2019-2020江苏省常州市天宁区正衡中学九年级数学图形的相似的性质5(2)

2019-2020江苏省常州市天宁区正衡中学九年级数学图形的相似的性质（2）一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长之比是（）【A】1：16【B】1：4【C】4：1【D】1：2【答案】D【分析】本题考查了相似的性质。

解：因为面积比是1：4，所以相似比是1：2，周长比等于相似比。

2.已知ΔABC∽ΔDEF，若ΔABC与ΔDEF的相似比为34，则ΔABC与ΔDEF对应的中线比为（）【A】43【B】34【C】169【D】916【答案】A【分析】本题考查了相似的性质。

解析：因为ΔABC∽ΔDEF，所以中线比等于相似比为433.在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）【A 】【B 】【C 】【D 】【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形解答：∵DH 垂直平分AC ，∴DA ＝DC ，AH ＝HC ＝2，∴∠DAC ＝∠DCH ， ∵CD ∥AB ，∴∠DCA ＝∠BAC ，∴∠DAH ＝∠BAC ，∵∠DHA ＝∠B ＝90°， ∴△DAH ∽△CAB ，∴AB AH AC AD =，∴24y x = ∴y ＝X8，∵AB ＜AC ，∴x ＜4， ∴图象是D ．故选：D ．4.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA ＝1：25，则S △BDE 与S △CDE 的比是（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：25【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．．【解答】解：∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△COA ，又S △DOE ：S △COA ＝1：25，∴ DE AC ＝15， ∵DE ∥AC ，∴15BE DE BC AC ==， ∴ BE EC ＝14， ∴S △BDE 与S △CDE 的比是1：4，5. 如图，矩形ABCD 的边长AD ＝3，AB ＝2，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF ＝2FC ，AF 分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为（ ）【A 】522 【B 】2029 【C 】423 【D 】524 【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质。

解答：过F 作FH ⊥AD 于H ，交ED 于O ，则FH ＝AB ＝2∵BF ＝2FC ，BC ＝AD ＝3，∴BF ＝AH ＝2，FC ＝HD ＝1，∴AF ＝22AH FH +=22∵OH ∥AE ， ∴31==AD DH AE OH ∴OH ＝31AE ＝31 ∴OF ＝FH −OH ＝2−31=35， ∵AE ∥FO ，∴△AME ∽FMO ， ∴53==FO AE FM AM ∴AM=423 ∵AD ∥BF ，∴△AND ∽△FNB ，52653,23====AF AN BF AD FN AN ,所以MN=AN=AM=2029423526=- 故选：B ．6. 如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE ＝45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE ＝∠BAD ．有下列结论：①FD ＝FE ；②AH ＝2CD ；③BC •AD ＝22AE ；④ADF ABC S S4=；其中正确的个数为（ ） 【A 】1个【B 】2个【C 】3个【D 】4个【答案】D【分析】全等三角形的判定与性质。

解: 由直角三角形斜边上的中线性质得出FD ＝21AB ，证明△ABE 是等腰直角三角形，得出AE ＝BE ，证出FE ＝21AB ，延长FD ＝FE ，①正确； 证出∠ABC ＝∠C ，得出AB ＝AC ，由等腰三角形的性质得出BC ＝2CD ，∠BAD ＝∠CAD ＝∠CBE ，由ASA 证明△AEH ≌△BEC ，得出AH ＝BC ＝2CD ，②正确；证明△ABD ～△BCE ，得出ADBE AB BC =，即BC •AD ＝AB •BE ，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC •AD ＝22AE ③正确；S △ADF=2△ABD S ，所以ADF ABC S S 4=④正确。

7. 如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别是PB 、PC （靠近点P ）的三等分点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S1、S2、S3，若AD ＝2，AB ＝32，∠A ＝60°，则S1＋S2＋S3的值为（ ）【A 】310 【B 】29 【C 】313 【D 】4【答案】A【分析】平行四边形的性质解析：先作辅助线DH ⊥AB 于点D ，然后根据特殊角的三角函数值可以求得DH 的长度，从而可以求得平行四边形的面积，然后根据三角形的相似可以求得S1＋S2＋S3的值．解答：作DH ⊥AB 于点H ，∵AD ＝2，AB ＝23，∠A ＝60°，∴DH ＝AD •sin60°＝3，∴S ▱ABCD ＝AB •DH ＝6，∴S2＋S3＝S △PBC=3，又∵E 、F 分别是PB 、PC （靠近点P ）的三等分点，∴S1＋S2＋S3＝3108.如图，在△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，则∠B=【答案】37°【分析】本题考查了相似的性质。

解：∠B=∠ADE=37°9.如图，在平行四边ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC =3，则S△BCF=【答案】12【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△EFD∽△CFB，∵E是边AD的中点，∴DE＝12 BC，∴S_(△DEF)：S_(△BCF)＝1：4，∵S_(△DEF)＝3，∴S_(△BCF)＝12，10.如图，AC⊥BC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与ACB的角平分线交于点E，连接BE，若SΔACE =76，SΔBDE=143，则AC=【答案】2【分析】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．等比替换法寻找相似三角形设BC＝4x，根据面积公式计算，得出BC＝4BD，过E作AC，BC的垂线，垂足分别为F，G；证明CFEG为正方形，然后在直角三角形ACD中，利用三角形相似，求出正方形的边长（用x表示），再利用已知的面积建立等式，解出x，最后求出AC＝BC＝4x即可．解：过E作AC，BC的垂线，垂足分别为F，G，设BC＝4x，则AC＝4x，∵CE是∠ACB的平分线，EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF＝EG，又S_(△ACE)＝67，S_(△BDE)＝314，∴BD＝14AC＝x，∴CD＝3x，∵四边形EFCG是正方形，∴EF＝FC，∵EF∥CD，∴EF AFCD AC＝，即434EF x EFx x－＝，解得，EF＝127x，则12×4x×127x＝67，解得，x＝12，则AC＝4x＝2，故答案为：2．11、如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB，且CD=AB=4,连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥于点G，交AD于点H，则HG的长为。

