初三数学三角函数(含答案)
初三数学《三角函数的实际应用》答案
专题08《三角函数的实际应用》题型一、利用仰角和俯视解决问题【例1】如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．【详解】解：在直角三角形ACO中，sin75°＝＝≈0.97，解得OC≈38.8，在直角三角形BCO中，tan30°＝＝≈，解得BC≈67.3．答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm．小明在楼高AB＝15米的楼顶A处测得一电视塔底部C的俯角为31°，测得塔顶D的仰角为52°，求楼顶A到塔顶D的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.80，sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）【详解】解：如图，作AE⊥CD于点E．则CE＝AB＝15米．∵在直角△ACE中，tan∠EAC＝，∴AE＝＝＝18.75（米）．∵直角△ADE中，cos∠DAE＝，∴AD＝＝≈30（米）．答：楼顶A到塔顶D的距离约为30米．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×＝＝480km，BD＝AB•cos67°＝520×＝＝200km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝200×＝，∴AC＝AD+CD＝480+≈480+115＝595（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】【详解】解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB＝42°，∵tan∠AEB＝，∴BE＝≈15÷0.90＝，在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20，∴ED＝CD＝20，∴BD＝BE+ED＝+20≈36.7（m）．答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．【例2】如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）【详解】解：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，tan31°＝，∴BD＝≈＝x，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，tan39°＝，∴CD＝≈＝x，∵BC＝BD﹣CD，∴x﹣x＝80，解得：x＝180．即山的高度为180米；（2）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，sin39°＝，∴AC＝＝≈282.9（m）．答：索道AC长约为282.9米．【变式2-1】为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上（如图所示）．该小组在标杆的F 处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为45°，平面镜E的俯角为67°，测得FD＝2.4米．求旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【详解】解：作FG⊥AB于G，设AB为x米，由题意得，四边形FDBG为矩形，∴BG＝DF＝2.4，FG＝BD，∵FG∥BD，∴∠FED＝∠GFE＝67°，在Rt△EDF中，tan∠FED＝，∴DE＝≈2.4÷＝1，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG＝AG＝x﹣2.4，在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，即BE＝≈x，由题意得，x﹣2.4＝1+x解得，x≈6，答：旗杆AB的高度约为6米．如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．设塔高AE＝x，由题意得，EF＝BE﹣CD＝56﹣27＝29m，AF＝AE+EF＝（x+29）m，在Rt△AFC中，∠ACF＝36°52′，AF＝（x+29）m，则CF＝≈＝x+，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，AB＝x+56，则BD＝AB＝x+56，∵CF＝BD，∴x+56＝x+，解得：x＝52，答：该铁塔的高AE为52米．某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一竖起的建筑物CD，高为10米，数学小组为了测量假山的高度DE，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为35°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，求假山的高度DE．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）【详解】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上，设DE的长为x米，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米，在Rt△ADE中，∠A＝35°，AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x，tanA＝，∴tan35°＝≈，解得：x≈70，答：假山的高度DE约为70米．题型二、方位角的应用【例1】钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）【详解】解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°，在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝20×＝10（海里），在Rt△BCD中，BC＝＝＝20（海里）．答：此时船C与船B的距离是20海里．【变式1-1】如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32︒方向．已知120CD m =，80BD m =，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）． （参考数据：17sin 3232︒≈，17cos3220︒≈，5tan 328︒≈，27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 42)10︒≈【详解】解：过C 作CE AB ⊥于E ，DF AB ⊥交AB 的延长线于F ，则//CE DF ，//AB CD ，∴四边形CDFE 是矩形，120EF CD ∴==，DF CE =，在Rt BDF ∆中，32BDF ∠=︒，80BD =，17cos32806820DF BD ∴=︒=⨯≈，1785sin 3280322BF BD =︒=⨯≈， 1552BE EF BF ∴=-=， 在Rt ACE ∆中，42ACE ∠=︒，68CE DF ==，9306tan 4268105AE CE ∴=︒=⨯=，155********AB AE BE m ∴=+=+≈，答：木栈道AB 的长度约为139m ．【变式1-2】如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68︒方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30︒且距离A 点20海里的C 处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，求救生船到达B 处行驶的距离？（参考数据：sin 680.90︒≈，cos680.36︒≈，tan 68 2.50︒≈，1.7)≈【详解】解：如图，延长BC 交AN 于点D ，则BC AN ⊥于D ．在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，30DAC ∠=︒，1102CD AC ∴==，AD =．在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，68DAB ∠=︒，22B ∴∠=︒，46.81sin ADAB B ∴=≈∠，cos 46.810.9343.53BD AB B =∠≈⨯=，43.531033.53BC BD CD ∴=-=-=，答：救生船到达B 处行驶的距离是33.53km ．【例2】我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A地出发，组织学生利用导航到B、C两个地区进行研学考察活动，出发时，发现C地恰好在A地正北方向，且距离A地15.3千米．但是导航显示路线应沿北偏东45°方同走到B地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离（精确到1千米）．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.7）【详解】解：过B作BD⊥AC，在Rt△ABD中，∠A＝∠ABD＝45°，∴AD＝BD＝x千米，∵AC＝15.3千米，∴CD＝AC﹣AD＝（15.3﹣x）千米，在Rt△BCD中，∠C＝37°，∴tan37°＝＝0.7，即x＝（15.3﹣x）×0.7，解得：x＝6.3，即BD＝6.3千米，∵sinC＝＝0.6，即BC＝＝＝10.5≈11千米，则B，C两地的距离为11千米．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈【详解】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，∴ON＝MC，OM＝NC，设OM＝x，则NC＝x，AN＝840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN＝45°，∴ON＝AN＝840﹣x，则MC＝ON＝840﹣x，在Rt△BOM中，BM＝＝x，由题意得，840﹣x+x＝500，解得，x＝480，答：点O到BC的距离为480m．码头A、B位于东西走向的河岸线l上，一游轮在P处测得码头A在其北偏东70°，游轮向东航行10分钟后到达Q处，此时测得码头B在其北偏东35°．已知游轮的速度为30千米/小时，两码头A、B相距2千米．（1）求点P到河岸线l的距离；（2）若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则它至少需要多长时间才能到达码头B？（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）【详解】解：（1）过点B作BE⊥PQ于E，作BF∥AP交PQ于点F．∵AB∥PQ，BF∥AP，∴四边形APFB是平行四边形，∴PF＝AB＝2千米，∠EFB＝∠EPA＝20°，∴FQ＝PQ﹣PF＝30×﹣2＝3（千米）．在△BFQ中，∵∠BFQ＝20°，∠FQB＝90°+35°＝125°，∴∠FBQ＝180°﹣∠BFQ﹣∠FQB＝35°，设BE＝x，FQ＝FE﹣QE，FE＝x•tan70°，QE＝35×tan35°，可得x•tan70°﹣35×tan35°＝3，解得x＝．答：点P到河岸线l的距离是千米；（2）∵BQ ＝千米，游轮的速度为30千米/小时，∴该游轮按原速度从点Q 驶向码头B 的时间为：÷30＝（小时）． 答：若该游轮按原速度从点Q 驶向码头B ，则它至少需要小时才能到达码头B ．【变式2-3】海岛A 的周围8 n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东67︒，航行12n mlie 到达C 点，又测得小岛A 在北偏东45︒方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：12sin 6713︒≈，5cos 6713︒，12tan 67)5︒≈【详解】解：作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，设AD 为xnmile ，由题意得，906723B ∠=︒-︒=︒，904545ACD ∠=︒-︒=︒，则tan 45CD AD x =︒=，12tan 675BD AD x =︒≈，BD CD BC -=， 由题意得，12125x x -=， 解得607x =，6087nmile nmile <，∴渔船没有触礁的危险．题型三、综合类【例1】如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°．（1）求CD与AB之间的距离；（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【详解】解：（1）CD与AB之间的距离为x，则在Rt△BCF和Rt△ADE中，∵＝tan37°，＝tan67°，∴BF＝≈x，AE＝≈x，又∵AB＝62，CD＝20，∴x+x+20＝62，解得：x ＝24，答：CD 与AB 之间的距离约为24米；（2）在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，∵BC ＝≈＝40，AD ＝≈＝26，∴AD+DC+CB ﹣AB ＝40+20+26﹣62＝24（米），答：他沿折线A →D →C →B 到达超市比直接横穿马路多走约24米．【变式1-1】如图，某学校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，在距离CD 正后方28米的观测点P 处，以22︒的仰角测得建筑物的顶端C 恰好挡住教学楼的顶端A ，而在建筑物CD 上距离地面2米高的E 处，测的教学楼的顶端A 的仰角为45︒，求教学楼AB 的高度（结果保留整数，2tan 22)5︒≈．【详解】解：如图，作EF AB ⊥于F ，则四边形EFBD 是矩形．45AEF ∠=︒，90AFE ∠=︒，45AEF EAF ∴∠=∠=︒，EF AF ∴=，设EF AF x ==，则BD EF x ==，在Rt PAB ∆中，2AB x =+，28PB x =+，tan 22ABPB ∴︒=， ∴22528x x +=+， 解得15x ≈，217AB x ∴=+=．答：教学楼AB 的高度约为17m ．【变式1-2】如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24米，小明在点E （B ，E ，D 在一条直线上）处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8米到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB 长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【详解】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6m，HF＝GE＝8m，MF＝BE，HN＝GD，MN ＝BD＝24m，设AM＝xm，则CN＝xm，在Rt△AFM中，MF＝，在Rt△CNH中，HN＝，∴HF＝MF+HN﹣MN＝x+x﹣24，即8＝x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB＝11.7+1.6＝13.3m，答：教学楼AB的高度AB长约为13.3m．在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN＝18.6°，最大夹角∠MDN＝64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.6°≈0.32，tan18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan64.5°≈2.1）【详解】解：设CD＝x米，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠CDB＝∠PDN＝18.6°，CB＝CD×tan18.6°≈0.34x米，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠CDA＝∠MDN＝64.5°，AC＝CD×tan64.5°≈2.1x米，∵AB＝2米，AB＝AC﹣BC，∴2.1x﹣0.34x＝2，解得：x≈1.1，即遮阳篷中CD的长约为1.1米．如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE 的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）【详解】解：由题意可得：tan72°＝＝＝，解得：BC＝，则AB＝BC+AC＝+2＝（m），故sin35°＝＝＝，解得：AE≈26.2，答：拉索AE的长为26.2m．