整式的乘除及乘法公式
初中数学.整式的乘除与乘法公式
）
2 2 4
B． x 2 y 2 y x x 2 y
7
C． x 2 y 2 y x x 2 y x 2 y 【例 1】 1000 100 10 的结果是 【巩固】计算： 10 104 105 103 107
幂的运算
模块一
1.
同底数幂的乘法法则
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
即 a m a n a m n （ m 、 n 都是正整数） 【巩固】如果把 x 2 y 看作一个整体，下列计算正确的是（ A． x 2 y 2 y x x 2 y
3 6 ⑵ ( a8b 2 a 3b 4 1.8a 2 b3 ) 0.6ab 2 5 5
【巩固】计算：⑴ (4 x 2 y )2 8 y 2 ；
1 3 ⑶ ( a 3b 2 )3 ( ab 2 ) 2 ； 3 4
⑵ 9a m n b 2 m n c3n 2 m 3a 2 b3 . ⑷ (0.8 x 2 y n )3 (4 x 2 y n )2
2 3 2
计算下列各式：⑴ 2 x y
3 2 2 1 xy 4 z ；⑵ 3a 2 a 2 2a 2 5a 3 2
4
初中数学．整式的乘除．第 01 讲．学生版
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⑶ a a 3 a 4 a 2 2a 4 ；⑷ 2 x 2 x3 3x3 5 x x 7
计算 ( x3 2 x 2 5)(2 x 2 3x 1)
【巩固】计算： (3x 2 2)(5 x 4 2 x 2 3) (5 x 4 x 2 3)(3x 2 3)
2023年中考数学《整式的运算与因式分解》专题知识回顾及练习题(含答案解析)
2023年中考数学《整式的运算与因式分解》专题知识回顾及练习题（含答案解析）1. 合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。
2. 整式的加减的实质：合并同类项。
3. 整式的乘除运算：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。
4. 乘法公式：①平方差公式：()()22b a b a b a −=−+。
②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±。
5. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a −+=−22完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则： ()()n x m x c bx x ++=++2。
31．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．32．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．33．（2022•长春）先化简，再求值：2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝2﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．34．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x 2+2x ﹣2＝0，∴x 2+2x ＝2，∴当x 2+2x ＝2时，原式＝2（x 2+2x ）+1＝2×2+1＝4+1＝5．35．（2022•广西）先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x ，其中x ＝1，y ＝21． 【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x＝x 2﹣y 2+y 2﹣2y＝x 2﹣2y ，当x ＝1，y ＝时，原式＝12﹣2×＝0．36．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a +b ）（a ﹣b ）+b （2a +b ），其中a ＝1，b ＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a ＝1，b ＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a +b ）（a ﹣b ）+2a +b ）＝a 2﹣b 2+2ab +b 2＝a 2+2ab ，将a ＝1，b ＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．37．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2），其中x ＝21． 【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x ＝代入计算即可．【解答】解：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2）＝1﹣x 2+x 2+2x＝1+2x ，当x ＝时，原式＝1+＝1+1＝2．38．（2022•南充）先化简，再求值：（x +2）（3x ﹣2）﹣2x （x +2），其中x ＝3﹣1．【分析】提取公因式x +2，再利用平方差公式计算，再代入计算．【解答】解：原式＝（x +2）（3x ﹣2﹣2x ）＝（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4，当x ＝﹣1时， 原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．39．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣3|﹣12．（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x ＝21． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣ ＝1+1+2×+﹣1﹣2 ＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1）＝x 2+6x +9+x 2﹣9﹣2x 2﹣2x＝4x ，当x ＝时，原式＝4×＝2．40．（2022•岳阳）已知a 2﹣2a +1＝0，求代数式a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【解答】解：a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1＝a 2﹣4a +a 2﹣1+1＝2a 2﹣4a＝2（a 2﹣2a ），∵a 2﹣2a +1＝0，∴a 2﹣2a ＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．41．（2022•苏州）已知3x 2﹣2x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+x （x +32）的值． 【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x 2﹣2x +1+x 2+x＝2x 2﹣x +1，∵3x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（x 2﹣x ）+1＝2×1+1＝3．42．（2022•荆门）已知x +x1＝3，求下列各式的值： （1）（x ﹣x 1）2； （2）x 4+41x． 【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）∵＝， ∴＝ ＝ ＝﹣4x • ＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2 ＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．43．（2022•无锡）计算：（1）|﹣21|×（﹣3）2﹣cos60°； （2）a （a +2）﹣（a +b ）（a ﹣b ）﹣b （b ﹣3）．【分析】（1（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝×3﹣＝﹣＝1；（2）原式＝a 2+2a ﹣（a 2﹣b 2）﹣b 2+3b＝a 2+2a ﹣a 2+b 2﹣b 2+3b＝2a +3b ．44．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．45．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．。
