极端性原则
整体观念与极端性原则
函 ；理当 ＜ ＜ 或 ＜ ＜印詈 盯一或 ＜ ＜时￣ｆ（ 数同 ， ２ 一 号 ２ 一＜ ＜４墨 口 ； Ｕａ 一 一 号 堡４ ｔ 三 ｔ ２
＜＜ 或 ‘ ）然增教ｕ ｘ 或＞ 仍是 的增敛 ～ 号 ａ詈仍是函，ｈ （ ； ｘ ）然 ｘ递函， 三 曩 ‘ ２
一
ｌａ ２昭ａ ０ ｇ ＞√ ＞ｌ
疆 一０ 岫 １也就 是所 求，
．
备 注 ： 若 本 题 不用 极 端 性 原 则 的 表 达 方 式表 述 ，则 会 出现 推 理 中矛 盾 局 面 ：Ｌ ａ＞ ｇ
、Байду номын сангаас
嵩
￣２ ｔ １ ｕ ． ＋ｖ
例 １ （ 币游 戏问题 ） ．硬 两个人在 同一 张圆桌 上轮 流地投 放 同一种规 格 的硬币做游戏。若规定投放 在圆桌面上的硬 币不允许 重叠 ． 并且 圆桌面 上
哪一个位置 ， 先投放者总可 以找到一个关 于圆桌面 中心 对称 的位 置投放他 的第二枚硬币。当后者投放上第二枚硬 币后 ， 先者又在 关于 中心 对称 的位 遵减 函敷 。
但 ；ｎ （ ｃ 三 三 詈却 递 函，此 ｓａ一 一或 ｃｃ）是的减数因 ｙ Ｉ 詈 ２ ａ
．
是
一
上去的最后一枚硬币。但圆桌面毕竟远远 大于硬 币面 ， 怎样 回复 到一般 性 情形呢？这时 自然地把极端性情形 ： 圆桌面 与硬币面 一样大 中的圆桌面慢 慢地展放到原貌 ， 那么 ， 这时放 上去 的第一枚硬 币必然 落在 了圆桌 面的 中 心， 再注意到圆桌面是中心对称图形问题便可 以彻底解 决了。 解： 先投放第一枚 硬 币者胜 ； 有必 胜 策略 ； 必 胜策略是第一枚 硬币投 放在 圆桌面 正 中心 ， 以后 各枚硬币投放 在对方投放位 置关于 圆桌面 中心 对 称 的位置。 证 明： 先投放第 一枚硬 币者 把他 的第 一枚 硬 币投放在圆桌面 的正 中心 ， 样 以来 后投 放第 一 这
安全员的职责及管理原则
安全员的职责及管理原则
安全工作的极端重要性和艰巨性，决定了处于安全工作第一线的安全员，必须具有雷厉风行的作风，敢抓敢管，敢于说硬话，只有如此，才能保证安全制度执行到位，安全措施落实到位，安全管理上水平。
敢于说硬话，就是要敢于坚持原则，敢于动真碰硬，在安全管理的过程中，该表扬的表扬，该奖励的奖励，该批评的批评，该处罚的处罚，不照顾情面，不迁就客观，不回避矛盾，不掩盖问题。
在基层安全管理工作中，有的安全员腰杆不硬，态度不坚决，作风不果断，不敢抓，不敢管，不敢严格要求，不敢说硬话，难以打开安全管理工作的局面。
其主要原因：
一是怕得罪人。
心里总是想着大家工作生活在一个班组，低头不见抬头见，话说狠了容易伤感情，今后不好相处，因而在管理过程中总是迁就照顾的多，严格要求的少。
二是怕担责任。
安全工作是人命关天的大事，也是十分复杂艰巨的难事，上级要求严，群众期望高，确实不容易管好。
有的安全员缺乏迎着困难上的勇气，不愿挑重担，不敢担责任，千方百计地回避问题和矛盾，生怕说多了，管严了，吃力不讨好，使自己脱不了身。
三是怕揪尾巴。
有的安全员不能严格要求自己，遵守规章制度不严，工作作风拖拉，技术技能不过硬，管理方法简单，处理问题不公道，因而腰杆不硬，底气不足，不敢严格要求，不敢说硬话，怕被别人揪住尾巴。
说硬话不是说空话，说假话，说大话，而是要坚持实是求是的原则，讲究方式方法，依照安全管理的相关规定和操作标准抓管理，从维护企业安全稳定
