的方法，它以对象数量上的极端情况（如最大值、最小值、最长、最短等），图形的极限、边缘位置，问题的特殊之处为出发点，寻求解题的突破口和答案.极端原理作为一种解题的思想，在几何，组合，图论，数论等方面都有着广泛的应用.利用这个简单而通俗的原理，可以解决不少与存在性有关的数学问题和极值问题。
在近几年的河南中考数学试题中我们也常会碰到一些求极值的情况，大致分为三类：（1）常利用”小羊喝水原理”解决两条线段之和最短的问题.解决的策略是利用轴对称、构造全等三角形将两条线段的求和问题改造成一条线段，再根据”两点之前线段最短”来说明最短. （2）利用函数的增减性结合自变量的取值范围去确定函数值或自变量值的最大值或最小值.（3）利用图形的极端点或极端位置来取得极端值.下面我以几个中考题为例对如何利用图形的极端点或极端位置来解决极端值问题：例1.（2009 河南第14题）动手操作：在矩形纸片abcd中，ab=3，ad=5.如图1所示，折叠纸片，使点a落在bc边上的a’处，折痕为pq，当点a’在bc边上移动时，折痕的端点p、q也随之移动.若限定点p、q分别在ab、ad边上移动，则点a’在bc边上可移动的最大距离为__________。
分析：说到最值，同学们很容易想到运用函数的有关知识，先找到函数关系式，再利用函数的增减性结合自变量的取值范围去确定函数值的最大值或最小值.我们知道要利用函数必先找到两个变量之间的关系，因为点p、q都为动点，所以要找出ba’与哪个量之间具有明显的函数关系确实困难.于是，我们从另一侧面来进行分析说明.（1）若要得到ba’的最大值，我们可让点a’离点b尽可能远.如图2所示：我们沿∠abc的角平分线折叠，使点a落在bc边上的点a’处.由于点p在ab上移动，当点p与点b重合时点a’离点b 最远，此时ba’=ba=3，即点a’离点b的最远距离为3.（2）接下来探索点a’何时离点b最近.从图2开始，当点a’在bc上向点b靠近的过程中点p和点q位置的变化情况，不难看出，点p会从点b向点a运动，点q会从图②中的位置向点c运动.因为点q只能在ac上运动，所以当点q到点c时达到极限位置，如图3所示，此时点a’离点b最近.由折叠可知da’=da=5，在由勾股定理得，所以 .即点a’离点b的最近距离为1.综合上面两种情况可知，点a’在bc边上移动的最大距离为2.点评：我们通过图形在运动变化过程中的两种极端位置，分别找出点a’离点b的最远位置和最近位置，为解题找到出路，从而化难为易.例2.（2010 河南第15题）如图4，rt△abc中，∠c=90°，∠abc=30°，ab=6.点d在ab边上，点e是bc边上一点（不与点b、c重合），且da=de，则ad的取值范围是________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中 等 数 学
极 端 原 理
朱 华 伟
（ 广州大学计算机科学与教育软件学院 ，１０６） ５０ ０
中 图分 类 号 ： １ １２ ０ ４ ． 文献 标 识码 ：Ａ 文章 编 号 ： ０ ５－６ １ （ ０ １ ０ ０ ２— １０ ４６ ２ １ ）４－ ０ ０ ４
（ 本讲 适合初 中 ）
场次 最多 的一名 选 手 ” 利 用 这 一 点 ， 决 了 ， 解
解题者 “ 从着 手 ” 无 的难 处 ， 证 明过 程简 洁 使 明快． 例２ 把 １０ ０颗花 生分 给 １０只猴 子． ６ ０
或最 小的数 ， 最大或最 小 的距 离 ， 大或最 小 最
的边 （ 、 积 ） 得 分 最 多 或 最 少 的 队 员 角 面 ， 等 ） 对 于 一 个 动 点 来 说 ， 的 是 线 段 的端 ； 指 点， 三角形 的顶 点等等． 其实 ， 端化 的假设 就 是 为 题 目增 加 了 极
例 １ 设 有 １ ｒ ） 选 手进 行 比赛 ， ７ｔ ，， （ ≥２ 名 任两 名选手 都进 行 一 场 比赛 ， 每场 比赛 均 决 出胜 负． 证 ： 在 选 手 Ａ， 得 其 他 的任 一 求 存 使
名选 手 ， 或是输 给 Ａ， 或是 输 给被 Ａ打败 的某
一
首先 ， 一个有趣 的放硬 币游戏． 看 两人轮流往 一张 圆桌上平放 一枚 同样大 小 的硬 币 ， 件是 后放 的硬 币不 能 压 在先 放 条 的硬 币上 ， 到桌 子 上再 也 放不 下 一枚 硬币 直 为止． 规定 ： 放入 最后一枚 硬币者 获胜． ： 问 先
