2014年辽宁高考数学(文、理)16题的几种解法
2014年辽宁省高考数学试卷(理科)(含解析版)
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144B．120C．72D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0B．d＞0C．a1d＜0D．a1d＞09．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3] 12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2014年(辽宁卷)普通高等学校招生全国统一考试(文科)数学(含解析)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = （ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x <<2．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i -3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅= ，0b c ⋅= ，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 【答案】C 【解析】9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ） A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14.已知x，y满足条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y=+的最大值为.15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3B =，3b =，求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值.18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G分别为AC、DC、AD的中点. （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D-BCG的体积.附：椎体的体积公式13V Sh=，其中S为底面面积，h为高.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.【考点定位】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式． 21. （本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+>.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲，连接DG并延长交圆于点A，作如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG PD弦AB垂直EP，垂足为F.（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)文
2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014辽宁,文1)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=().A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案:D解析:∵A∪B={x|x≤0或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.故选D.2.(2014辽宁,文2)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=().A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i答案:A解析:∵(z-2i)(2-i)=5,∴z-2i=52-i=2+i.∴z=2+3i.故选A.3.(2014辽宁,文3)已知a=2-13,b=log213,c=lo g1213,则().A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b 答案:D解析:∵0<a=2-13<20=1,b=log213<log21=0,c=lo g1213>lo g1212=1,∴c>a>b.故选D.4.(2014辽宁,文4)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是().A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案:B解析:对A:m,n还可能异面、相交,故A不正确.对C:n还可能在平面α内,故C不正确.对D:n还可能在α内,故D 不正确.对B:由线面垂直的定义可知正确.5.(2014辽宁,文5)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是().A.p∨qB.p∧qC.( p)∧( q)D.p∨( q)答案:A解析:对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故p∨q 为真命题.故选A.6.(2014辽宁,文6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是().A.π2B.π4C.π6D.π8答案:B解析:所求概率为S半圆S长方形=12π·122×1=π4,故选B.7.(2014辽宁,文7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.8-π4B.8-π2C.8-πD.8-2π答案:C解析:由几何体的三视图可知,原几何体为棱长是2的正方体挖去两个底面半径为1,高为2的14圆柱,故该几何体的体积是正方体的体积减去半个圆柱,即V=23-12π·12·2=8-π.故选C.8.(2014辽宁,文8)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为().A.-43B.-1 C.-34D.-12答案:C解析:由已知,得准线方程为x=-2, ∴F的坐标为(2,0).又A(-2,3),∴直线AF的斜率为k=3-0-2-2=-34.故选C.9.(2014辽宁,文9)设等差数列{a n}的公差为d.若数列{2a1a n}为递减数列,则().A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<0答案:D解析:∵{2a1a n}为递减数列,∴2a1a n+12a1a n=2a1a n+1-a1a n=2a1(a n+1-a n)=2a1d<1.∴a1d<0.故选D.10.(2014辽宁,文10)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)={cosπx,x∈[0,12],2x-1,x∈(12,+∞),则不等式f(x-1)≤12的解集为().A.[14,23]∪[43,74]B.[-34,-13]∪[14,23]C.[13,34]∪[43,74]D.[-34,-13]∪[13,34]答案:A解析:令t=x-1.当t∈[0,12]时,πt∈[0,π2],由f(t)≤12,即cosπt≤12,得π3≤πt≤π2,解得13≤t≤12.当t∈(12,+∞)时,由f(t)≤12,即2t-1≤12,解得12<t≤34.综上,t∈[0,+∞)时,f(t)≤12的解集为[13,34].∵f(x)为偶函数,∴f(|x|)=f(x).故t∈R时,由f(t)≤12可得13≤|t|≤34,即-34≤t≤-13或13≤t≤34.∴由f(x-1)≤12得-34≤x-1≤-13或13≤x-1≤34,解得14≤x≤23或43≤x≤74.故选A.11.(2014辽宁,文11)将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数().A.在区间[π12,7π12]上单调递减B.在区间[π12,7π12]上单调递增C.在区间[-π6,π3]上单调递减D.在区间[-π6,π3]上单调递增答案:B解析:由题意知,平移后的函数f(x)=3sin[2(x-π2)+π3]=3sin(2x-π+π3)=-3sin(2x+π3).令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,解得f(x)的递减区间为[kπ-5π12,kπ+π12],k∈Z.令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+32π(k∈Z),解得f(x)的递增区间为[kπ+π12,kπ+712π],k∈Z.从而可判断选项B正确.12.(2014辽宁,文12)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是().A.[-5,-3]B.[-6,-98]C.[-6,-2]D.[-4,-3]答案:C解析:∵当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,即当x∈[-2,1]时,不等式ax3≥x2-4x-3(*)恒成立.(1)当x=0时,a∈R.(2)当0<x≤1时,由(*)得a≥x 2-4x-3x3=1x−4x2−3x3恒成立.设f(x)=1x −4x2−3x3,则f'(x)=-1x2+8x3+9x4=-x2+8x+9x4=-(x-9)(x+1)x4.当0<x≤1时,x-9<0,x+1>0,∴f'(x)>0, ∴f(x)在(0,1]上单调递增.