专题二十七 极端性原理
第一讲_极端原理
第3讲极端原理纵观整个数学历史的发展过程，人们在生产生活和社会实践中，不断地提出自己的猜想，然后努力对提出的猜想加以印证，在一个一个的数学问题不断被解决的过程中，一种种新的思维方式不断的诞生了，从而在一方面推动了社会的进步，另一方面也促进了人们思维品质的提高。
我们在解决数学竞赛问题的时候，往往也需要从多侧面，多角度进行思考。
1893年，数学家塞尔维斯特提出猜想：有限点集N中含n个元素,其中n≥3，所含点不都在同一直线上，则必有一条直线只过点集中的两个点。
为了这一猜想的圆满证明，人们经历了一个漫长的过程，直到1933年，数学家伽莱才给出了对这一问题较为完整的一个证明。
但还是显得很麻烦。
又50年过去了，人们终于找到了一种简单明确的证明方法，使这一问题得到了圆满的解决，这就是极端原理。
例一：有限点集N中含n个元素,其中n≥3，所含点不都在同一直线上，试证有一条直线只过点集中的两个点。
证明：任取一条直线过点集中不只一点，则点集中还有有限个不在该直线上的点，在这有限个点中，总有一点到该直线的距离小于或等于其他各点到该直线的距离，我们取这一点和这条直线作一个点线对的组合，可知这样的组合有有限个，找到其中点线距最小的一组，在这一组中的直线必定只过两点。
若上述直线过三点P1、P2、P3，点P为到该直Array线距离最近的点，将点P与P1、P2、P3中距离最远的点相连则剩下的两点中必有一点到所连直线的距离小于点P到该直线的距离，3 2 1如图所示：例二：有十六个城市参加的足球邀请赛，每一市都派出甲、乙两队参赛，规则规定，同一城市的两队之间不进行比赛，不同城市的两队之间最多比赛一场，比赛若干天后，经统计发现，除A 市的甲队外，其他各队已比赛过的场次各不相同，问A 市的乙队已赛过多少场？ 分析：①共32只球队，某队最多可赛30场②统计了31只球队，31只球队比赛的场次分别为0、1、2、3、……、30③运用极端原理的思想对31只已统计的球队进行配对解：将已赛过K 场的球队记为：L （K ），则L （30）已赛过自己该赛的每一场，即与它不同城市的30个队均赛过至少一场；则L （30）与L （0）来自同一城市，同理，L （29）与L （1）来自同一城市，……,L(16)与L(14)来自同一城市,因此L(15)必为A 市乙队,于是可知, A 市乙队已赛15场.例三：试证：任意四面体中，一定可以找到一个顶点，使从这个顶点出发的三条棱可以组成一个三角形的三条边。
极端原理在函数最值问题中的应用
极端原理在函数最值问题中的应用【摘要】极端原理在函数最值问题中的应用是数学中重要且常见的方法。
在极大值问题中，通过求导数找到函数的临界点并比较极值，可以确定函数的最大值；在极小值问题中，同样的方法可以确定函数的最小值。
在复合函数最值问题中，可以通过链式法则将复合函数拆分为简单函数求解。
在多元函数最值问题中，需要找到所有偏导数为0的点，并比较极值。
在无穷函数极值问题中，需要利用函数的性质分析其极限情况。
极端原理在函数最值问题中提供了一种简单而有效的方法，但也存在一定的局限性，需要结合其他方法进行综合分析。
【关键词】关键词：极端原理、函数最值问题、极大值、极小值、复合函数、多元函数、无穷函数、应用、总结、局限性1. 引言1.1 极端原理在函数最值问题中的应用极端原理在函数最值问题中的应用是一种常见且有效的数学方法，通过分析函数的极大值和极小值来确定函数的最值。
在数学问题中，确定函数的最值是一项重要的任务，因为最值通常代表了函数的最优解或极限情况。
极端原理提供了一种简单而直观的方式来解决这类问题，通过研究函数的极值点，可以更好地理解函数的性质和行为。
在实际问题中，极端原理的应用范围非常广泛，包括极大值问题、极小值问题、复合函数最值问题、多元函数最值问题以及无穷函数极值问题等。
通过对这些不同类型的问题进行分析和求解，我们可以深入理解极端原理在函数最值问题中的应用，并在实际问题中灵活运用这一方法来解决复杂的数学难题。
极端原理在函数最值问题中的应用是一种重要且有力的工具，帮助我们解决各种函数最值问题，提高数学问题的解题效率和准确性。
通过深入学习和理解极端原理的原理和方法，我们可以更好地应用这一思维模式，分析和解决各种数学问题，提高数学建模和问题求解的能力。
2. 正文2.1 极端原理在极大值问题中的应用在数学中，极端原理是一个非常重要且常用的方法，它在函数最值问题中有着广泛的应用。
极端原理在极大值问题中的应用尤为重要。
极端原理
极端原理与无穷递降法例1、极端原理与无穷递降法1、已知123,,S S S 为非空整数集合，且对于1,2,3的任意一个排列,,i j k ，若,i j x S y S ∈∈则k x y S -∈（1）证明：123,,S S S 中至少有两个集合相等；（2）这三个集合是否可能有两个集合无公共元素2、设n 元集合X 的某些三元子集组成集合S ，且S 中每两个元素（子集）之间至多有1个公共元素，证明：存在集合A X ⊂，使得()card A ≥，且S 中的任何元素都不是A 的子集3、厦门一中2007级数学兴趣小组的20名同学举行14场乒乓球单打比赛，每人至少上场一次，求证：必有6场比赛，其12个参赛者各不相同4、已知12,,,n x x x 是实数，12,,,n a a a 和12,,,n b b b 均为正整数，令112211221212,n nn nnna x a x a xb x b x b x a b a a a b b b ++++++==++++++求证：在12,,,n x x x 中必存在两个数,i j x x ，使i i j a b a x x x -≤-≤-成立 5、求方程()4444424x y z u +=+的整数解6、在平面上有n 个不全共线的点，试证：一定存在一条直线恰好经过这n 