第五节 二项式定理
二项式定理5(PPT)2-2
定理
(b) n= （n ）,这个公式表示的定理叫做二项式定
理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的展开式 ，
其中 Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
叫做二项展开式的通项， 通项是指展开式的第 r+1 项，
展开式共有 n+1 个项.
定理
剖
1.系数规律：
析
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n降到0，
第二项b的次数由0升到n.
3.项数规律： 二项和的n次幂的展开式共有n+1个项
4.展开式中的每一项都来自于n个括号的各个 括号.
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行星，在赤道的半径是,9.7公里。水星甚至比一些巨大的天然卫星，比如甘尼米德（木卫三）和泰坦（土卫六）还要小——虽然质量较大。水星由大约7%的金属和%的硅酸盐材料组成，水星的密度是.7克/cm，在太阳系中是第二高的，仅次于地球的.克/cm。如 果不考虑重力压缩对物质密度的影响，水星物质的密度将是最高的——未经重力压缩的水星物质密度是.克/cm，相较之下的地球物质只有.克/cm。从水星的密度可以推测其内部结构的详细资料。地球的高密度，特别是核心的高密度是由重力压缩所导致的。水 星是如此的小，因此它的内部不会被强力的挤压。所以它要有如此高的密度，它的核心必然很大。地形地貌美国发射的“水手号”在97年月、9月和97年月探测了水星，并向地面发回多张照片，为我们了解水星提供了珍贵的信息。从照片上我们看出，水星的外 貌酷似月地球，有许多大小不一的环形山，还有辐射纹、平原、裂谷、盆地等地形。水星，近景水星，近景(张)水星的守护神是古希腊赫菲准托斯，表面很像月球，满布着环形山、大平原、盆地、辐射纹和断崖。97年，国际天文学联合会开始为水星上的环形 山命名。水星表面上有着星罗棋布的大大小小的环形山，既有高山，也有平原，还有令人胆寒的悬崖峭壁。据统计，水星上的环形山有上千个，这些环形山比月亮上的环形山的坡度平缓些。水星表面平均温度约K，变化范围从9-7K，是温差最大的行星。白天太 阳光直射处温度高达7℃，夜晚太阳照不到时，温度降低到-7℃。可以比较一下地球，地球上的温度变化只有K（这里只是太阳辐射能量，不考虑“季节”，“天气”）。水星的表面的日照比地球强8.9倍，总共辐照度有9.W/㎡。令人惊讶地是，在99年所进行的 雷达观察显示，水星的北极有冰。一般相信这些冰存在于阳光永无法照射到的环形山底部，由于彗星的撞击或行星内部的气体冒出表面而积累的。由于没有大气调节，这些地方的温度一直维持在零下8华氏度（约合-7摄氏度）左右。水星的表面表现出巨大的急 斜面，有些达到几百千米长，三千米高。有些横处于环形山的外环处，而另一些急斜面的面貌表明他们是受压缩而形成的。据估计，水星表面收缩卡路里盆地卡路里盆地了大约.%（或在星球半径上递减了大约千米）！水星表面受到无数次的陨石撞击，到处坑 洼。当水星受到巨大的撞击后，就会有盆地形成，周围则由山脉围绕。在盆地之外是撞击喷出的物质，以及平坦的熔岩洪流平原。此外，水星在几十亿年的演变过程中，表面还形成许多褶皱、山脊和裂缝，
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容。
在高考中，二项式定理的命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。
因此，复时要正确理解二项式定理、二项展开式的概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键。
同时，注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。
其中，非标准二项式定理求解特殊项的问题是难点问题。
二项式定理的公式为(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+。
+C(n,k)*a^(n-k)*b^k+。
+C(n,n)*b^n，其中n∈N*。
展开式的第k+1项为C(n,k)*a^(n-k)*b^k。
在求二项展开式的特定项问题时，实质上是考查通项T(k+1)=C(n,k)*b的特点。
一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解。
注意k的取值范围为k=0,1,2，…，n。
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解。
二项式系数是二项展开式中各项的系数，记为C(n,k)。
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等。
二项式系数具有对称性，在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C(n,k)=C(n,n-k)。
二项式系数的增减性与最大值是：当k(n+1)/2时，二项式系数逐渐减小。
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大。
各二项式系数的和等于2，即C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C(n,0)+C(n,2)+…=C(n,1)+C(n,3)+…=2^(n-1)。
在高考中，常涉及多项式和二项式问题，主要考查学生的化简能力。
常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题。
赋值法是一种重要的方法，适用于恒等式，用于求形如(ax＋b)、(ax＋bx＋c)(a，b∈R)的式子展开式的各项系数之和。
(课件)：高三数学第10章第五节
∴所求的系数为
C2 10
－1 2＝45. 2 4
10－2r ∈Z， 3
(3)根据通项公式，由题意 0≤r≤10， r∈N.
