离散数学：部分习题及其习题课
, AB
+
•
•
A B= +
• 6、应用集合的运算证明
• （2）A-(B-C)=
• 解，
•
故
• 9、（A）已知
•
(B) 已知
+
+
•
( C) 已知 A ++ B=A ++ C是否必须B=C
• 解、（A)不一定 ，当A=E时，不论B与C是什么集合，等式恒成立.
• （B）不一定 ，当A=Ф时，不论B与C是什么集合，等式恒成立.
（3） A的最大元素：A;A的最小元素:无.
（4） A的极大元素：A; A的极小元素:D,E.
(5) {B,C,D}的上界和下界，上确界和下确界分别是：A；D；A；D.
{C,D,E}的上界和下界，上确界和下确界分别是：C,A;无；C;无
{A,C,B}的上界和下界，上确界和下确界分别是：A;D;A;D.
(1)下列关系式哪个是真？
A
ARB,DRA,CRE,BRE,ARA,BRC,DRE.
B
C
（2）把哈斯图改为有向图
D
E
（3）求出A的最大元素及最小元素，
图2-24
（4）求出A的极大元素及极小元素.
（5）求出子集{B,C,D},{C,D,E},{A,C,B}的上界和下界，上确界和下确界.
解.（1）真 DRA,ARA.(2)略
• 练习题1-4
• 2.证明A) 集合[0,1]是无限集
• （B）自然数集合是无限集
• 证明A) 1
z
•
[0,1]
0 x1 y
[0, ) )所以集合[0,1]是无限集
• （B）解：设
•
显然
，
•
，所以自然数集合是无限集.
• 5、证明下列每组集合A与B有相同的基数.
• （A）A=(0,1),B=(0,2)
离散数学：部分习题及其习题课
⊕
• 1.了解集合的概念.
第一章：集合论
• 2.掌握集合的运算，特别是对称差运算A +B=
• 3.理解幂集与笛卡尔集的概念，会求一个集合的幂集.
• 4.了解集合基数与可数集的的概念.
• 5.重要公式：
•
在集合运算和化简时经常使用.
• 6.熟练掌握集合的运算律.
• 习题 • 练习题1-2 • 2.设A= •求 • 解.
• 18.如果两个集合
是可数的，则
也是可数的.
解.设
构造从
到 的变换如下：
故
可数.
19.有限集A和可数集B的笛卡尔乘积 是可数的.
解.因A是有限集，则 是可数集，由18题知：
是可数的.
但是
,且
是无限集，由TH1-4.4知， 为可数的.
• 20.若A,B是可数集，且
，则
•
时，
仍然可数.
• 证.
，
可数。由此推出当不考虑
3)
故（G，+）是群.
7.（1）如果H是群（G，O）的有限子集，并且对任意的A,B H,则（H，O）是 （G,O）的子群.
（2）设H是群（G,O）有限子集，且H中的元素在乘法“O”下周期为有 限，还有“O”在H上封闭，则（H,O）是（G,O）的子群.
证.（1） 群.
（封闭的），显然是可结合的，所以（H,O）是半
解.R={1,2} {1,2} {3} {3} {4,5} {4,5}
={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}.
1
5
3
2
4
6. 设A为恰有N个元素的有限集. （1）共有多少个A上的不相同的自反关系？ （2）共有多少个A上的不相同的反自反关系？ （3）共有多少个A上的不相同的对称关系？ （4）共有多少个A上的不相同的非对称关系？ （5）共有多少个A上的不相同的既是对称又是非对称关系？ 解（1）
最多有 个1.
第三章代数系统（习题课）
• 1.理解群的定义.（ABEL群、循环群） • 2.掌握群的性质. • 3.会求群的子群. • 4.会求循环群的生成元素及其它的子群. • 5.会求群的每个元素的周期(阶). • 6.理解两个群同构与同态的概念及其判别 • 7.会求同态核.
• 6.设 Y,都有
• 自然数集N与 中元素的下标可构成双射F
•即 •
•故
为可数的.