个点中的两个点7、某个星系的每一个星球上都有一位天文学家在观测最近的星球，若每两个星球间是距离都不相等，证明：当星球个数我奇数时一定有一个星球任何人都看不到8、若干个儿童围成一圈，他们手中都拿有一些糖块，规定进行如下传递，每次的传递方法是：如果某人手中的糖块数是奇数，则他可再领取一块，然后每人都把手中的糖块的一半传给右边的小朋友，求证：一定可以经过若干次传递，使得所有儿童手中的糖块数都相同9、在n 名选手参加的循环赛中，每两人比赛一场（无平局），试证下列两种情况恰有一种发生： （1）可将所有选手分成两个非空集合A 和B ，使得A 中的任何一名选手都能战胜B 中的所有选手 （2）可将n 名选手从1到n 编号，使得第i 名选手战胜第1i +名选手，将1n +理解为110、平面上已给出997个点，将连接每两点的线段的中点染成红色，证明至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点集？11、在n n ⨯的方格中写上非负整数，如果在某一行和某一列的交汇处的数是0，那么该行和该列上所填各数之和不小于n ，证明：表中所有数的和不小于212n12、设2,k k N ≥∈，试证不能在k k ⨯的方格中填入数21,2,,k ，使每行和每列数之和都是2的幂13、设S 是一个非空点集，它的所有点都是整点，此外还给定一组有无限多个有整数坐标的非零向量组，已知当将向量组中的所有向量的起点都放在S 中的任一点时，它们的终点属于S 的比不属于S 的多，证明：S 必为无穷点集14、设2,n n N ≥∈，全部正因数121,k d d d n =<<<= 记12231k k D d d d d d d -=+++ （1）证明：2D n <；（2）确定所有的n 使得D 能整除2n15、设01,1,2,,,2i x i n n ≤≤=≥ ，求证：存在()11i i n ≤≤-满足()()111114i i n x x x x +-≥-16、已知集合M 的元素都是整数，既有正整数又有负整数，且当,a b M ∈时2a 和a b +也属于M ，求证：当,a b M ∈时a b -也属于M17、证明：方程()22223x y z u +=+不存在正整数解(),,,x y z u18、已知三所学校中的每所都有n 名学生，且任何一名学生都认识其他两所学校的学生总数都是1n +，求证：可以从每所学校各选一名学生，使得这三名学生彼此都认识 19、求所有的非空有限的正整数集S ，使得对任意,i j S ∈有数(),i jS i j +∈20、在平面上任给2n 个点，其中任意三点不共线，并把其中n 个点染成红色，n 个点染成蓝色，求证：可以一红一蓝的把它们连成n 条线段，使这些线段互不相交21、平面上有n 个点，其中任意三点不共线，且任意三点构成的三角形的面积都小于1，证明：存在一个面积小于4的三角形包含这n 个点22、20个足球队参加全国赛，问最少应进行多少场比赛才能使得任何3个队中总有两个队彼此比赛过 23、设有n 个人12,,,n A A A ，其中有些人互相认识。
极端原理
极端原理极端原理直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法称为极端性原则。
一、极端性原理：1．最小数原理、最大数原理命题一有限个实数中，必有一个最小数(也必有一个最大数)．命题二任意有限个两两不同的实数可以从小到大排列顺序．上述两个命题对无穷多个实数可能不成立，例如对于集合{2－n|n∈N}，其中就没有最小的数．对于自然数集，有最小数原理若M是自然数集N的任一非空子集(有限或无限均可)，则M中必有最小的数．2．最短长度原理最短长度原理1：任意给定两点，所有连接这两点的线中，以直线段的长度为最短；最短长度原理2：在连接一已知点和已知直线或已知平面的点的所有线中，以垂线段的长度为最短。
二、典型例题（一）考虑问题的极端情形：引例：平面上有n个(n≥3)点，任三点不共线，证明：存在3点A、B、C，使其余n－3个点都在△ABC外面．例1 求证：在四面体ABCD中，必有某个顶点，从它发出的三条棱作为三边可以构成一个三角形。
例2 给出平面的一个有限点集，点集中的点不全在一条直线上．证明：存在一条直线，只经过点集中的两个点．例3 平面上有n个红点与n个蓝点，任意三点都不共线．求证：可以用n条线段连结这2n个点，每条线段连结一个红点与一个蓝点，且这n条线段没有公共点．例4 有n(n³3)个排球队参加单循环赛(排球赛的每场都要分出胜负) ，比赛结束后，发现没有一个队全胜．求证：必存在三个队A，B，C，使A胜B，B胜C，C又胜A．例5 有n个男生，m个女生（n，m>1），每一个男生至少与一个女生彼此相识，每个女生不全认识n个男生，证明：他们当中，必有两个男生和两个女生，其中每个男生恰好认识其中一女生，其中每个女生恰好认识其中一男生。
（二）逐步调整法例6 一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们先每人任取偶数块糖，然后按下列规则调整：所有小孩同时把自己手中的糖分一半给右边的小孩，糖块变为奇数的人向老师要1块糖．这算一次调整．证明：经过有限次调整后，大家的糖就变得一样多了．（三）无穷递降法例7 若干个球装在2n+1个口袋中，如果任意取走1袋，总可以把余下的2n袋分成两组，每组n袋，并且这两组的球的个数相等．证明：每个袋中的球的个数都相等．例8 试求方程x3－2y3－4z3=0的所有整数解．例9 设正整数n ，m满足n>m，证明：存在的一种不等的倒数分拆，既存在自然数n1<n2<……<nk，使得。
专题二十七 极端性原理
极端性原理题型一代数中的最大（小）值例1：夏令营组织1998名人员去游览长沙市的三大景点：岳麓山、烈士公园和世界之窗，规定每人必须去一处，最多去两处游览，那么至少有个人游览的地方完全相同。
