Newton插值法在电力系统采样中应用
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
牛顿(newton)插值法
牛顿(newton)插值法牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，它用于找到一个多项式函数，该函数会经过给定的一系列数据点。
该方法最初由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发明并称为插值多项式，它也被称作差分插值法。
插值是数学和工程学中的一项重要任务，它是用于在给定数据点之间构建连续函数的一种数值方法。
插值方法通常涉及过渡从观察结果派生出抽象结果的过程，从而使得预测可能的结果取得更加准确。
下面介绍牛顿插值法的基本原理。
插值基础插值基础是插值方法中的一个重要概念。
在这里，我们将对牛顿插值法中用到的插值基础进行简要介绍。
一个插值基础是指一个已知数据点的集合，通常是一个 x 坐标和对应的 y 坐标。
每个插值基础一般定义为一个数据点的函数，该函数包含了给定点的所有信息并将这些信息用于构建连续函数。
在牛顿插值法中，我们使用差分来定义插值基础。
差分是指两个相邻数据点之间 y 坐标的差值。
具体来说，若给定以下节点：x0, y0x1, y1x2, y2...xn, yn我们则通过以下的 "+" 符号所示的不断进行差分的方式来构建一个插值基础：y0y1-y0…yn-yn-1 yn-yn-1 yn-yn-2 ... yn-y0上述图表所展示的差分的值即为定义插值基础的差商（divided difference）。
牛顿插值公式基于上述插值基础和差商，我们现在可以使用牛顿插值公式来实现插值。
具体来说，牛顿插值公式可以表示为：f(x) = y0 + d1*f[x0,x1] + d2*f[x0,x1,x2] + ... + dn*f[x0,x1,...,xn]其中 f(x) 是插值函数，x0, x1, ..., xn 是给定的节点，y0, y1, ..., yn 是对应的 y 值，f[x0,x1] 是差商 f(x0,...,x1) 的值，d1, d2, ..., dn 也是差商。
请注意，插值函数的次数最高为 n - 1，这意味着插值函数与插值基础的次数相同。
newton插值法实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除newton插值法实验报告篇一：牛顿插值法matlab程序《计算方法》数值实验报告篇二：数值分析实验报告(插值法)武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导老师姓名学生姓名学生专业班级20XX—20XX学年第一学期实验课程名称：数值分析篇三：c++实现牛顿插值法实验报告数值实验用newton商差公式进行插值姓名：陈辉学号：13349006院系：数据科学与计算机学院专业：计算机科学与技术班级：计科一班日期：20XX-10-11指导老师：纪庆革目录一、二、三、四、五、六、七、八、实验目的................................................. .........................................3实验题目................................................. .........................................3实验原理与基础理论................................................. .......................3实验内容................................................. .........................................6实验结果................................................. .......................................10心得体会................................................. .......................................14参考资料................................................. .......................................14附录（源代码）............................................... (14)一、实验目的编写一个程序，用牛顿差商公式进行插值。
供电系统模拟仿真中的高精度数值计算方法探讨
供电系统模拟仿真中的高精度数值计算方法探讨高精度数值计算是一项在供电系统模拟仿真中至关重要的技术，它能够提供准确和可靠的结果，有效帮助工程师进行系统设计和优化。
本文将探讨在供电系统模拟仿真中的高精度数值计算方法，并分析其在实际应用中的优势和挑战。
供电系统模拟仿真是一个复杂的过程，涉及到电力网络的各个方面，包括发电、输电、配电和用电等环节。
为了准确地模拟系统的运行，需要对电力网络进行建模，并进行数值计算以获取各个参数的精确值。
由于涉及到大量的复杂计算，因此高精度数值计算方法变得至关重要。
在供电系统模拟仿真中，高精度数值计算方法可以提供准确的电流、电压、功率和能量等参数的计算结果。
这些参数对于系统设计和运行至关重要，能够帮助工程师做出合理的决策。
例如，对于输电线路的设计，通过高精度数值计算可以获得准确的负载流量分布，从而确保线路的安全运行。
另外，在电力系统的稳定性分析中，高精度的数值计算可以提供准确的功率平衡和电压稳定性等指标，帮助工程师进行系统优化。
高精度数值计算方法中的一个常见技术是牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method）。
该方法能够通过迭代计算的方式，逐步逼近方程的根。
在供电系统模拟仿真中，这一方法可以用于求解电力网络的节点电压和线路电流等参数。
通过不断迭代计算，牛顿-拉夫逊方法可以提供较高的计算精度。
另一个常用的高精度数值计算方法是快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。
在供电系统模拟仿真中，FFT可以用于计算频率响应以及特定频段内的信号变换。
通过FFT，工程师可以快速而准确地分析电力系统中的频率成分和谐波等特征。
这对于故障和异常情况的检测以及滤波器的设计都具有重要意义。
除了上述方法之外，高精度数值计算还包括逼近法和插值法等技术。
逼近法可以通过将连续函数逼近为多项式或分段函数来进行数值计算，从而提高计算精度。
插值法则用于根据有限数据点推测未知数据点的数值，从而提供更精确的计算结果。
三种插值方法的应用与比较
样条函数中寻找满足下列插值条件：
ｃ．ｙ（ｘｉ）＝ｆ（ｘｉ（） ｉ＝１，２，…ｎ）； ｄ．一般形如 ｙ＂（ａ）＝ｙ＂（ｂ）＝０ 等边界条件；的插值
函数 ｙ（ｘ）的方法．［１，２，３］
特点：三次样条插值函数序列一致收敛于被插
函数，因此可通过增加节点的方法提高插值的精
度．
以函数
ｆ（ｘ）＝
１ １＋ｘ２
为例，用三种不同的插值方
出版社，2001. 〔2〕陈公宁，沈嘉骥.计算方法[M].北京：高等教育出
版社，2002. 〔3〕 李 有 法 . 数 值 计 算 方 法 [M]. 北 京 ： 高 等 教 育 出 版
社，2002. 〔4〕王 沫 然.MATLAB 5.X 与 科 学 计 算[M].北 京 ：
清华大学出版社，2000. 〔5〕姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）[M].北
京：高等教育出版社，2005.
