傅立叶(Fourier)变换
信号Fourier变换整理
傅立叶变换是一种很重要的算法，在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
在数字信号处理领域的应用尤其广泛。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的算法即为傅立叶变换。
傅里叶函数的三角函数级数表达式：直流系数余弦分量系数正弦分量系数下面是积分形式的傅里叶函数 (注: x 等同于t)()()()0()cos sin 11cos sin k k k k f x a kx b kx dka f x kxdxb f x kxdxππ∞∞∞-∞-∞=+==⎰⎰⎰复指数形式的傅里叶函数由欧拉公式，得到三角函数形式和复指数形式的傅里叶函数系数间关系：傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的。
傅里叶变换后，只不过是从频率的角度去理解。
傅里叶变换就是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。
它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
傅里叶变换表达式：ωωπωd e F t f tj ⋅=⎰∞∞-)(21)( dt e t f w F t j ωπ-∞∞-⋅=⎰)(21)()sin cos (2)(11101t n b t n a a t f n n n ωω++=∑∞=⎰+=100).(210T t t dtt f T a ⎰+=100.cos ).(211T t t n dt t n t f T a ωdtt n t f T b T t t n .sin ).(210011⎰+=ω1()(0,1,2,)jn t n n f t C e n ω∞=-∞==±±∑011011()t T jn tn t C f t e dtT ω+-=⎰0000C f d a ===1()2n j n n n n C C e a jb ϕ==-22212121nn n n n b a d f C +===1()(0,1,2,)jn tnn f t C en ω∞=-∞==±±∑下面图示一些例子，表明时域和频域的区别t()1()t f()ωF 1ωt21ω()π0t 2121-()t sgn 21ωt1()t uω()ωF ()πdt t df )(τE22τ2τ-tτE2-τE2τE2τE4-2τ2τ-22)(dtt f d t)(ωF 0ω22τE τπ22τ-2ττ2E τ-τt)(t f拉普拉斯变换，也是工程数学中常用的一种积分变换。
傅里叶积分变换
a. 线性性质
F f1 (t) f 2 (t) F1 ( ) F2 ( ) （1）
这个性质表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换 的线性组合。
证明：只需根据定义就可推出。 傅氏逆变换也具有类似的线性性质
F-1 F1() F2 () f1(t) f2 (t)
F ( ) (t) e jt dt 1
所以单位脉冲函数的频谱
F() 1
(t)及其频谱图表示在图1-11中。
图1-11
同样，当 f (t) (时t ，t0 )
F (。 ) e jt0
而f ( t )的振幅频谱为
F() 1
在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数，它们 的频谱求法，可通过查用傅氏变换（或频谱）表来求得。
f (t) F-1 F ()
1
2
1
j
( )e jt d
1
( )e jt d
1
sin td
2
2
1 1 sin td
2 0
由于
sin
0
t d
0,
t 0;
cos t sin t
0
2 2
d
2
,
t 0;
e t , t 0
4．单位脉冲函数（狄拉克---Dirac函数）
设
0 ,
(t )
1
t 0 或 t , 0t
定义单位脉冲函数为
傅里叶尺度变换
傅里叶尺度变换傅里叶尺度变换（Fourier Scale Transform）并不是一个标准的术语，可能您是想询问关于傅里叶变换（Fourier Transform, FT）或者尺度空间理论（Scale-Space Theory）中的某些内容。
因为傅里叶变换是一种广泛应用的数学工具，用于将信号从时域转换到频域，而尺度空间理论则是关于如何通过改变观察的尺度来分析信号或图像的理论。
一、傅里叶变换概述傅里叶变换是一种在数学、物理和工程领域广泛应用的工具，用于分析信号的频率成分。
简单来说，傅里叶变换可以将一个信号分解成一系列正弦波和余弦波的组合，这些波的频率和振幅不同。
通过这种方式，我们可以了解信号中各个频率成分的强度，从而更好地理解信号的特性。
二、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，这些性质使得它在信号处理中非常有用。
一些关键的性质包括：1．线性：如果两个信号分别进行傅里叶变换后再相加，其结果与将这两个信号先相加再进行傅里叶变换是相同的。
2．平移性：时域信号的平移会导致频域信号的相移，反之亦然。
3．微分性：时域信号的微分在频域中表现为乘以角频率。
4．卷积定理：时域中的卷积对应于频域中的乘积，反之亦然。
三、尺度变换与傅里叶变换尺度变换通常指的是观察同一对象在不同尺度下的表现。
在图像处理中，尺度变换通常与图像的缩放、模糊和细节提取等操作有关。
虽然傅里叶变换本身不直接涉及尺度变换，但它可以与尺度空间理论相结合，用于分析图像在不同尺度下的特性。
