整式和分式二次根式
(二)整式、分式、二次根式
3 整式与分解因式【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nnnb a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n aa 1=-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2∙a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x 2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中22a b =-=．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．4 分式与分式方程【知识梳理】1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =3．先化简11112-÷-+x xx ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．4．解下列方程（1）013522=--+xx x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.【检测】1．当99a =时，分式211a a --的值是．2．当x 时，分式112--x x 有意义；当x 时，该式的值为0． 3．计算22()ab ab的结果为 ．4. ．若分式方程xxk x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-25．若分式32-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x yx 4y 5x y x 4xy5x y 2xy x 2222-+-+÷-++的值7．先化简，再求值：4xx 16x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x8.解分式方程． (1)22011xx x -=+- (2)x 2)3(x 22x x -=--；(3) 11322xx x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+--5 二次根式【知识梳理】 1.二次根式：(1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2．二次根式的化简：3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：（1a 0b 0≥≥，）（2a 0b 0≥ ，）6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 【思想方法】 非负性的应用【例题精讲】 【例1有意义，x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠B ．0x ≠C ．10x x >-≠且D ．10x x ≠≥-且【例2）． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间D ．9到10之间【例3】 若实数x y ，2(0y =，则xy 的值是 ．【例4】如图，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有52π7-，，四个实数，从中任取两张卡片．A B C D（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．【例5】计算：（1）103130tan 3)14.3(27-+︒---）（π （2）101(1)52-⎛⎫π-+-+-- ⎪⎝⎭【例6】先化简，再求值：)1()1112(2-⨯+--a a a ，其中33-=a ．【检测】1.计算：（1032tan 60(1--+-．（2）cos45°·(－21)－2－(22－3)0＋｜－32｜＋121-（3）023cos 304sin 60-++-．2.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简。
整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧
1.整式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．2.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意：(1)同类项与系数大小没有关系；(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：n m n m a a a +=⋅(n m ,都是正整数)．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：()mn n m a a =(n m ,都是正整数)．积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘．如：()n n n b a ab =(n 为正整数)．单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如：()mc mb ma c b a m ++=++(c b a m ,,,都是单项式)．注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)． 单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的3．因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例如：23248a ab b a ⨯=；()111+=+a aa a 等，都不是因式分解． (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：()c b a c b a ++=++222，不是因式分解．(3)因式分解和整式乘法是互逆变形．(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：4425b a -在有理数范围内应分解为：()()222255b a b a -+；而在实数范围内则应分解为：()()()b a b a b a 55522-++．1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；字母取多项式各项相同的字母；各字母指数取次数最低的．