当0<x≤1时,可知a≥f(x)max=f(1)=-6.(3)当-2≤x<0时,由(*)得a≤1x −4x2−3x3.令f'(x)=0,得x=-1或x=9(舍).∴当-2≤x<-1时,f'(x)<0,当-1<x<0时,f'(x)>0,∴f(x)在[-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.∴x∈[-2,0)时,f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.∴可知a≤f(x)min=-2.综上所述,当x∈[-2,1]时,实数a的取值范围为-6≤a≤-2.故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014辽宁,文13)执行下面的程序框图,若输入n=3,则输出T=.答案:20解析:由程序框图可知,当i=0≤3时,i=1,S=1,T=1;当i=1≤3时,i=2,S=3,T=4;当i=2≤3时,i=3,S=6,T=10;当i=3≤3时,i=4,S=10,T=20;可知i=4>3,退出循环.故输入n=3时,输出T=20.14.(2014辽宁,文14)已知x,y满足约束条件{2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0,则目标函数z=3x+4y的最大值为.答案:18解析:画出x,y满足约束条件的可行域如图阴影部分.由{3x-y-3=0,x-2y+4=0得{x=2,y=3,∴A点坐标为(2,3).作直线l0:3x+4y=0,可知当平移l0到l(l过点A)时,目标函数有最大值,此时z max=3×2+4×3=18.15.(2014辽宁,文15)已知椭圆C:x 29+y24=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案:12解析:如图,设MN的中点为P,则由F1是AM的中点,可知|AN|=2|PF1|.同理可得可知|BN|=2|PF2|.∴|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|).根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.16.(2014辽宁,文16)对于c>0,当非零实数a ,b 满足4a 2-2ab+b 2-c=0且使|2a+b|最大时,1a +2b +4c的最小值为 . 答案:-1解析:要求|2a+b|的最大值,只需求(2a+b )2的最大值.∵4a 2-2ab+b 2-c=0,∴4a 2+b 2=c+2ab ,∴(2a+b )2=4a 2+b 2+4ab=c+2ab+4ab=c+6ab ≤c+3(2a+b 2)2,即(2a+b )2≤4c ,当且仅当2a=b 时,取得等号,即(2a+b )2取到最大值,即2a=b 时,|2a+b|取到最大值.把2a=b 代入4a 2-2ab+b 2-c=0,可得c=4a 2. ∴1a+2b+4c=1a+22a +44a 2=2a +1a 2=(1a+1)2-1. ∴当1a =-1时,1a +2b +4c取到最小值-1.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014辽宁,文17)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a>c.已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B=13,b=3,求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B-C )的值.分析:(1)由数量积定义及余弦定理,可列出a ,c 的方程组,解方程组即可求出a ,c 的值.(2)由已知及正弦定理可分别求出B ,C 角的正、余弦值,再利用两角差的余弦公式可求出cos(B-C )的值.解:(1)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2得c ·a cos B=2. 又cos B=13,所以ac=6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B.又b=3,所以a 2+c 2=9+2×2=13.解{ac =6,a 2+c 2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2. 因为a>c ,所以a=3,c=2. (2)在△ABC 中,sin B=√1-cos 2B=√1-(13)2=2√23,由正弦定理,得sin C=c b sin B=23·2√23=4√29. 因为a=b>c ,所以C 为锐角, 因此cos C=√1-sin 2C=√1-(4√29)2=79.于是cos(B-C )=cos B cos C+sin B sin C =13×79+2√23×4√29=2327. 18.(本小题满分12分)(2014辽宁,文18)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”; (2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率. 附:χ2=n (n 11n 22-n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2.分析:(1)由表中数据及χ2公式可求出χ2值,再与3.841比较即可.(2)可用列举法写出基本事件总数及“3人中至多有1人喜欢甜品”的基本事件数.再由古典概型的概率公式计算即可.解:(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算,得χ2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762.由于4.762>3.841,所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异.(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.其中a i表示喜欢甜品的学生,i=1,2,b j表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3.Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.事件A是由7个基本事件组成,因而P(A)=710.19.(本小题满分12分)(2014辽宁,文19)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D-BCG的体积.附:锥体的体积公式V=13Sh,其中S为底面面积,h为高.分析:(1)由三角形全等证出AC=DC,再由等腰三角形的性质(三线合一)得线线垂直,最后由线面垂直的判定定理及推论可证得结论.(2)由面面垂直得线面垂直,从而确定出点到平面的距离,即三棱锥G-BCD的高,由等体积法可求三棱锥D-BCG的体积.(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC,因此AC=DC.又G为AD中点,所以CG⊥AD;同理BG⊥AD;因此AD⊥面BGC.又EF∥AD,所以EF⊥面BCG.(2)解:在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB延长线于O.由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥面BDC.又G为AD中点,因此G到平面BDC距离h是AO长度的一半.在△AOB中,AO=AB·sin60°=√3,所以V D-BCG=V G-BCD=13·S△DBC·h=13·12·BD·BC·sin120°·√32=12.20.(本小题满分12分)(2014辽宁,文20)圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图). (1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线l :y=x+√3交于A ,B 两点.若△PAB 的面积为2,求C 的标准方程. 分析:(1)设出切点P 的坐标,用此坐标表示三角形的面积.又由切点P 在圆上,利用基本不等式求最值的方法,可求出点P 的坐标.(2)设出椭圆C 的标准方程,由点P 在椭圆C 上,及直线l 与C 相交于A ,B 两点且S △PAB =2,可求出a ,b 的值.解:(1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则切线斜率为-x 0y 0,切线方程为y-y 0=-x0y 0(x-x 0),即x 0x+y 0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=12·4x 0·4y 0=8x 0y 0, 由x 02+y 02=4≥2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=√2时x 0y 0有最大值,即S 有最小值,因此点P 的坐标为(√2,√2).(2)设C 的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由点P 在C 上知2a 2+2b2=1,并由{x 2a 2+y 2b2=1,y =x +√3,得b 2x 2+4√3x+6-2b 2=0, 又x 1,x 2是方程的根, 因此{x 1+x 2=-4√3b2,x 1x 2=6-2b2b 2,由y 1=x 1+√3,y 2=x 2+√3, 得|AB|=√2|x 1-x 2|=√2·√48-24b 2+8b 4b2.由点P 到直线l 的距离为√3√2及S △PAB =12√3√2|AB|=2得b 4-9b 2+18=0,解得b 2=6或3,因此b 2=6,a 2=3(舍)或b 2=3,a 2=6.