三角形的重心与外心
三角形的外心内心垂心重心
三角形的外心内心垂心重心三角形的“四心所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心•当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.\ABC的重心一般用字母0表示.【性质】1・外心到三顶点等距，即OA = OB = 0C・2 •外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD 丄BC,OEA.4C,OF丄/〃・3.ZJ = -ZBOC,ZB = L"OC,ZC = -ZAOB ・2 2 2二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.MBC的内心一般用字母/表示.C【性质】1 •内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.2•三角形的面积=三角形的周长x内切圆的半径.23. AE = AF. BF = BD, CD = CE ；AE + BF±CD =三角形的周长的一半.44一90。
+存,8“90。
+护,W9O +"C・三、垂心【定义】三角形三条高的交点叫重心.\ABC的重心一般用字母H表示.1 •顶点与垂心连线必垂直对边，即AH丄BC、BH丄AC,CH丄AB.2.A ABH的垂心为C, NBHC的A 垂心为/\ACH的垂心为3 •【定义】三角形三条中线的交点叫重心・AJBC 的重心一般用字母G 表示. 【性质】1 •顶点与重心G 的连线必平分对边.2•重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.即 GA = 2GD, GB = 2GE, GC = 2GF3 .重心的坐标是三顶点坐标的平均值. 即总二邑逬竺，儿=2^匕严4•向量性质：(1) GA + GB + GC = O ；三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为\ABC 所在的平面内一点，满足OAOB = OBOC = OCOA t则点。
为MBC 的垂心.结论2：若点O 为AABC 所在的平面内一点，满足OA +~BC 2 =OB -}-CA =OC\7B~ f 则点 O 为\ABC 的垂心.结论3：若点G 满足GA + GB^GC = O f 则点G 为\ABC 的重心.结论4：若点G 为\ABC 所在的平面内一点，满足~OG = -(OA^OB + OC)t则点G 为\ABC 的重心.结论5：若点/为AJBC 所在的平面内一点，并且满足a H + b •用+ c •丘=6(其中a,b,c 为三角形的三边)，则点/为AABC 的内心.结论6：若点O 为MBC 所在的平面内一点，满足(^ + OB) BA = (dB + OC) CB = (dc + OA) AC ，则点 O 为 \ABC 的夕卜心.结论7：设/lw(0,+oo),则向量仲=久(«+ <£■),则动点P 的轨迹过的 \AB\ \AC\■ •I ■ • I •I •(2) PG = -(PA + PB + PC),5・ S^GC = S^CG/l =S“GBMB内心.向量和“心”一、重心”的向量风采【命题1】 已知G 是厶ABC 所在平面上的一点，若"G B -GG0，则G 是△ ABC 的重心.如图⑴.定通过△ ABC 的重心.边上的中线所在直线的向量，所以动点 ⑵. P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心，如图二、垂心”的向量风采【命题3】 P 是厶ABC 所在平面上一点，若 PA P^PB P^ PC PA ，则P 是 △ ABC 的垂心. 【解析】由 况，韋「P "B ,P ^得（祚 L F ） C0即卩P"B ，UfO ，所以【命题4】 已知O 是平面上一定点，A, B C 是平面上不共线的三个点，动点【解析】由题意 AP 「(AB AC),当’(0::时，由于■ (AB AC)表示 BC图⑵（是平面上不共线的三个点，动点CA 同理可证P C ± A ，PALB C 二P 是厶ABC 的垂心.如图⑶.图⑶A BP 满足 OP =0A ■ (AB AC) , ■ ( 0 BBP 满足O?=OA+扎 1 A ----- +------ |，九匸（0,+°°），贝U 动点 P 的轨迹 疋AB cosB AC cosC |通过△ ABC 的垂心.的轨迹一定通过△ ABC 的垂心，如图⑷. 三、内心”的向量风采 【命题5】 已知IABC 所在平面上的一点，且AB 二cAC 二bBC 二a .若T i TaIA bIB cIC =0，贝U I 是厶ABC 的内心.【解析】 AB c o BAC c Cs,由于= 'BC'—'CB|=0,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P二 AI由题意AC cosCAB BC AC ■ BC即岡盂+冋盂AC ••• bAB cACbc a b c分别为AB 和AC 方向上的单位向量,••• AI与/ BAC平分线共线，即AI平分.BAC .同理可证：BI 平分.ABC , CI 平分.ACB .