【变式1-5】2018年2月17日上午10点34分，我国自主研制的第二架C919大型客机在上海浦东国际机场进行首次飞行，这意味着C919大型客机逐步拉开全面试验试飞的新征程．这大大激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）【详解】解：∵BN∥ED，∴∠NBD＝∠BDE＝37°，∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴BE＝DE•tan∠BDE≈18.8（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA＝∠CAM＝45°，∴AF＝FC＝25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD＝EF，∵AE＝AB+EB＝35.8（cm），∴CD＝EF＝AE﹣AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．【变式1-6】如图，在一条河流的两岸分别有A，B，C，D四棵景观树，已知AB∥CD，某数学活动小组测得∠DAB＝45°，∠CBE＝73°，AB＝10m，CD＝30m，请计算这条河的宽度．（参考数据：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈）【详解】解：分别过C，D作CF⊥AE于F，DG⊥AE于F，∴∠AGD＝∠BFC＝90°，∵AB∥CD，∴∠FCD＝90°，∴四边形CFGD是矩形，∴CD＝FG＝30m，CF＝DG，在直角三角形ADG中，∠DAG＝45°，∴AG＝DG，在直角三角形BCF中，∠FBC＝73°，∴tan∠FBC＝，tan73°＝，即，解得DG＝，∵AG＝AB+BF+FG＝DG，即10+BF+30＝，解得：BF＝m，则DG＝m，答：这条河的宽度为m．【课堂练习】1、如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i＝1：，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）【详解】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，则四边形DMCN是矩形，∵DA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：，∴DN＝AD＝3，AN＝AD•cos30°＝6×＝3，设大树的高度为x，∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，∴tan48°＝≈1.11，∴AC＝，∴DM＝CN＝AN+AC＝3+，∵在△ADM中，＝，∴x﹣3＝（3+）•，解得：x≈13．答：树高BC约13米．2、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：）【详解】解：设CD＝x米．在Rt△ACD中，，则，∴；在Rt△BCD中，tan48°＝，则，∴．（4分）∵AD+BD＝AB，∴，解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．（6分）3、若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）【详解】解：∵扶梯AB的坡度i为1：，∴AD：DB＝1：即DB＝AD．在Rt△ADB中，∵AD2+DB2＝AB2，∴AD2+3AD2＝102解得AD＝±5．因为﹣5不合题意，所以AD＝5．在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，∴AC＝≈≈19.2（m）答：改造后的自动扶梯AC的长约为19.2m．4、共享单车为人们的生活带来了极大的便利．如图，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离为49cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°，68°．若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为5cm，求点E到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝＝0.4x，由AB＝49知x+0.4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝5，∴EF＝BEsin68°＝4.65，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+4.65≈67.7（cm），答：点E到地面的距离约为67.7cm．。
初三数学三角函数(含答案)
初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
a 2b 2c 24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值； 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tan A cot B cot A tan Bcot-1 ~3~6、 正弦、余弦的增减性：当0°w < 90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小7、 正切、余切的增减性：当0° < <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的 边和角。
依据：①边的关系： a 2b 2c 2;②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。
（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角（2）坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。
用字母i 表示，即i y 。
坡度一 般写成1: m 的形式，如i 1:5等。
把坡面与水平面的夹角记作 （叫做坡角），那么h + i tan 。
l3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图 3, OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30° （东北方向）， 南 偏东45° （东南方向），南偏西60° （西南方向）， 北偏西60° （西北方向）。
铅垂线*视线 ‘ 仰角水平线俯角1*视线初三数学三角函数综合试题一、填空题： 1、在 Rt △ ABC 中/C = 90°, a = 2, b = 3,则 cosA =_, sinB =_ , tanB = ___ 2、直角三角形 3、已知tan ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm , / A 是锐角，则sinA = =—, 是锐角，贝U sin 12 + ) + cos 2(40 ° 4、 cos 2(50° — _______ ? 5、 如图1,机器人从A 点，沿着西南方向，行了个4,：2单位，至U 达 60°的方向上，贝U 原来 )—tan(30)tan(60 ° + 到原点O 在它的南偏东 保留根号).A 的坐标为B 点后观察 _ (结果 NMNC 0(2)10cm 周长为36cm 则一底角的正切值为_、3的山坡走了 50米，则他离地面 米高。
初三数学锐角三角函数试题答案及解析
初三数学锐角三角函数试题答案及解析1.（2013四川乐山）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，过点P作PA⊥x轴于点A，则OA＝3．在Rt△POA中，∵，∴．∴．∴．故选A．2.（2013广东汕头）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，则sinA＝________．【答案】【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴．∴．3.（2014江苏无锡）如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________．【答案】【解析】设AC、BD交于点O．在Rt△AEO中，，即，解得．∵四边形ABCD是平行四边形，∴．4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC的值为________．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)【答案】24【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以，即，所以AC＝32·tan37°≈32×0.75＝24．5. (2014江苏无锡)如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________．【答案】【解析】如图，在直角△AOE中，，∴．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴．6. (2014四川宜宾)规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny．据此判断下列等式中成立的是________(写出所有正确的序号)．①；②；③sin2x＝2sinx·cosx；④sin(x－y)＝sinx·cosy－cosx·siny．【答案】②③④【解析】①，故①错误；②sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°，故②正确；③sin2x＝sinx·cosx＋cosx·sinx＝2sinx·cosx，故③正确；④sin(x－y)＝sinx·cos(－y)＋cosx·sin(－y)＝sinx·cosy－cosx·siny，故④正确．7. (2014福建三明)如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树之间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树之间的水平距离AC为5.3～5.7米．问：小明种植的这两棵树是否符合这个要求？(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)【答案】符合要求【解析】在Rt△ACB中，AB＝6米，∠A＝20°，∴AC＝AB·cosA≈6×0.94＝5.64(米)．又5.3＜5.64＜5.7，∴小明种植这两棵树符合要求．8. (2014浙江绍兴)某校九(1)班的同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．(1)如图①，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求α的度数．(2)如图②，第二小组用皮尺量得EF的长为16米(E为护墙上的端点)，EF的中点距离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点距离地面FB的高度．(3)如图③，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P处测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达点Q处，测得A的仰角为60°，求旗杆的高度AE(精确到0.1米．参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，，)．【解析】(1)∵BD＝BC，∴∠CDB＝∠DCB，∴α＝2∠CDB＝2×38°＝76°．(2)设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H，如图①．∴MN∥EH，又M为EF的中点，∴MN为△EFH的中位线，又∵MN＝1.9米，∴EH＝2MN＝3.8米，∴E点距离地面FB的高度是3.8米．(3)延长AE，交PB于点C，如图②．设AE＝x米，则AC＝(x＋3.8)米．∵∠APB＝45°，∴PC＝AC＝(x＋3.8)米．∵PQ＝4米，∴CQ＝x＋3.8－4＝(x－0.2)米．∵，∴，解得x≈5.7，即AE≈5.7米．答：旗杆的高度AE约为5.7米．9.（2014贵州六盘水）为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动．下图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得数据如下：①小明的身高DC＝1.5m；②小明的影长CE＝1.7m；③小明的脚到旗杆底部的距离BC＝9m；④旗杆的影长BF＝7.6m；⑤从D点看A点的仰角为30°．请选择你需要的数据，求出旗杆的高度．（计算结果精确到0.1，参考数据：，）【答案】6.7m【解析】解法一：选用①、②、④．∵AB⊥FC，CD⊥FC，∴∠ABF＝∠DCE＝90°．又∵AF∥DE，∴∠AFB＝∠DEC．∴△ABF∽△DCE．∴．又∵DC＝1.5m，FB＝7.6m，EC＝1.7m，∴AB≈6.7m．即旗杆高度约为6.7m．解法二：选用①、③、⑤．如图，过D点作DG⊥AB于G点．∵AB⊥FC，CD⊥FC，∴四边形BCDG为矩形．∴CD＝GB＝1.5m，DG＝BC＝9m．在Rt△AGD中，∠ADG＝30°，∴，∴m．又∵AB＝AG＋GB，∴（m），即旗杆高度约为6.7m．10.为了响应某市人民政府“形象重于生命”的号召，在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅．如图所示，在乙建筑物的顶点D处测得条幅顶端点A的仰角为45°，测得条幅底端点E的俯角为30°，求底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的水平距离BC．（精确到1米）【答案】19米【解析】要求BC的长，即求△ADE中AE边上的高，如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F．由题意，得∠ADF＝45°，∠EDF＝30°，∴AF＝DF．在Rt△DFE中，．∵AE＝30，∴，解关于DF的方程得．又∵DF＝BC，∴．∴甲、乙两建筑物之间的水平距离约为19米．11.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长．【答案】15【解析】先解直角三角形BCD，求得BC＝DC＝6，再解直角三角形ABC，由正弦的定义可得，从而得．所以在较复杂的图形中求线段的长度时，有时要通过两次或更多次解直角三角形才能达到目的．因为∠C＝90°，∠BDC＝45°，所以∠DBC＝45°，所以BC＝DC＝6．在Rt△ABC中，，所以，即AB的长为15．12. (2014福建漳州)将一盒足量的牛奶按如图①所示的方式倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图②是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度．(结果精确到0.1cm．参考数据：，)【答案】约5.5cm【解析】过点P作PN⊥AB于点N，由题意可得∠ABP＝30°，AB＝8cm，则AP＝4cm，cm．∵．∴(cm)，∴(cm)．∴容器中牛奶的高度约为5.5cm．13.如图，某翼装飞行运动员从离水平地面高AC＝500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离（结果精确到1m）．【答案】1575米【解析】如图，过点D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分别为E，F，∵AC⊥BC，∴四边形ECFD是矩形，∴EC＝DF．在Rt△ADE中，∠ADE＝15°，AD＝1600．∴AE＝AD·sin∠ADE＝1600sin15°，DE＝AD·cos∠ADE＝1600cos15°，∵EC＝AC－AE，∴EC＝500－1600sin15°．在Rt△DBF中，BF＝DF·tan∠FDB＝ECtan15°，∴BC＝CF＋BF＝1600cos15°＋（500－1600sin15°）·tan15°≈1575．∴运动员飞行的水平距离约为1575米．14.（2014江苏南通）如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁，海轮以18海里／时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？【答案】没有【解析】如图，过点P作PH⊥AB于点H，则∠PHB＝90°．∵海轮的速度是18海里／时，行驶了40分钟，∴（海里），由题意可得∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBH＝90°－30°＝60°，∴∠APB＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴BP＝AB＝12．在Rt△PBH中，，所以．∵，∴海轮不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．15.已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，，求a，b，c的值及∠A的度数．【答案】，b＝3，，∠A＝30°【解析】先求∠A，再根据∠A的三角函数关系及已知列方程组求a，b，最后利用勾股定理求c．∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°．∵∠B＝60°，∴∠A＝30°．由直角三角形的边角关系，得，即，所以，又∵，∴解得∴，∴，b＝3，，∠A＝30°．16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD．求AC的长和cos∠ADC的值．【答案】4；【解析】在Rt△ABC中，∵BC＝8，，∴AC＝4．设AD＝x，则BD＝x，CD＝8－x，由勾股定理，得（8－x）2＋42＝x2．解得x＝5．∴．17.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长．（结果保留根号）【答案】【解析】在Rt△ADC中，∠C＝90°，，∠ADC＝60°，因为，即，所以AD＝2．由勾股定理得：．所以BD＝2AD＝4，BC＝BD＋DC＝5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝5，由勾股定理得：，所以Rt△ABC的周长为．18.已知：如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6，求BC的长．（结果保留根号）【答案】【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴AD＝BD，设AD＝x，又∵AB＝6，∴Rt△ABD中，x2＋x2＝62，解得，即．在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴∠CAD＝30°，∴，即，∴，∴．19. (2014福建厦门)sin30°的值是( )A．B．C．D．1【答案】A【解析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．．故选A．20. (2014贵州铜仁)cos60°＝________．【答案】【解析】．。