题型二集合中的最大（小）值例2：在边长为6cm的等边三角形内任取一点，由该点至三边作垂线段，这些垂线段的长度之和为例3：在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P,Q,R,S分别是边AB，BC，CD,DA上的动点，则PQ2+QR2+RS2+SP2的最大值与最小值之和为题型三“分花生”问题例4：把1600颗花生，分给100只猴子。
证明：不管怎么分，至少有4只猴子得到的花生一样多，并设计出一种分法，使得没有5只猴子得到一样多的花生。
题型四与比赛相关的问题例5：设有n（n»2）名选手进行比赛，任两选手进行一场比赛，每场比赛均决出胜负，求证：存在选手A，使得其他的任一选手，或是输给A，或是输给A打败的某一名选手。
题型五存在性问题例6：平面上给定n个点（n»3），任三点不共线，求证：在这n个点中存在三个点A，B，C使其余n-3个都在△ABC之外.例7：平面上有n个点，其中过任意两点的直线都必过第三点，证明：这n个点必在同一条直线上。
学科能力·训练1.在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB·PC的值为（） AB P CA.m2B.m2+1C.2m2D.(m+1)22.已知△ABC的面积为24，且AB=AC=8，则底BC上任一点P到两腰距离之和为3.要把54名学生分成若干个小组，使得每组中至少有一人，任意两个小组的人数均不相等，则至多可分成个小组。
4.用百分制计分，得分为整数，证明：（1）若201人的总分为9999分，则至少有3人的分数相同；（2）若201人的总分为10101分，则至少有3人的分数相同；（3）若201人的总分为10000分，且已知无3人的分数相同，则必有1人100分，2人0分；（4）若201人总分为10100分，且已知无3人的分数相同，则必有1人0分，2人100分。
谈极端原理在高中数学解题中的应用
谈极端原理在高中数学解题中的应用作者：周康新来源：《文理导航》2012年第23期随着教育改革的深入发展，人们把学习数学知识、渗透数学思想方法的教育，作为数学教育的出发点和落脚点。
目前不少数学教育家将学生对数学思想方法的理解，掌握与应用的水平，作为评价学生数学成绩的重要标志之一。
因此，极端原理作为一种思想方法有着举足轻重的作用。
极端原理是解决具体问题而采用的方式、途径或手段。
它并不是数学学科所独有的，而是从各门学科中研究提炼出来的方法，是许多学科都普遍适用的方法。
自古以来，人们都十分重视对思想方法的理论研究，试图应用正确的思想方法来认识和改造世界。
做人不宜“走极端”，但解数学问题时“走极端”却未必是坏事。
这里的“走极端”是指从极端情形出发，考虑具有极端性质的数学对象，如数量的极大与极小，图形的极限位置、边缘位置，问题的最特殊之处(最有利、最不利等等)，从而发现解决问题的一般性规律。
一、利用图形的极端位置、边缘位置解题所给问题是几何图形，它们都有着明显的几何意义，可以根据已知条件，通过图形的极端位置启发思维，找到简捷的思路。
例1：已知长方形的4个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向运动到BC上的点P1后依次反射到CD、DA和AB上的点是P2、P3和P4(入射角等于反射角)。
设P4的坐标为(x4,0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是()解析：该题考虑边缘位置， P1为BC的中点时，易知P2、P3和P4也应是各边的中点，此时tanθ=，由于P4的横坐标1＜x4＜2在AB边中点的右半部分，该值应是界值，故选C。
二、利用极端情况增加题设条件，降低题目的难度有些数学题目，表面看来条件不足，给解题带来障碍。
如果解题中注意应用极端原理，从挖掘隐含条件出发，将使思维出现转机，达到顺利、简捷、完美解题的目的。
例2： (2006年北京高考题)在三角形ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是____。
极端性原理（含答案）-
第五节极端性原理内容讲解我们认识事物时，总是从特殊情况出发，逐步认识事物所具有的一般属性，在解题时，若能直接通过抓住全体研究对象的极端情形或全体对象中具备极端性质的某个对象加以分析、研究，从而化繁为简地解决问题，即为极端性原理．常常把极端性原理作为解决非常规问题的出发点和突破口．极端性问题常体现在：距离、长度、角度、面积或某一类数值的最大或最小及其图形的极端情形等．极端性原理主要用于解决存在性问题，经常与构造法、反证法联用．例题剖析例1 夏令营组织1998•名营员去游览长沙市的三大景点：岳麓山、烈士公园和世界之窗，规定每人必须去一处，•最多去两处游览，那么至少有______个人游览的地方完全相同．分析：用极端性原理考虑至少有一个景点去了1998÷3=666（人），由于每个人可以去两个不同景点，则再用极端性原理考虑666÷2=333（人），所以至少有333人去了相同的景点．解：至少有333人游览的地方完全相同．评注：用极端性原理解题时，应先选定极端情况，使“变动”转化为“确定”，从而能分散问题的难点．例2 在边长为6cm的等边三角形内任取一点，•由该点至三边作垂线段，这些垂线段的长度之和为_________．分析：不妨取极端位置，即使等边三角形的一顶点做为题目中的点．解：如图，当点P与顶点A重合时，P到边AB和边AC的距离均为零，而P到边BC的距离恰好等于三角形的高AD，由此可得这些垂线段的长度之和为AD的长，在Rt△ABD 中，AD=ABsinB=6×2． (P)AD C 评注：此例体现了运用极端性原理（特殊化思想）解题简捷性，当然，•本题还可用面积法来解题．