从而所求C 的方程为x 26+y 23=1.21.(本小题满分12分)(2014辽宁,文21)已知函数f (x )=π(x-cos x )-2sin x-2,g (x )=(x-π)√1-sinx 1+sinx +2xπ-1,证明: (1)存在唯一x 0∈(0,π2),使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈(π2,π),使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1>π.分析:(1)利用求导数方法判断函数f (x )在(0,π2)上的单调性,再利用函数零点的存在性定理进行判断,证出结论.(2)先化简函数g (x )在[π2,π]上的解析式,再用求导法判断函数单调性,结合函数零点的存在性定理,即可证明. 证明:(1)当x ∈(0,π2)时,f'(x )=π+πsin x-2cos x>0,所以f (x )在(0,π2)上为增函数, 又f (0)=-π-2<0,f (π2)=π22-4>0, 所以存在唯一x 0∈(0,π2),使f (x 0)=0. (2)当x ∈[π2,π]时,化简得g (x )=(π-x )·cosx 1+sinx +2xπ-1. 令t=π-x ,记u (t )=g (π-t )=-tcost 1+sint −2πt+1,t ∈[0,π2], 则u'(t )=f (t )π(1+sint ).由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u'(t )<0, 当t ∈(x 0,π2)时,u'(t )>0. 在(x 0,π2)上u (t )为增函数, 由u (π2)=0知,当t ∈[x 0,π2)时,u (t )<0, 所以u (t )在[x 0,π2)上无零点.在(0,x 0)上u (t )为减函数,由u (0)=1及u (x 0)<0知存在唯一t 0∈(0,x 0),使u (t 0)=0.),使u(t0)=0.于是存在唯一t0∈(0,π2,π),设x1=π-t0∈(π2则g(x1)=g(π-t0)=u(t0)=0,,π),使g(x1)=0,因此存在唯一的x1∈(π2由于x1=π-t0,t0<x0,所以x0+x1>π.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2014辽宁,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,求证:AB=ED.分析:(1)证明AB是直径,即证明∠BDA=90°.由∠PFA=90°,从而寻求∠BDA=∠PFA就可证明.(2)要证AB=DE,即证DE为直径,连DC,即证∠DCE=90°,从而只需证明AB∥DC即可.证明:(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA.又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°.于是∠BDA=90°.故AB是直径.(2)连接BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角.于是ED为直径.由(1)得ED=AB.23.(本小题满分10分)(2014辽宁,理23)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.分析:(1)利用相关点法先求出直角坐标方程,再写出参数方程.(2)先联立方程求出P1,P2两点的坐标,进而求出P1P2的中点坐标,得到与l垂直的直线方程,再化为极坐标方程.解:(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为C 上点(x ,y ),依题意,得{x =x 1,y =2y 1.由x 12+y 12=1,得x 2+(y 2)2=1,即曲线C 的方程为x 2+y 24=1.故C 的参数方程为{x =costy =2sint (t 为参数).(2)由{x 2+y24=1,2x +y -2=0,解得{x =1,y =0,或{x =0,y =2.不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为(12,1),所求直线斜率为k=12, 于是所求直线方程为y-1=12(x -12), 化为极坐标方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=34sinθ-2cosθ.24.(本小题满分10分)(2014辽宁,理24)选修4—5:不等式选讲设函数f (x )=2|x-1|+x-1,g (x )=16x 2-8x+1.记f (x )≤1的解集为M ,g (x )≤4的解集为N. (1)求M ;(2)当x ∈M ∩N 时,证明:x 2f (x )+x [f (x )]2≤14.分析:(1)分类讨论去绝对值符号即可.(2)在x ∈M ∩N 的条件下,先化简x 2f (x )+x [f (x )]2,再配方求其最大值即可.解:(1)f (x )={3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1),当x ≥1时,由f (x )=3x-3≤1得x ≤43,故1≤x ≤43;当x<1时,由f (x )=1-x ≤1得x ≥0,故0≤x<1. 所以f (x )≤1的解集为M={x |0≤x ≤43}. (2)证明:由g (x )=16x 2-8x+1≤4, 得16(x -14)2≤4,解得-14≤x ≤34. 因此N={x |-14≤x ≤34}.故M ∩N={x |0≤x ≤34}.当x ∈M ∩N 时,f (x )=1-x ,于是 x 2f (x )+x ·[f (x )]2=xf (x )[x+f (x )] =x ·f (x )=x (1-x )=14−(x -12)2≤14.。
2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．解答：解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．点评：本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．解答：解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数的运算性质．专题：计算题；综合题．分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．解答：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假；平行向量与共线向量．专题：简易逻辑．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．解答：解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1﹣a n=d，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a1d＜0．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．解答：解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为，故选D．点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3] A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．解答：解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，依题意，k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，∴m≥，即m的最小值为．故选：B．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2014年辽宁省数学高考理科第16题的探究_洪恩锋
以下同解法 1 ． 点评 上述 2 种三角换元法思路自然、 简洁、 流畅， 正如克莱因所说： 一个精彩巧妙的证明， 精神 上近乎一首诗． 1 ． 4 从高观点角度分析 解法 7 （ 拉格朗日数乘法 ） 把题目中的 c 看
2
成常数， 将 | 2 a + b | 最大转化为 （ 2 a + b ） 最大． 作 拉格朗日函数 L（ a， b） = 4 a2 － 2 ab + 4 b2 － c + λ （ 2 a + b） 2 ，
· 10· 当 | 2 a + b | 最大时，
中学教研 ( 数学)
2014 年
{
（ 2 a + b） 2 = 2 a = 3 b，
8c ， 5
4 5 1 5 3 2 c = 0， ， 解得 c = 16 a ， 此时， － + = + a b c a 16 a2 最小值为 － 4 ． 5
得
{
3 10 a= 槡 槡 c， 20 10 b= 槡 槡 c． 10
关于最值问题的一种高观点做法， 此法运作机械， 容易上手， 在自主招生和各类竞赛题中备受青睐 ． 2 寻思百通 一般而言， 在一个问题系统中， 未知与已知必 存在着某种内在的联系， 有时这种联系比较自然和 显性， 从而求解问题相对比较顺畅、 自然一些； 有时 这种联系比较晦涩和隐性， 从而求解问题也相对坎 坷些． 回头再看题目， 可以把其分为 2 个问题． b 满足 问题 1 对 于 c ＞ 0 ， 当 非 零 实 数 a， （ 3） （ 4） 4 a2 － 2 ab + 4 b2 － c = 0 且使 | 2 a + b | 最大时， 3 个变 b， c 之间有何关系？ 量 a， 问题 2 在问题 1 的结论下， 求 3 4 5 － + 的 a b c