2、运用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．平方差公式：()()b a b a b a -+=-22．完全平方公式：()2222b a b ab a +=++；()2222b a b ab a -=+-．立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+．立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=-．注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4. 分式一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成B A 的形式．如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)． 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如： BA B A B A B A --=--=--= 分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n 10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小． (1)b a b a 41313121-+；(2)22226.0411034.0y x y x -+． 分析：第(1)题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可把系数化为整数；第(2)题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数．解：(1)b a b a b a b a b a b a 344612413112312141313121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+； (2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568yx y x -+=． 1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcad c d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是： n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛(n 为整数)． 3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cb ac b c a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：bdbc ad d c b a ±=±． 分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的． 例、计算78563412+++++-++-++x x x x x x x x ． 分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ． 解：原式7175********+++++++-+++-+++=x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=711511311111x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=71513111x x x x ()()()()752312++-++=x x x x ()()()()()()()()7531312752++++++-++=x x x x x x x x ()()()()75316416+++++=x x x x x ． 点评：本题考查在分式运算中的技巧问题，要认真分析题目特点，找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到．5.二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：①含有二次根号“” ；②被开方数a 必须是非负数．如5，2)(b a -，)3(3≥-a a 都是二次根式若二次根式满足:①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如a 5，223y x +，22b a +是最简二次根式，而b a ，()2b a +，248ab ，x 1就不是最简二次根式．化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131 )13)(13(13-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． (1))0()(2≥=a a a ． (2)⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a (3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab ．(4))0,0(>≥=b a ba b a 二次根式的加减法法则：(1)先把各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式； (3)再把同类二次根式分别合并．二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．即：ab b a =⋅(0,≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：b a ba=(0,0>≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况． 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．例1、计算：6321263212--+++--．分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于6321+--分母有理化比较麻烦，我们应注意到6321+--()()1312--=；()()13126321-+-=--+，这样做起来就比较简便． 解：6321263212--+++-- ()()()()1312213122-+---= ()()()()2131********+--++=()()131212++-+= ()132+= 232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-． 