• 当不考虑
时，
• 由TH1-4.4知， 为可数的
• 21、如果A是不可数的无穷集，B是A的可数子集，则A-B A
• 证明.设C=A-B,则C不是有限集。因为
若C是有限集，B是可数集所
以A为可数集，与题设矛盾，由TH1-4.3知C必含有可数子集D，设M=C-D,
X Y=(XY)MOD4.
问（S, ）构成什么代数系统（半群，独异点，群）？为什么？
解：独异点
X Y=(XY)MOD4 S(封闭的).
,(X Y ) Z=X (Y Z ),(可结合的)
单位元素 ：E=1，所以（S， ）是独异点.
2 3=（2 3）MOD4=2 1,即2和3没有逆元素.
故它不是群.
16.设(G,O)是24阶循环群，求出它的所有子群.
• (B) A=N,B=N N
• (C) A=R,B=(0, ) • (D) A3=[0,1),B=(0.25,0.5]
• 证、（2A）F(X)=2X,X A. • (B) 1
N={ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 F(3(M,N))=M+(M+N+1)(M+N)/2 （一一映射）
• 四、最重要内容 • 1、次序关系（拟序，全序，极大（小）元素，最大（小）元素，哈斯图、SUPB, INFB） • 2、等价关系（等价类，商集）
练习题2-1 6、设 和 是集合A={A,B,C,D}上的关系，这里
求.
,
,,
解.
={（B,A）,(B,A),(B,D)}
={(D,A)}
={(B,B),(C,B),(A,C)}
•
(C) 成立，
A ⊕B
•
⊕C
•
同理可证
，故 B=C.
• 练习题1-3
• 1.设A={A,B},求
• 解.
• 5.设 A=Ф,求 • 解.
• 3.证明：若
,则A=B
• 证明、（反证法）
• 假设
,则
,必有（X,X） A A,而（X,X） B B.
• 这与
相矛盾.故有A=B.
• 第4题证法类同第3题.
，
集合中删除所有M和N不
，因S是 的无限子集（定理4：可数集的无穷子集仍为一可数集），所以S 是可数的.
•
,即
• 因为G是双射，故 是可数的，由因为
•
• 是可数的
• 8.设
• 证明
• 证:设
，则C是不可数的.
•故
.B一定不可数，因为A可数，假设B可数，则C可数。
这是矛盾的，所以B不可数，故
• 复习题一
• 证.
• 故有
•又 为0.
，R是可结合的，（R , O）是独异点. ,即B(1+A)=0,由于A的任意性，所以B=0,即单位元素
• 9.设(S,O)由表3-4给出：
• （1）证明（S，O）是循环独异点，并求单位元素.
• （2）把每个元素表示成元素的幂.
• (3) 列出所有幂等元素.
•
Oa A B C D
(3) 每个元素均可逆，且每个元素的逆元是本身.
所以是群.
3.有单位元素且适合消去律的有限半群一定是群.
证明.设(S,O) 有单位元素E的半群，
,当
时，
,当
时，同理存在逆元.故（S,O）是群
5.G=(A+BI A,B Z,I是虚数单位)，证明（G,+）是一个群.
证明.1)显然满足结合律.
2）E=0=0+0I(单位元素)
• 证明.
练习题3-1
是一个半群， ,在S上定义一个二元运算 ，证明二元运算是可结合的.
,
，使得对S中的任意元素X和
• 可结合的.
• 7.设（R, O）是一个代数系统，R是实数集合，“O”是R上一个二元运算，使得对 于任意的A , B都有
•
A O B=A +B+
• 证明.（R , O）是独异点，且单位元素是0.
={(C,C),(D,D)}
8、设A={1,2,3,4,5}，R={(1,2),(3,4),(2,2)},S={(4,2),(2,5),(3,1),(1,3)}
求
解.(略)
练习题2-2
2、3、5
练习题2-3
2、5
练习题2-4
2、图2-24中给出了偏序集合（A,R）的哈斯图，这里A={A,B,C,D,E}
即
,
,因为B,D可数，
,且
•
,则
,即
•
(
)
• •
2证2明.试作明1y矩：D形（A0,AD1B）C,~如（图-1所,1）示，直线AB 的斜率K=2,
•
0 x1 x -1 B C
• 即直线AB的方程Y=2X+1, 换故（0,1）~（-1,1）.