的大局出发，做到有理有据有利有节，尊重他人不武断，尊重事实不臆断，尊重规律不盲目，坚持标准不放松，以公正、勤政、务实、高效的作风，赢得他人的信任、理解和支持，推进安全管理水平的提高。
()。
极端天气应急预案
极端天气应急预案极端天气是指天气异常恶劣的情况，如台风、暴雨、暴雪等。
这些极端天气不仅给人们的生活造成困扰，还可能对生命财产造成严重威胁。
因此，制定和执行极端天气应急预案至关重要。
本文将介绍极端天气应急预案的制定原则和具体内容，以期为应对极端天气提供科学、高效的指导。
一、极端天气应急预案的制定原则极端天气应急预案的制定应遵循以下原则：1.科学性原则：预案的制定应基于科学研究和专家意见，充分利用各种现代科技手段提前预判和预警极端天气的发生，从而提高预案的可靠性和准确性。
2.灵活性原则：预案应具备一定的灵活性，能够根据实际情况和紧急程度进行调整和变动。
因为极端天气的发展和变化具有不确定性，必须随时调整预案来应对具体情况。
3.协同性原则：预案的制定需要多个相关部门的共同参与和协作。
只有各部门之间形成紧密配合和有效沟通，才能在关键时刻迅速行动，提高应急响应的效率和协同性。
二、极端天气应急预案的具体内容（一）应急组织架构1.建立应急指挥部，由相关部门的领导担任指挥部的负责人，负责统一指挥和协调应急工作。
2.划定应急队伍，包括消防、医疗、抢险救援等专业队伍。
同时，要进行众志成城的宣传教育，动员社会各界参与应急工作。
（二）预警与警报发布1.建立健全的气象监测和预警系统，及时获取天气变化信息。
2.制定预警信号和警报发布规范，确保信息的准确、及时传递给公众。
（三）人员疏散与避难1.制定科学合理的疏散方案，确保人员的安全有序疏散。
2.划定避难区域和避难设施，提前做好准备工作，保障群众的基本生活需求。
（四）物资保障与供应1.建立物资储备体系，包括食品、饮用水、药品等基本生活物资。
2.确保物资的质量和供应，制定合理的物资调度和储备制度。
（五）公众宣传与教育1.加强灾害知识的宣传教育，提高公众的灾害防范意识和应对能力。
2.发布及时准确的应急信息，指导公众采取正确的行动。
三、极端天气应急预案的执行与评估应急预案的制定只是第一步，更重要的是执行和评估。
1872年10月,恩格斯的著作《论权威》,指出了权威对于共产主义运动的极端重要性
1872年10月,恩格斯的著作《论权威》,指出了权威对于共产主义运动的极端重要性.1871年,巴黎公社惨遭资产阶级合力围剿和残酷镇压,国际共产主义运动陷入低谷,而国际工人运动中的宗派主义,特别是巴枯宁无政府主义者加紧了分裂活动,他们炮制了一系列无政府主义论调和反对权威原则的政治主张,并企图篡夺第一国际总委员会领导权。
为批驳巴枯宁及其追随者,1872年10月至1873年3月,恩格斯写下了光辉著作《论权威》。
这是一篇揭露和批判无政府主义与反权威主义的战斗檄文,也是全面阐述“维护党中央权威”的光辉著作。
一、无产阶级维护党中央权威的必要性巴枯宁坚持认为,一个社会并不需要任何权威来管辖谋划,相反,自然法才是世界上最真切的道理,通过遵守自然法,人们就会懂得如何生活。
于是,他号召“打倒一切权威”,主张建立个人绝对自由基础上的“完全自治”的无政府社会;鼓吹工人阶级自发暴动,反对一切国家,甚至主张在24小时内废除一切国家。
面对巴枯宁主义对于无产阶级权威原则的种种谬论和歪曲责难,恩格斯分别从社会化大生产、社会组织管理和政治生活运行三个维度,论证了无产阶级政党的权威原则尤其是维护党中央权威的必要性。
二、党中央权威根植于人民的理性认同与自觉服从由于巴枯宁分子鼓吹“无政府”“无国家”“无政党”,权威原则往往被理解为“对自由的压制”或者“不必要的恶”。