在尺度空间理论中，一个常见的方法是使用高斯核来对图像进行平滑处理。
高斯核具有不同的尺度参数，通过改变这些参数，我们可以得到图像在不同尺度下的表示。
这些表示可以用于提取图像的特征、检测边缘和纹理等任务。
傅里叶变换在高斯尺度空间中的应用主要表现在两个方面：1．快速卷积：傅里叶变换可以用于加速高斯核与图像的卷积操作。
通过将图像和高斯核都转换到频域，我们可以在频域中进行简单的乘积操作，然后再通过逆傅里叶变换回到时域，从而得到平滑后的图像。
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
傅里叶积分与变换
t≠0 ⎧ f (t ), = ⎨ −1 ⎩ 2 [ f ( − 0) + f ( + 0)], t = 0
问题：
傅氏变换后再作傅氏变换会得到什么？
对 fˆ ( ω ) 再 作 一 次 傅 氏 变 换 , ( 1 ) . 当 − t 为 f ( t )的 连 续 点 时 , +∞ ˆ ˆ ( ω ) e − jω t d ω ˆ ( ω ) = F [ fˆ ( ω )] = f ∫ f
1 ˆ ˆ g (ω ) = fˆ ( ω ) = f ( − ω ) 2π
⎧1, | ω |≤ a =⎨ ⎩ 0, | ω |≤ a
重 要 积 分 (狄 利 克 雷 积 分 )： +∞ sin ω π ∫0 ω d ω = 2
事 实 上 ,只 要 在 下 面 结 论 中 取 t = 0, a = 1 ⎧π / 2, +∞ 1 ⎪ ∫0 ω sin aω cos ω td ω = ⎨π / 4, ⎪ 0, ⎩ | t |< a | t |= 0 | t |> a
f (t )e
− jω t
dt
=∫ e
− jω t
= −( jω)
=
−a a −1
dt
− jωt
2 sin aω
∫
−a
e
d(− jωt)
ω
(2)由 傅 氏 积 分 定 理 有
+∞ 1 fˆ ( ω ) e F [ fˆ ( ω ) ] = ∫−∞ 2π +∞ 2 s in aω 1 jω t e dω = ∫−∞ 2π ω −1 jω t
−βt
解： 定 义 有 由
fˆ ( ω ) =
∫
+∞ −∞
傅里叶正变换
傅里叶正变换傅里叶正变换（Fourier Transform）是数学中的一个重要概念，它在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将深入探讨傅里叶正变换的原理和应用。
傅里叶正变换是一种数学运算，它将一个函数分解成一组正弦和余弦函数的和。
具体来说，对于一个函数 f(t)，它的傅里叶正变换F(ω) 可以表示为：F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt其中，ω是频率，e是自然对数的底。
这个公式的意义在于，它将一个时域的函数转换成了频域的函数，从而可以分析函数在不同频率下的成分。
### 傅里叶正变换的应用傅里叶正变换在信号处理中有着广泛的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号分解成不同频率的成分，从而可以对信号进行滤波、降噪等处理。
在音频处理中，傅里叶变换可以用来分析音频信号的频谱特性，从而实现音频的压缩、增强等功能。
在图像处理中，傅里叶变换也有着重要的作用。
通过对图像进行傅里叶变换，我们可以将图像转换成频域的表示，从而可以实现图像的滤波、增强、压缩等功能。
傅里叶变换在图像处理中的应用非常广泛，几乎所有的图像处理算法都会涉及到傅里叶变换的概念。
除了信号处理和图像处理，傅里叶正变换还在物理学和工程学中有着重要的应用。
在物理学中，傅里叶变换可以用来分析波动现象、量子力学等问题。
在工程学中，傅里叶变换可以用来分析电路、通信系统等问题。
总的来说，傅里叶正变换是一种非常强大的数学工具，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过傅里叶变换，我们可以更好地理解和分析信号、图像、物理现象等问题，从而实现更高效、更精确的处理和分析。
希望通过本文的介绍，读者能对傅里叶正变换有一个更深入的了解，并在实际应用中发挥其作用。
详解傅里叶变换公式
详解傅里叶变换公式傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将时域信号转换到频域信号的数学方法。
它可以将一个信号分解为不同频率的正弦波之和，从而揭示信号的频率结构。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信、物理学等领域具有广泛的应用。
首先，我们要理解时域（Time Domain）和频域（Frequency Domain）的概念。
1. 时域：在时域中，信号表示为时间轴上的函数，例如：```f(t) = A * cos(2 * π* t) + B * sin(2 * π* t)```在这个例子中，f(t) 是一个正弦波函数，t 是时间。
2. 频域：在频域中，信号表示为频率轴上的函数，例如：```F(ω) = A * cos(2 * π* ω) + B * sin(2 * π* ω)```在这个例子中，F(ω) 是一个正弦波函数，ω是频率。
傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，公式如下：```F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^(-jωt) dt```其中，F(ω) 是频域信号，ω是频率，t 是时间，j 是虚数单位，e 是自然对数的底数。