例3 在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，P ，Q ，R ，S 分别是边AB ，•BC ，CD ，DA 上的动点，则PQ 2+QR 2+RS 2+SP 2的最大值与最小值之和为________．分析：考虑极端位置：在顶点处取最大值，在四边中点时取到最小值．解：PQ 2+QR 2+RS 2+SP 2=AP 2+BP 2+BQ 2+CQ 2+RC 2+DR 2+DS 2+AS 2=AB 2+BC 2+CD 2+DA 2-2AP ×BP-2BQ ·CQ-2RC ·DR-2DS ·AS ．AP ·BP ≤（2AP BP +）2=16， RC ·RD ≤（2RC RD +）2=16， BQ ·CQ ≤（2BQ CQ +）2=9， ∴DS ·AS ≤（2DS AS +）2=9． 所以PQ 2+QR 2+RS 2+PS 2有最小值为100；又P 与A 重合，Q 与B 重合，R 与C 重合，S 与D 重合时，AP=0，BQ=0，CR=0，DS=0．此时，PQ 2+QR 2+RS 2+PS 2有最大值为200． 则PQ 2+QR 2+RS 2+SP 2的最大值与最小值之和为300．评注：本题通过从极端情形入手，为正确解题指明方向．此外要领会ab •≤（2a b +）2在解题中的作用．例4 把1600颗花生，分给100只猴子．证明：不管怎样分，至少有4•只猴子得到的花生一样多，并设计出一种分法，使得没有5只猴子得到一样多的花生．分析：要使没有4只猴子得到的花生一样多，我们考虑极端情况．解：最经济（即所用花生数目最少）的分法是：3只得0颗，3只得1颗，……，3•只得32颗，还有一只得33颗，这样共需花生数3×（0+1+2+……+32）=1617．已知超过了花生总数1600颗，所以不管怎样分，至少有4•只猴子分得的花生一样多． 没有5只猴子一样多的分法是很多的．评注：例如，对前述极端情况稍作调整可得到一种分法：4只得0颗，3只得1颗，3只得2颗，……，3只得31颗，2只得32颗，还有一只得48颗，共计3×（0+1+2+……+32）-32+48=1600（颗）．例5 把2005分解成若干不同的正整数之和，问至多能分成几项？分析：要求至多能分成几项，考虑“极端”──每一项尽可能少．解：令2005=a 1+a 2+a 3+…＋a k ，且1≤a 1≤a 2≤a 3≤…≤a k ，a 1，a 2，…，a k ，均为正整数，则a 1的最小值为1，由此可知a 2的最小值为2，……，这样就有2005≥1+2+…+k=12k （k+1），得k ≤12（）． 因为k 为整数，所以k ≤62．又当a 1=1，a 2=2，…，a 61=61，a 62=114，有2005=a 1+a 2+a 3+…+a 62，故至多可以分解为62项．评注：当一个问题不易解决时，可以先考虑其某个极端状态，•从对这一极端状态的研究得到启发，然后再来研究所要解决的问题．例6 设有n （n ≥2）名选手进行比赛，任两选手都进行一场比赛，每场比赛均决出胜负．求证：存在选手A ，使得其他的任一选手，或是输给A ，或是输给被A 打败的某一名选手．分析：要寻求的选手A，依直觉，应是“实力”最强的选手．因此，在这n名选手中，设取胜的场次最多的一名选手为A（考虑极端!）．下面证明他满足题目的要求．证明：对其他的任一选手B，若B不是输给A，即B胜A．因B战胜的对手不多于A•战胜的对手，故除A，B之外，A战胜的对手必多于B战胜的对手，从而，必存在选手C，是A战胜的，但不是B战胜的，即B输给被A打败的选手C，故结论成立．评注：本题的解法关键是抓住了“取胜的场次最多的一名选手”，•利用这一点，解决了我们“无从着手”的难处，使解题简捷明快．例7 某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次，•求证：必有六场比赛，其中12个参赛选手各不相同．分析：“极端”──设k为使得安排k场比赛由2k名不同成员参加的最大整数．解：设k为使得安排k场比赛由2k名不同成员参加的最大整数，则其余的20-2k•名成员中，每两名都互不比赛，否则，与k最大性矛盾．再由余下的20-2k名选手，每名至少比赛一场（与前面2k名成员），•因此他们至少要比赛20-2k场，由已知有14=（20-2k）+k解得k=6．即必有6场比赛，其中12个参赛选手各不相同．评注：使用极端性原理的关键在于抓住问题的极端状态，数学中常见的极端状态有：最大值、最小值，图形的极限位置等．例8 平面上给定n个点（n≥3），任三点不共线，求证：在这n•个点中存在三个点A、B、C，使其余n-3个都在△ABC之外．分析：此题有多种思考方法，其中最自然的想法是：面积越小的三角形，其内的点越少，而形外的点越多，所以要使其余n-3个点都在△ABC之外，•自然取面积最小的三角形．证明：在n个点中任取两点B、C，作线段BC，则其余n-2个点都不在BC•所在的直线上，以BC为底边，其余n-2个点为顶点可得n-2个三角形，取面积最少的，记为△ABC•<S△ABC，这与S△ABC最小矛盾．即为所求，事实上，如果△ABC内还有一点A′，则S△A`BC评注：本题还可以从以下几种极端状态着手：（1）取其余n-2个点到直线BC的距离最小的一点A，则△ABC即为所求；（2）其余n-2个到BC的视角最大的点设为A，则△ABC即为所求；（3）以B为顶点，旋转BC，首先交到的点（或说旋转角最小的点）设为A，则△ABC•即为所求．以上四种思考方法，从不同角度取定一个几何量，•在系统自身状态不断变化时考虑极端情况（最大或最小），使问题迎刃而解．例9 平面上给定2010个点，任意两点的距离小于2005，•任意三点是某个钝角三角形的顶点．