离散数学(第30讲习题课5)

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例二
有 6 个村庄 Vi ， i=l，2，…，6 欲修 建道路使村村可通。现已有修建方案如下带权 无向图所示，其中边表示道路，边上的数字表 示修建该道路所需费用，问应选择修建哪些道 路可使得任二个村庄之间是可通的且总修建费 用最低 ? 要求写出求解过程，画出符合要求的 最低费用的道路网络图并计算其费用。
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习题十二
3、证：（反证法） 设 G=（n，m）和 G′=（n，m′）都是平面图 由G和G′的定义 m+m′=n(n-1)/2 由定理 12.5 m ≤3n-6, m′≤3n-6 ∴ m+m′=n(n-1)/2 ≤ 6n-12 整理上式有 n2-13n+24=(n-11)2+9n-97 ≤ 0 又∵（ n-11)2 ≥0，n≥11 时,9n-97≥2 ∴ （n-11)2+9n-97≥2 与上式相矛盾， 故 G 与 G′至少有一个是非平面图
k 2
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i
13 、设简单连通图 G= （ V ， E ）的边集 E 恰好 可以分划为 G 的两个生成树的边集。证明： 如果 G 中恰有两个 4 度以下的结点 u 和 v， 则 uvE。 证：（反证法）设E=E1 ∪ E2 ，E1 ∩ E2= φ T（E1）， T（E2）是 G 的两棵生成树。 如 uv∈E，则 uv∈E1 或 uv∈E2。 不妨设 uv∈E1，由于T（E1）是 G 的生成树， 则 u 或 v 必有其中一个同其它结点相邻，即 在T（E1）中，u和v的度数之和大于等于 3.
冯伟森
Email：fws365@
2014年1月20日星期一
主要内容
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第十一章
1. 深刻理解树（六个等价命题）及生成树、树 枝、树补的定义，掌握生成树的主要性质， 并能灵活应用它们； 2. 熟练地应用 Kruskal 算法求最小生成树； 3. 掌握根树、m叉树、完全m叉树、正则m叉树、 最优树的概念 , 熟练掌握 Huffman 算法，并 使用它求最优二叉树；
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(1)若 u, v 相邻, 则 d(u)+d(v) ≥(n-2)+2=n。 (2)若 u, v 不相邻, 则对w ∈ V-{u,v}, w 必与 u 和 v 都相邻。 否则, 比如u 和w 不 相邻, 则v, w 都不邻接u,于是u 和w 合起来 至多与其余的 n − 3 个人认识 , 与已知条件 不符. 因而 d(u)+ d(v) ≥ 2(n-2)。 1) 当 n ≥ 3 时 , 2(n-2) ≥ n-1, 因此无 论第 (1) 或 (2) 种情形, 都有 d(u) + d(v) ≥ n − 1,
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由定理 13.4 知 G 中有哈密顿道路、道 路上的人按在道路中的顺序排成一列 , 即满 足要求。 2 ）当 n ≥ 4 时 , 2(n-2) ≥ n, 因此无论 第 (1) 或 (2) 种情形, 都有
d(u)+ d(v) ≥ n, 由定理13.5 知G 中有哈密顿圈, 所有的
vG vG { s ,t }
v ) de g(s ) de g(t ) de g(
2m
vG { s ,t }
v) n de g(
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因为G除结点s,t外的其余n-2结点之间最多 可以构成完全图，所以 2m<(n-2)(n-3)+n+n<n2-3n+6=(n-1)(n-2)+4 2 ( n 1)(n 2) 2 C n 从而 m 1 1 2 2 2 与已知 m Cn 矛盾，故结论成立。 1 2
2m d ( w )
wG w u、v
d ( w ) d ( u) d (v ) 4( n 2) 5
4(n-1) ≥ 4(n-2)+5，矛盾
所以 uv E 。
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16 、 证明: 在 完 全二叉树 中 ， 边 的 数 目 等 于 2（t-1），式中t是叶的数目。 证明：设叶结点的个数为 t，分支数为 i，边 的数目为L， 由定理 11.5 (m-1)i=t-1 ∵ m=2 ∴ i=t-1 由完全二叉树的定义和握手定理， 2L=t+3i-1=t+3(t-1)-1=4t-4 ∴ L=2(t-1)
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13、 今有n个人, 已知他们中的任何二人合起 来认识其余的 n-2个人。 证明: 1 ）当 n ≥ 3 时 , 这 n 个人能排成一列、使 得中间的任何人都认识两旁的人 , 而站在两 端的人认识左边 (或右边) 的人。 2）当 n ≥ 4 时, 这 n 个人能排成一个圆圈, 使得每个人都认识两旁的人。 证明：作 n 阶简单无向图 G= ＜V，E ＞, V= n 个 人 的 集 合 , E={(u,v)︱ u, v ∈ V ∧ u ≠ v ∧ u 与 v 认识}. u, v ∈ V,