2014年全国高考辽宁省数学(文)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设a,b,c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若/,/a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．84π-B ．82π-C ．8π-D ． 82π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d > B ．0d < C ．10a d > D ．10a d <10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T =.14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 .15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ； （Ⅱ）求三棱锥D-BCG 的体积.附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.21. （本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的x 0，有01x x π+>.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （Ⅰ）求M ； （Ⅱ）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C9.D 10.Ａ 11.B 12.C 13.20 14.18 15.12 16.1- (17)解：（Ⅰ）由2BA BC ⋅=得，cos 2ca B =．又1cos 3B =．所以6ca =．由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+．又3b =．所以2292213a c +=+⨯=．解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2,3a c ==或3,2a c ==．因为a c >．所以3,2a c ==．（Ⅱ）在ABC ∆中，sin 3B ===．由正弦定理得，2sin sin 3c C B b ===．因a b c=>，所以C 为锐角．因此cos C= 79=．于是cos(B )cos cos sin sin C B C B C -=+1723393927=⋅+=．18. （Ⅰ）将22⨯列联表中的数据代入公式计算．得22112212211212(n n n n )n x n n n n ++++-=2100(60102010)70308020⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯10021= 4.762≈．由于4.762 3.841>．所以有0095/的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．（Ⅱ）从5名数学系的学生任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间{121122123112=(,,),(,,),(,,),(,b ,)a a b a a b a a b a b Ω，123113212(,b ,),(,b ,),(,b ,),a b a b a b223(,b ,)a b ，213(,b ,)a b ，}123(,b ,)b b ．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i 1,2=．b j 表示不喜欢甜品的学生，j 1,2,3=．Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则{112123113212223A (,b ,),(,b ,),(,b ,),(,b ,),(,b ,),a b a b a b a b a b =}213123(,b ,),(,b ,)a b b b ．事件A 是由7个基本事件组成．因而7()10P A =．19. （Ⅰ）证明：由已知得ABC DBC ∆≅∆．因此AC DC =．又G 为AD 中点，所以CG AD ⊥；同理BG AD ⊥；因此AD ⊥平面BGC ．又//EF AD ．所以EF ⊥平面BCG ． （Ⅱ）在平面ABC 内．作AO CB ⊥．交CB 延长线于O ．由平面ABC ⊥平面BCD ．知AO ⊥平面BDC ．又G 为AD 中点，因此G 到平面BCD 距离h 是AO 长度的一半．在AOB ∆中，s i n 60A O A B =⋅．所以01111sin1203322D BCG G BCD DBC V V S h BD BC --∆==⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=． G FEB CDAO20. （Ⅰ）设切点坐标为00(x ,y )00(x 0,y 0)>>．则切线斜率为0x y -．切线方程为0000y (x x )x y y -=--．即004x x y y +=．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积000014482S x y x y =⋅⋅=．由22000042x y x y +=≥知当且仅当00xy ==时，00x y 有最大值．即S 有最小值．因此点P 的坐标为．（Ⅱ）设C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．点1122A(x ,y ),B(x ,y )．由点P 在C 上知22221a b +=．并由22221,xy a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222620b x b ++-=．又12,x x 是方程的根，因此12212262x x b x x b⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由11y x =+，22y x =，得12AB x =-=．由点P到直线l 的距离为及2PAB S AB ∆==得429180b b -+=．解得26b =或3．因此26b =，23a =（舍）或23b =，26a =．从而所求C 的方程为22163x y +=．21. （Ⅰ）当(0,)2x π∈时，'()sin 2cos 0f x x x ππ=+->，所以()f x 在(0,)2π上为增函数．又(0)20f π=--<．2()4022f ππ=->．所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =．（Ⅱ）当(,)2x ππ∈时，化简得cos 2()()11sin x xg x x x ππ=-+-+．令t x π=-．记()()u t g t π=-=-t cos 211sin t t t π-++．(0,)2t π∈．则'()()(1sin )f t u t t π=+．由（Ⅰ）得，当0(0,x )t ∈时，'()0u t <；当0(,)2t x π∈时，'()0u t >．从而在0(,)2x π上()u t 为增函数，由()02u π=知，当0[,)2t x π∈时，()0u t <，所以()u t 在0[,)2x π上无零点．在0(0,x )上()u t 为减函数，由(0)1u =及0()0u x <知存在唯一00(0,x )t ∈，使得0()0u x =．于是存在唯一0(0,)2t π∈，使得0()0u t =．设10(,)2x t πππ=-∈．100()()()0g x g t u t π=-==．因此存在唯一的1(,)2x ππ∈，使得1()0g x =．由于10x t π=-，00x t <，所以01x x π+>．22. （Ⅰ）因为PG PD =．所以PDG PGD ∠=∠．由于PD 为切线，所以PDA DBA ∠=∠．又由于PGD EGA ∠=∠，故DBA EGA ∠=∠． 所以,DBA BAD EGA BAD BDA PFA ∠+∠=∠+∠∠=∠从而由于AF EP ⊥，所以090PFA ∠=，于是090BDA ∠=．故AB 为圆的直径． （Ⅱ）连接BC DC 、．由于AB 是直径，故090BDA ACB ∠=∠=．在R t B D A∆和Rt ACB∆中，AB BA =，AC BD =．从而Rt BDA Rt ACB ∆≅∆．于是DAB CBA ∠=∠．又因为DCB DAB ∠=∠，所以DCB CBA ∠=∠．故//DC AB ．由于AB EP ⊥，所以DC EP ⊥，DCE ∠为直角．于是ED 为直径．由（Ⅰ）得，ED AB =．23. （Ⅰ）设11(,y )x 为圆上的点，经变换为C 上点(x,y)．依题意，得11,2,x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=得22()12y x +=． 即曲线C 的方程为2214y x +=．故C 的参数方程为cos ,2sin ,x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）． （Ⅱ）由221,4220,y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,2,x y =⎧⎨=⎩不妨设12(1,0),(0,2)P P ．则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2．所求直线的斜率为12k =．于是所求直线方程为111(x )22y -=-．化为极坐标方程为2cos 4sin ρθρθ-3=-，即34sin 2cos ρθθ=-． 24. （Ⅰ）33,[1,),()1,(,1),x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤．故413x ≤≤；当1x <时， 由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<．所以()1f x ≤的解集为403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）由2()1681g x x x =-+4≤得2116x-44≤（），解得：1344x -≤≤．因此1344N x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，故304M N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭． 当x M N ∈时，()1f x x =-，故22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x+⋅=+()x f x=⋅(1)x x=-14=-211()24x-≤．。