. 即F:
,显然这是一个一一变
第二章 关系（习题课）
• 一、重要概念 • 1.关系的定义 • 2.关系的表示方法：关系图、关系矩阵. • 3.复合关系 • 4.逆关系 • 二、关系的性质（5种） • 三、关系的闭包运算
证.（1）
，所以R是自反的.
（2）若
，显然有
，故R是对称的.
离散数学课后习题及答案
离散数学课后习题及答案离散数学是计算机科学与数学的重要基础课程之一，它涵盖了很多重要的概念和理论。
为了更好地掌握离散数学的知识，课后习题是必不可少的一部分。
本文将介绍一些常见的离散数学课后习题，并提供相应的答案，希望对读者有所帮助。
一、集合论1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}2. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，求(A∪B)∩C的结果。
答案：(A∪B)∩C={3,4}二、逻辑与命题1. 判断下列命题的真假：a) 若2+2=5，则地球是平的。
b) 若今天下雨，则我会带伞。
c) 若x>0，则x^2>0。
答案：a)假，b)真，c)真。
2. 用真值表验证下列命题的等价性：a) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)b) p→q ≡ ¬p∨q答案：a)等价，b)等价。
三、关系与函数1. 给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，求R的逆关系R^-1。
答案：R^-1={(2,1),(3,2),(4,3)}2. 设函数f(x)=x^2，g(x)=2x+1，求复合函数f(g(x))的表达式。
答案：f(g(x))=(2x+1)^2=4x^2+4x+1四、图论1. 给定图G，其邻接矩阵为：0 1 11 0 11 1 0求图G的度数序列。
答案：度数序列为(2,2,2)2. 判断下列图是否为连通图：a) G1的邻接矩阵为：0 1 11 0 01 0 0b) G2的邻接矩阵为：0 1 01 0 10 1 0答案：a)不是连通图，b)是连通图。
五、组合数学1. 从10个不同的球中，任选3个，求共有多少种选法。
答案：C(10,3)=120种选法。
2. 求下列排列的循环节：a) (123)(45)(67)b) (12)(34)(56)(78)答案：a)循环节为(123)(45)(67)，b)循环节为(12)(34)(56)(78)。
02324离散数学(课后习题解答(详细)
离散数学~习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
离散数学和应用数理逻辑部分课后习题答案解析
作业答案：数理逻辑部分P14：习题一1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（3 答：简单命题，真命题。
（9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题。
（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
答：复合命题，假命题。
14、讲下列命题符号化。
（6）王强与刘威都学过法语。
答：:p 王强学过法语；:q 刘威学过法语。
符号化为：p q ∧（10）除非天下大雨，他就乘班车上班。
答：:p 天下大雨；:q 他乘班车上班。
符号化为：p q →（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。
答：:p 2是素数；:q 4是素数。
符号化为：(())p q ⌝⌝∨15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。
:r 太阳从西方升起。
求下列复合命题的真值。
（2）(())r p q p →∧↔⌝（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解答： p 真值为1；q 真值为1；r 真值为0.（2）p q ∧真值为1；()r p q →∧真值为1；p ⌝真值为0；所以(())r p q p →∧↔⌝真值为0.（4）p q r ∧∧⌝真值为1，p q ⌝∨⌝真值为0，()p q r ⌝∨⌝→真值为1；所以()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→真值为1.19、用真值表判断下列公式的类型。
（4）()()p q q p →→⌝→⌝所以为重言式。
所以为可满足式。
P36:习题二3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。
（1）()p q q ⌝∧→ 解答：()(())(())()10p q q p q q p q q p q q ⌝∧→⇔⌝⌝∧∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⇔所以为永假式。
（2）(())()p p q p r →∨∨→ 解答：(())()(())()()()1()1p p q p r p p q p r p p q p r p r →∨∨→⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔∨⌝∨⇔ 所以因为永真式。
离散数学课后习题+答案：总结 计划 汇报 设计 可编辑
离散数学习题答案习题一1. 判断下列句子是否为命题？若是命题说明是真命题还是假命题。
（1）3是正数吗？（2）x＋1=0。