初中数学三角函数难题(含答案)
1．已知等边△ABC内接于⊙O，点D是⊙O上任意一点，则sin∠ADB的值为（）A．1 B．C． D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是．3．观察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos45°=③sin60°=cos30°=…根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．4．有四个命题：①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．其中正确命题的序号是（注：把所有正确命题的序号都填上）．5．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，则cosA= ．7．如果α是锐角，且sin2α十cos235°=1，那么α=度．8．因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣；因为cos45°=，cos225°=﹣，所以cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°=﹣；猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知cos240°的值等于．9．在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C= ．10．在△ABC中，（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，则∠A= ．11．若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β；②若α+β=90°，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=．其中正确命题的序号是．（多填或错填得0分，少填的酌情给分）12．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：sin260°+cos260°=1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．13．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B 的大小．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M 从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC的长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．15．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．16．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号1．已知等边△ABC内接于⊙O，点D是⊙O上任意一点，则sin∠ADB的值为（）A．1 B．C． D．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角，∴∠ADB=60°．∴sin∠ADB=sin60°=．故选C．2．（2013•崇明县一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是．【解答】解：∵∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，∵将△BCD沿着直线BD折叠，∴C1点恰好在斜边AB上，∴∠DC1A=90°，∴∠ADC1=∠ABC，∵AB=5，AC=4，∴sin∠ADC1=．故答案为：．3．（2012•衡阳）观察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos45°=③sin60°=cos30°=…根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= 1 ．【解答】解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．4．（2010•防城港）有四个命题：①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．其中正确命题的序号是①④（注：把所有正确命题的序号都填上）．【解答】解：①因为sin45°=cos45°=，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；③根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣，x1x2=．∴x1+x2+x1x2=，是正数．故此选项错误；④根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确．故正确的有①④．5．（2011•莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为 5 ．【解答】解：如图所示，延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．6．（2007•眉山）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，则cosA= ．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，∴设BC=3x，则AC=4x，∴AB=5x，∴cosA===．7．（2002•西城区）如果α是锐角，且sin2α十cos235°=1，那么α=35 度．【解答】解：∵sin2α十cos235°=1，∴α=35°．8．（2010•湛江）因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣；因为cos45°=，cos225°=﹣，所以cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°=﹣；猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知cos240°的值等于﹣．【解答】解：∵当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，∴cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．9．（2013•邵阳模拟）在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C= 105°．【解答】解：∵sinA=，cosB=，∴∠A=30°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故答案为：105°．10．（2012•海南模拟）在△ABC中，（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，则∠A= 105°．【解答】解：∵（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，∴tanC﹣1=0，﹣2cosB=0，即tanC=1，cosB=，又∵B、C在同一个三角形中，∴B=30°，C=45°，∴A=180°﹣30°﹣45°=105°．故答案是105°．11．（2011•九江模拟）若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β；②若α+β=90°，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=．其中正确命题的序号是①②④．（多填或错填得0分，少填的酌情给分）【解答】解：∵sinα＜sinβ，则α＜β；故此选项正确；②若α+β=90°，则sinα=cos（90°﹣α）=cosβ，∴故此选项正确；③存在一个角α，sinα=，∴sinα≤1，∴sinα=1.02，故此选项错误；④tanα=．根据对应边之间关系得出，故此选项正确．故答案为：①②④．12．（2008•庆阳）附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：sin260°+cos260°=1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．【解答】解：存在的一般关系有：（1）sin2A+cos2A=1；（2）tanA=．证明：（1）∵sinA=，cosA=，a2+b2=c2，∴sin2A+cos2A==1．（2）∵sinA=，cosA=，∴tanA==，=．13．（2013•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B 的大小．【解答】解：（1）由题意得，sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=﹣，sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°=；（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣，将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0，经检验﹣是方程4x2﹣1=0的根，∴m=0符合题意；②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意；③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0，经检验不是方程4x2﹣1=0的根．综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．14．（2010•密云县）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．【解答】解：（1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形．∴KH=AD=3．在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4•=4，BK=AB•cos45°=4=4．在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3．∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG．∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．∵DG∥MN，∴∠NMC=∠DGC．又∵∠C=∠C，∴△MNC∽△GDC．∴，即．解得，．（3）分三种情况讨论：①当NC=MC时，如图③，即t=10﹣2t，∴．②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E．解法一：由等腰三角形三线合一性质得：EC=MC=（10﹣2t）=5﹣t．在Rt△CEN中，cosC==，又在Rt△DHC中，cosC=，∴．解得t=．解法二：∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，∴△NEC∽△DHC．∴，即．∴t=．③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC=NC=t．解法一：（方法同②中解法一），解得．解法二：∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC．∴，即，∴．综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形．15．（2015•甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．【解答】解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，EF∥AB，CD⊥AB于点D．∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD==90×=90．在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，∴DB==30．∴AB=AD+BD=90+30=120．答：建筑物A、B间的距离为120米．16．（2013•遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，（结B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．果保留根号）【解答】解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=20×=10（海里），在Rt△BCD中，BC===20（海里）．答：此时船C与船B的距离是20海里．。
初三数学利用三角函数解直角三角形含答案