于是权威与自由被置于绝对对立位置,认为二者水火不相容,强调权威的存在一定会压制自由或者是削弱自由,这显然是对权威与自由辩证关系的错误理解。
马克思主义经典作家强调接受权威意识并不意味着要放弃自由,无产阶级权威原则意味着人们在服从权威的同时可以保持个人自由,并且也是为了更好地实现自由。
当然,权威范畴内在地包含着统治与服从的对立统一关系,需要大多数社会成员认同并遵从其规范。
恩格斯在《论权威》中有明确的表述:“这里所说的权威,是指把别人的意志强加于我们;另一方面,权威又是以服从为前提的”。
个人极端事件防范工作制度
个人极端事件防范工作制度一、目的为了预防和减少个人极端事件的发生，保障人民群众的生命财产安全，维护社会稳定，根据国家有关法律法规和政策，制定本制度。
二、适用范围本制度适用于各级政府、有关部门、企事业单位、社会团体、基层组织和公民个人在预防个人极端事件中的行为规范。
三、工作原则1. 预防为主，综合治理。
充分发挥预防工作的主导作用，综合运用法律、行政、经济、教育、心理等多种手段，全面排查化解各类风险隐患。
2. 分工负责，协同配合。
各级政府、有关部门、企事业单位、社会团体、基层组织和公民个人都要明确责任，密切协作，共同做好个人极端事件的预防工作。
3. 突出重点，分类施策。
针对不同领域、不同人群、不同事件类型，制定有针对性的防范措施，确保预防工作取得实效。
4. 法治思维，法治方式。
坚持依法预防、依法处置，充分发挥法治在预防个人极端事件中的重要作用。
四、工作措施1. 建立健全信息共享机制。
各级政府、有关部门要定期收集、分析、研判个人极端事件预防信息，实现信息共享，提高预防工作的针对性和有效性。
2. 加强重点人群管理服务。
对易发极端事件的重点人群，要落实关爱帮助措施，定期开展心理咨询、法治教育等工作，切实降低极端事件发生的风险。
3. 强化基层防范工作。
基层组织要发挥网格化管理作用，加强对重点区域、重点单位的巡查监控，及时发现并化解矛盾纠纷。
4. 提升应急处突能力。
各级政府、有关部门要制定应急预案，组织开展应急演练，提高应对个人极端事件的能力。
5. 严厉打击违法犯罪行为。
公安机关要依法严厉打击危害公共安全的违法犯罪行为，及时消除安全隐患。
6. 广泛开展宣传教育。
通过多种形式，普及个人极端事件预防知识，提高人民群众的自我防范意识和能力。
7. 完善政策措施。
各级政府、有关部门要根据实际情况，制定和完善相关政策措施，为预防个人极端事件提供有力保障。
五、工作流程1. 风险排查：各级政府、有关部门、企事业单位、社会团体、基层组织要定期开展风险排查，发现潜在风险隐患及时报告。
正态分布3σ 原则
正态分布3σ原则
1正态分布3σ原则
正态分布3σ原则是指极端值（离群值）是按照一定概率发生的。
它遵循三项原理，即：
1.大约有68％的数据在平均值的1σ之内，即（平均值±
1σ）；
2.大约有95％的数据在平均值的2σ之内，即（平均值±
2σ）；
3.大约有99％的数据在平均值的3σ之内，即（平均值±
3σ）。
如此，数据分别在平均值的3σ以内外区域分为四部分，从而使得数据有所控制，以便有助于对数据进行研究分析，比如统计学检验，校正数据等。
2应用
正态分布3σ原则也可用于制定一些准则，例如：
1.检测机械容许误差的工程设计和数学计算，将有效控制误差率不大于3σ，以确保其在实际运行中的精度；
2.生产商品的质量控制，也可以采用正态分布的3σ原则，确保商品的质量出货标准；