分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+= 321+= 23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a b a +-的值．分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ， 又372<< ，54<<∴x ．27427,4-=-+==∴b a ． ()()()()()()272727762776274274-+--=+-=-+--=+-∴b a b a 31978-=． 二次根式的化简技巧一、 巧用公式法例1计算b a ba b a ba b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，()0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a 2-2ab +b 2，a 2-2b =()b a +()b a -，可以帮助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
中招数学四大模块
中招数学四大模块
一、数与式
倒数、相反数、绝对值、单项式、多项式、整式、分式、二次根式、实数、有理数、无理数
二、方程与函数
一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（组）、不等式、一次函数、二次函数、反比例函数、一元一次方程的应用、锐角三角函数
三、空间图形
线段、角、三角形（全等三角形、相似三角形）、圆
四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形）、
四、概率与统计
数据的收集与整理、
公差、方差
中考综合，专项练习
一、数学思想
1、方程思想；
2、函数思想；
3、分类讨论思想；
4、数形结合思想；
5、整体思想的应用；
6、转化思想
二、函数专题
1、函数与不等式；
2、函数中的面积问题；
3、函数中的数形结合
三、动态问题
动点问题、
动线问题、
动面问题
四、常见题型分类
1、网格中的数学问题；
2、探索存在性问题；
3、阅读归纳问题；
4、折叠图形问题；
5、线段之和、之差的极值；
6、探究类问题；
7、方案设计问题；
8、操作型问题.
9、两点间距离。
根式及其运算.
根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为x-2＜0，1-x＜0，所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256，的值．分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有两边平方得两边再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x ＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．解因为练习1．化简：2．计算：3．计算：。
整式,分式,二次根式专题训练
整式，分式，二次根式专题训练一、选择题1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ）A ．2a +bB ．2aC ．aD ．b2、计算)3(623m m -÷的结果是（ ）（A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2 （D ）m 33、下列计算中，正确的是（ ）A ．33x x x =•B ．3x x x -=C ．32x x x ÷=D ．336x x x +=4、下列计算中，正确的是（ ）A ．325a b ab +=B ．44a a a =•C ．623a a a ÷=D ．3262()a b a b = 5．对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）A ．923)(m m =；B ．623m m m =⋅；C ．532m m m =+；D ．426m m m =÷。
6）.A 、3-B 、3或3-C 、3D 、97、 下列根式中属于最简二次根式的是（）.ABCD 8、代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为（ ） A ．7 B ．18 C ．12 D ．9二、填空题1、计算：当x 时，二次根式在实数范围内有意义. 2= . =310b -=，那么()2007a b +的值为 .4、若23x =，45y =，则22x y -的值为_________5、因式分解：①32a ab -= __________；②xy 2–2xy +x =6、在实数范围内分解因式：4x －9＝7、若1＜x ＜2，化简 = ___________8、已知111212323a =+=⨯⨯，211323438a =+=⨯⨯，3114345415a =+=⨯⨯，⋅⋅⋅，依据上述规律，则99a =三、解答题1、先化简，再求值：)1()1(2---a a a ，其中12-=a 。
2、计算:⑴ 24142x x ---． ⑵ 22a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭3、先化简代数式22221244a b a b a b a ab b--÷-+++，然后选择一个使原式有意义的a 、b 值代入求值.4、已知114a b -=，求2227a ab b a b ab---+的值22)1()2(x x ---5、计算：⑴⎛÷ ⎝⑵⑶. (()2771+-- ⑷. ((((22221111+-6、若x ，y 是实数，且2111+-+-<x x y ，求1|1|--y y 的值。
整式、分式、二次根式的性质和概念;
第五章整式、分式、二次根式得知识梳理1、整式得概念与指数:与统称为整式。
单项式包括: 、、 ;一个单项式中所有字母得叫做这个单项式得次数。
多项式:几个单项式得代数与多项式。
单项式中次数最得项就就是这个多项式得次数。
2、分式得概念与意义:一般地,形如式子,且B≠0叫做分式。
(1)、分式有意义得条件:(2)、分式无意义得条件:(3)、分式为0得条件:(4)、分式得基本性质:分式得分子与分母同时 (一个不等于0)得整式,分式得值不变。
(5)、约分:(6)、最简分式:一个分式得分子与分母没有公因式时,这种分式叫做最简分式。
(7)、通分:(8)、最简公分母:(9)、分母有理化:把分母中得根号化去,叫做分母有理化。
