2.3.1 平面向量基本定理 课件
合集下载
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
明目标、知重点
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高中数学 第2章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件
第十二页，共四十六页。
解析 ①A→D与A→B不共线；②D→A＝－B→C，则D→A与B→C共 线；③C→A与D→C不共线；④O→D＝－O→B，则O→D与O→B共线．
由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能 构成一组基底，故①③满足题意．
2021/12/11
第十三页，共四十六页。
拓展提升 能作为基底向量的条件
2021/12/11
第二十六页，共四十六页。
拓展提升 两个向量夹角的实质及求解的关键
(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发 的两个非零向量构成的角且 0°≤θ≤180°.
(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法 使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步 骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．
第十一页，共四十六页。
探究1 正确理解基底的概念
例 1 设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出
下列向量组：
①A→D与A→B；②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B，其
中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④
D．③④
2021/12/11
考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零 向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面 内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不 能作基底．
2021/12/11
第十四页，共四十六页。
【跟踪训练 1】 设 e1，e2 是平面内一组基底，则下面 四组向量中，不能作为基底的是( )
1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；② 基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量 可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
2020版人教A数学必修3 课件：2.3.1 平面向量基本定理
2.(2018·黄石市高一检测)已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,是 该平面内所有向量基底的是( D ) (A) AB , DC (B) AD , BC (C) BC , CB (D) AB , DA
解析:由于 AB , DA 不共线,所以是一组基底.
3.如图,M,N 是△ABC 的一边 BC 上的两个三等分点,若 AB =a, AC =b,则
正解:由已知得 BA = OA - OB =2a-2b, BC = OC - OB =(-a+3b)-2b=-a+b, 显然 BA =-2 BC ,可见 BA 与 BC 共线,且是反向共线,故 BA 与 BC 的夹角 为 180°.
学霸经验分享区
(1)对基底的理解 ①基底的特征 基底具备两个主要特征:a.基底是两个不共线向量; b.基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作 为这个平面内所有向量的一组基底的条件. ②零向量与任意向量共线,故不能作为基底. (2)准确理解平面向量基本定理 ①平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. ②平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何 问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归, 使问题得以解决.
题型三 任意一向量基底表示的唯一性应用 [例 3] 如图所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且 AN = 1 NC ,BN 与 CM 相
2 交于 E,设 AB =a, AC =b,试用基底 a,b 表示向量 AE .
解:易得 AN = 1 AC = 1 b, AM = 1 AB = 1 a,
新知导学 课堂探究
新知导学·素养养成
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
《2.3.1 平面向量基本定理》公开课PPT教学课件
向量
-3
OP
一一对应
P（x ，y）
18
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a (1, 2)
解：
y
(2)b (1, 2)
B(1, 2)
y
. A(1, 2)
a
x
.
o
b
o
x
19
例1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
b 2i 3 j ( 2, 3)
a b ( x1 x2 , y1 y2 ), a ( x1, y1 ) ( 2) 若A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB ( x2 x1, y2 y1 ) 4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思
32
学生活动：
OC OM ON 1OA 2 OB
即
a 1 e1 2 e2
M
e1
A
e1
a
C
e2
向 量 的 分 解
O
N
e2
B
4
2018年12月5日星期三
知识点一
平面向量基本定理
1. 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任意向量 a,
有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在 性 一 性
y
j O i
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； x
反过来，点A的坐标（x,y)也就是 向量OA的坐标。
x
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。
17
向量的坐标与点的坐标关系
-3
OP
一一对应
P（x ，y）
18
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a (1, 2)
解：
y
(2)b (1, 2)
B(1, 2)
y
. A(1, 2)
a
x
.
o
b
o
x
19
例1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
b 2i 3 j ( 2, 3)
a b ( x1 x2 , y1 y2 ), a ( x1, y1 ) ( 2) 若A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB ( x2 x1, y2 y1 ) 4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思
32
学生活动：
OC OM ON 1OA 2 OB
即
a 1 e1 2 e2
M
e1
A
e1
a
C
e2
向 量 的 分 解
O
N
e2
B
4
2018年12月5日星期三
知识点一
平面向量基本定理
1. 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任意向量 a,
有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在 性 一 性
y
j O i
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； x
反过来，点A的坐标（x,y)也就是 向量OA的坐标。
x
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。
17
向量的坐标与点的坐标关系
高一数学必修4课件：2-3-1平面向量基本定理
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
→ 如图， 作OA＝a，
→ OB＝b，且∠AOB＝60° ， 以 OA、OB 为邻边作▱OACB， → → → → → → → → 则OC＝OA＋OB＝a＋b， ＝OA－OB＝a－b， ＝OA＝ BA BC a.
