九年级数学三角函数
初三数学三角函数(含答案)
初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
a 2b 2c 24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值； 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tan A cot B cot A tan Bcot-1 ~3~6、 正弦、余弦的增减性：当0°w < 90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小7、 正切、余切的增减性：当0° < <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的 边和角。
依据：①边的关系： a 2b 2c 2;②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。
（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角（2）坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。
用字母i 表示，即i y 。
坡度一 般写成1: m 的形式，如i 1:5等。
把坡面与水平面的夹角记作 （叫做坡角），那么h + i tan 。
l3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图 3, OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30° （东北方向）， 南 偏东45° （东南方向），南偏西60° （西南方向）， 北偏西60° （西北方向）。
铅垂线*视线 ‘ 仰角水平线俯角1*视线初三数学三角函数综合试题一、填空题： 1、在 Rt △ ABC 中/C = 90°, a = 2, b = 3,则 cosA =_, sinB =_ , tanB = ___ 2、直角三角形 3、已知tan ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm , / A 是锐角，则sinA = =—, 是锐角，贝U sin 12 + ) + cos 2(40 ° 4、 cos 2(50° — _______ ? 5、 如图1,机器人从A 点，沿着西南方向，行了个4,：2单位，至U 达 60°的方向上，贝U 原来 )—tan(30)tan(60 ° + 到原点O 在它的南偏东 保留根号).A 的坐标为B 点后观察 _ (结果 NMNC 0(2)10cm 周长为36cm 则一底角的正切值为_、3的山坡走了 50米，则他离地面 米高。
人教版九年级数学课件《特殊角的三角函数值》
第二十八章第1节
特殊角的三角函数值
PEOPLE
EDUCATION
学校：XXXX
VERSION
OF
THE
老师：XXXX
NINTH
GRADE
MATH
VOLUME
学习目标
人教版数学九年级下册
1.运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数
值.(重点)
2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.(难点)
1
A.
2
B.
3
2
C.
3
3
3.在△ABC中，若cosA=
A.锐角三角形
D. 3
2
,tanB=
2
B.直角三角形
3，则这个三角形一定是( A)
C.钝角三角形
D.等腰三角形
人教版数学九年级下册
达标检测
4.在△ABC中，若 sinA −
1
2
1 2
+(cosB- ) =0,则∠C为(
2
D)
A.30° B.45° C.60° D.90°
BC
7
∴ ∠B=60°
∴ ∠A=90°-∠B=30°
人教版数学九年级下册
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人教版数学九年级下册
针对练习
已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2 ＋|sinB－
试判断△ABC的形状．
3
解：∵
|sinB－
|＝0，
2
3
∴ tanA＝1，sinB＝ ，
2
(1－tanA)2 ＋
∴sin2A+cos2A=
新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新
新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新三角形中的恒等式是我们经常在考试中遇到的题型，教师需要好的教案范围去教导学生，今天小编在这里整理了一些新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新，我们一起来看看吧!新人教版九年级数学三角函数教案1教学目的1，使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素(一边或一锐角)，求这个直角三角形的其他元素。
2，使学生了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
重点、难点、关键1，重点：正弦的概念。
2，难点：正弦的概念。
3，关键：相似三角形对应边成比例的性质。
教学过程一、复习提问1、什么叫直角三角形?2，如果直角三角形ABC中∠C为直角，它的直角边是什么?斜边是什么?这个直角三角形可用什么记号来表示?二、新授1，让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题：(1)这个有关测量的实际问题有什么特点?(有一个重要的测量点不可能到达)(2)把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形?(直角三角形)(3)显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量?(不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。
)(4)这个实际问题可归结为怎样的数学问题?(在Rt△ABC中，已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。
)但由于∠A不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。
