b第2章§8,9,10

课堂例题B1p110-3 (21)b1p111-7 (24)b1p120-5 (37)b1p121-10 (43)b1p121-13 (44)b1p121-5 ..... 38 b1p121-6.. (39)b1p121-7 (40)b1p121-8 (41)b1p121-9 (41)b1p122-14 (45)课外作业P103, 1-13, p111, 5-6 p120,1-4习题课习题P101-102, 例1-例5 ,P114-115, 例1-2,p117-118, 例1-4§8 定积分1.定积分概念一系列的物理问题与几何问题导致定积分的概念，如求曲线围成图形的面积，已知速度函数求路程，求变动力所做的功等等．曲边梯形的面积.在中学我们已学会计算直线围成的图形的面积或圆的面积． 现在我们要提供计算一般图形面积的一个普遍的办法．假定函数()y f x = 在区间[],a b 上连续，且其图形在 x轴之上方．那么的()y f x = 图形与直线 x a = , x b = 及 x轴围成一个曲边梯形．如果我们能计算这种曲边梯形的面积，就能计算一般的曲线所围图形的面积，只要它能分割为若干个曲边梯形 的并即可.在考虑这个曲边梯形的面积问题时，我们采取下面的作法： 先在小范围内以直代曲求得近似值．然后再通过取极限以达到 精确值. 我们在 [],a b 上插入 1n + 个分点0121n n a x x x x x b-=<<<<<=对应于每个小区间，01121[,],[,][,]n n x x x x x x -函数图形相应地形成一个小的曲边梯形．而这些小曲边梯形的面积 i S有近似值： (),i i i S f x ξ≈∆11(),n ni i i i i S S f x ξ===∑=∑∆其中 []1,,ii i x x ξ-∈1102211,.n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-∆=-从直观上看，分点越密，这个近似值就越接近于面积的精确值．因 此，自然会把它的极限值作为曲边梯形面积的值，也即 01lim (),ni i i S f x λξ→==∑∆其中{}12max ,,,.n x x x λ=∆∆∆变力做功设质量为 m 的物体沿直线运动．假定它所受的力的方向与物 体位移方向一致，其大小可以表示为物体到原始位置的距离 s 的 函数()f s ．要求物体自 s a =到s b = 外力所他的功 .W 完全类似地．在区间 [,]a b 内插入一串分点；0121n n a s s s s s b-=<<<<<=从1i s - 到 i s 所做的功近似等于 ()1()(),i i i i i f s f s s ξξ-∆=- 其中 []1,,i i i s s ξ-∈ 当分点增加使分割变细时，近似值1()ni i i f s ξ=∑∆ ()1i i i s s s -∆=-将越来题接近我们所求的值．于是问题再一次归结为求下列形式的极限01lim (),ni i i S f s λξ→==∑∆其中{}12max ,,,.n s s s λ=∆∆∆这里再次重复了分割、近似、求和、取极限的步骤．我们现在给出定积分的正式定义．定义 设 ()y f x = 是定义在区间 [,]a b 上的函数．在区间 [,]a b 上插入 1n + 个分点, 使它们满足0121:n n T a x x x x x b-=<<<<<=我们称之为对区间 [,]a b 的一种份割，并记之为 .T 又记 1,k k k x x x -∆=-(){}max |1,2,,.k T x k n λ=∆=若对任意的分割 T 及任意选取的中间值 []1,,i i i x x ξ-∈ 下列极限()01lim ()ni i T i f x λξ→=∑∆存在，则称极限值为 f 在 [,]a b上的定积分，记为().b af x dx ⎰如果在 [,]a b 上定义的函数 f使得定积分().b af x dx ⎰存在，则称 f 在 [,]a b 上黎量可积，或简称可积．这里的函数 f 称为被积函数，而a 与b 分别称为积分的上限与下限． x 称为积分变量， [,]a b称为积分区间.