3整式的乘除法、乘法公式复习
多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。
1 1 （ 1）(3x y xy xy ) ( xy ) 2 2
2 2
（1）原式=
1 3x y ( xy) 2
2
1 1 1 xy ( xy ) xy ( xy) 2 2 2
(1) (-a+b)2 = (b-a)2
(2) (-2m-1)2 = -(2m+1)
2
= (2m+1)2
(3) (2x+5)(-2x-5) = -(2x+5)(2x+5) = -(2x+5)2 (4) (x+y-1)2 = (x+y)-1
2
先变形再运用乘法公式计算:
(1)( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
练习
考点训练
2、 9
1. 已知2m=a，32n=b，求：23m+10n． 3 2
n 2
3 ，求n的值
16
ab
4
2
- 2 3、
2009
2
2010
2009 ______
1、单项式的乘法
让我们一起来回顾：
1）、系数相乘 2）、同底数幂相乘 3）、只在一个单项式出现的 字母，连同它的指数作为积得 一个因式
2
a 1 1, 则a的取值范围____ 3)、 a 1
0
2 10 4)、 4 10 2 10 ___
9 3
6
考点训练
平方差公式
(a+b)(a-b) =
整式的乘除知识点整理
一、知识点归纳： （一）幂的四种运算：1、同底数幂的乘法：⑴语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ⑵字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ；⑶逆运用：a m+n = a m ·a n2、幂的乘方：⑴语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘； ⑵字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)； ⑶逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ；3、积的乘方：⑴语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积； ⑵字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ⑶逆运用：a n b n = (a b)n ；4、同底数幂的除法：⑴语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；⑵字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ⑶逆运用：a m-n = a m ÷a n .（二）整式的乘法：1、单项式乘以单项式：⑴语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
⑵实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式：⑴语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
⑵字母表示：c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 3、多项式乘以多项式：(1)语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；(2)字母表示：＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！） 注意点：⑴在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
⑵多项式的每一项都包含它前面的符号，确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
⑶运算结果中如果有同类项，则要 合并同类项（三）乘法公式： 1、平方差公式：(1)语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。
《乘法公式》整式的乘除与因式分解
把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被 除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式 。
多项式除以单项式
定义
把一个多项式除以另一个单项式的商叫做多项式除以单项式。
运算法则
把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
多项式除以多项式
定义
把一个多项式除以另一个多项式的商叫 做多项式除以多项式。
《乘法公式》整式的乘除与 因式分解
2023-11-09
目录
• 乘法公式 • 整式的乘法 • 整式的除法 • 因式分解 • 乘法公式、整式的乘除与因式分解的关系 • 经典例题解析
01
乘法公式
乘法公式的定义
乘法公式的定义
乘法公式是指将两个或多个数相 乘的结果用一个简单的符号表示
。例如，$(a+b)^2$ 表示 $a^2+2ab+b^2$。
因式分解的例题
3. 双十字相乘法
$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$。
2. 公式法
$a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2$。
总结词
因式分解的方法多种多样，通过经典例题 解析可以更好地理解各种方法的适用条件 和操作技巧。
详细描述
因式分解是将一个多项式分解为若干个因 式之积的过程，下面通过一些例题及解析 来探讨因式分解的方法
乘法公式与因式分解的关系
乘法公式在因式分解中的应用
在因式分解中，乘法公式被广泛应用，例如利用乘法公 式进行多项式的展开、分组、约分等，这些方法都是基 于乘法公式进行推导和复杂的乘法公式问题时，通过因式分解可以 将问题转化为更简单的形式，例如利用因式分解解决一 些分式的约分问题。
数与代数复习 第一章 数与式 第2课 整式及其运算
课前准备：调音量、草稿本、笔等
请计算： 6 6 6 6 6 =3
解：设 : x 6 6 6 6 6
两边都平方得：x2 6 6 6 6 6
x2 6 x
即x2 x 6 0
解得：x 3, x 2(舍去）
1
2
字母的引入帮我们解决了一些复杂的问题. 代数式是传统数上的一种质的飞跃，你还知道 它的其他作用么？
并的结果是 2a 2b3 .