解直角三角形中考要求知识要点模块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等． 四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．cb CBA六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．例题精讲【例2】 如图所示，O 的直径4AB =，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作O 的切线，切点为C ，连接AC ．（1）若30CPA ∠=︒，那么PC 的长为 ．为O 的切线，tan303=︒的大小没有变化七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位． （一）仰角与俯角图(3)北图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB ．【答案】作DE AB ⊥于E ，作DF BC ⊥于F ，在Rt CDF ∆中30400DCF CD ∠=︒=，米，1sin304002002DF CD =⋅︒=⨯＝(米)cos30400CF CD =⋅︒=米) 在Rt ADE ∆中，60ADE ∠=︒，设DE x =米， ∴tan 60AE x =︒⋅(米)在矩形DEBF 中，200BE DF ==米，在Rt 45ACB ACB ∆∠=︒中，，∴AB BC =， 200x +=，解得200x =，∴200AB AE BE =+=（）米【巩固】如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ， 两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）【解析】过点C 作CH AD ⊥于H ，过B 作BE AH ⊥于E ，BF CH ⊥于F ，由题意得604530CBF CAH BAH ∠=︒∠=︒∠=︒，，200CH m =， 设BC x =米，在Rt BFC ∆中，由cos BF CBF BC ∠=，sin CFCBF BC∠=1cos sin 2BF BC CBF x CF BC CBF =∠==∠=，，易得 FE D BCADCB AACH ∆是等腰直角三角形，所以200AH CH ==，从而12002002AE AH EH x BE FH =-=-==，，在Rt ABE ∆中，tan30BE AE =︒，由此得12002002x ⎫=-⎪⎝⎭，解得200146.4x =≈，根据题意，电缆的实际长度约为 146.4 1.2175.7⨯≈米【答案】175.7（二）坡度与坡角图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．（1）请你帮助小王在下图中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．【答案】（1）图形补全如右图所示：O CA（2） ∵1:0.754:3i ==∴:4:3CH EH =在Rt CHE ∆中，5CE = ∴43CH EH ==， ∴437DH DE EH =+=+= 在Rt ODH ∆中，222HO DH OD += 即()()222477r r ++=+，解得83r =．（三）方向角【例8】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45︒方向、点B 的北偏东30︒方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒．（1）求B D ，之间的距离； （2）求C D ，之间的距离．【解析】（1）如图，由题意得，4530EAD FBD ∠=︒∠=︒，．∴ 451560EAC EAD DAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒． ∵ AE BF CD ∥∥， ∴ 60FBC EAC ∠=∠=︒． ∴ 30DBC ∠=︒．又∵ DBC DAB ADB ∠=∠+∠， ∴ 15ADB ∠=︒．∴ DAB ADB ∠=∠． ∴ 2BD AB ==． 即B D ，之间的距离为2km ．（2）过B 作BO DC ⊥，交其延长线于点O 在Rt DBO ∆中，260BD DBO =∠=︒，．∴2sin 6022cos60DO BO =⨯︒===⨯︒ 在Rt CBO ∆中，30tan30CBO CO BO ∠=︒=⋅︒， ∴CD DO CO =-==km ）． 即C D ，之间的距离为km 【答案】（1）之间的距离为2km ； （2）之间的距离为km ．332B D ，C D ，332和平路文化路中山路30°15°45°FEDCBA 和平路文化路中山路ABC DEF45°15°30°O【巩固】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响． （1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ （3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【答案】⑴ 过A 作AD BC ⊥于D ，∵220AB =，30B ∠=︒， ∴110AD =由题意A 距台风中心不超过(124)20160-⨯=km 时，将会受到台风影响， ∴该城市会受到台风影响．⑵ 在BD 上取点E ，DC 上取点F ，使160AE AF ==，则由题意知：台风中心到达点E 时，该城市即开始受台风影响；台风中心到达点F 时，该城市即结束影响．由勾股定理得，DE∴EF =∵该台风中心以15km/h 的速度移动， ∴=． ⑶ 当台风中心位于D 时，A 市所受这次台风影响的风力最大，其最大风力为11012 6.520-=级（四）其它【例9】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈)【解析】在Rt ABO ∆中，可求得cos15 1.80.97 1.75AO AB =⋅︒=⨯≈米，在Rt CDO ∆中，可求得sin150.468DO AB =⋅︒≈米 ∴ 1.750.468 1.28AD =-=米【答案】1.28米【巩固】如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．（1）求AO 与BO 的长；（2）若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．【答案】⑴ Rt AOB ∆中，90O ∠=︒，60α∠=︒∴30OAB ∠=︒，又4AB =米， ∴122OB AB ==米．sin 604OA AB =⋅==米 ⑵ 设2AC x =，3BD x =，在Rt COD ∆中，2OC x =，23OD x =+，4CD =根据勾股定理:222OC OD CD +=∴()()2222234xx ++=∴(213120x x +-=∵0x ≠∴13120x +-，∴x =2AC x == 即梯子顶端A 沿NO米 ⑶ ∵点P 和点P '分别是Rt AOB ∆的斜边AB 与Rt ''A OB ∆的斜边''A B 的中点∴PA PO =，'''P A P O = ∴PAO AOP ∠=∠，P A O A OP ''''∠=∠ ∴P A O PAO A OP AOP ''''∠-∠=∠-∠ ∴15P A O PAO POP '''∠-∠=∠=︒∵30PAO ∠=︒，∴45P A O ''∠=︒∴cos454A O A B '''=⨯︒==∴AA OA A O ''=-=米【例10】 关于三角函数有如下的公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()(1tan tan 0)1tan tan αβαβαβαβ++=-⋅≠-⋅利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如图1图2图3tan 45tan 60tan105tan(4560)(21tan 45tan 60︒+︒︒=︒+︒===--︒⋅︒根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α为60︒，底端C 点的俯角β为75︒，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42米，求建筑物CD 的高． 【解析】过点D 作DE AB ⊥于E ，依题意在Rt ADE △中，60ADE α∠=∠=︒，tan 60tan 60AE ED BC =⋅︒=⋅︒=．在Rt ACB △中，75tan75ACB AB BC β∠=∠=︒=⋅︒， ∵tan 45tan 30tan 75tan(4530)21tan 45tan 30︒+︒︒=︒+︒==-︒⨯︒∴42(284AB =⨯+=+∴8484CD BE AB AE ==-=+（米）【答案】建筑物的高为84米．课堂检测1． （2011•遵义）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长6AB cm =，45ABC ∠=︒，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使30ADC ∠=︒（如图所示） （1）求调整后楼梯AD 的长； βαDCBAE βαDCBAACB∠=．【解析】过点C作CD PB∥，则6045ACD BCD∠=︒∠=︒，所以6045105ACB∠=︒+︒=︒【答案】105°课后作业水坡CD 的坡度为2，坝高CF 为2m ，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30︒，D 、E 之间是宽为2m 的人行道，试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由(在地面上，以点B 为圆心．以AB 的长为半径的圆形区域为危险区域)．【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，得矩形HBFC 连接DF∵21CF DF =，2CF =(m) ∴1DF =(m)∴2CF HB ==(m)，15HC BF ==(m) 在Rt AHC ∆中，tan3015tan30AH HC =⋅︒=⨯︒=，∵210.66(m)AB AH HB =+=≈ 12(m)BE BD ED =-=F E人行道DCB AFE人行道30︒H DCBA∴,AB BE∴不需将此人行道封上．【答案】不需将此人行横道封上。
初中数学 函数模块3-5--锐角三角函数讲义(含答案解析)
锐角三角函数题型一：正切的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于对边与邻边的比值．即tan aA b=，根据直角三角形三边关系易证，0tan A <，()090︒<∠<︒A ①角的正切值例1.1如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若1EB =，2EC =，则tan DCE ∠为（）A .12B .2C D 【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴90B ∠=︒，//AB CD ∴DCE BEC ∠=∠，∵1EB =，2EC =，∴BC ==，∴tan tan ∠=∠==BCDCE BEC BE；故答案选D ．变式1.11.如图，在直角BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使12DC BD =，连接AC ，若tanB=53，则tan CAD ∠的值（）A.3B.5C.13D.15【答案】D 【解析】【分析】延长AD ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，由5tan 3B =，即53AD AB =，设5AD x =，则3AB x =，然后可证明CDE BDA ∆∆∽，然后相似三角形的对应边成比例可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得32CE x =，52DE x =，从而可求1tan 5EC CAD AE ∠==．【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，5tan 3B =，即53AD AB =，∴设5AD x =，则3AB x =，CDE BDA ∠=∠Q ，CED BAD ∠=∠，CDE BDA ∴∆∆∽，∴12CE DE CD AB AD BD ===，32CE x ∴=，52DE x =，152AE x ∴=，1tan 5EC CAD AE ∴∠==．故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将CAD ∠放在直角三角形中．②网格图中求正切值例1.2如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为________．【详解】解：如图，由格点知：AB ==，AC ∵12=⋅⋅ ABC S BC AE 1432=⨯⨯6=，12=⋅⋅ ABC S AB CD 12=⨯=，6=，∴CD =．∴AD ==．∴tan 2==CDA AD．故答案为：2.变式1.22.如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 分别是小正方形的三个顶点，则sin BAC ∠的值为（）A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】【分析】连接BC ，先根据勾股定理求得AB 、BC 、AC 的长，然后再利用勾股定理逆定理证得ABC ∆是直角三角形，最后根据正弦的定义解答即可【详解】解：如图：连接BC ，每个小正方形的边长均为1，AB ∴==BC ==AC ==，222AB BC AC += ，ABC ∆∴是直角三角形，sin2BC BAC AC ∴∠===．故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定义，根据题意证得ABC ∆是直角三角形是解答本题的关键．③利用图形的变换求正切值例1.3如图，矩形ABCD 中，5AB =，3BC =，E 为边AB 上一点，且3BE =，DAE△沿DE 翻折得到DFE △，连接BF ，tan ∠EFB 的值为________．【详解】解：过点F 作FO AO ⊥于点O ，作FH AB ⊥于点H ，过B 作BG FE ⊥于点G ，∵折叠∴90DAE DFE ∠=∠=︒∴180︒∠=-∠ADF AEF ∵180∠=︒-∠FEB AEF ∴ADF FEB∠=∠∵90∠=∠=︒EGB DOF ，3DF AD ==，3BE =∴DF BE=∴() ≌DOF EGB AAS ∴=GB OF532AE AB BE =-=-=∵13112222=⋅==⋅=⋅= FEB S BE FH FH FE GB AE GB GB ∴32GB FH =∵四边形OAHF 中，四个内角均为90︒，∴四边形OAHF 是矩形，∴=FH AO ∵=GB FO ∴32=FO AO3=∴22(3)9+-=FO AO ∴2413=AO 或0AO =（舍去）∴241531313==-=OD EG ∴3243621313==⨯=FO GB Rt FGB V 中，363613tan 1511213GB GFB GF ∠===-∴36tan 11∠=EFB 故答案为：3611．变式1.33.如图，在菱形纸片ABCD 中，3AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则tan EFG ∠的值为________．【答案】3【解析】【分析】连接AE 交GF 于O ，连接BE ，BD ，则△BCD 为等边三角形，设AF=x=EF ，则BF=3-x ，依据勾股定理可得Rt △BEF 中，BF 2+BE 2=EF 2，解方程（3-x ）2+2=x 2，即可得到EF=218，再根据Rt △EOF 中，=即可得出tan ∠EFG=EO FO =．【详解】解：如图，连接AE 交GF 于O ，连接BE ，BD ，则△BCD 为等边三角形，∵E 是CD 的中点，∴BE ⊥CD ，∴∠EBF=∠BEC=90°，Rt △BCE 中，CE=cos60°×3=1.5，∴Rt △ABE 中，由折叠可得，AE ⊥GF ，EO=12，设AF=x=EF ，则BF=3-x ，∵Rt △BEF 中，BF 2+BE 2=EF 2，∴（3-x ）2+）2=x 2，解得x=218，即EF=218，∴Rt △EOF 中，=，∴tan ∠EFG=EO FO =【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，对应边和对应角相等．解题时，常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．题型二：正弦的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于对边与斜边的比值．即sin aA c=，根据直角三角形三边关系易证，0sin 1A <<，()090︒<∠<︒A ①角的正弦值例2.1在ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，2sin 3A =，则边AC 的长是（）A B .3C .43D 【详解】解答：在Rt ABC △中，∵22sin 3===BC A AB AB ，∴3AB =，∴根据勾股定理，得AC =故选A ．变式2.14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1BC =，4AB =，则sin B 的值是（）A.5B.14C.13D.4【答案】D 【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AC 的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，∴AC ===∴4AC sinB AB ==，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．②网格图中求正弦值例2.2如图，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（）A .12B C .10D 【详解】解：如图所示，取格点D ，连接DC ，由网格可得出DC =，AC =，AD =，∵222+=∴222DC AD AC =+，则：90CDA ∠=︒，故sin5===DCA AC ．故选：B ．变式2.25.正方形网格中，∠AOB 如图放置，则sin ∠AOB 的值为（）A.2B.2C.3D.1【答案】B【解析】【分析】如图，连接AD ，CD ，根据勾股定理可以得到OD=AD ，则OC 是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到△ODC 是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．