2014年高考文科数学辽宁卷及答案解析
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供文科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U =R ，{|0}A x x =≤，{|}B x x =≥1，则集合()UAB =ð（ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x ＜＜2．设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ） A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ） A ．b a c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．c b a ＞＞D ．c a b ＞＞4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是（ ）A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥5．设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a b 0=，b c 0=，则a c 0=； 命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ．π2B ．π4C ．π6D ．π87．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π84-B ．π82-C ．8π-D ．82π-8．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22ypx =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12-9．设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d ＞B ．0d ＜C ．10a d ＞D ．10a d ＜10．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos π,[0,],2()121,(,),2x x f x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11．将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间π7π[,]1212上单调递减B ．在区间π7π[,]1212上单调递增C ．在区间ππ[,]63-上单调递减D ．在区间ππ[,]63-上单调递增12．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）13．执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T =________. 14．已知x ，y 满足约束条件220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤ 则目标函数34z x y =+的最大值为________.15．已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=________.16．对于0c ＞，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，124a bc++的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c ＞．已知2BA BC =，1cos 3B =，3b =.求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值．18．（本小题满分12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．19．（本小题满分12分）如图，ABC △和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ； （Ⅱ）求三棱锥D BCG -的体积.附：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.20．（本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y x =+交于A ，B 两点.若PAB △的面积为2，求C 的标准方程.21．（本小题满分12分）已知函数()π(cos )2sin 2f x x x x =---，2()(π1πxg x x =--. 证明：（Ⅰ）存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =； （Ⅱ）存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0gx =，且对（Ⅰ）中的0x ，有01πx x +＞.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题附：22112212211212()+n n n n n n n n n χ++-=+，数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）号下方的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC BD =，求证：AB ED =.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参考方程 将圆221xy +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .（Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+．记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N .（Ⅰ）求M ； （Ⅱ）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）{|AB x x =){|0AB x =【提示】先求A B ，再根据补集的定义求)AB ð.【考点】交、并、补集的混合运算【解析】(2i)(2z -【提示】把给出的等式两边同时乘以B 运用线面垂直的性质，即可判断；C 运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D 运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系A【解析】若0a b =，0b c =，则a b b c =，即()0a c b -=，则0a c =不一定成立，故命题p 为假命题.若a b ∥，b c ∥，则a c ∥，故命题q 为真命题.则p q ∨，命题，故选A.的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）【解析】等差数列(123)++++++的值，当输入(123i)++++++的值，距最大，即最大.max .，Q数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页）数学试卷 第15页（共21页）【解析】242a ab -不等式得，23232b ⎤⎛⎫⎤=⎥⎦（Ⅰ）由2B A B C =得2cos ac B .2c =232+2sin c B b ⨯=C 1⎛=- 2BA BC =1cos 3B =代入求出6ac =，再利用余弦定理列出关系式，将b ，cos B 以及ac 的值代入得到22（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解.【考点】独立性检验的应用，古典概型及其概率计算公式Ⅰ）AB BC =G 为AD 的中点，CG ∴.CG BG G =，BGC .EF AD ∥EF ∴⊥平面BCG （Ⅱ）在平面，∆.G 6B=11sin1203322BD BC ︒=00014482x y x y =再根据2200x y +=数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）122d AB =，解得()221k ⎡=+⎣2232b b -，代入上式得2231683b b -= 或26b =，所以椭圆方程为：P 00(,)x y 切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形的面积008S x y =.再利用基122d AB =，求出【考点】直线与圆锥曲线的综合问题（Ⅰ）()πf x =.()πf x '=上单调递增.