从而I 是△ ABC 的内心，如图⑸.【命题6】 已知0是平面上一定点，A , B （是平面上不共线的三个点，动点的内心.则O 是厶ABC 的外心，如图⑺.【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C 是平面上不共线的三个点，动轨迹一定通过△ ABC 的外心.A C——C 表示垂直于BC 的向量，所以P 在BC 垂直平分线上, o sC，川（0 +叱）,则动点P 的轨迹一定通过 △ ABC，二当儿三（0 ■二时，AP 表示一 BAC 的平分线所在直线方向的向量，故动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的内心，如图⑹. 四、外心”的向量风采 【命题7】 已知0是△ ABC 所在平面上一点，若0V "0B =—0,则 o 是△ ABC 的外心.^^2 2 2【解析】 若O A = O B = 0,则 图⑻龙=用6=|二「. 0^=RB~0，C点P 满足OP 二(TT 3 IT ：AB +ACACCOBc CsJ【解析】由于°-B —°过C BC 的中点，2P 满足【解析】由题意得APAC■OB OC .2人乏（0 + °°）,则动点P 的A C动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的外心，如图⑻练习:数.满足：AB • AC 二‘ AP ，则.的值为（） 3A . 2B .C . 3D . 622.若.ABC 的外接圆的圆心为 0，半径为1,OA ，OB ・OC=0，贝U OA OB =（）A . 1B . 0C . 12OA 2OB 2OC = 0，贝U ABC 面积与凹四边形 ABOC 面积之比是（ ）3 5A . 0B .C .— 2 40，若OH -OA OB OC ，贝U H 是 ABC 的（——2 ——2 ——■ 2 5.0是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，若OA BC = 0B■ - 2 j 2 ■ 2CA =OC AB ，则 O 是 ABC 的（ ）A .外心B .内心C .重心 6^ ABC 的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H, OH = m （OA OB OC ），则实数m = ______ 7. （06陕西）已知非零向量AB 与AC 满足+AC ） BC=0且•— =2 ,|Afe| |AC| |Afe| |AC| 2A .外心B .内心C .重心D .垂心 1■已知 ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，满足 PA PB PC3 .点O 在ABC 内部且满足 4. =ABC 的外接圆的圆心为 D .垂心则厶ABC为（）A.三边均不相等的三角形C.等腰非等边三角形B.直角三角形D .等边三角形——2 ——————■ 一■ ——一■8.已知ABC 三个顶点A、B、C，若AB -AB AC AB CB BC CA，则ABC 为（）A .等腰三角形C .直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、B.等腰直角三角形D .既非等腰又非直角三角形1、D、C。
三角形的垂心外心和重心
三角形的垂心外心和重心三角形的垂心、外心和重心三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和特点。
其中，垂心、外心和重心是三角形内的三个重要点，它们在许多几何问题中起着重要的作用。
本文将对三角形的垂心、外心和重心进行详细介绍，以及它们的性质和应用。
一、垂心垂心是指三角形三条高的交点，通常用H表示。
在任何三角形中，三条高（垂直于对边，并经过对边顶点的切线）的交点都是唯一的，这一点被称为垂心。
垂心的特点如下：1. 垂心到三角形三边的距离是相等的。
也就是说，垂心到三角形任意一边的距离都相等。
2. 垂心和三个顶点之间的连线都是垂直的。
也就是说，垂心到三个顶点之间的线段都是垂直的。
3. 垂心趋于三角形的边缘时，它会接近于三角形的外接圆。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常用O表示。
外接圆是能够完全包围三角形的圆，通过三角形的三个顶点。
外心的特点如下：1. 外心到三角形三个顶点的距离都相等。
2. 外心到三角形三个顶点的连线都相等，也就是说，外心到三个顶点之间的距离都相等。
3. 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，也就是说，外心到三角形的每条边都是相等距离。
4. 三角形的外心是垂心和重心连线的中点，也就是说，连接垂心和重心的线段经过外心。
三、重心重心是指三角形三条中线的交点，通常用G表示。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
重心的特点如下：1. 重心将每条中线划分为2:1的比例。
也就是说，从重心出发到达对边中点的距离是从重心到顶点的距离的两倍。
2. 重心到三角形三个顶点的距离之和最小。
3. 连接重心和垂心的线段被称为Euler线，它经过外心。