第二章 2.3 2.3.1
②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那 么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于③， λ1λ2 当 ＝0 或 μ1μ2＝0 时不一定成立，应为 λ1μ2－λ2μ1＝0.故选 B.
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1 ＋e2 与 e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ． ________．(写出所有满足条件的序号)
第二章 2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[分析]
应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量 e1
与 e2 不共线和平面内向量 a 用基底 e1、e2 表示的惟一性求解．
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[特别提醒]
→ → (1)从图可以看出OA与OB的夹角是 θ， 但由向
→ → 量夹角的定义可知OA与BO的夹角不是 θ，而是 π－θ.
课件4：2.3.1 平面向量基本定理
答案 9 －8
4.如图，已知 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC、CD 的 中点，EF 与 AC 交于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，用 a、b 表示A→G＝________.
解析 A→G＝A→E－G→E＝A→B＋B→E－G→E ＝a＋12b－12F→E＝a＋12b－12·12D→B ＝a＋12b－14(a－b)＝34a＋43b.
第二章 平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实
数λ1，λ2，使 ___a_＝__λ_1_e_1＋__λ_2_e_2___．
我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有 向量的一组基__底__．
∴xy＝＝43aa＋＋32bb.，
例 2 如图所示，已知△OAB 中，点 C 是以 A 为对称中心 的点 B 的对称点，D 是将 OB 分成 2：1 的一个内分点， DC 和 OA 交于点 E，设O→A＝a，O→B＝b. (1)用 a，b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求 λ 的值．
解： DADE∥ ＝B23ACB⇒A→E＝23A→C＝23b，B→C＝A→C－A→B＝b－a.
由△ADE △ABC 得，D→E＝23B→C＝23(b－a)． ∵AM 是△ABC 中线，DE∥BC， ∴D→N＝12D→E＝13(b－a)， 且A→M＝A→B＋B→M＝a＋12B→C＝a＋12(b－a)＝12(a＋b).
∴λ3＋λ＋2μμ＝ ＝23 ，解得λμ＝＝4535
，故A→P＝45A→M.
即 AP：PM＝4：1.
自我检测
1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组 向量中，不能作为基底的是( )
4.如图，已知 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC、CD 的 中点，EF 与 AC 交于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，用 a、b 表示A→G＝________.
解析 A→G＝A→E－G→E＝A→B＋B→E－G→E ＝a＋12b－12F→E＝a＋12b－12·12D→B ＝a＋12b－14(a－b)＝34a＋43b.
第二章 平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实
数λ1，λ2，使 ___a_＝__λ_1_e_1＋__λ_2_e_2___．
我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有 向量的一组基__底__．
∴xy＝＝43aa＋＋32bb.，
例 2 如图所示，已知△OAB 中，点 C 是以 A 为对称中心 的点 B 的对称点，D 是将 OB 分成 2：1 的一个内分点， DC 和 OA 交于点 E，设O→A＝a，O→B＝b. (1)用 a，b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求 λ 的值．
解： DADE∥ ＝B23ACB⇒A→E＝23A→C＝23b，B→C＝A→C－A→B＝b－a.
由△ADE △ABC 得，D→E＝23B→C＝23(b－a)． ∵AM 是△ABC 中线，DE∥BC， ∴D→N＝12D→E＝13(b－a)， 且A→M＝A→B＋B→M＝a＋12B→C＝a＋12(b－a)＝12(a＋b).
∴λ3＋λ＋2μμ＝ ＝23 ，解得λμ＝＝4535
，故A→P＝45A→M.
即 AP：PM＝4：1.
自我检测
1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组 向量中，不能作为基底的是( )
2.3.1平面向量基本定理(必修四 数学 优秀课件)
即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0
k – 4 = 0 8.
2 - = 0
k =
e2是同一平面内的两个不 如果 e1 、 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数1、 2 使 a = 1 e1 + 2e2 e2叫做表 我们把不共线的向量e1 、 示这一平面内所有向量的一组基底。
思考 （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） C F M M C A O a N B O a N E
AB与BD共线，则存在实数
λ使得AB = λBD.