（Ⅱ）()(g x =cos (π)1sin x x x --++cos 1sin x x ++cos )1sin x x -++由导数法可得函数的零点，可得不等式【考点】函数零点的判定定理 ）PD PG PDG PGD PD=∴∠=∠为切线，PDA DBA ∴∠=∠，PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠，NDA PFA ∴∠=∠.9090AF EP PFA BDA AB ⊥∴∠=︒∴∠=︒∴为圆的直径.（Ⅱ）连接BC ，DC .90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒是直径，在Rt BDA △与Rt ACB △中，AB BA AC BD ==，， Rt BDA Rt ACB ∴△≌△，DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠，DCB CBA ∴∠=∠，DC AB ∴∥.AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠，为直角，∴ED 为圆的直径，AB 为圆的直径，AB ED ∴=.（Ⅱ）由214220x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，可得10x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，不妨设1(1,0)P 、2(0,2)P ， 则线段12P P 的中点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据与l 垂直的直线的斜率为12， 故所求的直线的方程为111y x ⎛⎫-=- ⎪，即3220x y -+=.数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）【提示】（Ⅰ）在曲线C 上任意取一点(,)x y ，再根据点,2y x ⎛⎫⎪⎝⎭在圆221x y +=上，求出C 的方程，化为参数方程.（Ⅱ）由2()16814g x x x =-+≤，求得1344x -≤≤，,44N ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦，M N ∴=30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 当x MN ∈时，()1f x x =-，22()[()]()[x ()]x f x x f x xf x f x +=+2111424x ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，故要证的不等式成立.【提示】（Ⅰ）由所给的不等式可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求.N =30,4⎡⎢⎣MN 时，f ，显然它小于或等于14，要证的不等式。
2014年高考真题(理科数学)辽宁卷 纯Word版解析可编辑
2014·辽宁卷(理科数学)1．[2014·辽宁卷] 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}1．D [解析] 由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以∁U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}． 2．[2014·辽宁卷] 设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i2．A [解析] 由(z －2i)(2－i)＝5，得z －2i ＝52－i，故z ＝2＋3i.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a3．C [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .4．[2014·辽宁卷] 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4．B [解析] B [解析] 由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊥α或n 与a 相交，故D 错误．5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．6．[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．246．D [解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，A 33C 34＝24. 7．、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-1所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4图1-17．B [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分⎝⎛⎭⎫占圆柱的14后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.8．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >08．C [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d <1，所得a 1d <0.9．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增9．B [解析] 由题可知，将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．10．[2014·辽宁卷] 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.4310．D [解析] 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2，3)在准线上，所以p ＝4.设直线AB 的方程为x ＋2＝m (y －3)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得到y 2－8my ＋24m＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m ＝－12(舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率k BF ＝8－08－2＝43.11．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]11．C [解析] 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3，令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，g (x )恒成立．当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，令个g (x )＝x 2－4x －3x 3(0<x ≤1)，则g ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥1－4－31＝－6.综上，－6≤a ≤－2. 12．、[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18 12．B [解析] 不妨设0≤y <x ≤1.当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤14.当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝14.13．[2014·辽宁卷] 执行如图1-2所示的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝________．图1-213.299 [解析] 当x ＝9时，y ＝5，则|y －x |＝4；当x ＝5时，y ＝113，则|y －x |＝43；当x ＝113时，y ＝299，则|y －x |＝49<1.故输出y ＝299. 14．[2014·辽宁卷] 正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图1-3所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．图1-314.23 [解析] 正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积S 1＝2⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 31－1＝83，故质点落在阴影区域的概率P ＝834＝23. 15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C ：x 29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______．15．12 [解析] 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.16．、[2014·辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2， 当且仅当4a 21＝3b213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2， 当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC→＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4 292＝79.