4. 重心位于三角形内部的2/3处，到三角形每条边的距离都小于到相应顶点的距离。
以上是关于三角形的垂心、外心和重心的基本性质。
这三个重要点在求解三角形的面积、判定三角形的形状以及解析几何中都有广泛应用。
研究它们的性质和关系，有助于深入理解三角形的结构和性质，进一步拓展数学几何的知识。
三角形的重心外心和内心
三角形的重心外心和内心在几何学中，三角形是最基本且最常见的几何形状之一。
三角形的重心、外心和内心是三角形内部特殊点的代称。
它们具有重要的几何性质和应用价值。
本文将会详细介绍三角形的重心、外心和内心的概念、性质以及相关应用。
重心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母G表示。
重心是三条中线的交点，其中中线是连接三角形各顶点与对应中点的线段。
重心在中线上的位置为距离两个端点的距离与中点距离的比例为2:1。
由于三角形的三条中线都经过重心，因此重心是三角形的一个几何中心。
在重心处，三角形被等分为六个面积相等的三角形。
此外，重心的几何位置使得重心到三个顶点的距离之和最小，即满足最小总距离条件。
外心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母O表示。
外心位于三角形的外部，且与三个顶点都相切。
外接圆是以三角形的三个顶点为切点的圆，外心就是外接圆的圆心。
外心到三个顶点的距离都相等，而且外心到三边的距离也相等。
三角形的三条中垂线都经过外心，因此外心也是三角形的一个几何中心。
外心是三角形内接圆和外接圆的交点之一。
内心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母I表示。
内心位于三角形的内部，且与三条边都相切。
内接圆是以三角形的三边为切线的圆，内心就是内接圆的圆心。
内心到三条边的距离都相等，而且内心到三个顶点的距离之和最小。
三角形的三条角平分线都经过内心，因此内心也是三角形的一个几何中心。
三角形的重心、外心和内心在实际生活中有着广泛的应用。
在建筑和工程领域，三角形的重心可以用于确定建筑物的结构平衡。
在航空航天领域，外心可以用于确定飞机或者火箭的重心和稳定性。
在地理测量和导航领域，内心可以用于计算地图上各个地点的方向和距离。
总结起来，三角形的重心、外心和内心是三角形内部特殊点的代称，它们具有重要的几何性质和应用价值。
重心是三条中线的交点，外心是外接圆的圆心，内心是内接圆的圆心。
它们在解决实际问题中起着重要的作用。
通过研究和理解三角形的重心、外心和内心，可以帮助我们更好地认识和应用几何学知识。
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.BOC=2BAC，AOB=2ACB，COA=2CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，C=90，r=(a+b-c)/2.5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理).doc
三角形五心定理(三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称Z为三角形的五心)三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理, 旁心定理的总称。
、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名)重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离Z比为2 ： 1o2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1 +X2+X3)/3, (Y1 +Y2+Y3)/3o二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：仁三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若0是ZXABC的外心，则ZB0C=2ZA ( ZA为锐角或宜角)或Z BOC=360°-2ZA (ZA 为钝角)。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘od=d2d3, c2=d1d3, c3=d1d2； c=c1+c2+c3o 重心坐标:((c2+c3)/2c, (c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c )o5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高(所在直线)交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1＞三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且0G : GH=1 : 2。
三角形重心内心外心
1.重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