求证：存在直径不超过2005的圆，覆盖这2010个点．分析：“极端”──距离最大的两点．解：在这2010年点中，设两两之间距离最大的两点是A，B，且AB<2005．以AB为直径的圆覆盖了这2010个点．这是因为，如图，分别为A、B作AB的垂线L1、L2，则给定的点不能在直线L1、L2围成的带形区域之外，否则，这点P到点B（或A）的距离大于AB，这与AB的最大性矛盾．同时，给定的点也不能在带形区域的圆外．否则，这点P′与A、B•不能构成钝角三角形，与已知条件矛盾，故结论成立．评注：此例可一般化为：平面上给定n个点，任两点距离小于常数a，任三点是某个钝角三角形的顶点，求证：存在直径不超过a的圆，覆盖这n个点．例10 平面上有n个点，其中任三个点都可组成三角形，且其面积均不超过1，•证明存在一个面积不超过4的三角形，它能覆盖住所有n个点．分析：由于面积越大的三角形，覆盖的总越多，所以我们自然地会想到：从取面积最大的三角形入手．证明：平面上由n个点组成的三角形的数目是有限的，•其中必有一个面积最大的三角形，设为△ABC，过各顶点分别作对边的平行线，可得一个新△A′B′C′如图，=4S△ABC，∵S△ABC≤1，∴S△A`B`C`≤4．则S△A`B`C`平面上所有的n个点全被△A′B′C′覆盖住，否则设△A′B′C′外有一点P， >S△ABC．则有S△PBC这与S最大矛盾．△ABC评注：由以上的分析、证明，•我们不难发现利用极端性原理的步骤：选取适当的量─考虑极端状态─反证法证明．例11 平面上有n个点，其中过任意两点的直线都必过第三点，证明：这n•个点必在同一条直线上．分析：“极端”──点到不过这点的直线的垂线段中的最小者为d．解：若这n个点不全在同一条直线上，过这n个点中的任意两点所确定的每条直线，都必然有不在此直线上的点，对每一条直线，求出n个点中不在这条直线上的点到直线的距离，这些距离的个数是有限的，所以其中一定有一个最小的，设为d 0．如图，设d 0是点A 到B 、C 所确定的直线的距离，作AP ⊥BC ，P 为垂足，则d 0=AP ．由题设，在直线BC 上还至少有这n 个点中的另一个点E ，显然，B 、C 、E 三点中至少有两个点位于P 点同侧（E 可能与P 重合），不妨设C 、C 在P 点同侧，且PE ≤PC ．作EQ ⊥AC 于Q ，记d 1=EQ ，应有d 1≥d 0，但△CEQ ∽△CAP ，所以10d EQ CE CP d AP AC AC==≤<1 即d 1<d 0矛盾，这就表明这n 个点全在同一条直线上．评注：极端性原理主要用于解决存在性问题，经常与构造法、反证法联用．例12 在凸五边形ABCDE 的边和对角线中，没有互相平行的线段．延长边AB •和对角线CE ，使之相交于某个点，然后在边AB 上标上一个箭头，使之指向交点的方向．依此办法把五条边都标上箭头，求证：必有两个箭头指向五边形的同一个顶点．分析：抓住“极端”──面积最小来解题．证明：考虑由凸五边形的每三个相邻顶点所组成的五个三角形，其中必有面积最小者． 设△ABC 的面积最小．下面证明：BC 边上箭头必指向B 点．由于DA 不平行于BC ，再由S △ABC 的最小性知S △ABC <S △DBC ，设M 、N 分别是由A 与D 向BC 所引垂线的垂足，于是DN>AM ，所以，直线AD 与直线BC 交点在CB 的延长线上，且位于B 的一方．从而，依箭头的标法，BC 边上的箭头指向B ．同理，AB边上的箭头指向B，结论得证．评注：由于一些数学问题中所出现的各个元素的地位是不平衡的，其中的某个极端元素或个别元素的极端状态往往具有优先于其他元素的特殊性质，•而这又恰好为解题提供了突破口．这时从极端元素入手，便能简捷地解决问题．巩固练习1．如图1，已知⊙O的半径为R，C，D是直径AB•同侧圆周上的两点，弧AC的度数为95°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值_____．（1）(2)2．在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB·PC的值为（）（A）m2（B）m2+1 （C）2m2（D）（m+1）23．已知△ABC的面积为24，且AB=•AC=•8，•则底BC•上任一点P•到两腰距离之和为________．4．如图2，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，PCD是割线，E是CD中点，若使∠APB=40°，则∠AEP=（）（A）40°（B）50°（C）60°（D）70°5．要把54名学生分成若干个小组，使得每组中至少有一人，任意两个小组的人数均不相等，则至多可分成______个小组．6．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A′B•′C′D，且正方形A′B′C′D′的顶点A′在正方形ABCD的中心，当正方形A′B′C•′D′绕A′转动时，两个正方形的中和部分的面积必然是一个定值，这个结论对吗？证明你的判断．7．有四个工厂A ，B ，C ，D 且AB=a （千米），BC=2a （千米），CD=4a （千米），∠ACB=90°，∠BCD=120°，现在要找一个供应站H 的位置，•使它到四个工厂的距离和HA+HB+HC+HD 为最小，说明道理，并求出最小值．8．ABCD是一个边长为1的正方形，U，•V•分别是AB，CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q，求四边形PUQV面积的最大值．9．如图，两圆外切于点P，过点P作两条互相垂直的割线APA1和BPB1，•设两圆直径为d1，d2，求证AA12+BB12=定值．10．