所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.18．、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1-4所示．图1-4将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．18．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216. X 的分布列为X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X ～B (3，0.6)，所以期望E (X )＝3×0.6＝1.8，方差D (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 19．、[2014·辽宁卷] 如图1-5所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．(1)求证：EF ⊥BC ； (2)求二面角E -BF -C 的正弦值．图1-519．解：(1)证明：方法一，过点E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连接OF .由△ABC ≌△DBC可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC ＝∠FOC ＝π2，即FO ⊥BC .又EO ⊥BC ，EO ∩FO ＝O ，所以BC ⊥平面EFO .又EF ⊂平面EFO ，所以EF ⊥BC .图1方法二，由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线，并将其作为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线，并将其作为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B (0，0，0)，A (0，－1，3)，D (3，－1，0)，C (0，2，0)，因而E (0，12，32)，F (32，12，0)，所以EF →＝(32，0，－32)，BC →＝(0，2，0)，因此EF →·BC →＝0，从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .图2(2)方法一，在图1中，过点O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连接EG .因为平面ABC ⊥平面BDC ，所以EO ⊥面BDC ，又OG ⊥BF ，所以由三垂线定理知EG ⊥BF ，因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角．在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos 30°＝32.由△BGO ∽△BFC 知，OG ＝BO BC ·FC ＝34，因此tan ∠EGO ＝EOOG＝2，从而得sin ∠EGO＝255，即二面角E -BF -C 的正弦值为2 55.方法二，在图2中，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)． 设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，又BF →＝(32，12，0)，BE →＝(0，12，32)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1)．设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15，因此sin θ＝25＝2 55，即所求二面角正弦值为2 55.20．、[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 且离心率为 3.图1-6(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0，0，⎝⎛⎭⎫0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1， 解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0. 又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2 3mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2，②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m2m 2＋2. ④因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →·BP →＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m 2－2 6m ＋4 6－11＝0，解得m ＝3 62－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－83(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x－4(1＋sin x )ln⎝⎛⎭⎫3－2x π.证明：(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝－(1＋sin x )·(π＋2x )－2x －23cos x <0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数．又f (0)＝π－83>0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2－163<0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)记函数h (x )＝3（x －π）cos x 1＋sin x－4ln ⎝⎛⎭⎫3－2πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.令t ＝π－x ，则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝h (π－t )＝3t cos t 1＋sin t －4 ln ⎝⎛⎭⎫1＋2πt ，则u ′(t )＝3f （t ）（π＋2t ）（1＋sin t ）. 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )<0.故在(0，x 0)上u (t )是增函数，又u (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点．在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u ⎝⎛⎭⎫π2＝－4ln 2<0，知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2，使u (t 1)＝0，故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 1)＝0.因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，1＋sin x >0，故g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.因为x 1＝π－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<π. 22．[2014·辽宁卷] 选修4-1：几何证明选讲 如图1-7所示，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上—点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .图1-722．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又因为∠PGD ＝∠EGA ，所以∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PF A .又AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以ED ＝AB . 23．[2014·辽宁卷] 选修4-4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.24．[2014·辽宁卷] 选修4-5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43.(2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34，因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14.。
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2014年辽宁高考数学（文、理）16题的几种解法
大连48中学-----何兆强
下面我们给出2014年辽宁高考数学（文、理）16题的几种解法，展现思维的全过程和不同方法技巧。
（理）16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，
345
a b c
-+的最小值为 .