2.外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL.3.垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
4.内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半。
5．旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
每一题中三角形均为ABC一.中垂线交点（外心）分别作AB，BC的中垂线，交于点O，则OA=OB，OB=OC，所以OA=OC，所以点O在AC中垂线上，所以三角形三条中垂线交于一点。
二.三高所在直线交点（垂心）分别过A,B,C作对边的平行线，交于3点，与A,B,C三点所对应的三点记作D,E,F，则三条高线所在直线为三角形DEF的三条中垂线，由“一”知，三角形三条中垂线交于一点，，所以三角形三条高线所在直线交于一点。
三.三条内角平分线交点（内心）设∠A平分线与∠B平分线交于O点，则O点到AB，AC的距离相等；O点到BC，BA距离相等，所以O点到AC，BC距离相等，所以点O在∠C的角平分线上，所以三角形三条角平分线交于一点。
四.三角形其中两条外角平分线与另一个角的内角平分线交于一点（旁心）（有3点）证明方法与“三”内心相似（略）五.三角形三条中线交于一点（重心）找AB中点F，AC中点E，连接这两条中线交于点O，连接AO并延长，交BC于点D，可得S三角形ABE=S三角形ACF=1/2×S三角形ABC，得S三角形BOF=S三角形COE（两三角形同减S四边形AEOF），得S三角形AOB=S三角形AOC（都为上面两三角形面积的两倍），得B到AD和C到AD的距离相等（面积相等，底相等），所以S三角形BOD=S三角形COD（同底等高），所以BD=CD（面积相等，高相等），即D为BC中点，所以三角形三条中线交于一点。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.BOC=2BAC，AOB=2ACB，COA=2CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，C=90，r=(a+b-c)/2.5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。
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三角形的重心与外心
三角形是几何学中最基本的多边形之一，在三角形的研究中，重心
和外心是两个重要的概念。
本文将详细介绍重心和外心的定义、性质
以及计算方法。
一、重心
重心是指三角形内部所有三条中线所交的一点，通常表示为G。
在
任意三角形ABC中，以A、B、C三个顶点为起点，分别向对边中点
引垂线，这三条垂线交于一点G，即为三角形的重心。
重心的坐标可以通过以下公式计算得出：
G(x,y) = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]
二、重心的性质
1. 重心将三角形划分为六个三角形，其中三个小三角形的质心与重
心重合。
2. 重心到三角形三个顶点的距离比例为2:1，即AG：BG：CG=2:1。
3. 重心是三角形内部离三条边最近的点。
4. 如果三角形的三边长度相等，则重心与内心、外心重合。
5. 重心是三角形垂心、内心和外心的连线的交点之一。
三、外心
外心是指三角形外接圆的圆心，通常表示为O。
在任意三角形ABC 中，取三个角的外角平分线，这三条外角平分线的交点即为三角形的
外心。
计算三角形外心的坐标比较复杂，可以利用外接圆的性质来简化计算。
由于外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，因此可以通过
求解三角形两边的垂直平分线的交点来确定外心的坐标。
四、外心的性质
1. 外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于三角形的外接圆
半径。
2. 外心与三个顶点的连线相等，即OA=OB=OC。
3. 外心是三角形三条高的交点之一。
4. 如果三角形是等边三角形，则外心与重心、内心重合。
五、计算方法
1. 重心的计算方法已在前文中提及，即取三个顶点的坐标的平均值。
2. 外心的计算方法可以通过以下步骤进行：
（1）计算三边的中垂线斜率，分别记作k1，k2，k3；
（2）计算三边中点的坐标，分别记作M1，M2，M3；
（3）计算三条中垂线的方程，分别为L1：y = k1x + b1，L2：y = k2x + b2，L3：y = k3x + b3；
（4）求解方程组 L1与L2，L2与L3的交点，即为外心的坐标。
六、应用领域
重心和外心在几何学中具有重要的应用价值。
在工程测量中，通过计算三角形的重心可以确定物体的质心，从而实现平衡和稳定；而外心则常用于定位和导航系统中，通过测量外心的位置可以确定物体的准确方位。
结语
通过本文的介绍，我们了解了三角形的重心和外心的定义、性质以及计算方法。
重心和外心在几何学中起着重要的作用，对于进一步研究和探索三角形的性质和应用具有重要意义。
深入理解和应用重心和外心的概念，可以帮助我们更好地理解和解决相关的几何问题。