（3）请穿上外衣。
（4）2＋1＝0。
（5）任一个实数的平方都是正实数。
（6）不存在最大素数。
（7）明天我去看电影。
（8）9＋5≤12。
（9）实践出真知。
（10）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。
解：（1）、（2）、（3）不是命题。
（4）、（8）是假命题。
（5）、（6）、（9）、（10）是真命题。
（7）是命题，只是现在无法确定真值。
2. 设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去书店”，R表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。
（1）如果天不下雪并且我有时间，那么我将去书店。
（2）我将去书店，仅当我有时间。
（3）天不下雪。
（4）天下雪，我将不去书店。
解：（1）（┐P∧R）→Q。
（2）Q→R。
（3）┐P。
（4）P→┐Q。
3. 将下列命题符号化。
（1）王皓球打得好，歌也唱得好。
（2）我一边看书，一边听音乐。
（3）老张和老李都是球迷。
（4）只要努力学习，成绩会好的。
（5）只有休息好，才能工作好。
（6）如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数。
（7）我们不能既游泳又跑步。
（8）我反悔，仅当太阳从西边出来。
（9）如果f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处可微。
反之亦然。
（10）如果张老师和李老师都不讲这门课，那么王老师就讲这门课。
（11）四边形ABCD是平行四边形，当且仅当ABCD的对边平行。
（12）或者你没有给我写信，或者信在途中丢失了。
解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。
原命题可符号化：P∧Q。
（2）P：我看书，Q：我听音乐。
原命题可符号化：P∧Q。
（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。
原命题可符号化：P∧Q。
（4）P：努力学习，Q：成绩会好。
原命题可符号化：P→Q。
（5）P：休息好，Q：工作好。
原命题可符号化：Q→P。
（6）P：a是偶数，Q：b是偶数，R：a+b是偶数。
离散数学及其应用集合论部分课后习题答案
作业答案：集合论部分P90:习题六5、确定下列命题是否为真。
（2）ÆÎÆ（4）{}ÆÎÆ（6）{,}{,,,{,}}a b a b c a b Î解答：（2）假（4）真（6）真8、求下列集合的幂集。
（5）{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}（6）{{,2},{2}}Æ解答：（5）集合的元素彼此互不相同，所以{2,1,1,2}{1,2}=，所以该题的结论应该为{,{{1,2}},{{2,1,2}},{{2,1,1,1}},{{1,2},{2,1,2},{2,1,1,1}}}Æ（6）{,{{,2}},2,{{,2},{2}}}ÆÆÆ9、设{1,2,3,4,5,6}E =，{1,4}A =，{1,2,5}B =,{2,4}C =,求下列集合。
（1）A B（2）()A B 解答：（1）{1,4}{3,4,6}{4}A B ==（2）(){1}{2,3,4,5,6}A B ==31、设A,B,C 为任意集合，证明()()()()A B B A A B A B --=-证明：()(){|}{|()()}{|()()()()}{|()()}{|()()}{|()()}{|()()}{|()(A B B A x x A B x B A x x A x B x B x A x x A x B x B x B x A x A x B x A x x A x B x B x A x x A B x A x B x x A B x A x B x x A B x A B x x AB x A--=Î-ÚÎ-=ÎÙÏÚÎÙÏ=ÎÚÎÙÏÚÎÙÎÚÏÙÏÚÏ=ÎÚÎÙÏÚÏ=ÎÙÏÚÏ=ÎÙÎÚÎ=ÎÙÎ=ÎÙÎ)}B A B AB=-34、设A,B 为集合，证明：如果()()A B B A AB --=，则AB =Æ。
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。
14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。
解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为12()345x a x bf x x c x d x e=⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪=⎪⎩ 16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
离散数学——图论部分习题课
之和为24,而图G中其余点的度数小于3,即图G中其余点的
度数只可能是2或1(由于图G是连通图,所以无零度点). 由此可知,图G中至少有11个顶点: 3个4度点,4个3度点和 4个2度点; 至多有15个顶点: 3个4度点,4个3度点和8个1
度点.
7. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图，
n ( n 1) 2
即m=n(n-1)/4, 而m为正整数,所以要么n=4k或n=4k+1, 所以不存在3个顶点和6个顶点的自补图.
9. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为 0，0，2，3，试求D的出度列。 解：设有向简单图D的度数列为2，2，3，3， 对应的顶点分别为v1,v2,v3,v4,
（1）1，1，2，3，5 （3）1，3，1，3，2 答案（2） （2）1，2，3，4，5 （4）1，2，3，4，6
Байду номын сангаас
）
则它们之间至少有几个是同构的？ 解： 4阶3条边非同构的无向简单图共有3个，因此 G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
8. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？ 解: 由于顶点为n的无向完全图的边数为
n ( n 1) 2
.
设G的自补图为G’,则G与G’的边数相等. 设它们的边数各为m,于是有m+m=
本章重点
一、掌握有关图的基本概念：
邻接 关联 有向图
平行边 多重图
无向图
n阶图
底图
连通图
自回路（环） 简单图
二、掌握图中顶点的度数，握手定理及其推论 定理：设图G是具有n个顶点、m条边的无向图， 其中点集V={v1， v2，… vn }, 则
deg(
i 1
离散数学第一二章练习题
8. 给定解释 I如下：个体域为实数集合；
f(x,y)=x-y, g(x,y)=xy, E(x,y):x=y, G(x,y):x>y，
N(x):x是自然数.在此解释下,求下列各式的值
(1)xyE( f (x, y), g(x, y))
(2)x(N(x) G(x,1) E(x,1))
(3)yzE(g( y, z), x) 9.求公式 xA( x, y) yB( x, y)的前束范式.
6.某学校有三名教授甲、乙、丙，要选派其 中的某些人出国进修. 因工作需要，选派时 必须满足以下条件： （1）若甲去，则丙也去； （2）若乙去，则丙不去； （3）若丙不去，则甲或乙中要至少去一人. 试问：学校应如何选派他们？
7.在谓词逻辑中将下列命题符号化 (1)并非所有的素数都不是偶数. (2)猫是动物，但动物不一定是猫. (3)每个人都有自己喜欢的工作.
10.判断下列推理是否正确，并说明理由.
（1）前提：xF ( x)，xG( x) 结论：x(F(x) G(x))
(2) 有理数都是实数.有的有理数是整数. 因此，有的实数是整数.
第一、二章 习题课 1.在命题逻辑中将下列命题符号化:
(1)我们不能既划船又跑步.
(2)小王总是在图书馆看书,除非他病了 或者图书馆不开门.
2.判断公式 (P Q) (Q R) (R P) 与(P Q) (Q
P (Q R)的主析取范式和主合取范式.
4.将联结词 ，，用 表示.
5.判断下列推理是否正确，并说明理由.
（1）前提：P Q, P Q，Q 结论：P
（2）如果甲弃权,则乙或丙至少一人将获得 出线权；如果乙获得出线权,则甲没有弃权； 如果丁获得了出线权，则丙未获出线权.所 以，如果甲弃权，则丁不能获得出线权.
《离散数学》部分习题答案
第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p) ⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p)) ⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1) (2) 主合取范式为： ⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1 ⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)xF∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学(第二版)最全课后习题答案详解
27.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,证明: 重言式.
是重言式当且仅当 A 和 B 都是
解：
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
由真值表可得，当且仅当 A 和 B 都是重言式时，
0 0 0 1 是重言式。
28. 设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,已知
，该式为重言式，所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如 果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.” 解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。
真值为 1.
真值为 0.可得，p 真值为 1，q 真值为 0.
所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
（2）p: 是无理数.
（7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以 π. （13）p:2008 年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
（1）5 是有理数.
答：否定式：5 是无理数. p：5 是有理数.q：5 是无理数.其否定式 q 的真值
5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2 或 3 是偶数. （2）2 或 4 是偶数. （3）3 或 5 是偶数. （4）3 不是偶数或 4 不是偶数. （5）3 不是素数或 4 不是偶数.
答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数 (1)符号化: p q∨ ，其真值为 1. (2)符号化：p r∨ ，其真值为 1. (3)符号化：r t∨ ，其真值为 0. (4)符号化：¬ ∨¬q s，其真值为 1. (5)符号化：¬ ∨¬r s，其真值为 0.