傅里叶变换的逆变换公式如下：```f(t) = ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^(jωt) dω```现在，我们来通过一个简单的例子来说明傅里叶变换。
假设我们有一个正弦波信号，如下所示：f(t) = A * sin(2 * π* t) + B * sin(2 * π* t + π/4)```我们可以使用傅里叶变换将其转换为频域信号，如下所示：```F(ω) = A * cos(2 * π* ω) + B * cos(2 * π* ω+ π/2)```通过傅里叶变换，我们可以看到信号中包含的主要频率成分。
例如，在这个例子中，我们可以看到信号主要包含两个频率成分：一个是A = 1，ω= π/2 的正弦波，另一个是B = 1，ω= π/4 的正弦波。
常用的傅里叶变换
常用的傅里叶变换
傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
常用的傅里叶变换包括：
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）：用于对离散信号进行频域分析，将时域信号转换为频域信号。
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）：是计算离散傅里叶变换的一种高效算法，能够快速地计算离散信号的频谱。
傅里叶级数（Fourier Series）：用于将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的和，常用于分析周期性信号的频谱成分。
傅里叶变换（Fourier Transform）：用于对连续信号进行频域分析，将连续时域信号转换为连续频域信号，包括傅里叶正变换和傅里叶逆变换。
这些傅里叶变换在实际应用中起着重要作用，能够帮助我们理解信号的频域特性，进行滤波、压缩、频谱分析等操作。
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Fourier 变换积 分 变 换变换是数学的灵魂．我们经常利用变换把复杂运算转化为简单运算．例如，解析几何中的坐标变换、复变中的保角变换，四则运算中利用对数变换可将积与商转化为加与减： ,lg lg )lg(b a ab +=b a balg lg lg-=． 再取反对数变换复原． 积分变换B A T → :， dt t K t f F f T ba ⎰==) ,()()()(αα，A t f ∈)(——象原函数，B F ∈)(α——象函数，) ,(αt K ——核． 它实现了从函数类A 到函数类B 的变换．在一定条件下可逆．积分变换是应用性很强的数学工具，在数学和其它学科中均有应用． 主要应用：a ．求解线性微分方程(组)；b ．信号处理．第一章 Fourier 变 换 §1.1 Four ier 积 分设)(t f T 为周期函数且以Ｔ为周期，在 ]2T,2 [T - 满足Dirichlet 收敛条件，即：01 连续或只有有限个第一类间断点；02 只有有限个极值点．则在]2T ,2 [T - 的连续点t 处，有) sin b t cosn (a 2)(1 n n 0∑+∞=++=n T t n a t f ωω 其中 T πω2=，2T ,2==l T l ， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰--2222) 3, 2, 1,(n , sin )(2) 3, 2, 1, 0,(n , cos )(2T T T n T T T n tdt n t f T b tdt n t f T a ωω 利用Euler 公式，转化成复数形式： )(21cos ϕϕϕj j e e -+=，)(21sin ϕϕϕj j e e j --=， ∑+∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=1 t n j n t n j n 0e 2a e 2a 2)(n n n T jb jb a t f ωω (1) 记⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-===⎰⎰⎰⎰⎰-------22 22 22222200,)(12,)(1 sin )( cos )(12 ,)(12T Tt n j T n n n n T T tn j T T T T T T T n n n T T T dt e t f T c jb a c dt e t f T tdt n t f j tdt n t f T jb a c dt t f T a c ωωωω) 3, 2, ,1( =n ． 可合写成：Z)(n ,2n ,)(122 ∈===⎰--Tn dt e t f T c n T T tn j T n ωωωω．代入(1)得：[]∑∑+∞∞-=+∞=--=++= tj n1tj tj n 0ec eec )(n n n T n n n c c t f ωωω ——Fourier 级数的复数形式．∑⎰+∞∞-=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t j 22 T e )(f 1)(n T T j T n n d e Tt f ωτωττ， (2)．设)(t f 为非周期函数，) ,(∞-∞∈t ． 