1600颗花生，分给100只猴子，求证：不管怎么分，至少有4•只猴子得到的花生一样多．11．用百分制记分，得分为整数，证明：（1）若201人的总分为9999分，则至少有3人的分数相同；（2）若201人的总分为10101分，则至少有3人的分数相同；（3）若201•人的总分为10000分，且已知无3人的分数相同，则必有1人100分，2人0分；（4）若201人的总分10100分，且已知无3人的分数相同，则必有1人0分，2人100分．12．平面上有40个点，任何三个点不共线，已知每一个点至少和其余27•个点之间有线段联结，求证：必可找到4个点A、B、C、D，它们之间任何两点间都有线段联结．13．平面上给出n≥3个点，并且所以的点不在同一直线上，证明：可以找到经过三个已知点的圆，使得其余的任何一个给定的点都不在该圆内部．14．有n个男生，m个女生（n，m≥2），每个男生至少与一个女生彼此相识，每个女生不全认识男生，证明：他们中必有两个男生与两个女生，•其中每个男生恰好认识其中一个女生，其中每个女生恰好认识其中一个男生．15．平面上有n个点，其中任意三个点做成的三角形的面积都小于1，求证：存在一个面积小于4的三角形包含这n个点．16．有201人参加考试，用百分制计分，总分为9999，求证：至少有三人同分．17．某车间的机床平均每小时有4台损坏需要修理，•损坏期间因停工所造成的损失每小时8元，为保证生产，车间准备请一名修理工，为机床进行长期保养维修．•现有甲、乙两名修理工情况如下：甲每小时可修5台，每小时工资为3元；乙每小时可修8台机床，但每小时工资为5元．试问：车间应请哪一名修理工核算？18．如图，在矩形ABCD中，AB=20厘米，若在AC，AB上各取一点M、N，使BM+MN 的值最小．19．如图，八个点处各写一个数字，•已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数，求代数式1()21()3a b c d e f g ha b c d e f g h+++-++++++-+++的值．20．求证：方程x2+y2=3xy不存在正整数解．21．试把220分拆成9个不同的自然数之和，使其中最大数减去最小数的差为最小，并求出这个最小值．22．把100以内的自然数全部填入10行10列的方格表中，每格填一个，试证：•不存在这样的填法，使得每两个有公共边的相邻方格中所填的数字之差都不大于5．23．设S为平面上的一个有限点集（点数≥5），其中若干点涂上红色，•其余的点涂上蓝色．设任何三个或三个以上同色的点不共线，求证：存在一个三角形，使得（1）•它的三个顶点涂有相同的颜色；（2）这个三角形至少有一条边上不包含另一种颜色的点．24．有20支球队参加全国联赛，问至少要进行多少场比赛，•才能使任何三个队中必有两个队彼此比赛过？答案:1．提示：设D′是D点关于直线AB的对称点，连CD′交AB与P，由圆的对称性可知，点D′在圆上．∴PD′=PD．则PD′+PC=PD+PC．∵两点连线中，线段长最短，•∴此时的P，使PC+PD最小，且最小值为PC+PD′，即为线段CD′之长．2．A．提示：不妨设点P与C或BC的中点重合．3．6．提示：“极端”─P与B或C重合，再用面积公式计算：2428=6．4．D．提示：“极端”─当PCD变为PO时，有∠AEP=∠AOP=90°-∠APB=70°．5．9．提示：“极端”─要使组数最多，就要使每组人数既符合要求，又要尽可能小．因为1+2+3+…+10=55>54，1+2+3+…+9=45<54，故最多可分成9个小组．6．两个正方形的重合部分面积为一个定值，定值为正方形面积的14，证明略．7．当A，D分别位于BC两侧时，可求得最小值为4a；当A，D位于直线BC同侧时，可求得最小值为4a ，理由略． 8．如图，连接UV ．∵AU ∥DV ，∴S △UPV =S △DUV -S △PDV =S △ADV -S △PDV =S △ADP ．同理S △UQV -S △BQC ．故S 四边形PUQV =S △APD +S △BQC ．作PE ⊥AD ，•QF •⊥BC ，EF 为垂足，并设PE=x ，QF=y ，则S四边形PUQV =12（x+y ）． 设AU=a ，DV=b ，则x xa b +=DE+AE=1． 故x=ab a b+． 同理y=(1)(1)(11)a b a b ---+-=(1)(1)2a b a b ----．• 则S 四边形PUQV =12[ab a b ++(1)(1)2a b a b----] =222222()()2()2()(2)4()(2)a b a b a b a b a b a b a b a b a b +-++----=+--+-- ≤222()24()(2)a b a b ab a b a b +---+--=14． 等号当且仅当a=b 时成立．故四边形PUQV 面积的最大值是14． 9．“极端”─AA 1过O 1O 2，B 、B 1与P 点重合，则有AA 12+BB 12=（d 1+d 2）2，令AP=x 1，A 1P=x 2，•Bp=y 1，B 1P=y 2，则x 12+y 12=d 12，x 22+y 22=d 22， 则x y d x y d==．于是令x 1=d 1t ，x 2=d 1t ，y 1=d 1s ，y 2=d 2s ， 则s 2+t 2=1，从而2（x 1x 2+y 1y 2）=2d 1d 2．故有（x 1+x 2）2+（y 1+y 22）=（d 1+d 2）2．10．“极端”─无4只猴子分得的花生一样多，则就有3（0+1+…+32）+33=1617，故必有4只猴子分得的花生一样多．11．“极端”─在无三人分数相同的条件下，201人总分最少情况是：2人得0•分，2人得1分，……2人得99分，1人得100分，则2×（0+1+…+99）+100=10000；总分最多情况是：2人得100分，2人得99分，……，2人得1分，1人得0分，则有2×（100+99+…+1）+0=10100．