【详解】解：如图，连接AD ，CD ，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到：，，∠OCD=90°．则=∴sin ∠AOB=2CD OD ==，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．③利用图形的变换求正弦值例2.3如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AC 上一点，连接BD ，将ABC 沿BD翻折，点C 落在边AB 的点C '处，连接CC '．若15AB =，4sin 5A =，则CC '长________．【详解】如图，设BD 与CC '的交点为点O ，∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，15AB =，4sin 5A =，∴45BC AB =，即4155BC =，解得12BC =，∴9==AC ，由翻折的性质得：12'==BC BC ，C D CD '=，90'∠=∠=︒BC D ACB ，∴15123''=-=-=AC AB BC ，设AD x =，则9C D CD AC AD x '==-=-，在Rt AC D ' 中，222AC C D AD ''+=，即2223(9)x x +-=，解得5x =，∴5AD =，4CD =，在Rt BCD 中，BD ==又∵BC BC '=，C D CD '=，∴BD 是CC '的垂直平分线，∴BD CC '⊥，2'=CC OC ，∴Rt 1122=⋅=⋅ BCD S BC CD BD OC ，即1112422⨯⨯=⨯，解得5OC =，∴25'==CC OC ，故答案为：5．变式2.36.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 对折，点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点F ．（1）求证：BFD △是等腰三角形；（2）若4BC =，2CD =，求AFB ∠的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）45【解析】【分析】（1）根据矩形性质和平行线的性质得∠ADB =∠CBD ，结合折叠性质得出∠ADB =∠DBF ，再根据等腰三角形的判定即可证得结论；（2）设BF=DF =x ，则AF=4﹣x ，利用勾股定理求解x 值，再根据正弦定义求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ADB =∠CBD ，由折叠性质得：∠DBF =∠CBD ，∴∠ADB =∠DBF ，∴BF=DF ，∴△BFD 是等腰三角形；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC =4，AB=CD =2，∠A =90°，设BF=DF =x ，则AF=4﹣x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：22+（4﹣x ）2=x 2解得：x =52，∴sin ∠AFB =24552AB BF ==，即AFB ∠的正弦值为45．【点睛】本题考查矩形性质、折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正弦定义、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．题型三：余弦的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于邻边与斜边的比值．即cos b A c=，根据直角三角形三边关系易证，0cos 1A <<，()090︒<∠<︒A 角的余弦值例3.1如图，在Rt ABC 中，90C ∠︒＝，13AB =，5AC =，则cos A 的值是________．【详解】解：在Rt ABC 中，5cos 13AC A AB ==，故答案为：513．变式3.17.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则cos A ＝_____．【答案】45【解析】【分析】根据勾股定理求出边BC 的长，利用余弦定理cos A=A A ∠∠的临边的斜边即可解得．【详解】Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，所以所以cos A =AC AB =810=45.【点睛】本题考查勾股定理以及余弦定理．②网格图中求余弦值例3.2如图，已知ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cos A 的值为________．【详解】解：如图所示：连接BD ，可得：90CDB ∠=︒，BD =，AD =AB ，故cos5AD A AB ===．．变式3.28.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的余弦值是____．【答案】5【解析】【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵AB 2＝32+42＝25、AC 2＝22+42＝20、BC 2＝12+22＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，则cos ∠BAC 5AC AB ==，．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．③利用图形的变换求余弦值例3.3如图，在菱形纸片ABCD 中，2AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则cos EFG ∠的值为________．【详解】过点A 作AP CD ⊥，交CD 延长线于P ，连接AE ，交FG 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴2AD AB ==，∵将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，∴∠=∠AFG EFG ，FG AE ⊥，∵//CD AB ，AP CD ⊥，∴AP AB ⊥，∴90∠+∠=︒PAE EAF ，∵90∠+∠=︒EAF AFG ，∴∠=∠PAE AFG ，∴∠=∠EFG APE ，∵//CD AB ，60DAB ∠=︒，∴60PDA ∠=︒，∴sin 6022=⋅︒=⨯=AP AD ，1cos60212=⋅︒=⨯=PD AD ，∵E 为CD 中点，∴112DE AD ==，∴2=+=PE DE PD ，∴==AE ，∴cos cos7∠=∠===AP EFG PAE AE ．故答案为7变式3.39.如图，在菱形ABCD 中，4AB =，B Ð是锐角，AE BC ⊥于点E ，M 是AB 的中点，连接MD ，ME ．若90EMD ∠=︒，则cos B 的值为___________．【答案】12【解析】【分析】延长DM 交CB 的延长线于点H ．首先证明△ADM ≌△BHM ，得出AD=HB=4，MD=MH ，由线段垂直平分线的性质得出EH=ED ，设BE=x ，利用勾股定理构建方程求出x ，即BE ，结合AB 得出cosB 的值.【详解】解：延长DM 交CB 的延长线于点H ．如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=4，AD ∥CH ，∴∠ADM=∠H ，∵M 是AB 的中点，∴AM=BM ，在△ADM 和△BHM 中，AMD BMH ADM H AM BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM ≌△BHM （AAS ），∴AD=HB=4，MD=MH ，∵∠EMD=90°，∴EM ⊥DH ，∴EH=ED ，设BE=x ，∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，∴∠AEB=∠EAD=90°，∵AE 2=AB 2-BE 2=DE 2-AD 2，∴42-x 2=（4+x ）2-42，解得：x=2-，或x=2--（舍），∴BE=2，∴cosB=2142BE AB-==.故答案为：12-.【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．题型四：同角三角函数关系（拓展）1.若90A B ∠+∠=︒，则sin cos A B =，sin cos B A =，tan tan 1A B ⋅=2.平方关系：22sin cos 1A B +=3.比值关系：sin tan cos =AA A例4若α是锐角，tan tan501⋅︒=α，则α的值为（）A .20︒B .30°C .40︒D .50︒【详解】解：∵tan tan501⋅︒=α∴5090+︒=︒α∴40α=︒．故选C ．变式410.比较大小：sin81︒________tan 47︒；cos30︒________tan 60︒．（填“>，<或=”）【答案】①.<②.<【解析】【分析】①把sin81︒、tan 47︒分别与1进行比较，即可得到答案；②分别求出cos30︒、tan 60︒的值，然后进行比较即可．【详解】解：∵sin811︒<，tan 47tan 451︒>︒=，∴sin81tan 47︒<︒；∵cos302=°，tan 60︒=又∵2<，∴0cos30tan 6︒<︒；故答案为：<；<；【点睛】本题考查了三角函数的比较大小，解题的关键是正确的掌握三角函数的值，然后进行比较．题型五：特殊角的三角函数值①特殊角的三角函数值的混合运算例5.1计算：sin 30cos 601sin 60cos 45tan 60sin452︒︒+︒-︒︒+︒．【详解】原式1122=+，===，=；变式5.111.计算：（1）28sin 60tan 454cos30︒+︒-︒；（2）222tan 60cos 30sin 45tan 45︒+︒-︒︒．【答案】（1）7-；（2）134．【解析】【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可；（2）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【详解】解：（1）原式281422⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭3814=⨯+-7=-；（2）原式222122⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31342=+-134=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的关键．②由特殊角的三角函数值判断三角形的形状例5.2在ABC 中2(2cos |1tan |0-+-=A B ，则ABC 一定是（）A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【详解】解：由2(2cos |1tan |0-+-=A B ，得2cos A =，1tan 0B -=．解得45A ∠=︒，45B ∠=︒，则ABC 一定是等腰直角三角形，故选：D ．变式5.212.在ABC 中，若tanA=1，cosB=2，则下列判断最确切的是（）A.ABC 是等腰三角形B.ABC 是等腰直角三角形C.ABC 是直角三角形D.ABC 是一般锐角三角形【答案】B【解析】【分析】先根据正切值、余弦值求出A ∠、B Ð的度数，再根据三角形的内角和定理可得C ∠的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得．【详解】A ∠、B Ð是ABC 的内角，且tan 1A =，cos 2B =，45A ∴∠=︒，45B ∠=︒，18090C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，ABC ∴ 是等腰直角三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键．③根据特殊角三角函数值求角的度数例5.3在ABC 1cos 02+-=C ，且B Ð，C ∠都是锐角，则A ∠的度数是（）A .15︒B .60︒C .75︒D .30°1cos 02+-=C ，∴sin 02-=B ；1cos 02-=C ．即sin 2B =；1cos 2C =．∴45B ∠=︒，60C ∠=°．∴180180456075∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒A B C ．故选：C ．变式5.313.已知tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅，22tan tan 21tan ααα=-α和β都表示角度），比如求tan105︒，可利用公式得()tan105tan 60452︒=︒+︒==-，又如求tan120︒，可利用公式得()()22tan120tan 2601︒=⨯︒==-，请你结合材料，若()tan 1203λ︒+=-（λ为锐角），则λ的度数是__________．【答案】30°【解析】【分析】设tan λx =，先根据公式可得到一个关于x 的分式方程，解方程可求出x 的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．【详解】设tan λx=由题意得：()tan120tan tan 1201tan120tan λλλ︒+︒+=-︒⋅()tan120tan ,tan 1203λx λ︒==︒+=-3=-解得3x =经检验，3x =是分式方程的根即tan 3λ=λQ 为锐角30λ∴=︒故答案为：30°．【点睛】本题考查了分式方程的解法、特殊角的正切函数值，熟记特殊角的正切函数值是解题关键．④三角函数值的大小例5.4如图所示的网格是正方形网格，则AOB ∠________COD ∠．（填“>”，“=”或“<”）【详解】解：根据题意可知tan 2AOB ∠=，tan 2∠=COD ，∴AOB COD ∠=∠，故答案为=．变式5.4.114.如果α是锐角，则下列成立的是（）A.sin αcos α1+= B.sin αcos α1+> C.sin αcos α1+< D.sin αcos α1+≤【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可得答案.【详解】解：∵a 、b 是直角边，c 是斜边，∴sin α+cos α=a c +bc =a b c +，∵a+b>c ，∴a b c+>1，∴sin αcos α1+>.故选B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边是解题关键.变式5.4.215.如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转()90αα︒<得到A BC ''△．请比较大小：sin ABA '∠______tan CBC '∠．【答案】＜【解析】【分析】由旋转可得：ABA CBC α''∠=∠=＜90,︒如图，构建直角三角形,ABA '且,ABA CBC ''∠=∠再利用锐角三角函数的定义可得：sin ,tan tan ,AA AA ABA CBC ABA AB A B'''''∠=∠=∠='由A B '＜,AB 从而可得答案．【详解】解：由旋转可得：ABA CBC α''∠=∠=＜90,︒如图，构建直角三角形,ABA '且,ABA CBC ''∠=∠由三角函数定义可得：sin ,tan tan ,AA AA ABA CBC ABA AB A B'''''∠=∠=∠='A B ' ＜,AB AA AB '∴＜,AA A B''sin ABA '∴∠＜tan .CBC '∠故答案为：＜．【点睛】本题考查旋转的性质，锐角三角函数的定义，掌握以上知识是解题的关键．题型五：解直角三角形①解直角三角形1.解直角三角形的概念：在直角三角形中除直角外一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2.理论依据：①三边关系：勾股定理222+=a b c ②两锐角互余：90A B ∠+∠=︒③边角之间的关系：tan a A b =，sin a A c=，cos a A c =3.常见类型：①已知两条边，先利用边角关系求出两个角，再利用勾股定理求出另一条边②已知一边一角，先求出另一角，再利用边角关系求出其余的边长例5.1已知2sin 3α=，其中α为锐角，求cos α、tan α、cot α的値．【详解】∵2sin 3α=∴设α的对边2k =，直角三角形的斜边3=k ，由勾股定理求出α的邻边=，∴cos α33k ==，tan 5α===，cot 22k α==．变式5.116.（1）在△ABC 中，∠B ＝45°，cosA 12=．求∠C 的度数．（2）在直角三角形ABC 中，已知sinA 45=，求tanA 的值．【答案】（1）75°；（2）43．