作周期0>T 的函数：]2T,2T [t ),()(-∈=t f t f T ． 则(2) )(lim )( 式t f t f T T ∞+→= =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑⎰+∞∞-=--∞+→ t j 22 T e )(f 1 lim n T T j T n n d e T ωτωττ，即有： ),( t , )(f 21)( ∞+-∞∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰+∞∞-+∞∞--ωττπωωτd e d e t f t j j ，(3) 称为Fourier 积分公式， 它成立的条件为：Fourier 积分定理． 若)(t f 在 ) ,(∞+-∞上满足：01 )(t f 在任一有限区间上满足Dirichlet 条件； 02dt t f )(⎰+∞∞-收敛，即)(t f 绝对可积． 则在Cauchy 主值意义下，广义积分(3)在连续点t 处成立．（在间断点t 处，公式 (3)右边收敛于 )]0()0([21++-t f t f ）． 广义积分的收敛：⎰⎰⎰⎰⎰∞+→∞-→+∞∞-+∞∞-+=+=BB AA dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0)(lim)(lim)()()(； (高等数学)按Cauchy 主值意义收敛：⎰⎰-∞+→+∞∞-=AAA dt t f dt t f C )(lim)()(．例如：+∞∞-+∞∞-+∞∞---=+=⎰⎰⎰0 00 0cos cos sin sin sin t t tdt tdt tdt ， 发散；00 lim sin limsin )( ===∞+→-∞+→+∞∞-⎰⎰A AAA tdt tdt C ， 收敛．公式(3)可化为三角形式：ωττπτωd d e f t f t j ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(21)() ( )(sin )()(cos )(21偶、奇函数关于ωωττωτττωτπd d t f j d t f ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-= ωττωτπd d t f )(cos )(1⎰⎰+∞+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωτωωτωτπd d t f ⎰⎰+∞+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅=)sin t sin cos )(cos (1(两角差公式)． 若)(t f 是奇函数，有 ωωτωττπd d f t f t sin )sin()(2)(00 ⎰⎰+∞+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡=， （Four ier 正弦积分公式）； (4)若)(t f 是偶函数，有 ωωτωττπd d f t f t cos )cos()(2)(00 ⎰⎰+∞+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡=， （Four ier 余弦积分公式）． (5)注：若)(t f 仅在 ），∞+ 0[上有定义，可采用类似于Fourier 级数中的奇延拓或偶延拓方法，得到)(t f 相应的Fourier 正弦积分展开式或Fourier 余弦积分展开式．§1.2 Fourier 变换 1．Fourier 变换设)(t f 满足Fourier 积分定理条件，则在连续点处，有ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=． 记)]([)()( t f F dt et f F tj ∆+∞∞--==⎰ωω——)(t f 的Fourier 变换式．)]([F )(21)(1 ωωωπωF d eF t f tj -∆+∞∞-==⎰——)(ωF 的Fourier 逆变换式或)(t f 的积分表达式．)(t f ——象原函数 )(ωF ——象函数t j e t K ) ,(ωω-=——Fourier 变换核A B )()(ωF t f F−→← 称为Fourier 变换对当)(t f 为奇函数时，由(4) 式，称⎰+∞==0tdt f(t)sin )]([)(ωωt f F F s s 为)(t f 的Fourier 正弦变换式； 称⎰+∞-==0s 1 td )sin (F 2)]([)(ωωωπωs sF F t f 为)(ωF 的Fourier 正弦逆变换式．当)(t f 为偶函数时，由(5) 式，称⎰+∞==0tdt f(t)cos )]([)(ωωt f F F c c 为)(t f 的Fourier 余弦变换式； 称⎰+∞-==0c 1 tdt )cos (F 2)]([)(ωωπωc cF F t f 为)(ωF 的Fourier 余弦逆变换式．例1．求 ⎩⎨⎧≥<≤=1 t ,0 1t 0,1)(t f 的Fourier 正弦变换和余弦变换．解：先将)(t f 进行奇延拓，得)(t f 的Fourier 正弦变换为⎰⎰-====+∞1cos 1 sin tdt f(t)sin )]([)(ωωωωωtdt t f F F s s ， ) ,(∞+-∞∈ω；再将)(t f 进行偶延拓，得)(t f 的Fourier 余弦变换为⎰⎰====+∞1sin cos tdt f(t)cos )]([)(ωωωωωtdt t f F F c c ， ) ,(∞+-∞∈ω．