10－2r 令 ＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k，即 r＝5 3 3 － k， 2 ∵r∈N，∴k 应为偶数．
∴k 可取 2,0，－2，即 r 可取 2,5,8. 所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项， 它们分别为 12 2 2 5 C10(－ ) x ，C10 2
【思路分析】 写出通项，由第6项为常数项可 求n； 由通项可求含x2项的系数和有理项．
【解】 ＝Cr n
(1)通项为
n－2r 3
r n－r Tr＋ 1＝Cnx
－1 rx 3 2
－
r
3
－1 rx ， 2
n－2r 因为第 6 项为常数项，所以 r＝5 时，有 ＝0， 3 即 n＝10. n－2r 1 1 (2)令 ＝2，得 r＝ (n－6)＝ ×(10－6)＝2， 3 2 2
19 3．若(ax － ) 的展开式中常数项为 84. x (1)求 a 的值； (2)其展开式中二项式系数之和为多少？ 19 2 解：(1)二项式(ax － ) 的通项公式为 x － － － － － Ck·9 k·18 2k· a x (－1)k· k＝(－1)kCk·9 k·18 3k， x a x 9 9 令 18－3k＝0 可得 k＝6， － 即得常数项为(－1)6C6·9 6＝84a3＝84，解之得 a 9 a＝1. 9 (2)其展开式二项式系数和为 2 ＝512.
【思路分析】 根据二项式系数的性质，列方 程求解n.系数绝对值最大问题需要列不等式组 求解．
3
【解】 (1)由题意知，22n－2n＝992， 即(2n－32)(2n＋31)＝0. n ∴2 ＝32，解得 n＝5. 1 10 由二项式系数的性质知，(2x－ ) 的展开式中第 6 项 x 的二项式系数最大． 15 5 5 即 T6＝C10· · ) ＝－8064. (2x) (－ x (2)设第 r＋1 项的系数的绝对值最大， 1r r 10－ r ∵Tr＋ 1＝C10· (2x) · ) (－ x
二项式性质课件
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
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THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学的重要内容之一、它是一个基本的公式，用来展开二项式的幂次。
在代数学中有广泛应用，并在组合数学、高等数学等领域中发挥了重要作用。
本文将介绍二项式定理的概念、基本公式以及一些常见的应用。
一、二项式定理的概念和基本公式二项式定理的概念：二项式定理是用来展开二项式的幂次的公式。
简而言之，就是把形如(a+b)^n的表达式展开成多项式的形式。
基本公式：根据二项式定理，我们可以得到二项式的展开式。
对于(a+b)^n，其中a和b为任意实数，n为非负整数，根据二项式定理，展开式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,k)a^(n-k)b^k+...+C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。
C(n,k)可以用组合数公式计算得到：C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)C(n,k)即为"n choose k"，读作"n中取k"。
二、二项式定理的应用1.二项式定理的应用于计算：二项式定理可以用于计算各种二项式的展开式，特别是高次幂的情况。
通过展开式，我们可以计算出结果，以及每一项的系数。
例如，我们可以用二项式定理来计算(a+b)^4的展开式为：(a+b)^4 = C(4,0)a^4 + C(4,1)a^3b + C(4,2)a^2b^2 + C(4,3)ab^3 + C(4,4)b^4= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^42.二项式定理的应用于排列组合问题：二项式定理在排列组合问题中也有广泛的应用。
对于排列组合问题，可以使用组合数来解决。
而组合数又可以使用二项式定理来计算。
例如，我们要从n个元素中选取k个元素，所有可能的方案数可以用组合数C(n,k)表示。
由于组合数可以用二项式定理来计算，我们可以直接得到结果。