【解析】【分析】（1）由条件根据∠A 的余弦值求得∠A 的值，再根据三角形的内角和定理求∠C 即可；（2）根据角A 的正弦设BC=4x ，AB=5x ，得AC 的长，根据三角函数的定义可得结论．【详解】解：（1）∵在△ABC 中，cosA 12=，∴∠A ＝60°∵∠B ＝45°，∴∠C ＝180°﹣∠B ﹣∠A ＝75°；（2）∵sinA 45BC AB ==，∴设BC ＝4x ，AB ＝5x ，∴AC ＝3x ，∴tanA 4433BC x AC x ===．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的知识以及三角形的内角和定理，属基础题．②构造直角三角形例5.2在ABC 中，8AB =，6BC =，B Ð为锐角且1cos 2B =．（1）求ABC 的面积；（2）求tan C ．【详解】（1）如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．∵1cos 2B =，∴60B ∠=︒，∴1cos 842=⋅=⨯=BH AB B ，sin 82=⋅=⨯=AH AB B ，∴11622=⋅⋅=⨯⨯= ABC S BC AH （2）在Rt ACH 中，∵90AHC ∠=︒，AH =742=-=-=CH BC BH ，∴tan 2===AH C CH．变式5.217.如图，在△ABC ，∠A＝30°.(1)求BD 和AD 的长；(2)求tan C 的值．【答案】(1)BD ＝3，AD ＝(2)tan C ＝2.【解析】【详解】（1）∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°．在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝AB·sin30°＝3，∴ꞏcos30AD AB =︒=．（2）CD AC AD =-==在Rt △BDC 中，tan2BD C CD ∠===．视频题型六：解直角三角形的实际应用①方位角问题从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角，称为该直线的方位角，方位角的取值范围是0360︒-︒．例6.1如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若AP =千米，则点AB 两点的距离为（）千米．A .4B .C .2D .6【详解】解：由题意可知，30︒∠= PAC ，60PBC ∠=︒，∵AP =，∴1sin 302PC AP =︒=⨯=cos 609AC AP =︒==，∴3tan 60PC BC ===︒，∴936AB AC BC =-=-=，故选：D ．变式6.118.如图，在一条笔直的海岸线上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向．有一艘小船从A 处沿北偏西60︒方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达P 处，从B 处测得小船在它的北偏东45︒的方向上．（1）求AB 的距离；（2）小船沿射线AP 的方向继续航行一段时间后，到达点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15︒的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）【答案】（1）(5AB =+海里；（2）52+海里．【解析】【分析】（1）过点P 作PD AB ⊥于点D ,利用余弦定义解出AP 、AD 的长，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解得PD 的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可；（2）过点B 作BF AC ⊥于点F ，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，解得BF 的长，在Rt BCF 中，由勾股定理解得BC 的长即可．【详解】解：（1）如图，过点P 作PD AB ⊥于点D ，在Rt PAD V 中，90ADP ∠=︒，906030PAD ∠=︒-︒=︒，∵cos AD PAD AP∠=，200.510AP ⨯==∴cos 102PA A D D AP =⋅=⨯=∠152PD AP ==在Rt PBD 中，90BDP ∠=︒，904545PBD ∠=︒-︒=︒，∴5BD PD ==．∴(5AB =+海里（2）如图，过点B 作BF AC ⊥于点F ，在Rt ABF 中，90AFB ∠=︒，30BAF ∠=︒，∴(11522BF AB ==+在ABC 中，18045C BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒．在Rt BCF 中，90BFC ∠=︒，45C ∠=︒，∴52C B ==海里．∴点C 与点B 之间的距离为52海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30°角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键．②仰角俯角问题仰角：视线在水平线上方的角．俯角：视线在水平线下方的角．例6.2如图，护林员在离树8m 的A 处测得树顶B 的仰角为45︒，已知护林员的眼睛离地面的距离AC 为1.6m ，则树的高度BD 为（）A .8mB .9.6mC . 1.6)mD . 1.6)m +【详解】解：过点C 作CE BD ⊥于E ，∵45BCE ∠=︒，∴CEB △是等腰直角三角形，∴8==CE BE ，四边形ACED 是矩形，∴ 1.6==AC DE ，∴8 1.69.6=+=BD 米，故选B ．变式6.219.如图，某飞机在空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，飞行高度AC a =，则飞机到目标B 的距离AB 为（）A.sin a α⋅B.sin a αC.cos a α⋅ D.cos a α【答案】B 【解析】【分析】由题意得∠ABC=α，然后根据解直角三角形，即可求出AB 的长度．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ABC=α，AC a =，∵sin ACABα=，∴sin a AB α=．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是掌握正弦的定义进行解题．③坡度与坡比问题坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度，也称之为坡比，用字母i 表示坡比．即=hi l．坡度一般写成:a b 的形式，如1:5i =等．把坡面与水平面的夹角记作α，α叫做坡角，有tan ==hi lα．例6.3我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1:1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由． 1.414=，1.732=）【详解】解：该文化墙PM 不需要拆除，理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为，∴3tan α==，∴30α=︒．作CD AB ⊥于点D ，则6CD =米，∵新坡面的坡度为，∴6tanCD CAD AD AD ∠===解得，AD =BC 的坡度为1:1，6CD =米，∴6BD =米，∴6)=-=-AB AD BD 米，又∵8PB =米，∴86)14146 1.732 3.6=-=--=-≈-⨯≈PA PB AB 米3>米，∴该文化墙PM 不需要拆除．变式6.320.如图，在市区A 道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h 为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l 为____米（结果精确到0.1m ，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．【答案】19.2【解析】【分析】根据题意利用正切列式进行求解即可．【详解】解：由题意可得：tan14°=4.80.24h l l=≈，解得：l ＝19.2，故答案为：19.2．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握利用三角函数进行求解问题是解题的关键．④利用三角函数测量高度例6.4如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF ，卓玛同学为了探究信号塔EF 的高度，从建筑物一层A 点沿直线AD 出发，到达C 点时刚好能看到信号塔的最高点F ，测得仰角60ACF ∠=︒，AC 长7米．接着卓玛再从C 点出发，继续沿AD 方向走了8米后到达B 点，此时刚好能看到信号塔的最低点E ，测得仰角30B ∠=︒．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF 的高度（结果保留根号）．【详解】解：在Rt △ACF 中，∵60ACF ∠=︒，7AC =米，∴tan 60=⋅︒=AF AC ∵8BC =米，∴15AB =米，在Rt ABE △中，∵30B ∠=︒，∴tan30153=⋅︒=⨯=AE AB 米，∴=-=-=EF AF AE ，答：信号塔EF 的高度为变式6.421.如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°,求楼CD 的高．【答案】楼CD 的高是（【解析】【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．【详解】延长过点A 的水平线交CD 于点E则有AE ⊥CD ，四边形ABDE 是矩形，AE=BD=36∵∠CAE=45°∴△AEC 是等腰直角三角形∴CE=AE=36在Rt △AED 中，tan ∠EAD=EDAE∴∴答：楼CD 的高是（）米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．实战练22.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是()A.sin B ＝23B.cos B ＝23C.tan B ＝23D.tan B ＝32【答案】C 【解析】【详解】∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=13AC AB ==，cosB=13BC AB ==，tanB=23AC BC =，故选C.23.如果把∠C 为直角的Rt ABC 各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A 的各三角比的值（）A.都扩大到原来的2倍B.都缩小到原来的一半C.都没有变化D.有些有变化【答案】C 【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切的定义即可得．【详解】 在Rt ABC 中，90C ∠=︒，sin ,cos ,tan a b aA A A c c b ∴===，222sin ,cos ,tan 222a a b b a aA A A c c c c b b∴======，则当Rt ABC 各边的长都扩大到原来的2倍，锐角A 的各三角比的值都没有变化，故选：C ．【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，熟记定义是解题关键．24.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sinB 的值是（）A.512B.125C.513D.1213【答案】D 【解析】【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，∴13AB ==，∴12sin 13AC B AB ==．故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．25.若锐角A 、B 满足条件4590A B <<< 时，下列式子中正确的是（）A.sin sin A B > B.cot cot B A> C.tan tan A B> D.cos cos A B>【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可.【详解】∵4590A B <<< ，∴sin sin A B ＜，cot cot B A ＜，tan tan A B ＜，cos cos A B >.故只有D 选项正确.故选D.【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，锐角的余弦值和余切值是随着角度的增大而减小，锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大.26.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，对角线AC ABCD 的周长为（）A. B.20C. D.16【答案】D 【解析】【分析】连接BD 交AC 于点O ，由菱形的性质得出AB =BC =CD =AD ，AC ⊥BD ，OA =OC =12AC ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC =60°，求出∠BAO =30°，由直角三角形的性质得OB =3OA =2，AB =2OB =4，即可得出答案．【详解】解：连接BD 交AC 于点O ，如图：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，AC ⊥BD ，OA =OC =12AC ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC =60°，∴∠BAO =30°，∴OB =OA tan 30⋅︒=3⨯，AB =2OB =4，∴菱形ABCD 的周长=4AB =16；故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．27.如图，在△ABC 中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC 的长为（）A.B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】过A 点作AH ⊥BC 于H 点，先由sin ∠B 及AB=3算出AH 的长，再由tan ∠C 算出CH 的长，最后在Rt △ACH 中由勾股定理即可算出AC 的长．【详解】解：过A 点作AH ⊥BC 于H 点，如下图所示：由1sin =3∠=AH B AB ，且=3AB 可知，=1AH ，由tan =2∠=AHC CH ，且=1AH 可知，12CH =，∴在Rt ACH ∆中，由勾股定理有：2===AC ．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．28.如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin BAC ∠等于（）A.3B.5C.10D.5【答案】D 【解析】【分析】连接格点CD ，根据勾股定理求出三角形的边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角三角形，最后由三角函数的意义求解即可．【详解】解：如图，连接格点CD ，∵AD 2=22+22=8，CD 2=12+12=2，AC 2=12+32=10，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，由勾股定理得，AC ，CD ，∴sin ∠BAC =CDAC 5 ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的意义，勾股定理等知识，根据网格构造直角三角形和利用勾股定理求边长是解决问题的关键．29.如图，△ABC 与△DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△ABC 与△DEF 的周长比为（）A. B.1：2 C.1：3 D.1：4【答案】A 【解析】【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD 、△ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△BAC ∽△EDF ，即可解决问题．【详解】解：如图，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∴DE ＝，EF ＝同理可求：AC ，BC ，∵DF ＝2，AB ＝2，∴BC AB AC EF DE DF ===，∴△BAC ∽△EDF ，∴C △ABC ：C △DEF ＝1，故选A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质定理的应用问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．30.