3.对生产能力的要求，如可靠性，耐用性和安全性做出限制，以保证它们达到足够的水平，而不会偏离正态分布3σ标准。
3结论
正态分布3σ原则是一种有效的检测数据，制定准则的方法。
它可以有效控制极端值的出现，将数据的变化范围控制在一定的范围之内，从而确保数据在研究或分析统计时能达到一定的准确性和合理性，为科学研究提供了便利。
但是此外，要有意识控制原有数据和极端值，并以此为依据进行研究，否则会造成不确定结论或者错误结论。
2023八省联考数学试卷及答案
2023八省联考数学试卷及答案2023届八省联考数学试卷及答案T8联考被人们戏称为“第二次全国大联考”，虽然“T8联考”试题的难度很大，但还是有些学生考出了不错的成绩，以下是关于2023八省联考数学试卷及答案的相关内容，供大家参考!2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题及答案2023八省联考参与省份八省联考参与联考的省份有：广东、江苏、河北、湖南、辽宁、湖北、重庆、福建。
八省联考是一场跨越八省八校的联考，往年参加八省联考的学校有：福州一中(福建)、东北育才中学(辽宁)、石家庄二中(河北)、华中师大一附中(湖北)、西南大学附中(重庆)、南京师大附中(江苏)、湖南师大附中(湖南)、广东实验中学(广东)。
新高考适应性考试参考对象是应届高三生、往届复读生、以及参加了高考报名的社会高考生。
这些考生如果没有不可抗拒因素是都要参加的，因此在八个省份中，办有高三班级教学的学校是都要参加八省联考的。
部分省份除了以上重点中学参加外，还有其他高中校也会参与八省联考，有这么多名校共同把关，强强联合，想必对于新高考的热点趋势把握还是比较到位的，考试试卷有一定的参考价值，所有的同学们都可以试着做一下这套卷子。
八省联考可以让学生了解新高考模式：通过这次联考模拟考试，使考生适应“不分文理，必考+选考”的新高考模式，熟悉考试流程、试卷结构和题型难度。
高三数学复习技巧1.重视数学能力的培养现阶段，高三数学复习正处于紧张阶段，我们应该重视学生数学能力的培养，教会学生将知识转化成能力的本领，以此帮助他们尽快解决各种数学考题。
这亦是数学核心素养的重要要求。
如，学生复习几何知识时，可以将身边的皮球、水杯、易拉罐作为研究事物，通过简化、抽象等方式转化成课本中的几何图形，这样就能锻炼自己的数学抽象能力。
这样的复习技巧看似简单，却能增强想象能力，为日后数学渗透生活奠定基础。
2.增强复习时的自我思考跟随老师能快速解题，自己时却不得要领，这是因为自我思考较少，没有形成正确的解题思维。
反对极端个人主义
关于“个人主义”，存在着一些不同的解释和看法，归纳起来无非如下几种。
一种认识不同意把个人主义和利己主义挂起钩来，认为个人主义主张人是目的，人人平等，强调个人价值、个性自由，这都是人性解放的产物，是和资本主义市场经济相吻合的一种价值观。
而且认为个人主义中许多内容，对我们今天进行的市场经济建设也很有利。
个人主义作为一种社会原则有所不妥，但作为人生价值观却是可取的。
还有一种观点，是把个人主义和利己主义挂起钩来，认为个人主义虽然并不等于利己主义，但至少包含有利己主义，个人主义和利己主义确有许多不同之处，但在本质上，都强调个人利益、自我价值的至上性，强调以个人为本位，在总的价值目标上最终走向一致。
一、个人主义的由来个人主义作为一种思潮和作为一个概念，其产生并不是同步的。
个人主义思想应当说早在古希腊智者派“人是万物的尺度”命题中就已有所包含，但作为真正的思想体系迅速成熟起来，还是在近代资本主义发展初期。