二项式定理公式
二项式定理公式在高中数学中，我们学习了许多数学公式和定理，其中一个非常重要且广泛应用的定理就是二项式定理。
二项式定理是代数中的一个基本定理，描述了二项式的展开式，并提供了一个快速计算幂的方法。
通过使用二项式定理，我们可以轻松计算任意非负整数指数的二项式系数。
本文将详细介绍二项式定理及其应用。
一、二项式定理的定义二项式指的是形如(a + b)^n的表达式，其中a和b是实数，n是一个非负整数。
二项式定理提供了(a + b)^n的展开式。
根据二项式定理，展开式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ... + C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n其中C(n,k)表示n个元素中取出k个元素的组合数，也被称为二项式系数。
组合数的计算公式为：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)二、二项式定理的证明二项式定理的证明可以通过数学归纳法来完成。
这里我们以简化的二项式(a + b)^2为例进行证明。
首先，展开(a + b)^2，我们有：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b去掉括号并简化：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2从这个简化的二项式可以看出，二项式定理在幂为2时成立。
接下来，我们需要使用数学归纳法证明对于任意非负整数n，二项式定理都成立。
假设对于一个非负整数n，二项式定理在幂为n时成立，即：(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ... + C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n我们需要证明在幂为n+1时，二项式定理仍然成立：(a + b)^(n+1) = C(n+1,0)a^(n+1)·b^0 + C(n+1,1)a^n·b^1 +C(n+1,2)a^(n-1)·b^2 + ... + C(n+1,n)a^1·b^n + C(n+1,n+1)a^0·b^(n+1)通过展开(a + b)^(n+1)，我们发现可以将其拆分为两部分：(a + b)^(n+1) = (a + b)·(a + b)^n根据归纳假设，我们知道(a + b)^n可以展开为二项式系数的形式。
二项式定理ppt课件
二项式定理与幂级数有密切的联系，通过二项式定理可以推 导幂级数的展开式，反之亦然。
与微积分的联系
二项式定理在微积分中有重要的应用，例如在求解微分方程 和积分方程时，可以利用二项式定理进行近似计算。
二项式定理在实际问题中的应用
组合数学问题
二项式定理在组合数学中有广泛的应用，例如排列、组合、概率等问题中都可以用到二项式定理。
欧洲的发展
欧洲数学家在文艺复兴时 期开始深入研究二项式定 理，其中帕斯卡和贾法尼 等人都做出了重要贡献。
现代应用
二项式定理在现代数学、 物理、工程等领域都有广 泛的应用，是解决各种问 题的重要工具。
二项式定理的定义与公式
二项式定理定义
二项式定理描述了两个数 相乘时，各项的系数变化 规律。
二项式定理公式
总结词
二项式定理的展开形式是 $(a+b)^n$，其中$a$和$b$是常数 ，$n$是正整数。
详细描述
二项式定理的展开形式是$(a+b)^n$ ，其中$a$和$b$是常数，$n$是正整 数。这个公式可以展开为多项式，各 项的系数由组合数决定。
二项式展开的系数规律
总结词
二项式展开的系数规律是使用组合数 来表示的。
组合数学中的应用
排列组合公式
二项式定理可以用于推导排列组 合公式，例如C(n,k)=n!/(k!(nk)!)，通过二项式定理可以推导
出该公式。
组合恒等式
利用二项式定理可以证明一些组 合恒等式，例如C(n,k)=C(n,n-k) 和C(n+1,k)=C(n,k)+C(n,k-1)等
。
组合数性质
利用二项式定理可以推导出组合 数的一些性质，例如C(n,k)总是 非负的，当k>n时，C(n,k)=0等
二项式定理公式解析
二项式定理公式解析二项式定理啊，这可是数学里一个相当重要的知识点！咱们先来说说啥是二项式定理。
想象一下，你有两个袋子，一个袋子里装着苹果，一个袋子里装着香蕉。
现在你要从这两个袋子里选水果，选的方式有很多种，比如只选苹果、只选香蕉、或者苹果香蕉都选。