由于BD = CD – CB
k =
=(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = (a – 4b ) 2 = 由向量相等的条件得 k = 4
8.
此处可另解：
则需 2a + kb = (a – 4b )
e2
B
A
e1 2.5e
1
3e2
· O
向量的夹角
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作 OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
B a b b
[0°，180°]
1 a 2
总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性 ３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
思考
设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。 解： A、B、D三点共线
数学：2.3.1平面向量基本定理课件2
1 , 2 ,使
a 1e1 2 e2
我们把不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底.
一 个 平 面 向 量 用 一 组 基 底 e1,e2 表 示 成 a 1e1 2 e2 的形式,我们称它为向量的分解.当e1,e2 互相垂直时,就称为向量的正交分解.
平面向量基本定理告诉我们:任何一个向量都可以唯 一地分解到两个不共线的向量的方向上,由于分解的 唯一性,我们可以得到:
引:在力的分解的平行四边形法则中,我们能把任何一 个力分解为两个不共线方向上的力的和.
那么平面内任一向量是否也可以用两个不共线的 向量来表示呢?
a e1
e2
M
A
a
e1
O
e2 B
C
N
平面向量基本定理
如果e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么 对于这个平面内的任一向1,e2不共线,且
OA e1 e2 , OB 3e1 e2 ,OC me1 5e2
A,B,C 三点共线,求 m 的值.
例 2.已知 A,B,C 三点不共线,O 为平面上任意一点,若 存在实数 p,q,r, 使 得 pOA qOB rOC 0, , 且 p+q+r=0, 则 必 有 p=q=r=0
pe1 qe2 0, (e1,e2不共线) p=q=0
思考 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定 理,在内容和表述形式上有什么区别和联系?
练习 1 若e1,e2 是表示平面内所有向量的一组基底,则 下面四组向量中不能作为一组基底的是( ) A.e1 e2和e1 e2 B. 3e1 2e2和4e2 6e1 C. e1 3e2和e2 +3e1 D. e2和e1 e2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
栏目 导引
第二章 平面向量
2．在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量 能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量e1、e2， 平面上的任何一个向量a都可以用e1、e2唯一表示为a＝ λ1e1＋λ2e2，这样几何问题就转化为代数问题，转化为 只含有e1、e2的代数运算．
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，则称 a 与 b 垂直， 记作 a⊥b.
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 2.零向量与任一非零向量的夹角有意义吗？ 提示：由于零向量的方向不定(或任意)，零向量与任意非零 向量的夹角没有什么实际意义． 做一做
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
栏目 导引
∵C→E与C→D共线， ∴存在实数 m，使得C→E＝mC→D，
即(λ－2)a＋b＝m(－2a＋53b)，
即(λ＋2m－2)a＋(1－53m)b＝0. ∵a，b 不共线，
λ＋2m－2＝0， ∴1－35m＝0，
解得 λ＝45.
第二章 平面向量
栏目 导引
【解】 ∵a，b 不共线，∴可设 c＝xa＋yb，则 xa＋yb＝
x(3e1－ 2e2)＋ y( －2e1 ＋ e2)＝ (3x － 2y)e1 ＋ (－ 2x＋ y)e2 ＝7e1
－ 4e2. 又 ∵ e1 ， e2
不
共
线
，
∴
3x－2y＝7， －2x＋y＝－4.
解得
x＝1， y＝－2，
∴c＝a－2b.
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
精彩推荐典例展示
名师解题 待定系数法求解基底表示向量问题 例4 如图，在△AOB 中，O→A＝a，O→B＝b，设A→M＝2M→B，O→N
＝3N→A，而 OM 与 BN 相交于点 P，试用 a、b 表示向量O→P.
栏目 导引
【解】 O→M＝O→A＋A→M＝O→A＋23A→B ＝O→A＋23(O→B－O→A) ＝a＋23(b－a)＝13a＋23b. ∵O→P与O→M共线，令O→P＝tO→M， 则O→P＝t(13a＋23b)．
栏目 导引
第二章 平面向量
【答案】 ③ 【名师点评】 两个向量能否构成基底，主要看 两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平 面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都 可以由这组基底唯一表示．
栏目 导引
第二章 平面向量
题型二 用基底表示向量
例2 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
栏目 导引
解：(1)∵A 为 BC 的中点， ∴O→A＝12(O→B＋O→C)，O→C＝2a－b. D→C＝O→C－O→D＝O→C－23O→B ＝2a－b－23b＝2a－53b. (2)∵O→E＝λO→A， ∴C→E＝O→E－O→C＝λO→A－O→C ＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.