注意:分母有理化时,分子与分母需要同时乘分母得有理化因式。
3、二次根式得概念与意义:(1)、定义:形如(a≥0)得式子,叫做二次根式。
(2)、二次根式有意义得条件:二次根式无意义得条件:(3)、二次根式得性质:① =a(a≥0);②= =③= (a≥0, b≥0);④=( a≥0, b＞0)。
（4）、最简二次根式:①中不含二次根式;②被开方数中不含能开得尽得因数或因式。
(5)、同类二次根式:最简二次根式后,被开方数相同,叫做同类二次根式。
知识点二:代数式得运算(一)、整式得加减运算(1)、同类项:(2)、合并同类项法则:(3)、去括号法则:(4)、整式得加减得实质就就是合并同类项。
(二)、整式得乘除(1)、同底数幂得乘法:a m·a n= ,底数不变,指数相加、(2)、幂得乘方与积得乘方:(a m)n= ,底数不变,指数相乘;(3)、(ab)n= ,积得乘方等于各因式乘方得积、(4)、单项式得乘法:系数相乘,相同字母 ,只在一个因式中含有得字母,连同指数写在积里、(5)、单项式与多项式得乘法:m(a+b+c)= ,用单项式去乘多项式得每一项,再把所得得积相加、(6)、多项式得乘法:(a+b)·(c+d)= ,先用多项式得每一项去乘另一个多项式得每一项,再把所得得积相加、(7)、乘法公式:平方差公式:(a+b)(a-b)= ,两个数得与与这两个数得差得积等于这两个数得平方差;完全平方公式:①(a+b)2= ,等于它们得 ,加上它们得积得2倍;② (a-b)2= ,等于它们得 ,减去它们得积得2倍; 十字相乘法:+(m+n)x+mn=( )( )(8)、同底数幂得除法:a m÷a n= ,底数不变,指数相减、(9)、零指数与负指数公式:a0= (a≠0); a-n= ,(a≠0)、注意:00,0-2无意义;(10).单项式除以单项式:(11).多项式除以单项式:★整式混合运算:先 ,后 ,最后 ,有括号先算括号内、★整式得化简:①合并到不能再合并;②首项不能为负数;★整式得因式分解(1)提共因式法:(2)公式法:(3)十字相乘法:(4)分组法,在循环运用“提十公分”法;(三)、分式得运算(1)、分式得加减法:①、同分母得分式相加减,分母 ,把分子相。
二次根式、整式与分式综合练习
并 求 出此 时 三角形 周 长 的值． ） ＜ ０ ， 若ｂ ＝ ２ 一 口 ， 贝 ４ 周 长为整 数 ，
ｂ的取 值 范 围是
（ 答案见下期） ２ ９
Ｂ ． ＞一 ２且 ≠２
争 ， ５ Ｖ ？ ｘ 一 ．
（ １ ） 求 它 的周 长 （ 要求 结果 化 简 ） ； 舯
戤
Ａ． ＞ ｔ ２且 ≠２
Ｃ ． ≠± ２ ５ ． 已知 （ ｏ 一
Ｄ ． 全体实数
（ ２ ） 请你给出一个适 当的 的值 ， 使它的 学
Ａ ． （ ０ ＇ ０ ） Ｂ ． （ ， 一 孚 ） ｃ ． （ １ ’ ＿ １ ）Ｄ ． （ 一 孚 （ ） ．
Ａ． 、 ／ ＝３
Ｂ ． 、
Ｃ． 、 ，
９ ． 当 ＝ 一 ２时 ， 、 ／ ｒ 二 芝 的值是 — — ．
Ｄ．
７ ． 已 知 Ｘ － 卑
８ ． 已知 、
根为 — — ．
， 则 １ ＝ — —
＋ Ｖ１ 『 ＝ ： ｙ ＋ ４， 则 的平 方 ：
２ ． 已知 Ａ点 的 坐 标 为 Ａ（ 、 ／ ， ０ ） ， 点Ｂ
在 直线 ＇ ， ＝ 上运动 ， 当线 段 Ａ Ｂ最短 时 ， Ｂ点 的坐 标 为 （ ） ．
Ｉ
。 ＝（ 一５ ）
而 －＝３ ×５ ５
Ｄ ． 、 ／ ｉ ＿ 二 ｊ 了
＝（ 一３ ） 。 ×（ 一５ ）
４
丝 ４ ．函数 ｙ ＝ ， ２
．
￣
的 自变量 的取值范
１ ２ ・ 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 ５ ｗ－ ， ：
－
围是 （
）
初中数学 数与式 知识点 考点 思维导图 实数及其运算 整式 分式 二次根式
分式的加减法／ 异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分
４、参数法∶当已经条件形如工－上＝三，所要求值的代数式
是一个含ｘ，ｙ，ｚ，ａ，ｂ，ｃ，而又不易化简的分式
时，通常设 艺－为＝三＊（ｋ就是我们所说的参数），
分式
＼式，然后相加减，ｂ即 ４ｄ± 二ｂ＝ｄａｄ ，ｂｂｄｃ＿ ａｄｂ±ｄｂｃ
运算顺序
作商法 ＝１ｅａ＝ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）
＜１ｅａ＜ｂ
（４） （ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ）； ｎ（５）ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ
分级∶加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方和开方是三级运算．
三级运算的顺序是三、二、一、（如果有括号，先算括号内的；如
果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种
运算，都要注意先定符号后运算．）
学习误区
合并同类项
系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数 ＿不变叫做合并同类项．
整式的加减 就是合并同类项，遇到括号，一般先去掉括号，去 括号的方法是∶＋（ａ＋ｂ－ｃ）＝ａ＋ｂ－ｃ；－（ａ＋ｂ－ｃ）＝－ａ－ｂ＋ｃ．
知能提升
整式有关概念
总并华结 梳知理识
整式 幂的运算法则 的运算 整式的乘法
中Ａ，Ｂ，Ｍ／都是整式，特别要注意整式Ｍ的值不等于零．
２、分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何
两个，分式的值不变如－－＝－为＝号，再如一ｂａ
知能提升
分式的概念
并总华结
知识
梳理
式子表述 告Ａ部告告（ｕ２０，如为整式）
基本性质
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，
即号±８ａ±ｏ，
３、分式有意义的条件是分母不为０；分式无意义的条件是
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2015初三第一轮复习
---整式与分式二次根式
单项式 由数与字母的积或字母与字母的积
所组成的代数式叫做单项式.
系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 次数 一个单项式中,所有字母的指数的和
叫做这个单项式的次数.
多项式 由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式. 项
）
4、当 x
时，根式 2 3 x 3 x 1有意义 ?