这选水果的不同组合方式就有点像二项式定理里的展开项。
二项式定理的公式是：$(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1}b^1+ C(n,2)a^{n-2}b^2 + \cdots + C(n,n)a^0 b^n$ 。
这里面的$C(n,k)$ 叫做组合数，表示从$n$个元素中选出$k$个元素的组合数。
咱就拿个简单的例子来说，比如$(x + 1)^2$ 。
按照二项式定理展开，那就是$C(2,0)x^2 1^0 + C(2,1)x^1 1^1 + C(2,2)x^0 1^2$ ，算一下，$C(2,0)=1$ ，$C(2,1)=2$ ，$C(2,2)=1$ ，所以展开就是$x^2 + 2x + 1$ 。
再比如说，有一次我去菜市场买菜，想买西红柿和鸡蛋。
西红柿 3块钱一斤，鸡蛋 5 块钱一斤。
我准备买$ (西红柿 + 鸡蛋)^3$ 。
哈哈，开个玩笑，其实就是按照二项式定理来算一下，如果我买3 斤的组合，有多少种价格的可能性。
展开之后就是$西红柿^3 + 3\times 西红柿^2\times 鸡蛋 + 3\times 西红柿\times 鸡蛋^2 + 鸡蛋^3$ 。
这就相当于有4 种不同的价格组合。
在实际生活中，二项式定理也有不少用处呢。
比如计算概率问题，像抛硬币，正面朝上和反面朝上的概率计算，就可能用到二项式定理。
还有在工程学、物理学等领域，也常常能看到它的身影。
总之，二项式定理虽然看起来有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多做几道题，就能把它拿下！别被它一开始的样子唬住，其实它就像个纸老虎，一戳就破！所以啊，同学们，好好掌握二项式定理，以后碰到相关的问题，就能轻松应对啦！。
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学中的重要内容。
它表示了一个二元多项式的n次幂的展开式。
其中，二项式系数是展开式中每一项的系数，可以用组合数来表示。
具体来说，二项式定理可以表示为：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$。
其中，$\binom{n}{k}$表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
二项式定理有很多应用，例如近似计算和估计，证明不等式等。
在使用二项式定理时，我们可以利用它的性质来简化计算。
其中，二项式系数具有对称性、增减性和最大值等性质。
此外，所有二项式系数的和等于$2^n$，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等。
需要注意的是，展开式共有n+1项，而二项式系数$\binom{n}{r}$是展开式中第r+1项的系数。
此外，展开式中的通项$T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$。
在使用二项式定理时，我们可以将一般情况转化为特殊情况，或者使用赋值法等思维方式来简化计算。
1.问题讨论1.1 例1求解C(n)等于(1/n) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。
+ 3^(n-1)*C(n,n)]，以及当n为奇数时，7+C(n,7)+C(n,14)+。
+C(n,7+(n-1)/2)的余数。
解。
1.1.1 求解C(n)设S(n) = C(n)。
则有：S(n) + 3S(n) = 3*C(n,1) + 3*C(n,2) +。
+ 3^n-1*C(n,n)将上式两边相减，得：S(n) = (1/4) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。
+ 3^(n-1)*C(n,n)]所以，C(n)等于(1/n) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。
+ 3^(n-1)*C(n,n)]。
1.1.2 求解余数XXX(n,7)+C(n,14)+。
+C(n,7+(n-1)/2)的余数等于8^(n-1)的余数，因为：XXX(n,7)+C(n,14)+。
二项式定理课课件
总结
二项式定理的重要性和 应用
二项式定理是数学中的重要概 念，通过学习和应用它，我们 可以更好地理解和解决复杂的 数学问题。