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知识点二：整式的运算
2.整式的乘除运算
（1）幂的运算法则（m，n均为常数，a，b不为零）
①am an amn 请计算：4m 2n 请计算：2x2 (3xy2 )
②(am )n amn
22m 2n
6x3 y2
③(ab)m ambm
22mn 请计算：2x2 (3xy2 1)
了如图所示的三种方案：
ab
ab
b a
ab a
a
b
b
方案一
方案二
方案三
小明发现这三种方案都能验证公式： a2+2ab+b2=（a+b）2 ， 对于方案一，小明是这样验证的： a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2 请你根据方案二，方案三，写出公式的验证过程。
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整式及其运算中考热点四：乘法公式的几何背景
a 2a3 2 x2 y 6 3
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知识点二：整式的运算
1.整式的加减运算 整式的加减实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号
a 2a 3a
a2 (2a2 b2 ) a2 2a2 b2 3a2 b2 (x2 3x 4) (2x 4) x2 3x 4 2x 4 x2 5x
整式的乘除--乘法公式教案
乘法公式例：（1）计算：（22+1）（42+1）（82+1）（162+1）. （2）计算：（2+1）（22+1）（42+1）（82+1）…（10242+1）变式练习：（1+12）（1+212）（1+412）（1+812）（1+1612）+（1+3112）例2 计算：（1）（2x+3y)²(2x-3y)²；（2）(a-2b+3c)(a-3c-2b). 例3 已知a+b+c=0,a²+b²+c²=4,那么4a+4b+4c的值等于 .小结：在运用完全平方公式时，常常借助下面的变形：2ab=(a+b)2-(a2+b2), 4ab=(a+b)2-(a-b)2,a2+b2=(a-b)2+2ab=(a+b)2-2ab.例4 阅读材料：把形如ax²+bx+c的二次三项式（或其中的一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a²±2ab+b²=(a±b)².例如：(x-1)²+3,(x-2)²+2x, （12x-2）²+34x²是x²-2x+4的三种不同形式的配方（“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分）.请根据阅读材料解决下列问题：（1）参考上面的例子，写出x²-4x+2的三种不同形式的配方；（2）将a²+ab+b²配方（至少两种形式）；（3）已知a²+b²+c²-ab-3b-2c+4=0，求a+b+c的值.例5 已知9a²-12ab+8b²-4bc+2c²-4c+4=0，求a+b+c的值.课堂作业：1．计算a2(a+b)(a-b)+a2b2等于（）A.a4B.a6C.a2b2D.a2-b22.将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式为（）A.(x-3)2+11B. (x+3)2-7C.(x+3)2-11D. (x+2)2+43. 如图,在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b),将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）.A. (a-b)²=a²-2ab+b²B. (a+b) ²=a²+2ab+b²C. a²-b²=(a+b)(a-b)D. a²+ab=a(a+b)4、已知(m-n)2=8，(m+n)2=2，则m2+n2=（）A.10B.6C.5D.35、先化简，再求值：(x+3)2+(2+x)(2-x)，其中x=-2.6.多项式9x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是多少？（给出一个你认为正确的答案即可）7.已知a,b,c 满足a ²+b ²+c ²-ab-bc-ac=0(a,b,c 为正数），则a,b,c 之间有怎样的大小关系？1.化简()42a a ⋅-的结果是 （ ）2.化简()2423a a a ⋅+ 的结果正确的是（ ）3.()()()2x 2x 2x 4+-+的计算结果是（ ）4.若a ＋b ＝6，a b ＝3，则3a 2b ＋3ab 2的值是（ ）5.若x x a 2,b 3==，则()3xab ＝ .6.已知：()35m 11a a a ⋅=，则m 的值为 .7.计算()2242a a 9a 39⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭的结果是 . 8.若a －b ＝1，a b ＝－2，则()()a 1b-1+＝ .9.已知：()()2222x y 1,x y 17,y =+=-=+则x ，x y ＝ .10.若9x 2＋m x y ＋16y 2是一个完全平方式，则m 的值是 .11.在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，第20题图图乙图甲a a 可以验证 （填写序号）.