第九章 静电场

本篇内容第9 章静电场第10章静电场中的导体和电介质第11章磁场与电磁相互作用第12章介质中的磁性第13章电磁感应第14章麦克斯韦方程组第9章静电场第9章静电场Electrostatic Fields 第1节电荷和库仑定理第2节静电场电场强度第3节静电场的高斯定理第4节静电场的环路定理第5节电势差和电势第6节电势梯度第7节静电势能一、电荷1.什么是电荷？电荷是物质的基本属性!电荷→只有两种第1节电荷和库仑定理Charge and Coulomb’s Law2.电荷遵从守恒定律在一个和外界没有电荷交换的系统内,正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。

即Cq i =∑电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程( 例如核反应和基本粒子过程), 是物理学中普遍的基本定律之一。

在不同参照系内观察,同一个带电粒子的电量不变,这一性质叫做电荷的相对论不变性3.电量是相对论不变量电子加速到0.9999999997m = 4.0825×104 m 0但是电子的电量q = e = 1.602 10-19C 保持不变4.电荷是量子化的e = 1.60217733×10-19库仑注q = ne 电荷量子n = ±1,±2,±3…1906～1917年,密立根用液滴法测定了电子电荷,证明微小粒子带电量的变化是不连续的,它只能是元电荷e 的整数倍, 即粒子的电荷是量子化的:1986年的推荐值为迄今所知,电子是自然界中存在的最小负电荷,质子是最小的正电荷。

1.库仑定律（1785年，库仑通过扭称实验得到）122r q q F k e r= 二、电相互作用理想模型在真空中两个静止点电荷q 1, q 2之间的作用力与它们的电量的乘积成正比,与它们之间距离的平方成反比q 1施力q 2受力F r r e 单位矢量922018.98810Nm /C 4k πε==⨯122208.8510C /Nmε-=⨯国际单位制中：2°库仑定律只适用两个静止点电荷同号, 排斥力r F ||q 1、q 2q 1、q 2异号, 吸引力r F ↑↓3°若q 1、q 2在介质中, 介电常数ε= εr ε0；空气中：ε≈ε0注：12204r q q F e rπε= 4°基本实验规律在宏观，微观领域都适用！q 1q 2r 12F 21F q 1q 2r 21F 12F 1221F F =- 1°遵从牛顿第三定律2.电力叠加原理当多个点电荷存在时，任意一个点电荷受的静电力等于其它各个点电荷单独存在时对它的作用力的矢量和。

nF F F F F ++++=321q n 即有实验表明: 库仑力满足线性叠加原理, 即不因第三者的存在而改变两者之间的相互作用。

o 201114n n i i i i i i q q F F e r πε====∑∑ 1q 4q 3q 2q o q 1r 4r 3r 2r一、电场近代物理学证明电场电荷q1F12F21电荷q2第2节静电场、电场强度Electrostatic Fields andElectric Field Strength 电荷之间的相互作用力是通过电场传递的。

电荷在周围空间激发电场, 引入该电场的任何带电体, 都会受到电场的作用力。

电场是物质存在的一种形态,也具有动量、质量、能量。

电场的物质性相对观察者静止的电荷激发的电场特点：静电场与电荷相伴而生——是电磁场的一种特殊形式静电场：1º 对放入其内的任何电荷都有作用力2º 电场力对移动电荷作功——静电场具有能量3º 变化的电场以光速在空间传播, 表明电场具有质量和动量。

对导体产生静电感应现象对电介质产生极化现象2E mC =P mC=二、电场强度矢量E1.检验电荷点电荷q 0本身携带电荷足够小,占据空间也足够小,放在电场中不会对原有电场有显著的影响。

将q 0放在点q 1,q 2,⋯q n 电荷系产生的电场中, q 0受到的作用力为F ,为描述电场的属性引入一个物理量电场强度：F 0q E∑ii q 2.电场强度0F E q =单位：N/C (牛顿/库仑)或V/m(伏特/米)大小为单位正电荷在该处受力大小方向为单位正电荷在该处受力方向一般电场中不同点的场强大小方向都不同若场中各点的大小方向都相同——均匀电场与检验电荷q 0无关, 反映电场本身的性质。