例2．求指数衰减函数0)( 0t ,0 t ,0 )( >⎩⎨⎧≥<=-ββt e t f 的Fourier 变换及积分表达式．解：⎰⎰⎰+∞+-+∞∞-∞--+===t)j (0 e0 )()]([)(dt dt dt et f t f F F tj ωβωω∞+==--⋅+-=t 01t tj t e e j ωβωβ221ωβωβωβ+-=+=j j ． ⎰⎰⎰∞++∞∞-+∞∞--++=⋅+-=== 022 22 1sin cos 121 )(21)]([)(ωωβωωωβπωωβωβπωωπωωωd tt d e j d eF F F t f t j tj ．由Fourier 积分定理得到 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==++-<=++⎰∞+0 t ,e 0 t ,2)]00()00([20t ,0sin t cos t0 22βπππωωβωωωβ－f f d t ． 例3．求 1t ,01t ,)(⎪⎩⎪⎨⎧>≤=A t f 的Fourier 变换． 解：)(0 0 )()(1 t 1 t t 111t1 ωωωωωωωωj j j j tj e e j A e j A dt dt Aedt dt et f F -=-=-+∞--+∞∞--∞---=-=++==⎰⎰⎰⎰ ) ,( ,sin 2∞+-∞∈=ωωωA ．2．单位脉冲函数及Fourier 变换在物理、力学、电工学中，常遇到单位脉冲函数．这类函数与具有脉冲性质的现象有关．如在电流为０的电路中，0=t 瞬时进入一单位电量脉冲，电量函数为 ⎩⎨⎧=≠=0 t ,10t ,0)(t q ．电流)()(t q t i '=． 当 t = 0， ∞=-=--=→→t 1lim 0t q(0)q(t)lim )0(00t t i 不存在． 称电流函数)(t i 为Dirac 函数或 -δ函数，记⎩⎨⎧=∞≠==∆0 t ,0t ,0)()(t i t δ （物理定义或形式定义）．)t)(t δ的数学定义：用 ) ,(∞+-∞∞C ) ,(∞+-∞表示定义于 上的无穷次连续可微函数的全体，作 0)(,0 ][0, t ,1)(>⎪⎩⎪⎨⎧∈=εεεδε其它t ． )(t δ 是一个广义函数，)(t δ*)] ,([∞+-∞∈∞C (共轭空间)， 它是{}0 > εεδ 的 *W 极限：)( lim W )(0t t εεδδ+→*，即⎰⎰+∞∞-+∞∞-+→=dt t f t dt t f t )()( lim )()( 0εεδδ⎰⋅=-+→εεε0 10)( lim dt t f)0()( lim 1 0f f =⋅=-+→θεεεε0 )(==t t f ， ) ) ,(f(t) ,10 (∞+-∞∈∀≤≤∞C θ． (a)一般地，0t00 00 t x t 00)()()()()( t t x )()(=+∞∞-=+∞∞-+===+=+-=-⎰⎰t x t f t f t x f dx t x f x dt t f t t δδ，(为常数 0t )． (b))(t δ在(a) 中，取⎰+∞∞-==1(t)dt ,1)(δ则t f ．又称)(t δ 为单位脉冲函数．图形： 1)(t δ的Fourier 变换： 0 t⎰+∞∞-=--====1)()]([)(0tt t j j e dt e t t F F ωωδδω，0 0t t tt 00 )()]([ωωωδδj t j j e e dt e t t t t F -+∞∞-=--⎰==-=-，即1)(−→←F t δ， 0t 0 )(ωδj Fe t t -−→←-．在实际中，有些函数非绝对可积，如常数、符号函数、单位跳跃函数、正弦函数、余弦函数等，它们的广义Fourier 变换存在．根据 )()(ωF t f ↔，可通过广义Fourier 逆变换来推导某些函数的广义Fourier 变换．例1．证明：单位跳跃函数 ⎩⎨⎧<>=0t ,00 t ,1)(t u 的Fourier 变换为 )(1)(ωπδωω+=j F ． 证： ωωπδωπωωd e j F F t f j t 1)](1[21)]([)(⎰+∞∞--+== ωωωωωπωωδωd j t j d e j t sin cos 1 21 )(21 t⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=u(t) 0t 0t ,02121xsinx 121 ,12121x sinx 121 t x t sin 1210 0 0 x / t =⎪⎭⎪⎬⎫<>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+=⋅+=+=+=⎰⎰⎰∞+∞-∞+=ππππππωωωωπωdx dx d ∴)(1)()]([ωπδωω+==j F t u F ． Dirichlet 积分： ⎰+∞=02x sinx πdx ． 同理可得： (a) 令),(2)(ωπδω=F 则1)(221)]([)( t1=⋅==⎰+∞∞--ωωπδπωωd e F F t f j ， 即 )(21ωπδ−→←F，且 ⎰+∞∞--==)(2]1[ t ωπδωdt e F j ．(b) 令 ),(2)(0ωωπδω-=F 则 t tt 0 00)(221)(ωωωωωωωωπδπj j j e e d e t f ==⋅-==+∞∞-⎰，即)(20 0ωωπδω-−→←Ftj e， 且⎰+∞∞----=)(20 t) (0ωωπδωωdt ej ．