现在，我们来解释定积分的几何意义： 当()y f x = 在上连续，且()0f x > 时，定积分()baI f x dx =⎰恰好代表由函数()y f x = 图形与直线 x a = , x b = 及 x轴围成一个曲边梯形的面积． 当()0f x ≤ 时,定积分 I 代表相应曲边梯形的面积乘以 1- ．当 ()y f x = 在 [,]a b 上有正有负时，定积分 I 则等于在 x 轴上方或下方的若干个曲边梯形面积之代数和．在图 2.13 所示的例子中，定积分()()()()bac d bacdI f x dxf x dx f x dx f x ==++⎰⎰⎰⎰123A A A =-+其中 123,,A A A 代表图中相应曲边梯形的面积．为了今后讨论的方便，我们作下列两个约定: (1)()0aa f x dx =⎰(2) ()(),b a abf x dx f x dx =-⎰⎰当 b a < 时.约定使我们不必总限制在上限大于下限的约束之中. 2. 定积分的性质(1) 设()f x 在 [,]a b 上的可积， ()0f x ≥ ，则 ()0ba f x dx ≥⎰(2) 设 ()f x ， ()g x 在 [,]a b上的可积，则成立(()())()()b ab b aaf xg x dxf x dxg x dx±⎰=±⎰⎰ .(3) (保序性) 设 ()(),f x g x 在 [,]a b 上的可积， ()()f x g x ≥ ，则 ()().b ba a f x dx g x dx ≥⎰⎰(4)对任意常数 ,()b aC Cf x dx ⎰().b aC f x dx =⎰(5) （积分区间的可加性）：()()()b c b a a cf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ （ c 为 [],a b 的分点）.当 c ∉[],a b 时, 不妨设,c a <只要在 [][],,,c a a b 上可积,()()()b c b aacf x dx f x dx f x dx=+⎰⎰⎰ 仍然成立.事实上由积分可加性，有()()()b a b c c af x dx f x dx f x dx=+⎰⎰⎰()()()b b a a c cf x dx f x dx f x dx=-⎰⎰⎰ = ()()c b acf x dx f x dx +⎰⎰(6) 设 ()f x 在 [,]a b 上的可积， ()g x 在 [,]a b 上有定义, 且与 ()f x 只有有限个点函数值不相同，则在 [,]a b 上的可积，且 ()().b ba a g x dx f x dx =⎰⎰证 令 ()()(),Fx f x g x =-显然 ()F x 仅在有限点处取值不为0．故()F x在[,]a b上可积，且积分为0.事实上,对任意的分割,T12,T T T =+1:T含有非零点的区间;2T:不含有非零点的区间.121()()()i i ni ii iiiix T x T F x F xF xξξξ=∆∈∆∈∑∆=∆+∆∑∑1()0i i ix T F x ξ∆∈=∆+∑()()101lim ()lim()0i ni iT i i iT x T F x F x λλξξ→=→∆∈∑∆=∆=∑上式最后一个等号是因为, 当()0T λ→ 时, 有限项又每一项0.→进一步,[]111()()()()ni ii nni i i i ii i g x g f x f x ξξξξ===∑∆=∑-∆+∑∆ 11()().n ni i i i i i F x f x ξξ===∑∆+∑∆因为, 当 ()0T λ→ 时,1()0,ni i i F x ξ=∑∆→1()().nb i i ai f x f x dx ξ=∑∆→⎰所以()01lim ()(),nb i i aT i g x f x dx λξ→=∑∆=⎰ 即知()g x 在 [,]a b 上的可积，且 ()().b ba a g x dx f x dx =⎰⎰这个性质告诉我们：改变函数在有限个点的值，其可积性与 积分的值不改变.(7) ()()b b a af x dx f x dx ≤⎰⎰B1p110-3 计算抛物线 2y x =，直线0x = 和=1x 所围成的曲边梯形 的面积。