【答案】 3－5．【分析】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．解：∵AB＝CD＝4，C为线段AB的中点，∴BC＝AC＝2，∴AD＝25，∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形，∴∠HEA ＝∠EAB ，BC ＝GE ＝2，又∵AE 是∠DAB 的平分线，∴∠EAB ＝∠DAE ，∴∠DAE ＝∠HEA ，∴HA ＝HE ，设GH ＝x ，则HA ＝HE ＝HG ＋GE ＝2＋x ，∵EH ∥AC ，∴△DHG ∽△DAC ，∴ (DH )/(DA )＝ (HG )/(AC )，即2 5－(2＋x )2 5＝x 2， 解得：x ＝3－ 5，即HG ＝3－ 5，故答案为：3－ 512.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A （43，53），点D 的坐标为（0，1） （1）求直线AD 的解析式；（2）直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．【答案】（1）y ＝12x ＋1；（2）E （2，2），或（3，52）． 【分析】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的性质．【解答】解：（1）设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A （43，53），D （0，1）代入得：⎩⎪⎨⎪⎧43k ＋b ＝ 53b ＝1， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝ 12b ＝1．故直线AD的解析式为：y＝12x＋1；（2）∵直线AD与x轴的交点为（－2，0），∴OB＝2，∵点D的坐标为（0，1），∴OD＝1，∵y＝－x＋3与x轴交于点C（3，0），∴OC＝3，∴BC＝5∵△BOD与△BEC相似，∴①BD BO OD BC BE CE＝＝，∴215BE CE＝＝，∴BE＝25，CE＝5，∵B C﹒EF＝BE﹒CE，∴EF＝2，CF∴E（2，2），②OB OD BC CE＝，∴215CE ，∴CE＝5 2，∴E（3，52）．即：E（2，2），或（3，52）．13.如图，△ABC中，AB＝AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．（1）求证：AD∥BC；（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF＝4，求BC的长．【答案】BC=8.【分析】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题属于中等题型（1）根据AB＝AC，AD平分∠CAE，可知2∠CAD＝2∠BCA，从而可知AD∥BC（2）由于CG⊥AD，AD平分∠CAE，△CAG是等腰三角形，从而可知AF是△GBC的中位线，所以BC＝2AF．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA∵AD平分∠CAE∴∠CAF＝∠CGF，∵∠CAG＝∠B＋∠BCA∴2∠CAD＝2∠BCA∴∠CAD＝∠BCA∴AD∥BC（2）由于CG⊥AD，AD平分∠CAE∴△CAG是等腰三角形，∴CF＝GF∵AF∥BC∴AF是△GBC的中位线，∴BC＝2AF＝814、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM＝BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．【答案】见解析【分析】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．解：解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°， ∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝10，BC ＝35．由题意知：BM ＝2t ，CN ＝t 3，∴BN ＝35-t 3，∵BM ＝BN ，∴2t ＝35−t 3，解得：t ＝153103235-=+． （2）分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时， 则BC BN AB MB =，即35335102t t -=， 解得：t ＝25． ②当△NBM ∽△ABC 时， 则BC BM AB NB =，即35210335t t =- 解得：t ＝715． 综上所述：当t ＝25或t ＝715时，△MBN 与△ABC 相似． （3）过M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，∴△BMD ∽△BAC ， ∴ABBM AC MD =， 即1025t MD =， 解得：MD ＝t ．设四边形ACNM 的面积为y ， ∴y ＝21×5×5t t •--）（335213=387522523+-）（t ． ∴根据二次函数的性质可知，当t ＝25时，y 的值最小．此时，y 最小＝8375 15、从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A ＝40°，∠B ＝60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线．（2）在△ABC 中，∠A ＝48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数．（3）如图2，△ABC 中，AC ＝2，BC ＝ .【答案】见解析【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．解：解：（1）如图1中，∵∠A ＝40°，∠B ＝60°，∴∠ACB ＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝21∠ACB ＝40°， ∴∠ACD ＝∠A ＝40°，∴△ACD 为等腰三角形，∵∠DCB ＝∠A ＝40°，∠CBD ＝∠ABC ，∴△BCD ∽△BAC ，∴CD 是△ABC 的完美分割线．（2）①当AD ＝CD 时，如图2，∠ACD ＝∠A ＝48°，∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝96°．②当AD ＝AC 时，如图3中，∠ACD ＝∠ADC ＝180°−48°2＝66°，∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝114°．③当AC ＝CD 时，如图4中，∠ADC ＝∠A ＝48°， ∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∵∠ADC ＞∠BCD ，矛盾，舍弃．∴∠ACB ＝96°或114°．（3）由已知AC ＝AD ＝2，∵△BCD ∽△BAC ， ∴BC BDBA BC =，设BD ＝x ， ∴())2(22+=x x ，∵x ＞0，∴x ＝13-，∵△BCD ∽△BAC ， ∴213-==BC BD AC CD ，∴CD ＝213-×2＝26-．。