例2．求 ) ( cos )(00为常数ωωt t f = 的Fourier 变换． 解：⎰⎰+∞∞-∞+∞----+=⋅= t 0)(21 cos )(0 0 dt e e e dt et F j t j t j tj ωωωωωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞+∞-∞+∞-+--- )( )(00 21dt e dt e t j tj ωωωω) ,( )],()([)](2)(2[210000∞+-∞∈++-=++-=ωωωδωωδπωωπδωωπδ． 同理，][sin 0t F ω⎰∞+∞----= t )(2j1 0 0 dt e e e j t j t j ωωω)]()([ 00ωωδωωδπ--+=j ．3．函数的频谱（Fourier 变换的物理意义）频谱理论在无线电技术、声学、振动学中有重要应用，它与Fourier 变换有密切关系． (A) 若)(t f 是周期为T 的函数，可展开成∑∑∑+∞=+∞-∞=∆+∞==++=++=1 010 )sin(2)sin cos (2)(n n tj n n n n n n n n n n e c t A a t b t a a t f ωϕωωω，（其中 ⎰===-=+=-T 0 n j n 222 ,e f(t)12c ,n Tn n dt T jb a b a A tn n nnn πωωω）． 其第n 次谐波)sin(n n n t A ϕω+， 振幅 n n n n c b a A 222=+=，) 3, 2, 1, ,0( =n ．称n A 为)(t f 的（振幅）频谱，图形 n A ω－是频谱图． 这是离散频谱图．例如：周期T 的矩形脉冲函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=2 2 ,0 2t ,)(T t E t f ττ， E2T-2τ- 0 2τ 2T⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======⎰⎰⎰⎰------,2sin 1 )(1,1)(12 2 t 22 2 2 220πτπτττωωττn n E dt e E T dt e t f T c T E Edt T dt t f T c jn T T t jn n T T ) 3, 2, 1,( ±±±=n ． Fourier 级数：tjn n n e T n n E T E t f 0 , sin)(ωπτπτ∑+∞≠-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 频 谱：TE c A τ2200==，N)(n ,sin 22∈==T n n E c A n n πτπ． 当τ4=T 时，20E A =， 2n ,4sin 2n τπωππ==n n E A n ． A 频谱图：2E．．． ． ． ． ． ． ω)(t fτπ2τπ22τπ23τπ24τπ25τπ26τπ27τπ28τπ29τπ210(Ｂ) )(t f 是非周期函数，满足Fourier 积分定理的条件，则有Fourier 变换⎰+∞∞--=dt et f F tj )()(ωω，⎰+∞∞-=ωωπωd e F t f t j )(21)(．在频谱分析中，称 )(ωF 为)(t f 的频谱函数，模)(ωF 称为)(t f 的（振幅）频谱．其图形称为频谱图．这是连续频谱图．频谱)(ωF 是偶函数：⎰+∞∞--=dt et f F tj )()(ωω＝⎰+∞∞-tdt t f cos )(ω⎰+∞∞--dt t f j t sin )(ω，∴2122 sin )( cos )()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰∞+∞-∞+∞-tdt t f tdt t f F ωωω 为偶函数． 例1．作单个矩形脉冲函数的频谱图． 解：频谱函数 ⎰+∞∞--=dt et f F tj )()(ωω2sin2e 22tj ωτωττωEdt E ==⎰--频谱 2sin12)(ωτωωEF =， ) ,(∞+-∞∈ω． 2τ-2τtωτπ6-τπ4-τπ2- 0τπ2τπ4τπ6例2．作单位脉冲函数)(t δ的频谱图．解：频谱函数：1 )()( ==⎰+∞∞--dt e t F t j ωδω， 频谱： 1)(=ωF ， ) ,(∞+-∞∈ω．频谱图：§1.3 Fourier 变换的性质假设以下需求Fourier 变换的函数均满足Fourier 积分定理的条件．1．线性性质αβα=+)]( )( [21t f t f F )]([1t f F +β)]([2t f F ， （象原函数）；1-F αωβωα=+)]( )( [21F F )(1t f +β)(2t f ， （象函数）； ) 2 1,i )],([)(F ,(i ==t f F i ωβα为常数，．2．位移性质)]([)]([0 0t f F e t t f F t j ⋅=±±ω，（象原函数）；1-F )]( [0ωω F t j e t f 0)(ω±⋅=，（象函数）； ) ,(00为复常数ωt ．证：du e t t u dt e t t f t t f F t u j t u t tj ) ( 0 0000f(u) )()]([ ωω-+∞∞=-+∞∞-⋅±=⋅±=±⎰⎰－⎰+∞∞--±⋅=du e u f eu j t j )(0ωω)]([0 t f F e t j ⋅=±ω；1-F )]( [0ωω F tj et f 0)(ω±⋅=．