2，在RT△ABC中，∠C=900，∠A=300，不管三角尺大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于1/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。
类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A的对边/斜边=BC/AB=BC/=1/=/2 这就是说，当∠A=450时，∠A的对边与斜边的比值等于/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A 的对边BC的长。
九年级数学三角知识点归纳总结
九年级数学三角知识点归纳总结数学是一门基础性的学科，对于学生的思维能力和逻辑思维能力的培养有着重要的作用。
在九年级数学中，三角函数是一个重要的知识点。
它对于理解几何形状和解决问题具有重要的意义。
本文将对九年级数学中的三角知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这部分内容。
1. 正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切是三角函数中最常见的三个函数。
在直角三角形中，对于一个锐角角度A，我们可以定义三角函数。
- 正弦函数：sin(A) = 对边/斜边- 余弦函数：cos(A) = 邻边/斜边- 正切函数：tan(A) = 对边/邻边这些函数可以表示角度和三角形边长之间的关系，帮助我们求解各种三角形问题。
在计算中，我们也经常用到它们的倒数函数：余切、余割、正割。
2. 弧度制与角度制角度可以用角度制和弧度制来表示。
在三角函数中，角度制的角度范围是0°到360°，而弧度制的角度范围是0到2π。
两者之间的换算关系是：角度 = 弧度× 180°/π。
在九年级的学习中，我们会经常遇到角度制和弧度制的转换问题。
因此，我们需要掌握这两种表示方法以及它们之间的关系。
3. 三角函数的基本性质三角函数有一些基本的性质，这些性质在解决问题中起到了重要的作用。
- 正弦函数的性质：在一个周期内，正弦函数是一个周期为360°（2π）的周期函数，其值域在[-1, 1]之间。
正弦函数的图像呈现出典型的波浪形。
- 余弦函数的性质：与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期为360°（2π）的周期函数，其值域也在[-1, 1]之间。
余弦函数的图像也呈现出波浪形，但与正弦函数的图像相位相差90°。
- 正切函数的性质：正切函数是一个没有定义域的周期函数，在某些点上的值是无限大。
它的图像以45°（π/4）为中心，两侧呈现出分叉的形式。
正切函数的周期是180°（π）。
九年级三角函数知识点归纳
九年级三角函数知识点归纳三角函数是数学中的一个重要分支，它是研究三角形与角的关系的数学工具。
在九年级的数学学习中，我们将会接触到一些基础的三角函数知识点。
本文将对这些知识点进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握三角函数的概念与应用。
一、角度和弧度制在学习三角函数之前，我们需要了解两种常用的角度计量单位，即角度制和弧度制。
在角度制中，一个圆周被等分为360份，每一份称为一度，记作°；而在弧度制中，一个圆周被等分为2π份，每一份称为一弧度，记作rad。
二、正弦、余弦和正切函数常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
我们用记号sin(x)、cos(x)和tan(x)分别表示角x的正弦、余弦和正切值。
这些函数的定义如下：1. 正弦函数：正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]，其图像是一个振荡的曲线。
与x轴的交点称为正弦函数的零点。
2. 余弦函数：余弦函数的定义域是所有实数，值域也是[-1, 1]，其图像是一个振荡的曲线。
与y轴的交点称为余弦函数的零点。
3. 正切函数：正切函数的定义域是除了一些不连续点外的所有实数，值域是(-∞, +∞)，其图像是呈现周期性的波动。
正切函数在定义域上存在无穷多个零点。
三、基本三角函数关系三角函数之间有着一些基本的关系，其中最重要的是勾股定理和三角函数的定义关系。
1. 勾股定理：对于一个直角三角形，设两条边的长分别为a和b，斜边的长为c，则根据勾股定理有c² = a² + b²。
勾股定理为解决三角形问题提供了基本的数学工具。
2. 三角函数的定义关系：三角函数的定义关系可以用来计算非特殊角的三角函数值。
例如，sin(θ) = a/c，cos(θ) = b/c，tan(θ) = a/b。
这些定义关系使得我们可以通过已知一个角的某个三角函数值来计算其他三角函数的值。
四、三角函数的周期性三角函数都是周期性函数，可通过图像来观察到这一点。
人教版九年级数学下册三角函数全章课件
B．
C．
D．
【解析】选B.根据正切的函数定义，角A的正切应是它的 对边与邻边的比，所以B是正确，A是∠B的正切；C和D都 错．
2.（黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ 则tanB＝（ B ）
3.（丹东中考）如图，小颖利用有一
C
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度， 30
已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为 °A
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °的特殊值，及推导方式，可以 提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.
B
直角三角形三边的关系.
直角三角形两锐角的关系. A
直角三角形边与角之间的关系.
c
a
┌
b
C
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值. 30° 互余两角之间的三角函数关系.
2)如图，sinA=
（×）
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA
的值（ C ）
A.扩大100倍 C.不变
B.缩小 1
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
，则 sinA=___2___ .