如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =．若BAC α∠=，AB m =，则底边BC =()A.sin m α⋅B.2sin m α⋅C.2sin2m α⋅ D.sin2m α⋅【答案】C 【解析】【分析】首先如图过点A 作AD ⊥BC 交BC 于D 点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=12∠BAC=12α，BC=2BD ，然后在Rt △ABD 中，根据sin ∠=BDBAD AB求出BD ，最后利用BC=2BD 求出答案即可.【详解】如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 于D 点，则△ABD 是直角三角形，∵△ABC 为等腰三角形，AD ⊥BC ，∴∠BAD=12∠BAC=12α，BC=2BD ，在Rt △ABD 中，sin sin2BD BDBAD AB mα===∠，∴sin2BD m α=⋅，∴22sin 2BC BD m α==⋅⋅，故选：C .【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.31.如图，在高楼前D 点测得楼顶A 的仰角为30°，向高楼前进60m 到达C 点，又测得楼顶A 的仰角为45°，则该高楼的高度大约为()A.82mB.160mC.52mD.30m【答案】A【解析】【分析】【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB，Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD=AB÷tan AB，∴DC=BD-BC=）AB=60米，≈82米，即楼的高度约为82.0米，∴AB故选A.32.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）A.6mB.mC.9mD.【答案】A【解析】【分析】根据坡比的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【详解】解：∵迎水坡AB的坡比为1，∴BC AC =3AC =解得，AC ＝，由勾股定理得，AB ==6（m ），故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．33.在△ABC 中，∠C 90°，sinA 1213，BC 12，那么AC ______．【答案】5【解析】【分析】先根据正切的定义得到sinA=BC AB =1213，则可得到AB=13，然后根据勾股定理计算AC 的长．【详解】在△ABC 中，∠C=90°，∵sinA=BC AB =1213，BC=12，∴AB=13，∴．故答案为5．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.34.cos45°-12tan60°=________；【答案】12-【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算．【详解】解：原式11222=-=-．故答案是：12-．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．35.在ABC 中，2cos (1cot )0A B +-=，则ABC ∆的形状是__________．【答案】钝角三角形【解析】【分析】根据非负数的性质得到cos =02-A ，1cot =0-B ，从而求出∠A 与∠B 的度数，即可判断△ABC 的形状．【详解】∵2cos (1cot )0A B -+-=∴cos =02-A ，1cot =0-B即cos =2A ，cot =1B ∴=30A ∠︒，=45∠︒B ∴=1803045=105∠︒-︒-︒︒C ∴ABC ∆是钝角三角形故答案为：钝角三角形【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形的分类与特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．36.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝20，c ＝，则∠B 的度数为_______.【答案】45°【解析】。
初中数学拔高九年级 专题12 三角函数(含答案)
专题12 三角函数阅读与思考三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题时应注意以下两点：1．理解同角三角函数间的关系． （1）平方关系：1cos sin 22=+αα； （2）商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =； （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα．2．善于解直角三角形．从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形， 关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：例题与求解【例1】在△ABC 中，BC ＝1992，AC ＝1993，AB ＝19931992+，则=C A cos sin ．解题思路：通过计算，寻找BC 2，AC 2，AB 2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函数的定义解题．【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A ＝600，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB ＝200m ，CD ＝100m ． 求AD ，BC 的长．（精确到1m ，732.13≈）图2图1AE AABDD解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A ，所以连结AC 不行．延长AD 和BC 交于一点E （如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A ；或过点D 作矩形ABEF （如图2）来求解．【例3】如图，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN ．若31tan =∠AEN ，DC ＋CE ＝10． （1）求△ANE 的面积； （2）求ENB ∠sin 的值．解题思路：将31tan =∠AEN 与DC ＋CE ＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平道路．【例4】如图，客轮沿折线A —B —C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A —B —C 上的某点E 处．已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．（1）选择：两船相遇之处E 点（ ）A ．在线段AB 上 B ．在线段BC 上C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）（南京市中考试题）解题思路：对于（2），过D 作DF ⊥CB 于F ，设DE =x ，建立关于x 的方程．【例5】若直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦是方程02=++q px x 的两个根． （1）那么，实数p ，q 应满足哪些条件？（2）如果p ，q 满足这些条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦？解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用一元二次方程，三角函数的知识与方法． C【例6】设a ，b ，c 是直角三角形的三边，c 为斜边，整数n≥3．求证：nnnc b a <+．解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解．其不等关系可以利用正弦、余弦的有界性来证明．能力训练A 级1．如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD ＝2AD ，AE ⊥BC 于E ．若BD ＝8，43sin =∠CBD ，则AE ＝ ． 2．已知0900≤≤α，则ααsin sin 45+-=y 的最大值是 ，最小值是 ．（上海市理科实验班招生考试试题）3．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠BAC ＝300，BC ＝1，D 为BC 边上的一点，ADC ∠tan 是方程2)1(5)1(322=+-+xx x x 的一个较大的根，则CD ＝ ．东第5题图第1题图第3题图BAAO4．已知△ABC 的两边长a ＝3，c ＝5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个正整数根之一，则A sin 的值为 ． （哈尔滨中考试题） 5．如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）在。
人教版九年级下册数学第二十八章 锐角三角函数含答案解析
人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A.20B.30C.30D.404、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.5、已知Rt△ABC中，∠A=90°，则是∠B的（）A.正切；B.余切；C.正弦；D.余弦6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（）A.1B.C.D.10、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A.12B.9C.4D.311、已知tanα=0.3249，则α约为（）A.17°B.18°C.19°D.20°12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 ，则AC=( )A.1B.2C.3D.413、如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A.（a+ b）米B.（a+ b）米C.（a+ b）米D.（a+ b）米14、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）15、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D 等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为________cm（结果保留根号）.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4 ，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若∠AB′F为直角，则AE的长为________.21、小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为________度22、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA=________.23、如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．24、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是________.25、已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（tan60﹣1）0+| ﹣1|﹣2cos30°．27、教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）28、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E 处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB （假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、A5、A6、D7、A8、C9、B10、A11、B12、B13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。
九年级数学锐角三角函数考试题及答案解析
达标训练基础•巩固1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定 思路解析：当Rt △ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A 大小不变. 答案：A2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=( )A.259 B.54 C.53 D.2516 思路解析：由cosα=54，可以设α的邻边为4k ，斜边为5k ，根据勾股定理，α的对边为3k ，则sinα=53. 答案：C 3.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.思路解析：画出图形，设AC=x ，则BC=x 3，由勾股定理求出AB=2x ，再根据三角函数的定义计算. 答案：21，34.设α、β为锐角，若sinα=23，则α=________；若tanβ=33，则β=_________.思路解析：要熟记特殊角的三角函数值 答案：60°,30°5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′-tan46°10′的值是_________. 思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤. 答案：0.386 06.△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，BD=9，tanB=34，求AD 、AC 、BC.思路解析：由条件可知△ABC 、△ABD 、△ADC 是相似的直角三角形，∠B=∠CAD ，于是有tan ∠CAD=tanB=34，所以可以在△ABD 、△ADC 中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.解：根据题意，设AD=4k ，BD=3k ，则AB=5k.在Rt △ABC 中，∵tanB=34，∴AC=34AB=320k.∵BD=9,∴k=3. 所以AD=4×3=12，AC=320×3=20. 根据勾股定理25152022=+=BC .综合•应用7.已知α是锐角，且sinα=54，则cos(90°-α)=( )A.54B.43C.53D.51 思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°-α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°-α)=54.方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°-α)”. 答案：A8.若α为锐角，tana=3，求ααααsin cos sin cos +-的值. 思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶10，sinα=103，cosα=101，分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=ααcos sin 计算，因为cos α≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算. 答案：原式=213131tan 1tan 1cos sin cos cos cos sin cos cos =+-=+-=+-αααααααααα. 9.已知方程x 2-5x·sinα+1=0的一个根为32+，且α为锐角，求tanα. 思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是32-，进而可求出sinα=54，然后利用前面介绍过的方法求tanα.解：设方程的另一个根为x 2，则(32+)x 2=1 ∴x 2=32-∴5sinα=(32+)+(32-)，解得sinα=54.设锐角α所在的直角三角形的对边为4k ，则斜边为5k ，邻边为3k ， ∴tanα=3434=k k . 10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1-13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2 m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC=4 m.