解 把区间 [0，1] 等分为 n 个小区间，分点依次为1210, , , , , 1n n n n-在每一个小区间上，我们都用小 矩形面积代替小曲边梯形的面积。

这些小矩形合在一起，形成一个阶梯形图形。

这个阶梯形面积可以作为所求的曲边梯形的面积的近似值，即22211121011n S n n n n n n n n⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=22231[12(1)]n n+++- = 3(1)(21)6n n n n-- n 越大，近似程度越高。

令 n →∞，可得到曲边梯形的准确面积。

于是，所求的曲边梯形的面积为S =l i m n →∞n S =l i m n →∞3(1)(21)163n n n n --=.b1p111-7:T0121,n n a x x x x x b -=<<<<<=()111nnnk k k k k kk k k m x f x M x ξ===∆≤∆≤∆∑∑∑ 因为1,nk kk m x I =∆→∑ 1,n k kk M x I =∆→∑所以,根据夹逼定理,()1.nk kk f x I ξ=∆→∑§9 变上限定积分本节的主要内容是讨论变动上限的定积分，在连续函数可积 性的基础上，证明连续函数总有原函数． 上限为 x 的定积分()xaf t dt ⎰称为变上限积分.我们先证明一个定理． 定理1（积分中值定理） 若 ()f x在闭区间[],a b 上连续．则在 [],a b 上至少存在一点ξ ， 使得下式成立()()()()b af x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰ .证 设函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值分别为 ,M m ，则因为 ()m f x M ≤≤ ，所以由性质(3) ， ()b b b a a amdx f x dx Mdx ≤≤⎰⎰⎰由性质4，()b b a amdx m dx m b a ==-⎰⎰()b baa Mdx M dx Mb a ==-⎰⎰将这两式代入前式中， 即得()()(),b am b a f x dx M b a -≤≤-⎰两边除以 (0)b a-> ，得1()b b a a m f x dx M -≤≤⎰由介值定理，至少存在一点[,]a b ξ∈ 使得1()(),b b aaf f x dx ξ-=⎰即得()()()()b af x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰ . 定理2 设()y f x = 在 [,]a b上连续．则函数 ()F x =()x af t dt ⎰在 [,]a b 上连续，在 (),a b 中可导，且有 ()().F x f x '=这个定理告诉我们：连续函数总有原函数，而其变上限积分就是其原函数之一证 设 0[,)x a b ∈ ，考虑充分小的改变量 0x ∆> ．这时，我 们有 ()()00F x x F x +∆-=00()x x x f t dt +∆⎰由定理1，有()()()00F x x F x f ξ+∆-=,x ∆其中00,x x x ξ≤≤+∆ 令 0,x ∆→ 则 ξ=()0.x x ξ∆→ 于是，我们有()()()00000lim.F x x F x xx f x +∆-∆∆→+=这样，我们证明了：对于任意的0[,),x a b ∈ ()F x 在 0x点的右导数存在且等于()0f x ．特别地 ()F x 在 [,)a b 中右连续．设 0(,].x a b ∈ 对于 0x ∆<的情况，类似的讨论可得()()()00000lim .F x x F x xx f x +∆-∆∆→-=这样， ()F x 在 0x 点的左导数存在且等于 ()0f x ．特别 地， ()F x 在 (,]a b 上左连续.总之．我们证明了；(1) ()F x 在[,]a b 上连续，(2) ()F x 在 (),a b上可导．且有 ()().F x f x '=附带指出：在上述证明中，我们实际上证明了： ()F x 在 a 点有右导数 ()f a ，而在 b 点有左导数()f b ．现在假定()y f x = 在开区间(),a b 上连续．我们要问： ()y f x =在 (),a b 上有无原函数?回答也是肯定的．只要考虑下列变上限 积分就足够了： ()F x =()x x f t dt ⎰().a x b <<其中0x 为 (),a b 中任意取定的一点．这里的 ()F x 是 ()f x 在 (),a b中的一个原函数．变上限积分有明显的物理意义与几何意义．瞬时速度为 ()v t的运动质点，自时刻 0t = 到t x = 所走过的路程为一个变上限积分()()0xs x v t dt =⎰那么，路程函数的导数就是瞬时速度，也即 ()()s x v x '= ，，这是再自然不过的事了． 当我们把变上限积分()()0xS x f t dt =⎰看作是变动中的曲边梯形的面积时(见图2.15)，上述定理的几 何意义就十分清楚了:曲边梯形的面积 ()S x 在一点 x 处的变化率 dSdx 恰好等于 ()f x ．§10 微积分基本定理我们知道，许多重要的物理或几何的问题都归结于计算定积分．牛顿与莱布尼茨所建立的公式，把定积分的计算归结为求被积函数的原函数，使定积分的计算有了一般的方法．正是因为牛顿---莱布尼茨公式如此重要，才被人们称之为微积分基本定理．定理(微积分基本定理) 设函数fa b上连续，又在闭区间[,]设F是f在(),a b上的一个原函数，即()(),'=F x f x(),,∀∈x a b且 F 在 [,]a b 上连续，这时，我们 ()()()b af x dx F b F a =-⎰这个公式称为牛顿---莱布尼茨公式． 证 令 ()()0xa F x f t dt =⎰由上一节定理 2，有 ()()0,Fx f x '= (),,x a b ∀∈这样， ()()00,F x F x ''-= 于是 ()()0,Fx F x C =+ (),,x a b ∀∈其中 C 是一个常数．再由 ()F x 及 ()0F x 在 [,]a b 上的连续性，并注意到 ()00F a = ，我们有()()0F a F a C C =+=同理：()()0,F b F b C =+ 于是()()()()()0.b af t dt F b F b CF b F a ==-=-⎰习惯上，我们将牛顿---莱布尼茨公式写成：()(),b ba af x dx F x =⎰其中 ()()().ba F x Fb F a =-b1p120-5 证 因为 ()F x '连续, 一方面,根据微积分基本定理,有()()()()1b aF x dx F b F a '=-⎰另一方面,根据积分中值定理,[,],c a b ∃∈ 使得()()()()2b aF x dx F c b a ''=-⎰联立 (1)，（2)得()()()().F b F a F c b a '-=-b1p121-5 证()00,f =()()00lim,f x xx f →'=因为()11f x xx ≤≤+所以,根据夹逼定理,()lim1,f x xx →=故有 ()01f '=b1p121-6()24f x x =-()2,22,2,,2x x f x x x x ⎧>⎪'=-<⎨⎪=⎩不可导b1p121-7 ()()()11,x xf x u x v x +-==()()()11,1u x x v x x-=-=+()()211,x u x -'=()()321,x u x -''=-()()461,x u x -'''=()()()()13f x u x x u x ''''''''=++ ()()()4341612111.x x x x +---=-=b1p121-8()()()()()()()()()()()()()00100||||limlim ||||limlimf x x f x f x f xxx x f x f x f x f x xxx x f x f x f f x f x +∆-∆-∆∆∆→∆→∆-∆-∆∆∆→∆→''=b1p121-9 因为1221212n n n=所以 12,nx ∀≤有()120n f x x≤≤即有()()()0102n f x f f x x x--=≤故()()()000lim0.f x f x x f --→'==又1121212,n +=故存在 120,nn x =→ 使得()()0102,n n g x g x --=而10,n→ 使得。