5、若0 x 4，则化简 ( x 4) 2 ( x 1) 2
6、若最简二次根式 3a 8与 17 2a是同类根式 则要使 4a 2 x有意义，x满足
7、分母有理化 1 1 1 （ 1 ） ；（2） ；（3） a b a b a b
幂的乘方： (a m ) n a mn (m, n是正整数）
(1)a a a (a )
3 4 2
3 3
(2)( x) 2 ( x) 4 ( x 2 ) 3
积的乘方：
(ab) a b (n是正整数）
n n n
(1)( a ) 3 ( a ) 4 (2)3( x 2 y 2 ) 3 2( x 3 y 3 ) 2 (3)(3 x 3 ) 2 ( 2 x 2 ) 3
( x 1)( x 3)( x 3)
2
(3) x 8 x 9
4 2
自主学习
《考纲》P17
代数式部分的知识结构图
1、把分母的根号化去,叫做分母有理化.
2、有理化因式. ：两个含有二次根式的非零代数式相 乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个含有二次 根式的非零代数式互为有理化因式.
找出有理化因式并把下列各式分母有理 化:
1 （1） 2 -1
(2)
3 3 1
1 (3) (4) 4 3 3 2
mn ( m n) m n
2 2
完全平方公式
(a b) a 2ab b
2 2
2 2 2
2
(1)(2 x 3 y )
(3)( 2a b)
(4)( 3a 2b)
因式分解法：把一个多项式化为几个整式乘积的形式
其中有提公因式法、直接开平方法、公式法、十字相乘 法，分组分解法
1 ） .3a 6ab 3a
2 3 3 8、计算： 3 3 2 3 3
3 2 3 2 9、已知x ，y 3 2 3 2 2 2 求：x 2 xy y 的值。
10、解不等式： 2 x 5 5x
自主检查
1、计算： (a ) (a)
6 2
2、计算： (a b 2) (a b 2)
双基热身
1、若单项式 8a b c是六次单项式，则 n( A、 6；B、 5；C、 4；D、 3
2、 (2a b)(2a b)是下列多项式 ( D )的分解结果 A、 4a 2 b 2；B、 4a 2 b 2；C、 4a 2 b 2；D、 4a 2 b 2
n 2
D
x取什么值时，下列分式 无意义？ x 1 (1) 2x
2
x5 (2) x2
约分：
把一个分式的分子与分母中相同的因 式约去的过程，叫做约分.
最简分式：
如果一个分式的分子与分母中没有相同 的因式（1除外），那么这个分式叫做最简 分式.
a a 1 (1) a 2 1 a a
3 2
x y 1 (2) y x xy 2 1 x x2 x2 (3)已知 x, 求 2 2x x2 x x2
)
3、下列分式中，是最简分 式的是(
x2 2a x 1 2x y A、 ；B、 ；C、 ；D、 2 xy xy 2x 2 2 xy y
B)
双基热身
1、下列根式中为最简二 次根式是(
C)
1 2 2 2 A、8；B、 ；C、 a 2ab；D、 a 2ab b 3 2、 2 3的一个有理化因式是 (C )
2 2
8、已知 x 2 x 2，
2
将( x 1) ( x 3)(x 3) ( x 3)(x 1)
2
先化简，再求它的值。
自主提高
《考纲》P20--21/B/1、2、3
小结与作业
1、《测试与评估》P/5—6（一面） 2、自主学习：
《数学学科基本要求》 P21---28/二次根式
(1)被开方数中各因式的指数都是1. 被开方数中的各因式是指因式分解和素 因数分解后的因式和因数.
(2)被开方数不含分母. 最简二次根式: 被开方数同时符合上述两个条件的二次 根式,叫做最简二次根式.
例题1
判断下列二次根式是不是最简二次 根式:如果不是把它化为最简二次根 式。
5a (1) 3
(2) 42a
2
2）x 4 y
2 2 2
2
3) x 5 x 6 4)a 2ab b 1
2
A 分式：两个整式A、B相除，即A B时，可以表示为 . B A 如果B中含有字母, 那么 叫做分式. B A叫做分式的分子 , B叫做分式的分母 .