（1）否则，9999≥10000，矛盾；（2）同（1），否则，10101<10100，矛盾；（3）总分10000恰是在无三人的分相同条件下，201人总分最小值，且是唯一取得；（4）同（3）略．12．任取点A，必存在B与A相连，由于与A不相连的最多有40-27-1=12个，与B•不相连的最多有40-27-1=12个，故与A、B同时有线段连结的最少有40-12-12-2=14个点，•从这14个点中任取一点C，则C与A、B均相连，由于与C不相连的最多有12个，故取C•之后剩下的13个点中至少有一点D与C相连，且D与A、B均相连，于是A、B、C、D•两两相连．13．“极端”─距离最小的两点，不妨设这对点（如果这样的点对不止一对，则任取一对）为A与B，以线段AB为直径作圆，则易见此圆的内部设有其他的给定点，在余下的给定点中任取一点C，使∠ACB最大，这样三角形ABC的外接圆就是符合要求的圆，因为若有一个已知点D位于所说外接圆的内部，由简单的几何知识可知∠ADC>∠ACB，这就和∠ACB的最大性相违背，所以圆内没有给定点中任何点．14．“极端”─认识男生最多的女生a1，由题设，令a1与男生b1不相识，设b1认识女生a2，由于a2认识的男生不如a1认识的多，所以必有一个男生b2，使得a1与b2相识，且a2与b2不相识，于是a1，a2，b1，b2即为所求．15．“极端”─这n个点作成的三角形中面积最大的一个三角形．设这n个点作成的三角形中面积最大的一个△A1A2A3，如图过顶点A1、A2、A3分别作对边的平行线，•得△ABC，显然，S△ABC=4S△A1B2C3<4．若△ABC外还有这n个点中一点，设为A4，于是有S△A1A3A4>S△A1A2A3，这与S△A1A2A3最大矛盾，所以△A1A2A3为所求．16．若无三人同分的总分至少是2（0+1+2+---+99）+100）=10000，与已知矛盾，•所以结论正确．17．取第一种极端：假设四台机床同时损坏，则雇甲需要：3+（0.2+0.2×2+0．2•×3+0.2×4）×8=19元；雇乙需要：5+（0.125+0.125×2+0.125×3+0.125×4）×8=15元；取第二种极端：假设四台机床相继损坏，则雇甲需要：3+（0.2+0.2+0.2+0.2）×8=9.4元；雇乙需要：5+（0.125+0.125+0.125+0.125）×8=9元．18．作点B关于直线AC的对称点E，则BM+MN的最小值为EN．根据N•的可移动性，•当EN垂直于AB时，EN最短．设BE交AC于F，直角三角形ABC中，BF=4所以BE=8•因为2S=AB×EN=BE×AF，可得EN=16．19．34．提示：不妨设这8个数中a的值最大．由于a=13（b+d+e），且3a≥b+d+e．因此，•必有a=b=d=e．同理可得c=f=g=h=a．即a=b=c=d=e=f=g=h．故1()21()3a b c d e f g ha b c d e f g h+++-++++++-+++=112113--=34．20．假设这个方程有正整数解x，y，由于x，y是正整数，那么在所有的x，y中必有最小的．若x1，y1是方程的一组最小正整数解，x12+y12=3xy，所以x12+y12是3的倍数．由完全平方数的性质得，x≡0（mod 3）．y≡0（mod 3），因此x1=3x2，y1=3y2，易证x2，y2满足方程组，即x2，y2是方程的另一组正整数解，显然，x1>x2，y1>y2与x1，y1是方程最小的正整数解矛盾．•所以方程x12+y12=3x1y1不存在正整数解．21．设9个不同的自然数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9满足x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8<x9，x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=220，根据自然数的性质有：x1+x1+1+x1+2+x1+3+x1+4+x1+5+x1+6+x1+7+x1+8•≤x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=220≤x9-8+x9-7+x9-6+x9-5+x9-4+x9-3+x9-2+x9-1+x9解得x1≤2049，x9≥2849，取x1=20，x9=29．22．用反证法，考虑100以内的自然数中的两个极端元素1和100所填的位置，•设1填在第i行，100填在第j列，第i行j列的公共格上填的数是a，这里i和j 都是1至10的整数，从第iI行看，a与1之间最多相隔8格，得a-1≤5×（8+1），即a≤46；•又从第j•列看，100与a之间最多相隔8格，得100-a≤5×（8+1），即a ≥55，这与a≤46矛盾．23．对于S中任意5点，涂有红色或蓝色，则必有三点同色（抽屉原理），结论（1）•成立．三顶点同色的三角形个数是有限个，其中必有面积最小的一个，设为△ABC，•则△ABC中至少有一条边上不包含另一种颜色的点．若不然，△ABC的每条边上都有一个不同色的点，则这三个不同色的点又组成一个比△ABC更小的三顶点同色的三角形．•矛盾．24．从考虑20支球队中比赛场次最少的队着手，设A队比赛场次最少为k场，则（1）有k个队与A队比赛过，每个队至少比赛k场，以每队统计共至少进行k2场比赛；（2）•没有和A队比赛的有19-k个队，它们之间必须两两都比赛过，•否则没有比赛过的两队与A组成的三个队不合要求，因此这19-k个队以每队统计共比赛（19-k）（18-k）场．•在上述计算比赛场次是以每队计算的．由于一场比赛有两队参加，被计算过两次，•因此至少比赛场次为N=12[k+k2+（19-k）（18-k）]=（k-2）2+90≥90．下面证明，90•场比赛可以达到题目要求，将20支球队分成两个小组，每个小组各10支球队，•各小组分别进行单循环比赛，共需90场比赛，符合题目要求．。
