三角形重心性质及应用
三角形的垂心外心和重心
三角形的垂心外心和重心三角形的垂心、外心和重心三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和特点。
其中，垂心、外心和重心是三角形内的三个重要点，它们在许多几何问题中起着重要的作用。
本文将对三角形的垂心、外心和重心进行详细介绍，以及它们的性质和应用。
一、垂心垂心是指三角形三条高的交点，通常用H表示。
在任何三角形中，三条高（垂直于对边，并经过对边顶点的切线）的交点都是唯一的，这一点被称为垂心。
垂心的特点如下：1. 垂心到三角形三边的距离是相等的。
也就是说，垂心到三角形任意一边的距离都相等。
2. 垂心和三个顶点之间的连线都是垂直的。
也就是说，垂心到三个顶点之间的线段都是垂直的。
3. 垂心趋于三角形的边缘时，它会接近于三角形的外接圆。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常用O表示。
外接圆是能够完全包围三角形的圆，通过三角形的三个顶点。
外心的特点如下：1. 外心到三角形三个顶点的距离都相等。
2. 外心到三角形三个顶点的连线都相等，也就是说，外心到三个顶点之间的距离都相等。
3. 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，也就是说，外心到三角形的每条边都是相等距离。
4. 三角形的外心是垂心和重心连线的中点，也就是说，连接垂心和重心的线段经过外心。
三、重心重心是指三角形三条中线的交点，通常用G表示。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
重心的特点如下：1. 重心将每条中线划分为2:1的比例。
也就是说，从重心出发到达对边中点的距离是从重心到顶点的距离的两倍。
2. 重心到三角形三个顶点的距离之和最小。
3. 连接重心和垂心的线段被称为Euler线，它经过外心。
4. 重心位于三角形内部的2/3处，到三角形每条边的距离都小于到相应顶点的距离。
以上是关于三角形的垂心、外心和重心的基本性质。
这三个重要点在求解三角形的面积、判定三角形的形状以及解析几何中都有广泛应用。
研究它们的性质和关系，有助于深入理解三角形的结构和性质，进一步拓展数学几何的知识。
三角形的重心与外心
三角形的重心与外心三角形是几何学中最基本的多边形之一，在三角形的研究中，重心和外心是两个重要的概念。
本文将详细介绍重心和外心的定义、性质以及计算方法。
一、重心重心是指三角形内部所有三条中线所交的一点，通常表示为G。
在任意三角形ABC中，以A、B、C三个顶点为起点，分别向对边中点引垂线，这三条垂线交于一点G，即为三角形的重心。
重心的坐标可以通过以下公式计算得出：G(x,y) = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]二、重心的性质1. 重心将三角形划分为六个三角形，其中三个小三角形的质心与重心重合。
2. 重心到三角形三个顶点的距离比例为2:1，即AG：BG：CG=2:1。
3. 重心是三角形内部离三条边最近的点。
4. 如果三角形的三边长度相等，则重心与内心、外心重合。
5. 重心是三角形垂心、内心和外心的连线的交点之一。
三、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常表示为O。
在任意三角形ABC 中，取三个角的外角平分线，这三条外角平分线的交点即为三角形的外心。
计算三角形外心的坐标比较复杂，可以利用外接圆的性质来简化计算。
由于外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，因此可以通过求解三角形两边的垂直平分线的交点来确定外心的坐标。
四、外心的性质1. 外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于三角形的外接圆半径。
2. 外心与三个顶点的连线相等，即OA=OB=OC。
3. 外心是三角形三条高的交点之一。
4. 如果三角形是等边三角形，则外心与重心、内心重合。
五、计算方法1. 重心的计算方法已在前文中提及，即取三个顶点的坐标的平均值。
2. 外心的计算方法可以通过以下步骤进行：（1）计算三边的中垂线斜率，分别记作k1，k2，k3；（2）计算三边中点的坐标，分别记作M1，M2，M3；（3）计算三条中垂线的方程，分别为L1：y = k1x + b1，L2：y = k2x + b2，L3：y = k3x + b3；（4）求解方程组 L1与L2，L2与L3的交点，即为外心的坐标。