图28.1-13(1)求滑梯AB 的长(精确到0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？思路解析：用勾股定理可以计算出AB 的长，其倾斜角∠ABC 可以用三角函数定义求出，看是否在45°范围内.解：(1)在Rt △ABC 中，2242+=AB ≈4.5. 答：滑梯的长约为4.5 m.(2)∵tanB=5.0=BCAC ,∴∠ABC≈27°, ∠ABC≈27°＜45°.所以这架滑梯的倾斜角符合要求. 11.四边形是不稳定的.如图28.1-14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1-14思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=b 21，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.解：设原矩形边长分别为a ，b ，则面积为ab ， 由题意得，平行四边形的面积S=21ab.又因为S=ah=a(bsinα)，所以21ab=absinα，即sinα=21.所以α=30°.回顾•展望12.(2010海南模拟) 三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3-15所示，则sinα的值是( )图28.1-15A.43B.34C.53D.54思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义. 答案：C13.(2010陕西模拟) 如图28.1-17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O的直径，连接CD ，若⊙O 的半径23 r ，AC=2，则cosB 的值是( )图28.1-17A.23B.35C.25D.32 思路解析：利用∠BCD=∠A 计算. 答案：D14.(浙江模拟) 在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=( )A.45B.5C.51D.451 思路解析：根据定义sinA=ABBC ，BC=AB·sinA. 答案：B 15.(广西南宁课改模拟) 如图28.3-16，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=( )图28.1-16A.53B.43C.34D.54思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B 转移到Rt △ADC 中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B. 答案：B16.(浙江舟山模拟) 课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1-18，在锐角α的终边OB 上，任意取两点P 和P 1，分别过点P和P 1做始边OA 的垂线PM 和P 1M 1，M 和M 1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1-18思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案：11111,,,OP OM OP OM OP M P OP PM OP OM OP PM ==，锐角α 17.(2010重庆模拟) 计算：2-1-tan60°+(5-1)0+|3|；思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义. 解：2-1-tan60°+(5-1)0+|3|=21-3+1+3=23.18.(2010北京模拟) 已知：如图28.1-19，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°.图28.1-19(1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OD ⊥AB ，BC=5，求AD 的长. 思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA ，证∠OAD=90°.由sinB=21可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO 是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD 是Rt △OAD 的边，有三角函数可以求出其长度.(1)证明：如图，连接OA.∵sinB=21，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.∵OA=OC ，∴△ACO 是等边三角形. ∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线.(2)解：∵OD ⊥AB ∴ OC 垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5. 在Rt △OAD 中，由正切定义，有tan ∠AOD=OA AD . ∴ AD=35.。
九年级)三角函数(含答案
数学试题卷1一、选择题：（本题有15小题，每小题3分，共45分） 1．下列各组数中，互为相反数的是 ( ) （A ） -3与3 (B)｜-3｜与一31 (C)｜-3｜与31 (D) -3与2(-3) 2．函数12--=x y 的自变量x 的取值范围是 ( ) （A ） x <21 (B) x ≥21 (C) x ≤21 (D) x ≠213．下列运算：①3322=-a a ②236a a a =÷ ③3332a a a =+ ④()623a a =- ⑤()()22y x y x y x +-=--+- 正确的有( )（A ）2个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 5个4．若一次函数()11-++=m x m y 的图象不经过第一象限，则方程022=--m x x的根的情况是 ( )（A ）有两个相等的实根 (B) 有两个不相等的实根 (C) 无实根 (D)不能确定 5．下列图案是几种轿车的标志，在这几个图案中，是轴对称图形有( )（A ）1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)4个 6．将二次三项式267x x ++进行配方，正确的结果应为( )（A ） 2(3)2x ++ (B) 2(3)2x +- (C) 2(3)2x -+ (D)2(3)2x -- 7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于（ ）（A ）3cm (B) 5cmCyyyyOOOOx x x xABCD8．1996年版人民币一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果这个正九边形的半径是R ，那么它的边长是（ ） （A ）Rsin20°(B) Rsin40°(C)2Rsin20°(D)2Rsin40°9．下列命题中，正确命题的个数是( )①一个锐角的余角还是一个锐角；②垂直于半径的直线是圆的切线； ③一个数的算术平方根一定比这个数小；④平分弦的直径垂直于这条弦. （A ） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 310．图1是饮水机的图片。
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则电线杆的高度为 ( A．9 米 B．28 米
)
C． 7 3米
D. 14 2 3 米
19、如图 6,两建筑物的水平距离为 am,从 A 点测得 D 点的俯角为 a,测得 C 点的
俯角为β,则较低建筑物 CD 的高为 ( )
A.a m
B.(a·tanα)m
C. a m tan
D.a(tanα－tanβ)m
24、已知 Rt△ABC 的斜边 AB 的长为 10cm , sinA、sinB 是方程 m(x2－2x)+5(x2+x)+12=0 的两根。 （1）求 m 的值 （2）求 Rt△ABC 的内切圆的面积
25、如图,△ABC 是等腰三角形,∠ACB=90°,过 BC 的中点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E,连结 CE,求 sin∠ACE 的值.
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的 边和角。
依据：①边的关系： a2 b2 c2 ；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函
数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
铅垂线
视线
A.(cosα,1)
B.(1,sinα) C.(sinα,cosα)
D.(cosα,sinα)
14、如图 4，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，
连结 BD，若 cos∠BDC= 3 ，则 BC 的长是（
5
A、4cm
B、6cm C、8cm
） D、10cm
tan A cotB cot A tanB tan A 1 (倒数)
cot A
tan A cot A 1
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 B
sin A cosB 由A B 90 sin A cos(90 A)
斜边
对
c a边
cos A sin B 得B 90 A cos A sin(90 A)
B
A
C
DE
18
参考答案:
一、填空题
1、 3 13 ， 3 13 ， 3
13
13 2
(0,4+ 4 3 ) 3
6、 12 5
7、25
2、 4 5
3、 5 13
4、0
8、3 5
9、 32 2 10、a 3
二、选择题
11、B 16、D
12、C 17、B
13、D 18、D
14、A 19、D
5、
15、C 20、C
20、如图，钓鱼竿 AC 长 6m，露在水面上的鱼线 BC 长 3 2 m，
某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿 AC 转动到 AC 的
位置，此时露在水面上的鱼线 BC 为 3 3 ，则鱼竿转过
的角度是( )
A．60° B．45° C．15° D．90°
三、解答题 21、计算：(1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°
12
4、cos2(50°＋ )＋cos2(40°－ )－tan(30°－ )tan(60°＋ )
＝
；
5、如图 1，机器人从 A 点，沿着西南方向，行了个 4 2单位，到达 B 点后观察
到原点 O 在它的南偏东 60°的方向上，则原来 A 的坐标为
.（结果
保留根号）．
y A
B
Ox
（1）
（2）
（3）
6、等腰三角形底边长 10cm，周长为 36cm，则一底角的正切值为
26、为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该 地下停车库的设计示意图。按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标
志，以便告知停车人车辆能否安全驶入。（其中 AB=9 m ，BC= 0.5m ）为标明 限高，请你根据该图计算 CE。（精确到 0.1m）（sin18°≈0.3090,cos18° ≈0.9511，tan18°≈0.3249)
A.0
B.1
C.2
D.2sin2
12、在直角三角形中，各边的长度都扩大 3 倍，则锐角 A 的三角函数值
（）
A.也扩大 3 倍 B.缩小为原来的 1 C. 都不变 3
D.有的扩大，有的缩小
13、以直角坐标系的原点 O 为圆心，以 1 为半径作圆。若点 P 是该圆上第一象
限内的一点，且 OP 与 x 轴正方向组成的角为α，则点 P 的坐标为（ ）
初三数学 三角函数 综合试题
一、填空题： 1、在 Rt△ABC 中∠C＝90°，a＝2，b＝3，则 cosA＝ ，sinB＝ ，tanB＝ 。
2、直角三角形 ABC 的面积为 24cm2，直角边 AB 为 6cm，∠A 是锐角，则 sinA＝
。
3、已知 tan ＝ 5 ， 是锐角，则 sin ＝
。
(2) 1 tan 2 45 4
1 sin 2 30
3cos2 30
tan45 cos 0
sin 40 cos50
．
22、已知在△ABC 中，∠C＝90°. (1)若 c＝ 8 3 ，∠A＝60°，求∠B、a、b．
(2)若 a＝3 6 ， ∠A＝30°，求∠B、b、c.
23、如图山脚下有一棵树 AB，小强从点 B 沿山坡向上走 50m 到达点 D，用高为 1.5m 的测角仪 CD 测得树顶的仰角为 10°,已知山坡的坡角为 15°,求树 AB 的高.(精确到 0.1m,已知 sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈ 0.18,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈ 0.27)
余 弦
cos
A
A的邻边 斜边
cos A b c
0 cosA 1
(∠A 为锐角)
正 切
tan
A
A的对边 A的邻边
tan A a b
tan A 0
(∠A 为锐角)
余 切
cot
A
A的邻边 A的对边
cot A b a
cot A 0
(∠A 为锐角)
sin A cosB cos A sin B sin 2 A cos2 A 1
A 邻边 b C
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tan A cotB cot A tanB
由A B 90 得B 90 A
tan A cot(90 A)
cot A tan(90 A)
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
.
7、某人沿着坡度 i=1: 3 的山坡走了 50 米，则他离地面 米高。
8、如图 2，在坡度为 1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）
是 6 米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是
米。
9、在△ABC 中，∠ACB＝90°，cosA= 3 ，AB＝8cm ，则△ABC 的面积为______ 。 3
（）
A、sin(α+β)=sinα+sinβ C、若α≥β时，则 cosα≥cosβ
B、cos(α+β)= 1 时，α+β=600 2
D、若 cosα>sinβ,则α+β>900
18、如图 5,小阳发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量得
CD=8 米，BC=20 米，CD 与地面成 30º 角，且此时测得 1 米杆的影长为 2 米，
初中数学 三角函数
1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a2 b2 c2
2、如下图，在 Rt△AB∠B)：
定义
表达式
取值范围
关系
正 弦
sin
A
A的对边 斜边
sin A a c
0 sin A 1
(∠A 为锐角)
三角函数
0°
30°
45°
60°
sin cos tan
0
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
2
2
2
0
3
1
3
3
90° 1 0 -
cot
-
3
1
3
0
3
6、正弦、余弦的增减性： 当 0°≤ ≤90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。
7、正切、余切的增减性： 当 0°< <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。
A B
N
C MD
AB
D C
(4)
(5)
(6)
15、已知 a 为锐角，sina=cos500 则 a 等于（ ）
A.200
B.300
C.400
D.500
16、若 tan(a+10°)= 3 ，则锐角 a 的度数是 (
A、20° B、30°
C、35°
17、如果α、β都是锐角，下面式子中正确的是
) D、50°
10、如图 3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距
离 MA 为 a 米，此时，梯子的倾斜角为 75°，如果梯子底端不动，顶端靠在
对面墙上 N，此时梯子顶端距地面的垂直距离 NB 为 b 米，梯子的倾斜角 45°，
则这间房子的宽 AB 是
_米。
二、选择题
11、sin2 ＋sin2(90°－ ) (0°＜ ＜90°）等于（ ）
三、解答题
21（1） 3 （2）2 4
22、（1）∠B=30°，a=12，b=4 3 （2）∠B=30°，b=9 2 ，c=6 6 23、BF=48.5=CE，DE=13，CF=BE=14.5，AE=8.73，AB=23.2m 24、（1）m=20（m=－2 舍）（2）4π