①()2a+b =a 2＋2ab ＋b 2 ②()2a -b =a 2－2ab ＋b 2③a 2－b 2＝()()a b a b +- ④()()a 2b a b +-=a 2＋a b －2b 212.探究题：观察下列式子：（x 2－1）÷（x －1）＝x ＋1；（x 3－1）÷（x －1）＝x 2＋x ＋1；（x 4－1）÷（x －1）＝x 3＋x 2＋x ＋1（x 5－1）÷（x －1）＝x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1⑴.你能得到一般情况下（x n －1）＋（x －1）的结果吗？（n 为正整数）⑵.根据⑴的结果计算：1＋2＋22＋23＋24＋…＋262＋263.数学人教版八年级上第十四章 整式的乘法与因式分解单元检测一、选择题1．下列计算中正确的是( )．A ．a 2＋b 3＝2a 5B ．a 4÷a ＝a 4C ．a 2·a 4＝a 8D ．(－a 2)3＝－a 62．(x －a )(x 2＋ax ＋a 2)的计算结果是( )．A ．x 3＋2ax 2－a 3B ．x 3－a 3C ．x 3＋2a 2x －a 3D ．x 3＋2ax 2＋2a 2－a 33．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有( )．①3x 3·(－2x 2)＝－6x 5；②4a 3b ÷(－2a 2b )＝－2a ；③(a 3)2＝a 5；④(－a )3÷(－a )＝－a 2.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知被除式是x 3＋2x 2－1，商式是x ，余式是－1，则除式是( )．A ．x 2＋3x －1B ．x 2＋2xC ．x 2－1D ．x 2－3x ＋15．下列各式是完全平方式的是( )．A ．x 2－x ＋14B ．1＋x 2C ．x ＋xy ＋1D ．x 2＋2x －16．把多项式ax 2－ax －2a 分解因式，下列结果正确的是( )．A ．a (x －2)(x ＋1)B ．a (x ＋2)(x －1)C ．a (x －1)2D ．(ax －2)(ax ＋1)7．如(x ＋m )与(x ＋3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为( )．A ．－3B ．3C ．0D ．18．若3x ＝15,3y ＝5，则3x －y 等于( )．A ．5B ．3C ．15D ．109、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）（A ）22)(b a -+ （B ）mn m 2052- （C ）22y x -- （D ）92+-x10、 下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A 、4x 2+1B 、4x 2－4x －1C 、x 2+xy +y 2D 、x 2－4x +411、△ABC 的三边长分别a 、b 、c ，且a+2ab ＝c+2bc ，△ABC 是（ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形12、 把（－2）2009＋（－2）2010分解因式的结果是（ ）.A. 22008B. －2 2008C. －2 2009D. 2200913、一个正方形的边长增加了2cm ，面积相增加了32cm 2，则这个正方形的边长为（ ）A 、6cmB 、5cmC 、8cmD 、7cm二、填空题14．计算(－3x 2y )·(213xy )＝__________. 15．计算：22()()33m n m n -+--＝__________. 16．计算：223()32x y --＝__________. 17．计算：(－a 2)3＋(－a 3)2－a 2·a 4＋2a 9÷a 3＝__________.18．当x __________时，(x －4)0＝1.19．若多项式x 2＋ax ＋b 分解因式的结果为(x ＋1)(x －2)，则a ＋b 的值为__________．20．若|a －2|＋b 2－2b ＋1＝0，则a ＝__________，b ＝__________.21．已知a ＋1a ＝3，则a 2＋21a的值是__________． 22、已知a b ab +=-=31，，求 a b 22+ =23、观察下列各式，探索发现规律：22－1＝3＝1×3；42－1＝15＝3×5；62－1＝35＝5×7；82－1＝63＝7×9；102－1＝99＝9×11；……用含正整数n 的等式表示你所发现的规律为 ．24、在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44y x -，因式分解的结果是))()((22y x y x y x ++-，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x －y)=0，(x+y)=18，(x 2+y 2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式234xy x -，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是： __________ (写出一个即可)．