未来可能的发展方向
随着数学和科学的不断发展， 二项式定理可能会在更多领域 得到应用和扩展，值得我们继 续深入研究。
学习建议和思考题
为了更好地掌握二项式定理， 建议多做习题和实践，扩展思 维，提出自己的疑问和思考。
二项式定理的推导
1
二项式定理的公式
二项式定理的一般公式为：(a + b)^n = Σ(nCk)(a^n-k)(b^k)，其中nCk表示组合数。
2
推导过程介绍
通过二项式定理的推导过程，我们可以更深入地了解为什么这个公式能够成立，为后 续的应用打下坚实基础。
3
数学证明
通过数学严格的逻辑推理和运算，我们可以证明二项式定理的正确性，使其更加可靠 和可信。
二项式定理优质课课件
二项式定理是数学中的重要概念，它有着广泛的应用。本课件将详细介绍二 项式定理的推导和应用，以增强学生对数学的理解和应用能力。
什么是二项式定理？
二项式定理是关于二项式的展开的定理，能够求解高次幂的展开式。通过二项式定理，我们可以将一个 具有n次方的多项式展开成两个简单的二项式之和。
二项式定理的应用
二项式定理在多项式 展开中的应用
通过二项式定理，我们可 以快速展开多项式，从而 简化计算和推导过程。
求幂的二项式定理的 应用
通过二项式定理，我们可 以快速求解幂的展开式， 节省时间和精力。
其他应用举例
除了多项式展开和求幂， 二项式定理还在概率统计、 组合数学和物理学等领域 具有广泛的应用。
为什么要学习二项式定理？
学习二项式定理有助于我们更好地理解数学的原理和运算法则。它也为我们 解决复杂问题提供了一种简化的方法，并在真实世界中有广泛的应用。
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第五节 二项式定理
一、选择题
1．(2009年浙江卷)在二项式⎝
⎛⎭⎫x 2－1
x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5
2．(2008年湖北卷)⎝
⎛⎭⎫2x 3－1
2x 210的展开式中常数项是( ) A ．210 B.105
2
C.1
4
D ．－105 3．(2008年重庆卷)若⎝⎛⎭⎫x ＋1
2x n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
4．(2008年安徽卷)设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．如果⎝
⎛⎭⎫3x 2－2
x 3n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6 D ．10 二、填空题
6．(2009年湖南卷)在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3
x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)
7．(2009年全国卷)()x y －y x 4的展开式中x 3y 3的系数为________．
8．(2009年济南模拟)已知(x 32＋x －1
3)n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系
数是______．(以数字作答)
三、解答题
9．在二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋124x n
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．
10．在二项式(ax m ＋bx n )12(a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．
(1)求它是第几项； (2)求a
b
的范围．
第五节 二项式定理
一、选择题
1．(2009年浙江卷)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1
x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5
解析：对于T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭
⎫－1x r ＝(－1)r C r 5x 10－3r ，对于10－3r ＝4，∴r ＝2，则x 4的项的系数是C 25(－1)2
＝10.