－３－
例 题：给出 ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ 下面的数值表，用 Ｌａｒａｎｇｅ 插值计算 ｌｎ（０．５４）的近似值．
x 0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx - 0.916291 - 0.693147 - 0.510826 - 0.356675 - 0.223144
在 Ｍａｔｌａｂ 命令窗口中输入： ｘ＝［０．４：０．１：０．８］； ｙ＝ ［－０．９１６２９１ －０．６９３１４７ －０．５１０８２６ －０．３５６６７５ －０．２２３１４４］； ｌａｇｒａｎｇｅ（ｘ，ｙ，０．５４）［３］ ａｎｓ＝
ｌｅｇｅｎｄ（’拉格朗日插值曲线’，’原曲线’，’分段
插值曲线’）［４］
Ｒｕｎｇｅ 现象的产生
作分段线性插值的目的在于克服 Ｌａｇｒａｎｇｅ 插
MPPT算法在光伏发电中的应用
MPPT算法在光伏发电中的应用1Newton插值法1．1最大功率点附近的多项式推导分析光伏电池模型实际是由单个电池串并联组成，其中并联电阻很大，串联电阻很小，两者之比几乎为104倍，因此，在实际应用中忽略了因并联电阻存在的漏电流和因内电阻引起输出电压下降。
那么光伏电池数学模型可以简化为。
光伏发电系统稳定工作点在恒压区，也就是工作点的电压变化很小，因此光伏电池最大功率点附近的工作电压U可近似等于最大功率点处的工作电压Um。
根据简化的模型可以得到在最大功率点附近的输出功率。
1．2Newton插值MPPT算法Newton插值算法利用二次插值的思想，仅通过一步就可以跟踪到最大功率点，在跟踪速度和精准度上有很大优点。
Newton插值MPPT算法原理:采集系统最大功率点附近3个工作点(U0，P(U0))，(U1，P(U1))，(U2，P(U2))，应用Newton插值法构造出光伏电池V－P曲线。
Newton插值法的实现过程如表1所示。
1．3改进型MPPT算法通过对以上两种方法的分析和研究，扰动观察法简单易实现但存在振荡，Newton插值法实现跟踪精度高，所以本文提出了一种将两者相结合的改进型MPPT算法，能够提高系统最大功率跟踪的稳态精度和跟踪的精度。
该算法具体实现的思想是首先用变步长扰动观察法快速跟踪到最大功率点附近。
0时，说明最大功率点在所取的三个点之间，此时用Newton插值法快速拟合出三点之间的曲线，精确的跟踪到最大功率点处。
该算法实现的流程图如图3所示。
情况(1)如图4所示，说明此时在最大功率点的左侧正在上坡，那么需要沿着同方向扰动，扰动量是变步长的，步长扰动量为h=ak1k2，a为扰动速度因子，文中取2，扰动后令电压:uout=u(k－2)+h。
情况(2)如图5所示，说明此时在最大功率点的右侧正在下坡，那么需要向相反方向扰动，扰动后的电压为uout=u(k)－h。
当k1k2＜0时，k1＞0，k2＞0或者k1＜0，k2＞0，如图6中③所示，说明此时最大功率点在这三点之间，那么用Newton插值法快速跟踪到最大功率点处，用DSP来控制输出电压。
牛顿拉夫逊法计算潮流步骤
牛顿拉夫逊法计算潮流步骤牛顿拉夫逊法（Newton-Raphson method）是一种用于求解非线性方程组的迭代方法，它可以用来计算电力系统潮流的解。
潮流计算是电力系统规划和运行中的重要任务，它的目标是求解电力系统中各节点的电压幅值和相角，以及线路的功率流向等参数，用于分析电力系统的稳定性和安全性，以及进行电力系统规划和调度。
下面是使用牛顿拉夫逊法计算潮流的一般步骤：步骤1：初始化首先，需要对电力系统的各个节点（包括发电机节点和负荷节点）的电压幅值和相角进行初始化，一般可以使用其中一种估计值或者历史数据作为初始值。
步骤2：建立潮流方程根据电力系统的潮流计算模型，可以建立节点电压幅值和相角的平衡方程，一般采用节点注入功率和节点电压的关系来表示。
潮流方程一般是一个非线性方程组，包含了各个节点之间的复杂关系。
步骤3：线性化方程组将潮流方程组进行线性化处理，一般采用泰勒展开的方法，将非线性方程组变为线性方程组。
线性化的过程需要计算雅可比矩阵，即方程组中的系数矩阵。