从文艺复兴一直到启蒙运动，最突出的问题是封建专制和以上帝的名义对人的尊严和权利的剥夺。
人道主义和个人主义就是在反对这两种压迫的斗争中应运而生的。
人道主义和个人主义凸显的是人的地位、尊严和权利，关注的是人与人之间的平等而不是等级贵贱。
这些思想在促进人的解放和社会进步方面都起了积极作用，也适应了早期资本主义生产关系发展的需要，但由于中世纪压抑专制达到了极端，在反对这种极端时，资产阶级思想家在针锋相对的批判中，免不了带有相反极端的性质。
比如，当时法国人文主义者拉伯雷在其《巨人传》中，描写了一个修道院的生活，以此表达他所理想的社会状态和生活原则。
在这个修道院里唯一的院规是：“想做什么就做什么。
”由此可见在资产阶级最初发展阶段，人道主义和个人主义一起，形成了一种以人为中心，追求自由平等的观念思潮，但同时也夹杂产生了一些极端利己的个人主义思想。
也就是说，差不多从一开始，个人主义思想就是从两个层面上被表现着。
有些资产阶级思想家，典型的如英国的霍布斯，从人的利己本性出发论证利己主义的合理性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明 记 S j a1 a2 a j , j 1,2,, n． 由题设条件有 S n j (a1 a2 an ) (an1 an2 an j ) S j ． 可见,和数列{S k } 的各项中最多只有有限个不同 的值 S1 , S 2 , , S n , 其中必有最小的数, 记为 S m ． 取N m 1，则 S N k S N 1 a N a N 1 a N k am1 am 2 am k 1 S m k 1 S m 0 ． 得证. 注:上述证明过程中,若 S m 取最大的,则 a N a N 1 a N k 0 ．
2.求解问题,用极端原理探路 利用极端情况试探,常能有效地探索出解题 途径,打通解题思路. 例12 已知平面上有2n+3个点,其中无三点共线, 也无四点共圆.求证:存在三点,过这三点的圆使 其余2n个点一半在圆内,一半在圆外. 分析 先考虑n=1这个极端情形. 这时,平面上有 5个点.在这5点中找两点 A、B ,使其余三点 P1、P 2、P3 都在AB 同侧,则由任四点不共圆知 P1、P2、P3 对线段 不妨设 1 2 3 , 过 A、B、P2 AB 的张角 1、 2、 3 互不相等. 三点作圆,则点 P1在圆外, P 3在圆内. 仿此不难推广到一般.
例3 设在空间给出20个点,其中某些点涂黄色, 其余点涂红色. 已知在任何一个平面上同色的 点不超过3个. 求证:存在一个四面体,它的四个 顶点同色, 且至少有一个侧面内不含异色点. (1990年首届“希望杯”高一第二试) 证明 20个点分为两种颜色,其中必有4点同色. 由已知,它们不在一个平面上, 因而可组成一个 四面体． 这种顶点同色的四面体仅有有限个,设其中 体积最小的四面体为T. 若T的每个侧面均含有 一个与顶点异色的点, 则这四个异色的点组成
第六节 极端性原则
极端性原则 反证法 存在性问题的解决：
构造法
其它
直接抓住全体研究对象中的极端情形或它 们所具有的某种极端性质而加以研究,化难为 易, 化繁为简, 最终达到解决问题的思想方法, 称为极端性原则. 一.几个极端性原则 1.最大(最小)数原理 Ⅰ.有限个实数组成的数集中,必存在最大 的数,也存在最小的数; Ⅱ.自然数的任何非空子集必有最小的数, 负整数的任何非空子集必有最大数.