E注：F E q大小为单位正电荷在该处受力大小方向为单位正电荷在该处受力方向——电场是一个矢量场(vector field)EE（1）点电荷的电场+xyzqq 0P0204rqq F e rπε=设点电荷q 位于坐标原点处在任意点P 放入一点电荷q 0根据库仑定律受力q 0rP 点处的场强0F E q = 204r q e rπε= > 0q //rE e < 0q re E ↓↑0FE q =E 的定义：3.的计算E——球对称电场！P 已知空间有点电荷q 1、q 2、…q n 组成的电荷系在任意P 点放一点电荷q 0, 则P 点的电场强度:0P F E q = nE E E +++=21∑==k i i E 12104i k i r i i q e r πε==∑电场中一点的场强=各点电荷在该点各自产生的场强的矢量和120n F F F q ++= 1q 2q iq jq n q 1E n E P E 12000n F F F q q q =++ 0q 场强叠加原理（2）点电荷系的电场（3）任意带电体的电场P.d d 204rq E e rπε=所有在P 点产生的电场d q 在任意点P 处产生的电场为d q d q 将其无限划分成许多电荷元d q 组成d E E=⎰d 204r q e r πε =⎰x E d E E=⎰ d xE =⎰d y y E E =⎰d z zE E =⎰k E j E i E E z y x++=222||x y zE E E E =++ d Er y E tg α=矢量积分例1.求电偶极子中垂线上任一点的电场强度。

等量异点号电荷+q 、-q , 相距为l , l 相对于所求场点的距离很小,称该带电体系为电偶极子。

l∙Pxyθ解：-+=E E 2204()4ql r πε=+如图取坐标系,有E = E x E y =012222cos l l θ=E = 322204()4qll r πε-+r+q-qθ= –2E +cos θP 点的场强±q 在P 点产生的场强方向沿x 轴负向!E +E -E304pE r πε=- 即1°E 与r 3 成反比比点电荷电场递减的快E ∝p E 在远处不变是描述电偶极子属性的物理量l q p=当l r >>304p E r πε=-322204()4qlE l r πε=-+2°↑↓↓↑l q l q 或若p = q·l 保持不变讨论令l q p =l∙P xy θr+q-qθE +E -E例2.求长为L , 单位长度上带电为λ的均匀细棒中垂面上的电场分布。

解：设坐标系，由电荷分布的对称性可得d Ed E ' xd E 合d x E E =⎰22cos x x y α=+d E =224L E L x x λπε=+方向沿x 轴!x d 204r q E e rπε=⎰d 2cos Eα=⎰d 322202()x yx y λπε=+⎰2L αd 2204()y x y λπε=+r d 204q r πε积分可得.P y o d y d y 'y d y λ=取电荷元d q当L →∞( 或L >> x )则02E xλπε=+02E rλπε=方向沿径向向外——柱对称电场！02rE e rλπε=22044LE L x x λπε=+若令x =r 0>λ0<λ方向沿径向向内xd E 合xαr.Pyod y d y 'y讨论-例3.求无限大带电平面的电场分布。

设其面电荷密度为σ。

y y x d y d ExP 解：带电平面的电场带电细线的电场叠加带电线密度为d d 02y E rσπε=由电荷分布的对称性,得d y y E E =⎰d x E E ∴=⎰d cos E α=⎰α22r xy=+cos x r α=d 222()x y E x y σπε=+⎰2σε=方向垂直平面！r d x E 0=+∞d y λσ=02rE e rλπε=d y E 其电场为均匀场.例4.求半径为R,带电量为Q 的均匀圆环轴线上的电场强度E =？解：在圆环上任取电荷元d q d d 204r q E e rπε=θxd q rd E由对称性知0x E ⊥=Pxy zod cos x E E E θ==⎰()d 20cos 4Q q r θπε=⎰223204()xQ x R πε=+Q E =R x >>若点电荷d E ' d q '方向沿x 轴0→x 若0=E ()d 20cos 4Q q r θπε=⎰例5.半径为R 的均匀带电圆盘,面电荷密度为σ，求：圆盘轴线上任一点P 的场强。

解：圆盘可视为许多小圆环组成取半径为r 宽为d r 的圆环以d q 代替右式中的q 得：d q =d d 2232024()x r rE r x σππε⋅=+d d 2232002()Rxr r E E r x σε==+⎰⎰方向：圆盘带电“+ σ‖, E 沿x 轴从盘中心指向外。

R o σx x P d E r d r220(1)2x x R σε=-+E 223204()xqE r x πε=+d 2r r σπ2220044q R E x x πσπεπε≈=在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。

——无限大带电平面附近的电场2E σε=1º 当x R<<x R>>2º 当Roσxx P d Erd rE220(1)2x E x Rσε=-+讨论++++++R x σEP .例6.无限大均匀带电平面中间有一圆孔，求轴上=？E两种方法圆环相减法⎰∞R 例7. 均匀带电球面，求轴上= ？E关键：圆环宽度d d l R θ=圆环电量：d d 2q r l σπ=σxd l Er Rθd θd 2sin R R σπθθ=P .无限大带电平面-带电圆盘——静电场的形象描述电场线上每点切线的方向表示该点场强的方向+q-q一系列曲线一、静电场的高斯定理1.电场线（E 线）第3节静电场的高斯定理Gauss 'Law of Electrostatic Fields定义=Ed d N E S ⊥=即（也称电场线密度）（1）起于正电荷止于负电荷，有头有尾，不会在无电荷处中断。