步骤4：求解线性方程组利用线性方程组的求解方法，比如高斯消元法或LU分解法等，求解线性方程组，得到电压幅值和相角的修正量。
步骤5：更新节点电压根据线性方程组的解，更新各个节点的电压幅值和相角，得到新的节点电压。
步骤6：检查收敛性判断节点电压的修正量是否小于设定的收敛阈值，如果满足收敛条件，则停止迭代；否则，返回步骤3，循环进行线性化方程组和线性方程组的求解。
步骤7：输出结果当潮流计算收敛时，输出最终的节点电压幅值和相角，以及线路的功率流向等参数。
牛顿拉夫逊法是一种高效、快速且收敛性良好的方法，广泛应用于电力系统潮流计算。
在实际应用中，可能会遇到多次迭代或者收敛性不好的情况，此时可以采用退火技术或其他优化算法进行改进。
此外，牛顿拉夫逊法的计算也可以并行化，利用多核处理器或者分布式计算集群来加速计算过程。
总之，牛顿拉夫逊法是一种重要的潮流计算方法，通过迭代计算逼近非线性方程组的解，可以得到电力系统中各节点的电压幅值和相角，用于分析电力系统的稳定性和安全性。
Newton插值法的程序设计与应用
Newton插值法的程序设计与应用Newton插值法是一种常用的数值插值方法，用于通过已知数据点的函数值来估计未知数据点的函数值。
它基于多项式插值的思想，通过构造一个插值多项式来逼近原始函数。
在程序设计中，我们可以使用Newton插值法来实现数据的插值计算。
下面将详细介绍Newton插值法的程序设计与应用。
1. 程序设计思路- 输入：已知数据点的横纵坐标数组，以及待估计的未知数据点的横坐标。
- 输出：通过Newton插值法估计得到的未知数据点的纵坐标。
- 程序设计步骤：1) 根据已知数据点的横纵坐标数组，计算并存储差商表。
2) 根据待估计的未知数据点的横坐标，利用差商表计算插值多项式的系数。
3) 利用插值多项式的系数计算未知数据点的纵坐标。
2. 差商表的计算差商表是Newton插值法的关键部份，用于计算插值多项式的系数。
差商表的计算可以通过递推公式来实现。
- 输入：已知数据点的横纵坐标数组。
- 输出：差商表，存储了各阶差商的值。
- 程序设计步骤：1) 初始化差商表为一个空的二维数组。
2) 将已知数据点的纵坐标作为差商表的第一列。
3) 逐阶计算差商表的其他列，使用递推公式：f[x0, x1, ..., xn] = (f[x1, ..., xn] - f[x0, ..., xn-1]) / (xn - x0)。
4) 返回计算得到的差商表。
3. 插值多项式的系数计算插值多项式的系数可以通过差商表来计算，具体计算方法如下：- 输入：差商表，待估计的未知数据点的横坐标。
- 输出：插值多项式的系数。
- 程序设计步骤：1) 初始化插值多项式的系数为一个空的数组。
2) 逐阶计算插值多项式的系数，使用递推公式：a[i] = f[x0, x1, ..., xi]。
3) 返回计算得到的插值多项式的系数。
4. 未知数据点的纵坐标计算利用插值多项式的系数，可以计算待估计的未知数据点的纵坐标。
- 输入：插值多项式的系数，待估计的未知数据点的横坐标。
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Newton插值法在电力系统采样中的应用
摘要:随着计算机及单片机的普及应用，对实际工程中的变量的测量准确性要求越来越高，由于计算机能够提供高速的计算速度，使一些应用数学中的数值分析法能够应用到实际工作中，本文就是针对newton插值法对电力系统采样中的实际应用进行探讨，介绍了newton插值法的优缺点，讨论newton插值法的应用方法，同时提供了部分计算过程。
关键词：数值分析，newton插值法，电力系统，采样点
1引言
针对实际工作中，对运算过程中的变量精度要求越来越高，如何获得准确的或满足精度要求的变量值越来越重要，随着计算机、单片机及程序化语言的出现，提供了高速计算的硬件环境，推进了应用数学中的数值分析方法的应用速度，通过对部分采样点的分析，能够得出比较准确的变量数值或变量曲线，newton插值法就是其中的一种数值分析方法，本文针对电力系统的采样要求，讨论newton 插值法的应用方法，分析其优缺点，为工程计算提供一种参考。