答案：B
2．(2008年湖北卷)⎝⎛⎭⎫2x 3－1
2x 210的展开式中常数项是( ) A ．210 B.105
2
C.1
4
D ．－105 解析：T r ＋1＝C r 10(2x 3)r ⎝⎛⎭⎫－12x 210－r ＝C r 102r ⎝⎛⎭⎫－1210－r x 3r －20＋2r ，令3r －20＋2r ＝0得r ＝4， 所以常数项为T 5＝C 41024⎝⎛⎭⎫－1210－4＝1052. 答案：B
3．(2008年重庆卷)若⎝⎛⎭⎫x ＋1
2x n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：因为⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式中前三项的系数C 0n 、12C 1n 、14C 2n 成等差数列，所以C 0
n ＋14C 2n
＝C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得：n ＝8或n ＝1(舍去)．T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭
⎫12r C r
8x 8－2r .令8－2r ＝4可得r ＝2，所以x 4的系数为⎝⎛⎭⎫122C 28＝7，故选B.答案：B
4．(2008年安徽卷)设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
解析：由题知a i ＝C i 8(i ＝0,1,2，…8)，逐个验证知C 08＝C 8
8＝1，其它为偶数，选A.
答案：A
5．如果⎝
⎛⎭⎫3x 2－2
x 3n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )
A ．3
B ．5
C ．6
D ．10
解析：由展开式通项有T r ＋1＝C r n
()3x 2n －r ⎝⎛⎭
⎫－2x 3r ＝C r n ·3n －r ·()－2r ·x 2n －5r
由题意得2n －5r ＝0⇒n ＝5
2r ()r ＝0，1，2，…，n －1，故当r ＝2时，正整数n 的最小
值为5，故选B.
答案：B 二、填空题
6．(2009年湖南卷)在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3
x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)
解析：由条件易知(1＋x )3，(1＋x )3，(1＋3
x )3展开式中x 项的系数分别是C 13，C 23，C 33，即所求系数是3＋3＋1＝7.
答案：7
7．(2009年全国卷)()x y －y x 4的展开式中x 3y 3的系数为________． 解析：()x y －y x 4＝x 2y 2()x －y 4，
只需求()x －y 4展开式中的含xy 项的系数：C 24＝6.
答案：6
8．(2009年济南模拟)已知(x 32＋x －1
3)n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5
的系数是______．(以数字作答)
解析：∵(x 32＋x －1
3)n 的展开式中各项系数和为128，
∴令x ＝1，即得所有项系数和为2n ＝128. ∴n ＝7.设该二项展开式中的r ＋1项为 T r ＋1＝C r 7(x 32)7－r ·(x －1
3)r ＝C r 7·x 63－11r 6， 令
63－11r
6
＝5即r ＝3时，x 5项的系数为C 37＝35. 答案：35 三、解答题
9．在二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋124x n
的展开式中，
前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项． 解析：前三项系数为C 0n ，12C 1n ，14
C 2
n ，
由已知C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2
－9n ＋8＝0， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)．
T r ＋ 1 ＝C r 8(x )8－r (24x )－r ＝C r 8·12r ·x 4－3r 4. ∵4－3r
4
∈Z 且0≤r ≤8，r ∈Z ，
∴r ＝0，r ＝4，r ＝8.∴展开式中x 的有理项为 T 1＝x 4，
T 5＝358x ，T 9＝1256
x －
2.
10．在二项式(ax m ＋bx n )12(a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．
(1)求它是第几项； (2)求a
b
的范围．
解析：(1)设T r ＋ 1 ＝C r 12(ax m )
12－
r
·(bx n )r ＝C r 12a
12－
r b r x m (12－r )＋nr
为常数项，则有m (12－r )＋nr ＝0，
即m (12－r )－2mr ＝0，∴r ＝4，它是第5项． (2)∵第5项又是系数最大的项，
∴有⎩
⎪⎨⎪⎧
C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3
， ①C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5
. ② 由①得12×11×10×94×3×2a 8b 4≥12×11×103×2a 9b 3
，
∵a ＞0，b ＞0，∴94 b ≥a ，即a b ≤9
4.
由②得a b ≥85，∴85≤a b ≤9
4.。