例1．求 ⎩⎨⎧<≥=00t t ,0t t ,1)(t f 的频谱函数)]([t f F ．解：)(j 1F[u(t)] ),()(0ωπδω+=-=t t u t f ， ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==-=--)(j 1eF[u(t)])]([)(0t j 0ωπδωωωωt j et t u F F ． 3．微分性质 若0f(t) lim =+∞→t ，则 )]([ )]([t f F j t f F ω='， （象原函数）； )]([)(t f jt F F ⋅-='ω， （象函数）．证：)]([)() ()()()()]([ t t f F j dt e t f j et f t df edt et f t f F t j t t j tj tj ωωωωωω=⋅--==⋅'='⎰⎰⎰+∞∞--+∞=-∞=-+∞∞--+∞∞--；[]⎰⎰+∞∞--+∞∞--⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡='dt e t f jt dt e t f d d F j j t t )()()()(ωωωω)]([t f jt F ⋅-=． 推论：若 0(t)f lim (k )=∞+→t ， )1n , 2, 1, ,0(-= k ， 则 )]([ )()]([)(t f F j t f F n n ω=，（象原函数）； )]()[()()(t f jt F F nn ⋅-=ω，（象函数）．（利用数学加纳法可证之）． 例⎰⎰+∞∞-±±=+∞∞-⋅=⋅=due u F u d eF t u j j ) ( u 0 t000)(21)(21ωωωωπωωωωωπ1．)( 2])(2[]1[]1[][ωδπωπδω'='==⋅-=j j F d dj jt jF t F ； ) 1)( (=t f 取 )( 2])(2[]1[]1)[(][22222ωδπωπδω''-=''-=-=⋅-=F d d jt F j t F ． 广义导数)(t δ'的含义：)0()()()()()()()()(f dt t f t t t f t d t f dt t t f '-='-=='⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-δδδδ；同理，) ,(C f(t) ),0()1()()()()(∞+-∞∈∀-=∞+∞∞-⎰n n n f dt t t f δ．4. 积分性质 若0(t)dt f =⎰+∞∞-， 则)]([ 1)( t f F j dx x f F t ω=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰∞-． 证：记 dx x f t g t)()( ⎰∞-∆=， 则0)g( ),()(=-∞='t f t g ，0)()(==+∞⎰+∞∞-dx x f g ， 由一阶微分性质得 F[g(t)] j )]([)]([ω='=t g F t f F ， F[f(t)]j 1)]([ω=t g F ． 5．乘积定理 记21,i )],([)(==t f F F i i ω，则ωωωπωωωπd F F d F F dt t f t f )()(21)()( 21)()(212121⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-．证：ωωπωωπωωd dt e t f F dt d eF t f dt t f t f j j )()(21)(21)()()( t 12 t2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-ωωωπd F F )()(2112⋅=⎰+∞∞-．6．能量积分记)]([)(t f F F =ω， 则 ωωπd F dt t f 22)(21)]([⎰⎰+∞∞-+∞∞-= ——Parseval 等式．证：在乘积定理中，取 )()()(21t f t f t f ==，可得．38P 习题三．2． 对称性质： 若)]([)(t f F F =ω， 证明：⎰+∞∞--±==±)f( 2t)]F[F( ,)(21)( t ωππωω 即dt e t F f j ．证：⎰⎰+∞∞-+∞∞--=±==±sd e s F dt et F f j j s st t)(21t s )(21)(ωωππω⎰+∞∞--==右边dt e t F j t )(21ωπ．3．相似性质： 若)]([)(t f F F =ω，0≠a ， 证明：)F( 1t)]F[f(aa a ω=． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⋅>⋅==⎰⎰⎰∞-∞+-∞+∞--∞+∞--0a ,)(a10a ,)(a1 at s )(t)]F[f( t ds e s f ds e s f dt e at f a a js ajs j ωωω证： ⎰+∞∞--=ds es f ajs a)(1ω)F( 1aaω=．§1.4 卷积与相关函数卷积与相关函数是频谱分析中的重要概念，是分析线性系统的有用工具． 1. 卷积(1) 卷积概念点积：)()()()(2121t f t f t f t f ⨯=⋅ （点点相乘）．