证明20个点分为两种颜色,其中必有4点同色. 由已知,它们不在一个平面上,因而可组成一个 四面体． 这种顶点同色的四面体仅有有限个, 设其中 体积最小的四面体为T. 若T的每个侧面均含有 一个与顶点异色的点, 则这四个异色的点组成 一个体积比Ｔ更小的四面体.这与T是体积最小 且顶点同色的四面体矛盾. 因此,T的侧面至少有一个不含异色点. 得证. 注: 本题从几个角度多次应用极端性原则.
a 4b
2
2
2 (a 2b)
1 因此,有 ab ． 得证. 4
3.规划论的一个基本原则 这是规划论中的一种等值线模式. 主要用于 约束条件为平面或空间区域的条件最值问题. 寻找目标函数的几何意义是使用的关键.
例7 设x、y 满足 x y 2, x 4 y 8 0,3x 2 y 6 0, 求 f ( x, y) 4 x 2 9 y 2 8x 3的最大值和最小值． 4( x 1) 2 9 y 2 1, 这表示以 解 设 t 4 x 2 9 y 2 8x 3, 则 t 1 t 1 t 1 t 1 (1,0) 为中心,以 2 , 3 为半轴的椭圆系.由于可 行区域为三角形区域, 由图易见,当椭圆与直线 椭圆过另两条直线交 x y 2 相切时 t 取最小值； 点时 t 取最大值. 2 将 y 2 x 代入椭圆系方程,得13 x 28 x 39 t 0. 311 14 12 311 14 12 t , 由 0 得 13 相应有切点( , )， t min f ( , ) ； 故 13 13 13 13 13 x 4y 8 0 又由 得交点(4,3), 故 t max f (4,3 ) 180．
可见,和数列{S k } 的各项中最多只有有限个不同 的值 S1 , S 2 , , S n , 其中必有最小的数, 记为 S m ． 取N m 1，则 S N k S N 1 a N a N 1 a N k a a a m1 m 2 m k 1
再看一般情况： 如图(向极端 情形转化)过 E 作直线 PQ ∥AB , 则点 Q趋于点 P 时,左、右两图 形趋于极端情形． 注意到 S AEP S AEQ , S EFP S EFQ , 有 S ABEP 2S AEP 2S AEQ , S ECDP 2S EFP 2S EFQ , 两式相加得 S ABCD 2S AEF 12 ． 故所求面积的最小 值为 (S ABCD ) min 12 .
例2 已知实数列{ak }(k 1,2,)具有下列性质:存 在自然数 n 满足a 1 a 2 a n 0 及 a n k a k ( k 1 ,2 ,) ． 求证:存在自然数 N , 使得当k 0,1,2, 时有不等 式 a N a N 1 a N k 0 成立.(1975年,波兰) 证明 记 S j a1 a2 a j , j 1,2,, n． 由题设条件有 S n j (a1 a2 an ) (an1 an2 an j ) S j ．
3x 2 y 6 0
4.其它 例8 [居中] 将2,3,4,5,6,7,8,9,10,11这10个数 填入到图中10个格子里,每个格子里只填一个 数,使得“田”字形的4个格子里所填的数字 之和都等于 p, 求p的最小值, 并给出相应的一 种填法.(江苏省第十七届初中数学竞赛(初二))
i 1
1 的闭 4
i 1
则有 xi AB a, y i 2 BC 2b．
i 1
i 1
5
5
于是 1≥ L Pi Pi 1 x y
i 0
i 1 2 i
4
5
2 i
( xi ) 2 ( y i ) 2
i 1 i 1
5
5
闵可夫斯基不等式 (请读者思考)
y
x
二.极端原理的作用与应用 1.解答问题,用极端原理奠基 某些数学问题的解答具有叠加性或叠乘性, 解答时首先要依赖于某些极端情况, 其他情况 的解答是建立在极端情况的基础上的.这里,极 端原理起着“基石”的作用.