＼ ｌ、／ ＼ 一 、 ／ ＼ 、
Ａ、 Ｃ， 其余 ｎ一３个点 都在 △ Ａ Ｃ之外 ． 日、 使 Ｂ
【 分析 】 此题有多种思考方法 ， 而最 自然
的想法 是 ： 面积越 小 的三角形 ， 其形 内的点 越
少， 而形外的点越多， 以， 所 要使其余 ｎ ３ 一 个
点都 在 △ Ａ Ｃ 之 外 ， Ｂ 自然 取 面 积 最 小 的 三
较 复杂 ， 先将 其极端 化．
注意到所放硬币总数 ｒ ， ／ 取其极端情 ． ≥１
形 ｎ＝１ 即假 设 桌 子 小 到 只 能 放 下 一 枚 硬 ，
下 面证 明 ： 选手 Ａ满足题 目的要求． 对其 他 的任 一名选 手 ， 若 不输 给 Ａ，
即 Ｂ胜 ．
币 ， 出特殊 问 题 的解 ， 先 占中心 者 为 胜． 得 即
一
证明： 不管 怎样分 ， 至少有 ４只猴 子得到 的花
生 一样多 ， 设计 一种 分法 ， 并 使得 没有 ５只猴 子得 到 的花 生一样 多．
个 条件 ， 求解变 得容易 得多． 使
收稿 Ｅ期 ：００— ９—１ ｔ ２１ ０ ７
证明
要 使没 有 ４只猴 子得 到 的花 生一
样多 ， 以考 虑极 端情 形． 可
有一 只得 ４ ８颗 ， 共计 ３ ０＋ ＋ ＋ ２ 一 ２＋ ８＝ ０ （ ） ×（ １ … ３） ３ ４ １ ０ 颗 ． ６
例 ３ 平 面 上 给定 ｎ ｎ≥３ 个 点 ， 三 （ ） 任
点不 共线． 证 ： 这 １个 点 中存 在 三 个 点 求 在 ７ ，
Ａ Ａ
行 线 ， 得 到 一 个 可 新 的△ Ａ Ｂ ｃ ， 有
２ １ 年 第 ４期 ０１
３
最 经济 （ 即所 用 花 生 数 目最 少 ） 的分 法
是 ３只得 ０颗 ， ３只得 １颗 ， ， 得 ３ … ３只 ２颗 ，
还有 一 只得 ３ ３颗 ， 样分 Байду номын сангаас花 生数 为 这
３Ｘ（ ０＋１＋… ＋ ２ ３ ３ ）＋ ３＝１ １ （ ） ７颗 ． ６
放 的人有 没有必 胜策略 ？ 这道题 可 以这 样思 考 ： 般 性 的 问题 比 一
名 选手．
证明
要 寻找 的选手 ， 直觉 应是 “ 依 实
力 ” 强 的选 手． 最 因此 ， 这 ｒ名 选 手 中， 在 ／ ， 设
取胜 的 场 次 最 多 的 一 名 选 手 为 Ａ（ 虑 极 考 端） ．
可见 ， 这样 的 分法 已经 超 过 了花 生 总 数
１６０颗 ． ０
所 以， 不管 怎样分 ， 至少 有 ４只猴 子分 得 的花生 一样 多． 没 有 ５只猴子 得 到的花 生一 样多 的分 法
是很 多 的． 如 ， 前述 极端情 形 稍作 调整 即 例 对 可得 到 一种 分法 ： ４只 得 ０颗 ， ３只 得 １颗 ， ３ 只得 ２颗 ， ， … ３只 得 ３ １颗 ， ２只得 ３ ２颗 ， 还
然后根 据 圆桌 的对称 性 ， 放 者把 硬 币 放在 先 中心位 置 ０， 后放者把 硬 币放在 Ｃ处 ， 若 则先 放者把 硬币放 在 与 中心位 置 ０的 对称 点 Ｃ 处， 这样 只要后放 者能放 下硬 币 ， 先放者 总能 根据对称 性 ， 下硬币 ， 终获 胜． 放 最
因为 战胜 的对 手 不 多 于 Ａ战 胜 的 对 手 ， 以 ， Ａ、 所 除 曰之外 ， 胜 的对 手必 多 于 Ａ战 Ｂ战胜的对 手． 而 ， 存 在 选 手 Ｃ， Ａ战 从 必 是
角形 ．
证明
在 个点 中任 取 两 点 Ｂ、 作 线 Ｃ，
段Ｂ． Ｃ 则其 余 ｎ一２个 点 都 不 在 Ｂ Ｃ所 在 的 直 线 上． Ｂ 以 Ｃ为底 边 ， 余 ｎ一２个 点 为 顶 其 点 可 得 １一２个 三 角 形 ． 面 积 最 小 的 记 为 １ ， 取
△ Ａ Ｃ， Ｂ 即为所求 ．
胜的， 但不是 战 胜 的 ， 即 输 给被 Ａ打 败
的选 手 Ｃ 故 结论成 立． ．
这种 思考 问题 的方法 称为极 端原理 ．
从 问题 的极 端 情形 考 虑 ， 于 数 值 问题 对
来说 ， 就是 指 取 它 的最 大 或 最 小 值 （ 最 大 如
【 评注】 该题解法的关键是抓住 了“ 取胜