三、解答题1、计算：（１）32a 3b 2c ÷21a 2b （2）3223)()(x x -⋅- （3）（－4x －3y ）2（4）)32)(32(+--+y x y x （5） （a ＋2b -c ）2． (6(ab 2)2·(－a 3b )3÷(－5ab )；(7)x 2－(x ＋2)(x －2)－(x ＋1x)2； (8)[(x ＋y )2－(x －y )2]÷(2xy )．26．把下列各式因式分解：(1)3x －12x 3； (2)－2a 3＋12a 2－18a ； (3)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )；(4)(x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1. (5))(3)(2x y b y x a --- (6)1222-+-b ab a(7)（x －1）（x ＋4）－36 (8)（m 2＋n 2）2－4m 2n227、用简便方法计算：⑴20042-2005×2003 ⑵22 293⎛⎫ ⎪⎝⎭28．先化简，再求值．2(x－3)(x＋2)－(3＋a)(3－a)，其中，a＝－2，x＝1.，其中．5、若a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，求a2－b2的值．29．已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，试判断△ABC 的形状，并证明你的结论．6、若△ABC三边a、b、c满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca．判断△ABC的形状30．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)·(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：(x－y)＝0，(x＋y)＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，请你写出用上述方法产生的密码．整式的乘除与因式分解习题练习一、选择题（每题3分，共30分）1、44221625)(______)45(b a b a -=+-括号内应填（ ）A 、2245b a +B 、2245b a +C 、2245b a +-D 、2245b a --2、下列计算正确的是（ ）A 、22))((y x x y y x -=-+B 、22244)2(y xy x y x +-=+-C 、222414)212(y xy x y x +-=- D 、2224129)23(y xy x y x +-=--3、在2222222)())(3(,)()2(),5)(5()5()1(b a b a y x y x x x x +=--+=+-+=-+（4）ab ab ab a b b a =-=--23)2)(3(中错误的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）A 、))((b a b a +--B 、))((b a b a ---C 、))((c b a c b a +---+-D 、))((b a b a -+-5、如果：=-==+-222)32,5,0168y x x y xy x 则（且（ ）A 、425B 、16625C 、163025D 、162256、计算：1.992－1.98×1.99+0.992得（ ）A 、0B 、1C 、8.8804D 、3.96017、如果k x x ++82可运用完全平方公式进行因式分解，则k 的值是（ ）A 、8B 、16C 、32D 、648、(x 2+px+8)(x 2-3x+q)乘积中不含x 2项和x 3项,则p,q 的值 ( )A 、p=0,q=0B 、p=3,q=1C 、p=–3,–9D 、p=–3,q=19、对于任何整数m ，多项式9)54(2-+m 都能（ ）A 、被8整除B 、被m 整除C 、被m －1整除D 、被（2m -1）整除10．已知多项式2222z y x A -+=，222234z y x B ++-=且A+B+C=0，则C 为（） A 、2225z y x -- B 、22253z y x -- C 、22233z y x -- D 、22253z y x +-二、填空题（每题3分，共30分）11、++xy x 1292 =（3x + ）212、2012= , 48×52= 。
七年级下册整式的乘除
【练习1】计算：
① （a+b-c）4·（a+b-c）5 ② (a-b)2·(b-a)3
【练习2】判断（正确的 错误的打“×”）
打“√”，
(1) x3·x5=x15 (×) (2) x·x3=x3 (×)
(3) x3+x5=x8 (×) (3)x2·x2=2x4 (×)
1.计算：
(1)s7 s3
(3)(t)11 (t)2
(5)(3)6 (3)2
(2)x10 x8
(4)(ab)5 (ab)
(6)a100 a100
2.填空：
x x （1） 7 （ ）= 8
a a （2）（
）
3
=
8
c c b （3）b4 b3 （ ） = 21 （4） 8 （ ）= 5
3. 与整式加法之间的关系。如2a与a2的区别。
【法则推导】 ３３·３２＝？（－３）３·（－３）２=?