（文）16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足22
420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最
大时，
124
+a b c
+的最小值为 . 题目（理）拿到手后，分析已知条件，关键是找到a 、b 之间的关系、a 、c 之间的关系，这样就可以把要求的345a b c -+的最小值问题看成关于1
a
的二次函数，进而利用配方法求解最小值。
方法一：设置a 、b 关系法
解：设b a λ=，带入22
4240a ab b c -+-=，得到22
424
c
a λλ=
-+①，不妨将|2|a b +平方，再讲①带入，可得：
()()
()
2
2
2222
21|2|224
18424
42
2a b a c c λλλλλλ++=+=
=
-+-+++，由二次函数特点，显然
当
13=28λ+时，即2=3λ时|2|a b +有最大值，此时说明2
3b a =②. 将2=3
λ带入①知，2
409c a =③ 再将②、③带入345a b c -+，整理可得，2
234593914=2883a b c a a a ⎛⎫
-+=--- ⎪⎝⎭，从而
345
a b c
-+的最小值为-2. 方法二：方程法
解：22
4240a ab b c -+-=可变形为()()2
2
63220b a b b a b c ⎡⎤-+++-=⎣⎦
，把此式看成
关于b 的一元二次方程，必有解。
由根的判别式可得：
()()22
=922420a b a b c ⎡⎤∆+-+-≥⎣
⎦
，解得：()
2
24215a b c +≤，显然2max 24
|2|15a b c +=，讲其写成()2
15224
a b c +=①后带入224240a ab b c -+-=中可得：()2
22469=230a ab b a b -+-=，从而得到说明2
3
b a =
②，将②带入①得2
409
c a =，以下同方法一。
方法三：数形结合法
解：把二元二次方程224240a ab b c -+-=（c
为常数）看成某条曲线，把
|2|a b +=
(),a b 到直线20a b +=
由此问题可转化成曲线上一点到直线的最大距离问题。
平移直线20a b +=直至与曲线
224240a ab b c -+-=相切，基于这种想法，我们需要联系方程组，
224240
2a ab b c b a m ⎧-+-=⎨
=-+⎩
，消去变量b ，得到关于a 的一元二次方程，()22241840a m a m c -⋅+-=，令()2232442440m m c ∆=-⨯-=，即285c m =①，而
方程()
22
241840a m a m c -⋅+-=的唯一解是38m a =
②，即8
3
m a =带入2b a m =-+中可得23b a =
，再由①、②可得2
409
c a =③，以下同方法一。
方法四：柯西不等式法
解：22
4240a ab b c -+-=可变形为：2
2154416
c b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，由柯西不等式知，
2
222
2222152+2+2244164c b b a b a a b
⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⋅=-+≥-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝
⎭⎝⎭，即224215a b c +≤
，当且仅当442
b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=时取“=”，即23b a =，带入
224240a ab b c -+-=中，可得2
409
c a =
，以下同方法一。
题目（文）拿到手后，分析已知条件，关键是利用均值不等式找到a 、b 之间的关系、a 、
c 之间的关系，这样就可以把要求的124+a b c +的最小值问题看成关于1
a
的二次函数，进而利用配方法求解最小值。
文科这道题目理科以上四种方法均适用，但不必如此麻烦，我们给出均值不等式方法，或者更加巧妙的轮换式。
解：
22420a ab b c -+-=可写成()2
26a b c ab +=+，利用均值不等式，
2
222a b a b +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()()2232624a b ab c a b c +=+≤++，那么()224a b c +≤，即2
m a x
24a b
c +=，当且仅当2b a =时取“=”，将2b a =带入22
420a ab b c -+-=可得24c a =.2
2124121+=11a b c a a a ⎛⎫
+=++- ⎪⎝⎭
,从而124+a b c +的最小值为-1.。