1 2 2k
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∵ G的阶数为4k+1 ∴ v4k 1必与vi 1 , vi 1 ,, vi
1 2
2k
1中的一个点邻接，
（否则d(v4k+1)=4k-1-2k=2k-1 与d(v4k+1)=2k矛盾)
设 vit v4k 1 E
可构造 v1 ,vit 1 , v4k 1v4k ,, vit v1 即 为 G 的 一 个 Hamilton 圈 ， 故 G 是 一 个 Hamilton图
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习题十一
1,解：设 L 是叶的数目， m 是树的边数 由握手定理
k 2

i
knk L 2m
由树的定义 i m nk L 1
k 2
knk L 2 nk 2 L 2
k 2 k 2
i
i
L ( k 2)nk 2 ( i k 2)
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第十二章
1. 深刻理解平面图、面、对偶图的定义； 2. 熟记欧拉公式和二个平面图的必要条件, 并能 使用它们来判断图的非平面性； 3. 了解库拉托夫斯基（ Kuratowski ）定理和细 分图的概念；
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第十三章
1. 深刻理解欧拉图和欧拉道路的定义，对于 给定的图能判断它是否为欧拉图或存在欧 拉道路； 2. 掌握 Fleury 算法并会用 Fleury 算法求 出欧拉图中的欧拉回路； 3. 理解中国邮递员问题算法并会用中国邮递 员算法求出无向图中的欧拉回路； 4. 深刻理解哈密顿道路及其哈密顿图、图的 闭包概念；
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21、 证明:正则二叉树必有奇数个结点。 证明： 由正则二叉树的定义，其叶结点的个 数必为偶数，设叶数为 t，分支数为 i 由定理 11.5 (m-1)i=t-1 ∵ m=2 ∴ i=t-1 即分支点数是奇数 故结点数 n=i+t= 奇数，且n=2t-1， 即 t=（n+1）/2
人按圈中的顺序排成一个圆圈 , 即满足要求。
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5、设G是(n, m)简单图。 2 若 m Cn1 2 ,证明G必是哈密顿图。
证：（反证法）假设G不是哈密尔顿图，则
s, t G , de g(s ) de g(t ) n 2m de g(v )
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而删去这两个点后 , 至多删去图 G 中的 5 条边。 由于图G是具有6个顶点, 12条边的无 向简单图, 删去顶点v1,v2后, 得到的子图为: 具有 4 个结点 , 至少 7 条边的无向简单图 , 但 这样的无向简单图不存在 (4 阶无向简单图最 多有6条边), 由此证明图 G中任意不同两点的 度数之和大于等于6, 图G是哈密顿图。
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习题十三
10 、 证明:4k+l阶的所有2k正则简单图都是哈密 顿图。 证： ∵ G是2k正则图， ∴ 对任意的u、v∈G，d(u)+d(v)=4k 由定理 13.4, 在 G 中存在一条 Hamilton 道 路，设为： v1v2,…,v4k+1 1）v1v4k+1∈E， 则v1v2,…,v4k+1v1构成一个Hamilton圈。 2）v1v4k+1E，则 vi , vi ,, vi 与v1邻接
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例一
证明当每个结点的度数大于等于 3 时， 不存在有 7 条边的连通简单平面图。 证明:(反证法) 设图的边数m=7 由题意，d(Vi) ≥3，Vi为结点 则由握手定理， 2m d (Vi ) i 则 14 2 7 d (Vi ) 3n n i 3 ∴结点的个数不超过4个，而结点个数为4的完全 图的边数为 6, 故应有环或平行边，不是简单连通平面图。
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而在 T（E2）中， u 和 v 分别同其它结点相邻， 且相关联的边∈ E2.故在 G 中， d(u)+d(v) ≥ 5. ∵ T（E1）， T（E2）是 G 的两棵生成树 ∴ m（E1）＋m（E2）=2(n-1) 2m(G)=2(m （ E1 ）＋ m （ E2 ） )=4(n-1) ，由握手定理，
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5. 会用哈密顿图和含哈密顿道路的充分条件来 判断某些图是哈密顿图或是否含有哈密顿道 路； 6. 会用破坏哈密顿图的某些必要条件的方法判 断某些图不是哈密顿图 7. 严格区分哈密顿图的充分条件和必要条件 8. 理解判断哈密顿图的充分必要条件 9. 了解推销商问题的分枝定界求解方法