30°
C
7
1.（温州中考）如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，
BC=5，则sinA的值是（
）
A. 5 13
B. 12
13
C. 5
12
D. 13
5
【解析】选A．由正弦的定义可得
sin A BC 5 . AB 13
2.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则
九上数学解直角三角形知识点
九上数学解直角三角形知识点
九年级数学解直角三角形知识点主要包括：
1. 锐角三角函数：在直角三角形中，锐角的正弦、余弦和正切值可以通过三角函数的定义直接计算。
例如，在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，那么sinA=BC/AB，cosA=AC/AB，tanA=BC/AC。
2. 余角三角函数关系：当两个角互为余角时，它们的三角函数值之间存在一定的关系。
例如，如果∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB。
3. 同角三角函数关系：三角函数之间还存在着一些恒等式，例如
sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1。
4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦和正切函数随着角度的增大而增大，而余弦和余切函数随着角度的增大而减小。
5. 特殊角的三角函数值：对于一些特殊角度（如0°、30°、45°、60°和90°），其三角函数值是已知的。
这些值需要熟练记忆。
6. 解直角三角形：在直角三角形中，已知一些边的长度或者角度，可以通过三角函数来求解其他未知的边或角度。
以上是九年级数学解直角三角形的主要知识点。
在学习时，除了理解每个知识点的含义和计算方法外，还需要通过大量的练习来加深理解和提高解题能力。
九年级三角函数公式大全
九年级三角函数公式大全1二倍角公式正弦形式：sin2α=2sinαcosα正切形式：tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))余弦形式：cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)2、三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)3、四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)2半角公式1、正弦sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、余弦cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、正切tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))3积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2 cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2 cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2 sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/24和差化积sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]5诱导公式1、任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα2、设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα3、利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα4、设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)5、利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα6、π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα。
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第四章 三角函数
一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广
(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+⋅=αβ
(3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量
(1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)
(180'≈==
π
π弧度弧度
(3)弧长公式:r l
⋅=α 扇形面积公式:22
1
21r lr S α==
3.任意角的三角函数
y
x
x y x r
r x y r
r y =
=====
ααααααcot tan sec cos csc sin
注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式
（一） 诱导公式：
α
±⋅
2
k )(Z k ∈与
α
的三角函数关系是“立变平不变，符号
看象限”。
如：
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。
（二）
同角三角函数的基本关系式：①平方关系1
cos sin
22
=+αα；
α
ααα22
22tan 11cos cos 1tan 1+=
⇔=
+②商式关系
α
α
α
tan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。
（三） 关于公式1cos sin
22
=+αα的深化
sin αtan αα
()
2
cos sin sin 1ααα±=±；
α
ααcos sin sin 1±=±；
2
cos
2
sin
sin 1α
α
α+=+
如：
4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-
注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。
2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）；
b)
化简同角三角函数式； 证明同角的三角恒等式。
三、两角和与差的三角函数 （一）两角和与差公式
()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±
()β
αβ
αβαtan tan 1tan tan tan ±=
±
（二）倍角公式 1、公式βαα
cos sin 22sin = cos 2α
=
2
2cos 1α
+ sin 2α=
2
2cos 1α
-
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α
αα2tan 1tan 22tan -=
α
α
ααα
sin cos 1cos 1sin 2
tan
-=
+=
)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )sin ,(cos 2
2
2
2
b
a a b
a b +=
+=
ϕϕ
注： （1）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。
（2）掌握“角的演变”规律（3）将公式和其它知识衔接起来使用。
（4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。
2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型： （1）求值
①“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角
②“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解
③ “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
④ “给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次
注意点：灵活角的变形和公式的变形， 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论
（2）化简
①化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量不含分母和根号
②化简三种基本类型：根式形式的三角函数式化简、多项式形式的三角函数式化简、分式形式的三角函数式化简 ③化简基本方法：用公式；异角化同角；异名化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函数值互化。
（3）证明①化繁为简法②左右归一法③变更命题法④条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系。
无论是化简还是证明都要注意：（1）角度的特点（2）函数名的特点（3）化切为弦是常用手段（4）升降幂公式的灵活应用 四、三角函数的性质
五、已知三角函数值求角 1、反三角概念： （1）若sinx=a ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈≤2,2,1ππx a 则x=arcsina ，说明：a>0，arcsina 为锐角; a=0,arcsina=0; a<0, arcsina
为“负锐角”。
（2） 若cosx=a
[]π,0,1∈≤x a 则x=arccosa 说明：a>0，arccosa 为锐角; a=0,arccosa=900; a<0, arccosa
为钝角。
（3）若tanx=a
⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈∈2,2,ππx R a 则x=arctana 说明：a>0，arctana 为锐角; a=0,arctana=0; a<0, arctana
为“负锐角”。
如；arcsin
0602
3
=,arcsin 22arcsin 45)22(0-=-=-.
arccos 2
1
arccos 32)21(-==-
ππ,arctan3>060,而arctan(-3)=--arctan3. 而sin(arcsin )3
π
不存在。
2、反三角关系：
(1) arcsin(-x)=-arcsinax; arctan(-x)=arctanx; arcos(-x)=π-arccosx 由此可知：
x y x y arctan ,arcsin ==是匠函数，而x y arccos =非奇非偶。
(2) arcsinx+arccosx=2
π 3、[)π2,0∈
x 时求角x ：
六、三角函数的最值 （1）
配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数
2sin sin 1y x x =++的最值，可转化为求函数[]21,1,1y t t t =++∈-上的最值问题。
（2） 化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：sin )a x bcox x ϕ+=+
（3）
换元法求最值
①利用换元法将三角函数问题转化为代数函数，此时常用万能公式和判别式求最值。
②利用三角代换将代数问题转化为三角函数，然而利用三角函数的有界性等求最值。