am ·an等于什么（m,n都是正整数)? 为什么？
am ·an =(a·a·… ·a)(a·a·… ·a)
m个a
=a·a·… ·a
m+n个a
=am+n
n个a
同底数幂相乘 底数 不变 ， 指数 相加 .
(3) (an)3 = an×3 =a3n ;
(4) -(x2)m = -x2×m = -x2m ;
(5) (y2)3 ·y= y2×3 ·y = y6 ·y = y7;
(6) 2(a2)6 – (a3)4 =2a2×6 - a3×4 =2a12-a12 =a12.
【练习1】计算
⑴（ [ a）3 ]2 ⑵（ [ x 2 y）3 ]2n
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整式的乘除和因式分解
【考点知识】
1、整式的乘法法则
2、整式的乘法公式
3、同底数幂的除法
4、整式的除法法则
5、因式分解
【基础过关】
1.（2014•邵阳，第2题3分）下列计算正确的是（ ） A ． ）
2x ﹣x =x
B ． a 3•a 2=a 6
C ． （a ﹣b ）2=a 2﹣b 2
D ． （a +b ）（a ﹣b ）=a 2+b 2
2、下列运算正确的是 （ ）
A 、 9
3
3
842x x x ÷= B 、 23
23
440a b a b ÷= C 、22m m a
a a ÷= D 、221
2()42
ab c ab c ÷-=-
3、下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
^
A 、))((b a b a -+-
B 、)2)(2(x x ++
C 、)3
1
)(31(x y y x -
+ D 、)1)(2(+-x x 4、若多项式x 2
+kx+25是一个完全平方式,则值是（ ） B.±10 D.±5
5、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，再沿
虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（ ）。
A 、a 2＋b 2=(a ＋b )(a －b )
B 、(a ＋b )2=a 2＋2ab ＋b 2
C 、(a －b )2=a 2－2ab ＋b 2
D 、a 2－b 2=(a －b )2
6．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
A ．a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）
B ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2
C ．（a －b ）2=a 2－2ab+b 2
D ．a （a+b ）=a 2
+ab 7、下列分解因式正确的是（ ）
A ．3x 2
－ 6x =x(x －6) B ．－a 2
+b 2
=(b+a)(b －a)
C ．4x 2 － y 2=(4x －y)(4x+y)
D ．4x 2－2xy+y 2=(2x －y)2
a
b
b b a
a
图①
！
(第05题
:
8．如果m －n=－5，mn=6，则m 2
n －mn 2
的值是（ ） A ．30 B ．－30 C ．11 D ．－11
【专题讲解】
知识专题一：同底数幂的乘除及应用
1.若43=x ,79=y ，则y
x 23-的值为（ ）
A ．74
B ．47
C ．3-
D ．72
2、若a 为正整数，且x 2a ＝5，则（2x 3a ）2÷4x 4a 的值为（ ）
（A ）5 （B ）2
5
（C ）25 （D ）10
3、已知a m =5，a n =4， 求a 3m-2n
的值.4、已知3a -2b =2，求27a ÷9b
的值.
[
5、已知83x
÷162x
=4，求x 的值 6、已知2x ÷16y
=8，求2x -8y 的值.