第二章 平面向量
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
①范围：向量 a 与 b 的夹角范围是[0°，180°]．
②当 θ＝0°时 a 与 b___同__向__．___ ③当 θ＝180°时 a 与 b__反__向__．__
栏目 导引
第二章 平面向量
新知初探思维启动
1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个_不__共__线___ 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只 有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组__基__底__．_
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1； ③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ________(写出满足条件的序号)．
栏目 导引
第二章 平面向量 学习效果好，家长对品牌的认可度也随之提升，在全球范围内分别使用阿拉伯语、英语、意大利语、法语和西班牙语出版发行，最近北京新发地的一次新冠检测，让大家本已放松的一根弦又再次紧绷了
起来，西安成考 https://，学校十分重视艺术教育，先期成立的国艺研究院和国艺馆是书画教育基地的牢固基础，天津作为传智播客的北方总部，进驻前期经过了全面的调研和评估， 从区域教育政策扶持力度、当地及周围教育发展情况、科技领先力等多个维度筛选，审核后的招生计划由我校通过招生信息、招生简章等形式向社会公布
栏目 导引
第二章 平面向量
∵|a|＝|b|＝2，∴△OAB 为等边三角形． ∴∠OAB＝∠ABC＝60°， 故 a－b 与 a 的夹角为 60°. ∵|a|＝|b|，∴▱OACB 为菱形． ∴∠COA＝12∠AOB＝30°，即 a＋b 与 a 的夹角为 30°.
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
第二章 平面向量
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理
第二章 平面向量
学习导航
学习目标 实例 ―了―解→ 基底的含义 ―理―解→ 两向量的夹角 ―掌―握→ 平面向量基本定理 重点难点 重点：平面向量的基本定理及其应用，两向 量的夹角及垂直． 难点：平面向量基本定理的应用．
第二章 平面向量
栏目 导引
第二章 平面向量
又设O→P＝(1－m)O→N＋mO→B＝34a·(1－m)＋mb.
3t ＝431－m，
∴
23t＝m.
m＝35，
∴
t＝190.
∴O→P＝130a＋35b.
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
3．已知△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AB＝AC，D 是 将O→B分成 2∶1 的一个分点，DC 和 OA 交于点 E，设O→A ＝a，O→B＝b， (1)用 a，b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
栏目 导引
第二章 平面向量
题型三 向量的夹角 例3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的
夹角是________，a－b与a的夹角是________．
【解析】 如图，作O→A＝a，O→B＝b，且∠AOB＝60°， 以 OA，OB 为邻边作▱OACB，则O→C＝a＋b，B→A＝a－b， B→C＝O→A＝a.
栏目 导引
第二章 平面向量
方法感悟
1．平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示 为 同 一 平 面 内 两 个 不 共 线 向 量 e1 、 e2 的 线 性 组 合 λ1e1 ＋ λ2e2.在具体求λ1、λ2时有两种方法：一是直接利用三角形 法则、平行四边形法则及向量共线定理；二是利用待定 系数法，即利用定理中λ1、λ2的唯一性列方程组求解．
第二章 平面向量
2．在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量 能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量e1、e2， 平面上的任何一个向量a都可以用e1、e2唯一表示为a＝ λ1e1＋λ2e2，这样几何问题就转化为代数问题，转化为 只含有e1、e2的代数运算．
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，则称 a 与 b 垂直， 记作 a⊥b.
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 2.零向量与任一非零向量的夹角有意义吗？ 提示：由于零向量的方向不定(或任意)，零向量与任意非零 向量的夹角没有什么实际意义． 做一做
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
栏目 导引
∵C→E与C→D共线， ∴存在实数 m，使得C→E＝mC→D，
即(λ－2)a＋b＝m(－2a＋53b)，
即(λ＋2m－2)a＋(1－53m)b＝0. ∵a，b 不共线，
λ＋2m－2＝0， ∴1－35m＝0，
解得 λ＝45.
第二章 平面向量
栏目 导引
【解】 ∵a，b 不共线，∴可设 c＝xa＋yb，则 xa＋yb＝
x(3e1－ 2e2)＋ y( －2e1 ＋ e2)＝ (3x － 2y)e1 ＋ (－ 2x＋ y)e2 ＝7e1
－ 4e2. 又 ∵ e1 ， e2
不
共
线
，
∴
3x－2y＝7， －2x＋y＝－4.