随着微机保护保护的不断应用，传统的电磁式模拟表记对电力系统中的主要变量电流i、电压u的采集精度已经不能满足精度的要求。
主要因为应用电磁式传统表计采集的电流i、电压u等变量，需要经复杂的转换（如通过采集器处理，再经过规约装换方式将变量转成数字信号）才能输入微机保护，大大降低了精度及可靠性，同时由于微机保护的应用，及计算机处理能力的提高，使用用微机
直接采样已经变为可能。
2newton插值法的应用
2.1 概述
由于电力系统中的主要变量u、i是时间的函数，即随时间变化而变化，想完全采到函数的所有点是不现实的，同时，由于运行监控的要求，需要得到变量u、i的曲线及有效值，这样就需要通过一定的算法，采集一定数量的点，在满足精度要求的前提下，计算出其他个点，绘制出变量u、i的曲线，计算出变量u、i的有效值，由于曲线的绘制，只是将变量的各点连接起来，根据有效值和最大值之间的关系，变量的有效值则是um/ （um是最大值）。
于是问题归为：通过一定的算法，采集一定数量的点，在满足精度要求的前提下，计算出变量的各个点。
2.2 newton插值法的具体应用
本文只讨论通过采集一定数量的点，通过newton插值法，计算出变量u、i的有效值。
要求有效值，必须先求出um，而um则是x= ?%i/2时的函数值，问题转化为：采集一定数量的点，在满足精度要求的前提下，通过newton插值法，计算出变量x= ?%i/2时，u( ?%i/2)的值即可。
只需求出对应参数即可，其对应参数为均差，均差可通过newton 插值表求出。
通过此公式可求变量u在任意点的数值，当然也可通过此公式画出变量u的曲线轨迹。
通过比较变量u的计算数值和实际的采样值，可得出变量的相对误差，也可通过比较变量u的曲线和实际采样中的曲线的重合度观测此公式的准确性，本文列举变量u和实际采样点的相对误差来分析newton插值法的优缺点，同时也为工程应用提供了一种简单实用的误差分析方法，来判别采样的准确性。
3newton插值法的误差分析
一般在实际应用中，变量u用到的都是有效值, 对变量u的有效值的实时监测，可以直接判别处变量u是否在标准范围内波动，从而决定是否对变量u的运行区间进行调整。
鉴于以上原因，本文对变量u的有效值相对误差进行分析。
当然也可对其他任意点的变量u的计算值和采样值进行比较，从而得出相对误差。
由于计算及分析方法相同，本文不再对其他点进行累述。
由于以上说明目的在于介绍newton插值法在采样中应用，所以采样点的个数较少，如果增加采样点的个数，就会将精度提高，此处不再论述。
4newton插值法的探讨
由newton插值法计算公式可以看出，newton插值法优点是计算较简单,尤其是增加节点时,每增加一个采样点，计算只要增加一项,如果采样等距节点（所谓等距节点，是指 x0,x1,...,xn中，相邻两点之间的距离都相等，也就是变量x的变化步长相等）。
这个相等的间距称为步长，记为h。
如果插值节点是等距的，那么整个插值公式将会出现新的规律，
毫无疑问会更加简单，同时公式简单直观，容易编程上机。
由于计算方法相同，此处不对等距newton插值公式进行探讨。
一般在电力系统采用中，一个周期采的点数不少于18个，此时误差将 <<5%，足可以满足精度要求。
5结论
本文对newton插值法在电力系统采样中的应用进行了探讨，对变量u的有效值的相对误差进行了分析，通过以上讨论，可以得出以下结论（1）newton插值法优点是计算较简单，公式直观，容易编程，适合应用于比较简单的采样计算问题，（2）newton插值法精度较高，采样节点越多，精度越高，如果采用等距newton插值法，可以进一步简化计算。
（3）newton插值法提供一种预测变量的手段，通过这种预测，可以判别变量是否在标准范围内运行
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作者简介：潘爽（1981-），女，吉林省长春市人，本科，助教，研究方向数学与应用数学；伊洋（1981-），男，吉林省长春市人，本科，助工，研究方向电力系统及其自动化、电力系统继电保护。