专题知识二：整式乘法公式综合应用
1．若25x 2
+30xy +k 是一个完全平方式，则k 是（ ）
A ．36y 2
B ．9y 2
C ．6y 2
D ．y 2
2．（－a ＋1）（a ＋1）（a 2＋1）等于……………（ ） ,
（A ）a 4－1 （B ）a 4＋1 （C ）a 4＋2a 2＋1 （D ）1－a 4
3、计算
（1）（a+b+c ）（a+b-c ） （2）（a-2b+c ）（a+2b-c ）
(3)（a+b-c ）2 （4）（m-n+3）2
^
专题知识三：整式乘法公式变形逆用
1．已知a ＋b ＝10，ab ＝24，则a 2
＋b 2
的值是 （ ）
（A ）148 （B ）76 （C ）58 （D ）52
2．若a －b =8,a 2＋b 2
=82,则3ab 的值为（ ）
A ．9
B ．－9
C ．27
D ．－27
3．已知（m ﹣n ）2=8，（m+n ）2=2，则m 2+n 2
=（ ） A ．10 B ．6 C ．5 D ．3
4、已知a+b=10，ab=24,则a 2
+b 2等于（ ）
5、若x 2
－y 2
＝20，且x ＋y ＝－5，则x －y 的值是（ ） A ．5 B ．4 C ．－4 D ．以上都不对 "
6、如果a+b=2006,a －b=2,那么a 2
－b 2
=________. 7、已知x 2
-y 2
=6,x+y=3,则x-y=__________.
8．已知1,5==+xy y x ，求 ①22y x +；②2
)(y x -．
9、已知x+y=3,xy=40,求下列各式的值 （1）x 2
+y 2
（2）(x-y)
2
10、已知：x+y=4，x 2+y 2 =10，求（x －y ）2
的值。
|
11、已知：x 2+y 2=26，4xy=12，求（x+y ）2和（x-y ）2
的值。
12、若（a+b ）2
=13（a-b ）2
=7求a 2
+b 2
和ab 的值。
知识专题四：化简与求值
>
1．计算：求当75,15
a b = =时，22
(1)(1)21ab ab a b ⎡⎤+--+⎣⎦÷ab 的值．
2、先化简，再求值．（2x+3）（2x ﹣3）﹣4x （x ﹣1）+（x ﹣2）2
，其中x=﹣
．
）
3.[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷4x ，其中x=-2,y=-3。
%
4．先化简，后求值．x y x y x y x 2)])(()[(2
÷--+-，其中5.1,3==y x
5.[（x ＋21y ）2＋（x －21y ）2]（2x 2－2
1
y 2），其中x ＝－3，y ＝4．
[
知识专题五：不含几次项，求其他字母的值。
1、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A. –3 B. 3 C. 0 D. 1
2、若（x ＋m ）（x －8）中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）
（A ）8 （B ）－8 （C ）0 （D ）8或－8
3、试说明：代数式（2x ＋3）（6x ＋2）－6x （2x ＋13）＋8（7x ＋2）的值与x 的取值无关.
^
4、若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值。
5、若(x 2
+nx+3)(x 2
－3x+m)的展开式中不含x 2
和x 3
项，求m 、n 的值.
.
知识专题五：因式分解综合应用 类型一：较复杂的因式分解
（1） 16x 4－y 4
（2）abx 2
－2abx+ab
（3）x 2－y 2－6x+9 （4）a 2+b 2－c 2－2ab
（5）3mx 2+12mxy+12my 2 （6）（x+2)(x －3)+4
~
类型二：因式分解应用求值
1、已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2
＋3的值．
2、已知;，012=-+a a 求199922
3++a a 的值
—
3、已知：a －b=3,ab=4,求3a 2
b －3ab 2
的值.
4、已知，8=+n m ，15=mn 求2
2n mn m +-的值
、
5、已知1=-y x ，2=xy ，求3
2
2
3
2xy y x y x +-的值.
6、已知a b ab +==53，，求代数式a b a b ab 32232++的值。
#
7．已知x ＋x 1＝2，求x 2＋21x ，x 4
＋41x
的值．
8、已知则,51=+a a 2
241
a a a ++的值．。
9、若a 与b 都是有理数，且满足a 2
+b 2
+5=4a-2b,则(a+b)2009
的值．
10、已知：x 2
+y 2
+z 2
-2x-4y-6z+14=0，求（xz ）y
的值。
类型二：因式分解与图形判定
1.若a 、b 、c 、为三角形的三边，且a 2
+b 2
+c 2
-ab-bc-ac=0,试确定三角形的形状。
2．已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(222
2
2
=+-++c a b c b a ，试判断 此三角形的形状．
3、已知a、b、c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形.。