解得
x＝1， y＝－2，
∴c＝a－2b.
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
精彩推荐典例展示
名师解题 待定系数法求解基底表示向量问题 例4 如图，在△AOB 中，O→A＝a，O→B＝b，设A→M＝2M→B，O→N
＝3N→A，而 OM 与 BN 相交于点 P，试用 a、b 表示向量O→P.
栏目 导引
【解】 O→M＝O→A＋A→M＝O→A＋23A→B ＝O→A＋23(O→B－O→A) ＝a＋23(b－a)＝13a＋23b. ∵O→P与O→M共线，令O→P＝tO→M， 则O→P＝t(13a＋23b)．
栏目 导引
第二章 平面向量
【答案】 ③ 【名师点评】 两个向量能否构成基底，主要看 两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平 面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都 可以由这组基底唯一表示．
栏目 导引
第二章 平面向量
题型二 用基底表示向量
例2 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
栏目 导引
解：(1)∵A 为 BC 的中点， ∴O→A＝12(O→B＋O→C)，O→C＝2a－b. D→C＝O→C－O→D＝O→C－23O→B ＝2a－b－23b＝2a－53b. (2)∵O→E＝λO→A， ∴C→E＝O→E－O→C＝λO→A－O→C ＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.
第二章 平面向量
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
①范围：向量 a 与 b 的夹角范围是[0°，180°]．
②当 θ＝0°时 a 与 b___同__向__．___ ③当 θ＝180°时 a 与 b__反__向__．__
栏目 导引
第二章 平面向量
新知初探思维启动
1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个_不__共__线___ 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只 有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组__基__底__．_
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1； ③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ________(写出满足条件的序号)．
栏目 导引
第二章 平面向量 学习效果好，家长对品牌的认可度也随之提升，在全球范围内分别使用阿拉伯语、英语、意大利语、法语和西班牙语出版发行，最近北京新发地的一次新冠检测，让大家本已放松的一根弦又再次紧绷了
起来，西安成考 https://，学校十分重视艺术教育，先期成立的国艺研究院和国艺馆是书画教育基地的牢固基础，天津作为传智播客的北方总部，进驻前期经过了全面的调研和评估， 从区域教育政策扶持力度、当地及周围教育发展情况、科技领先力等多个维度筛选，审核后的招生计划由我校通过招生信息、招生简章等形式向社会公布
栏目 导引
第二章 平面向量
∵|a|＝|b|＝2，∴△OAB 为等边三角形． ∴∠OAB＝∠ABC＝60°， 故 a－b 与 a 的夹角为 60°. ∵|a|＝|b|，∴▱OACB 为菱形． ∴∠COA＝12∠AOB＝30°，即 a＋b 与 a 的夹角为 30°.
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
第二章 平面向量
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理
第二章 平面向量
学习导航
学习目标 实例 ―了―解→ 基底的含义 ―理―解→ 两向量的夹角 ―掌―握→ 平面向量基本定理 重点难点 重点：平面向量的基本定理及其应用，两向 量的夹角及垂直． 难点：平面向量基本定理的应用．
第二章 平面向量
栏目 导引
第二章 平面向量
又设O→P＝(1－m)O→N＋mO→B＝34a·(1－m)＋mb.
3t ＝431－m，
∴
23t＝m.
m＝35，
∴
t＝190.
∴O→P＝130a＋35b.
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
3．已知△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AB＝AC，D 是 将O→B分成 2∶1 的一个分点，DC 和 OA 交于点 E，设O→A ＝a，O→B＝b， (1)用 a，b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
栏目 导引
第二章 平面向量
题型三 向量的夹角 例3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的
夹角是________，a－b与a的夹角是________．
【解析】 如图，作O→A＝a，O→B＝b，且∠AOB＝60°， 以 OA，OB 为邻边作▱OACB，则O→C＝a＋b，B→A＝a－b， B→C＝O→A＝a.
栏目 导引
第二章 平面向量
方法感悟
1．平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示 为 同 一 平 面 内 两 个 不 共 线 向 量 e1 、 e2 的 线 性 组 合 λ1e1 ＋ λ2e2.在具体求λ1、λ2时有两种方法：一是直接利用三角形 法则、平行四边形法则及向量共线定理；二是利用待定 系数法，即利用定理中λ1、λ2的唯一性列方程组求解．