例10 设凸四边形 ABCD的 AB 边上三等分点为 P、Q ， 边上三等分点为 S、R ，且 PR与 QS 不在 CD 1 ABCD内相交,求证: S PQSR 3 S ABCD . 证明 先考虑极端情况: A与 D重合时,由相似 三角形性质可得
S PQSR S ASQ S ARP
1 S ABC ． 3 下面考虑原命题
4 1 S ABC S ABC 9 9
连AC, 设 M 、N 是其三等分点.则由上面的讨论 可知,只要证 S MPR S NQS 即可. 事实上,由平行线性质知 PMR QNS , 又由中
位线性质知,
PM NS 1 , 故利用三角形面积公 QN MR 2
1 式 S ab sin C 可得 S ] 如图, AEF内接于矩形ABCD, AEF 90 , AE 4, EF 3,则矩形ABCD 面积的最小值 为 ． (1999年上海市高中) 解 先考虑两种极端情况: 当AEF 的边与矩形的边重合时, 其最小覆盖矩形如图a, b, 易知 都有矩形面积 S ABCD 12 ． 如图 再看一般情况： (向极端情形转化) 过 E 作直线 PQ ∥AB , 则点 Q 趋于点 P 时, 左、右两 图形趋于极端情形.
例4 设m是不能表示为3个互不相等的合数之 和的最大整数,则 m= .(04年全国初中第1试) 解 互不相等的合数中,最小的3个是4、6、8, 而4+6+8=18, 故17不能表示为3个互不相等的 合数之和, 于是m≥17. 对大于或等于18的整数n,若 n=2k(k＞9), 则 n=4+6+2(k-5); 若n=2k-1(k＞10),则n=4+9+2(k -7). 可见, 任何大于或等于18的整数均可以表示为 3个互不相等的合数之和, 于是m＜18. 综上,m=17.
例１ 已知 a1 , a2 ,, an与 b1 , b2 ,, bn 是正数,并且有 n n an a1 a 2 2 2 ai bi 1, 求证: b , b ,, b 中存在一个
i 1 i 1
1
2
n
值不大于１. (1979年,广东省) a1 an a1 a 2 证明 在 , ,, 中必有最小的数,不妨设为 ．
注: 本题求解过程中除用到了极端性原则,还 用到了分类、构造、估算等多种思想方法,具 有一定的综合性.
例5 求证:平面上不存在这样的100个点,使其中 每一点都是它们中某两点连线段的中点.(04年 江苏省数学夏令营) 分析 本题直觉上显而易见, 但用常规方法难于 入手. 现用极端性原则来证明. 证明 (反证法)若存在,从100个点中找出两点A 和B,使线段AB是这100个点中两两距离的最大 者. 依题意,这100个点在中存在两点C和D,使点 B是线段CD的中点. (1)若点C在直线AB上,则点D也在直线AB上.
2.最短长度原理 (ⅰ)任意给定两点,则连接这两点的所有连线 中,以直线段的长度为最短． (ⅱ)连接给定的一已知点与已知直线或已知平 面的所有连线中,以垂线段的长度为最短.
例6 求证:单位长的任何曲线能被面积为 矩形覆盖.(1969年,美国普特南) 证明 设曲线端点 P0、P5 所在的直线为l,边AB平 行于 l 的矩形ABCD是覆盖曲线的最小矩形.则 曲线与矩形的四边都有公共点 (记为P1 , P2 , P3 , P4 ), 4 且折线长 L Pi Pi 1≤曲线长1． 1 i 0 设折线段在 l上的投影长为 xi (i 1,2,3,4,5), 在垂直于 l 的直 线上的投影长为yi (i 1,2,3,4,5). 5 5 于是 则有 xi AB a, y i 2 BC 2b．