下列式子中,哪些是整式?哪些是分式?:
4 x y xy x x 3 x y a 2b 3c
整式的乘法：
(1)(a 3)(b 5) (2)(3 x y)(2 x 3 y) (3)(a b)(a b)
乘法公式：平法差公式
(1)(2 x y)(2 x y) (3)( x 3 y)( x 3 y)
(a b)( a b) a b
2
2
(4)(2a b)(2a b)(4a b )
(1) a a a a
2 4 3 3 2
3
(2) ( x) x x x
m n mn a a a (m、n是正整数且m n, a 0). 2、同底幂的除法：
(1)a10 a 7 (2) x102 x102 3 6 3 4 (3)( ) ( ) 4 4
同类项 所有的字母相同,且相同字母的指数也相 同的单项式叫做同类项.
问题: 下列各组单项式是不是同类项?
(1)3 x y与2 y x (2)2a b 与 3b a
2 2 2 2 2 2
(3)2 xy与2 x (4)2.3a与 4.5a
m n 1、同底幂的乘法： a a
a
4
m n
(m, n都是正整数)
3
(3) 24 x
2
(4) 3(a 2a 1)(a 1)
2
1 (5) m 2 2 m
1 把二次根式 8a与 化成最简二次根式 2a
所得结果有什么相同之 处?
几个二次根式化成最简二次根式后，
如果被开方数相同，那 么这几个 被开方数相同 二次根式叫做 同类二次根式.
1 1、当x _____ 时，最简二次根式-5 2 x 3与2 5 x是同类二次根式 2
3、 一件工作，甲独做 a小时完成，乙独做 b小时完成， 甲乙两人合作完成需要 的时间是（ D ） 1 1 1 1 ab （A） （B） （C） （D） a b ab ab ab
4、 因式分解： （ 1 ）a 3 4a （2） 4a 1 b 4a
2 2
a(a 2)( a 2) (b 2a 1)(b 2a 1)
备用
x 4 1、 在分式 2 中，当x何值时， x x6 （ 1 ）分式没有意义？（ 2）分式的值为零？ x 2 x 3, x 2
2
2、 计算： 2 3 x 15 （ 1 ） 2 x 3 3 x x 9 3 a （2） a2 a 1 a 1
4 x3 1 a 1
A、 3；B、 2 3；C、 2 3；D、 2 3
3、 对于任意a、b总成立的是(
D)
A、 ( a b ) 2 a b；B、 a 2 b 2 a b C、 (a b) 2 a b；D、 (a 2 b 2 ) 2 a 2 b 2
4、计算： 2 2 3 (6 ) 12
在多项式中的每一个单项式叫做多项式的项.
常数项 不含字母的项叫做常数项.
次数 次数最高项的次数就是这个多项式的次数.
例题1
下列代数式中哪些是单项式?哪些 是多项式？
2a 5b ab 、 2a 3b、 4a b 、 7
2 3 2 4
单项式、多项式统称为整式。 下列哪些是整式
1 3 4 x y 3 8 x 05 x 7 4x 3 3 x y x7
2 o
5
2 5、已知：x ， 3 1 2 则x 2 x 2 4
自主检查
1、代数式 2 3 x有意义，则实数 x的取值范围
2、与 a是同类根式的是（
2 3
）
4
A、 2a；B、 3a ；C、 a ；D、 a
3、若x 0，化简 ( x 2) 2 3 x 等于（ A、 1；B、 1；C、 2 x 5；D、 5 2x
例题1
设x是实数,当x满足什么条件时,下列 各式有意义?
(1) 2 x 1 1 (3) x
( 2) 2 x ( 4) 1 x
2
a
2
a(a 0) a 0(a 0) a(a 0)
2
(1) (3 )
2
(2) x 2 x 1, 其中x 3.
2
2
3
4
4 2 (1) 3a 3a 2a b a b (2) a b 2b 2a 2x 6 (3) x 1 x 1
1.代数式 a (a 0)叫做二次根式读作根号 . a.