卷积：) ,( t ,)()(f ))(()()(212121∞+-∞∈-=*=*⎰+∞∞-∆τττd t f t f f t f t f ． (这里)()(21t f t f 、 绝对可积，右端广义积分收敛) 性质：(a) 交换律：)()()()(1221t f t f t f t f *=*；(b) 分配律：)()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+*； (c) 结合律：)]()([)()()]()([321321t f t f t f t f t f t f **=**． 证：(a))()()(f t x )()(f )()( 21 xt 2121dx x f x t d t f t f t f ---=-=*⎰⎰∞-∞+-=+∞∞-τττττdx x t x f ⎰+∞∞--=)(f )( 12)()(12t f t f *=．(b)、(c) 略．例1．设 ⎩⎨⎧≥<=0 t ,10 t ,0)(1t f ， ⎩⎨⎧≥<=-0 t ,0 t ,0 )( 2t e t f ， 求 )()(21t f t f *．解：) ,( t ,)()(f )()(2121∞+-∞∈-=*⎰+∞∞-τττd t f t f t f ．要使被积函数不为0，必须t t ≤≤⎩⎨⎧≥-≥τττ0 ,0即． 故t ,1)(e d e 10 t 0,0d )()( 00 0 )(t 21⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-==⋅<==*⎰⎰⎰-----+∞∞-t t t t t t e e e e d e t f t f τττττ．例2．50P 习题四．1(8)．证明：)()()(00t t f t t t f -=-*δ． 证明：)()()()()()()()(0 t 0000t t f t f d t f t t f t t t t t f -=-=--=*-=-*=+∞∞-⎰τττττδδδ． 2．若)()( ,sin )()( ,)()(212 1t f t f t t u t f e t u t f t a *==-求．解：) ,( t ,)()()()( 2121∞+-∞∈-*=*⎰∞+∞-τττd t f f t f t f ． t 0 0≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≥τττt ． 当 0<t ，00)()()()( 2121==-=*⎰⎰∞+∞-∞+∞-ττττd d t f f t f t f ；当≥t ，⎰⎰⎰⎰---+∞--∞--=+⋅+=*tj j t a tt a d e e e j d d ed t f t f 0t 0)( )(012 ][210 sin 0)()(τττττττττ1 cos sin e e 2e e2 2a 0) j (a 0) j (a t0 t 0 ) j (a ) j (a ++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--+--+-⎰⎰a e t t a j a j a j e d d j e t tt ta ta ττττττ．(2) 卷积定理（5．卷积性质）设)()(21t f t f 、满足Fourier 积分定理条件，2) 1,i ( )()]([==ωi i F t f F ， 则 )()(F )]()([2121ωωF t f t f F ⋅=*， 即 )()()]()(F [F 21211t f t f F *=⋅-ωω． 证：dt e d t f f dt et f t f t f t f F j j t 21 t2121)()()]()([)]()([ωωτττ-+∞∞-+∞∞-+∞∞--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*=*⎰⎰⎰ττττωτωd dt e t f ef t j j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=⎰⎰+∞∞---+∞∞--)( 2 1)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰+∞∞--+∞∞--+=dx e x f d e f x j j 2 1 x t )( )( t x ωτωττττ)()(F 21ωωF ⋅=．6．乘积性质设)n , 2, 1,i ( ,)]([ )( ==∆t f F F i i ω 存在， 则)(F )()(F 21)](f )()([n 211n n 21ωωωπ***⎪⎭⎫⎝⎛=⋅⋅⋅- F t t f t f F ．小结： Fourier 变换的七条常用性质：线性性质、位移性质、微分性质、积分性质、卷积性质、乘积性质、相似性质． 例3．求变换．的及Fourier tu(t) e ),( t j 00ωδt t -解：由位移性质，00 t t 0)]([)]([ωωδδj j e t F e t tF --=⋅=-．由于)(2]1[ωπδ=F ，由象函数的位移性质有)(2)(2]1e []F[e 0 t j t j 00 0 ωωπδωπδωωωωω-==⋅=-=F ．由于)(1)]([ωπδω+=j t u F ， 由一阶微分性质有 '⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⋅-=)(1)]([)]([)]( [ωπδωωj j t u F d d j t u jt jF t u t F )( 12ωδπω'+-=j ．。