极端原理在函数最值问题中的应用
极端原理在函数最值问题中的应用
极值原理是微积分中的一个重要概念，可以用来解决函数的最值问题。
对于一个连续函数f(x)，如果在闭区间[a,b]内，函数在某些点取得最大值或最小值，那么这些点要么是函数在a和b处的极值点，要么是函数在该闭区间内存在的端点。
通过极值原理，我们可以确定函数的最值点在哪里，进而找到函数的极大值和极小值。
我们需要确定函数的定义域。
对于一个给定的函数，我们需要确定它的自变量x的取值范围。
在定义域内，我们可以找到函数的最大值和最小值。
极值原理的一般步骤如下：
1. 确定函数的定义域：确定函数的自变量x的取值范围。
2. 求函数的导数：对于给定的函数f(x)，我们可以求它的导数f'(x)。
3. 解方程f'(x)=0：求解导数f'(x)等于0的方程，解得的解即为函数的驻点。
4. 计算端点值：计算函数在闭区间[a,b]的端点a和b处的值f(a)和f(b)。
5. 对比计算结果：对比驻点的函数值f(x)和端点的函数值f(a)和f(b)，找出其中最大值和最小值。
需要注意的是，有些函数可能在驻点处取得极值，但不是在函数的定义域内。
在这种情况下，驻点不是函数的最值点。
极端原理在函数最值问题中的应用非常广泛。
我们可以使用极值原理来帮助我们优化函数的性能、最小化成本或者最大化利润。
在微积分中，极值原理是一种基本的概念，也是更复杂的微积分和优化问题的基础。
理解和应用极值原理对于学习微积分和应用数学非常重要。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极端性原理
题型一代数中的最大（小）值
例1：夏令营组织1998名人员去游览长沙市的三大景点：岳麓山、烈士公园和世界之窗，规定每人必须去一处，最多去两处游览，那么至少有个人游览的地方完全相同。
题型二集合中的最大（小）值
例2：在边长为6cm的等边三角形内任取一点，由该点至三边作垂线段，这些垂线段的长度之和为
例3：在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P,Q,R,S分别是边AB，BC，CD,DA上的动点，则PQ2+QR2+RS2+SP2的最大值与最小值之和为
题型三“分花生”问题
例4：把1600颗花生，分给100只猴子。
证明：不管怎么分，至少有4只猴子得到的花生一样多，并设计出一种分法，使得没有5只猴子得到一样多的花生。
题型四与比赛相关的问题
例5：设有n（n»2）名选手进行比赛，任两选手进行一场比赛，每场比赛均决出胜负，求证：存在选手A，使得其他的任一选手，或是输给A，或是输给A打败的某一名选手。
题型五存在性问题
例6：平面上给定n个点（n»3），任三点不共线，求证：在这n个点中存在三个点A，B，C使其余n-3个都在△ABC之外.
例7：平面上有n个点，其中过任意两点的直线都必过第三点，证明：这n个点必在同一条直线上。
学科能力·训练
1.在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB·PC的值为
（） A
B P C
A.m2
B.m2+1
C.2m2
D.(m+1)2
2.已知△ABC的面积为24，且AB=AC=8，则底BC上任一点P到两腰距离之和为
3.要把54名学生分成若干个小组，使得每组中至少有一人，任意两个小组的人数均不相等，则至多可分成个小组。
4.用百分制计分，得分为整数，证明：（1）若201人的总分为9999分，则至少有3人的分数相同；（2）若201人的总分为10101分，则至少有3人的分数相同；（3）若201人的总分为10000分，且已知无3人的分数相同，则必有1人100分，2人0分；（4）若201人总分为10100分，且已知无3人的分数相同，则必有1人0分，2人100分。
5.平面上有40个点，任何三个点不共线，已知每一个点至少和其余27个点之间有线段连接，求证：必可找到4个点A、B、C、D，它们之间任何两点间都有线段连接。
6.有n个男生，m个女生（n，m»2），每个男生至少与一个女生彼此相识，每个女生不全认识男生，证明：他们中必有两个男生与两个女生，其中每个男生恰好认识其中一个女生，其中每个女生恰好认识其中一个男生。
7.某车间的机床平均每小时有4台损坏需要修理，损坏期间因停工所造成的损失每小时8元，为保证生产，车间准备请一名修理工，为机床进行长期保养维修。
现有甲，乙两名修理工情况如下：甲每小时可修5台，每小时工资3元；乙每小时可修8台机床，但每小时工资5元。
试问：车间应请哪一名修理工合算？
8.如图，八个点处各写一个数字，已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数，求的值a b
e h
f g
d c
9.试把220拆分成9个不同的自然数之和，使其中最大数减去最小数的差为最小，并求出这个最小值。
10.把100以内的自然数全部填入10行10列的方格表中，每格填一
个，试证：不存在这样的填法，使得每两个有公共边的相邻方格中所填的数字只差都不大于5.
11.设S为平面上的一个有限点集（点数»5），其中若干点涂上红色，其余的点涂上蓝色。
设任何三个或三个以上同色的点不共线，求证：存在一个三角形，使得（1）它的三个顶点涂有相同的颜色；（2）这个三角形至少有一条边上不包含另一种颜色的点。
12.有20支球队参加全国联赛，问至少要进行多少场比赛，才能使任何三个队中必有两个队彼此比赛过？。