三角形重心性质定理
三角形重心性质定理三角形是初中数学中重要的几何概念之一，其性质和定理也是我们学习的重点之一。
其中，三角形重心性质定理是其中一个非常重要且有趣的定理。
本文将详细介绍三角形重心性质定理，帮助读者更好地理解和应用这一定理。
一、三角形的定义在介绍三角形重心性质定理之前，我们先来回顾一下三角形的定义。
三角形是由三条边和三个顶点所确定的一个平面图形。
三角形的重心被定义为三角形三条中线的交点，记作G。
中线是连接三角形某一顶点与对边中点的线段。
在三角形ABC中，中线AG连接顶点A与对边BC的中点M，中线BG连接顶点B与对边AC的中点N，中线CG连接顶点C与对边AB的中点P。
三线共点的交点G即为三角形ABC的重心。
二、三角形重心性质定理是指任意三角形的重心与顶点之间的距离之比为2:1。
具体而言，我们有以下定理：定理：在任意三角形中，重心到各个顶点的距离的比值为2:1。
证明：设三角形ABC的顶点分别为A、B、C，重心为G。
由三角形的定义可知，AG、BG、CG分别为三角形ABC的三条中线，其长度分别为a'、b'、c'。
我们需要证明：AG:BG:CG=2:1:1首先，我们可以得知由中位线的性质可知，AM=MB，AN=NC，BP=PC。
因此，在三角形ABC中，我们可以得到以下等式：AG=2GM （1）BG=2GN （2）CG=2GP （3）由等式（1）、（2）、（3）可知，AG、BG、CG分别是GM、GN、GP的两倍。
因此，我们得到以下等式：AG:GM=2:1 （4）BG:GN=2:1 （5）CG:GP=2:1 （6）由于GM、GN、GP分别为重心G到顶点A、B、C的距离，通过等式（4）、（5）、（6）我们可以得出：AG:BG:CG=2:1:1因此，定理得证。
三、三角形重心性质定理的应用三角形重心性质定理在解决相关几何问题中起着重要的作用。
下面以一些例子来说明这个定理的应用。
例1：已知三角形ABC，重心G所在直线与边BC的交点为D，求证：BD:DC=2:1。
三角形重心性质的有关推论及应用
三角形重心性质的有关推论及应用作者：刘家良来源：《中学数学杂志(初中版)》2011年第04期三角形的三条中线相交于一点,这一点叫做三角形的重心.三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.以三角形重心的定义和性质为依据,可推导出三条结论：推论1 三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六部分．如图1,△ABC的三条中线AD,BE,CF交于点G,则△ABC被分成面积相等的六部分,即S1=S2=S3=S4=S5=S6．证明：如图1,因为BE、CF分别是边AC、AB的中线,所以S△ABE=S△ACF=12S△ABC,即S1+S2+S3=S1+S2+S6,所以S3=S6.在△ABG中,GF为边AB的中线,则S3=S2,在△ACG中,GE 为边AC的中线,则S1=S6,所以S1=S2=S3=S6.依此类推,得S1=S2=S3=S4=S5=S6．推论2 三角形的重心与三角形的三个顶点构成的三个三角形的面积相等,且等于原三角形面积的13．如图1,根据推论1,得S△ABG=S△BCG=S△ACG=13S△ABC．推论3 以三角形的重心与三角形的三顶点的连线为边能构成一个三角形,且这个三角形的面积等于原三角形面积的13．证明：如图2,考虑到GD为△BCG的中线,现将其加倍延长(俗称中线加倍法),即延长GD 至点M,使MD=GD,连接BM,CM,则四边形BMCG为平行四边形,所以BM=CG.因为AG=2GD,MG=2GD,所以MG=AG.由此,得以AG,BG,CG为边组成一个三角形(△BMG或△CMG).因为S△BCG=S4+S5=13S△ABC,△BDM≌△CDG,所以S△BMG=S4+S5=13S△ABC．注三角形的顶点与重心的连线的延长线于对边的交点为这边的中点,此时,往往先将重心与中点的连线加倍延长来构造平行四边形,再利用平行四边形的知识解题．现应用三条推论解一题：例如图3,已知点G是△ABC的重心,AG=5,BG=13,GC=12,求△ABC的面积．解如图3,延长BG交AC于点D,延长GD至点E,使ED=GD,连接EC,AE,因为点G是△ABC的重心,所以AD=DC,则四边形AECG为平行四边形,所以CE=AG=5,又点G是△ABC的重心,所以BG=2GD,因为ED=GD,所以EG=2GD,所以EG=BG=13,在△CEG中,因为CG2+CE2=GE2,所以∠ECG=90°,所以S△ECG=12CE•CG=30,即以AG,BG,CG为边构成的三角形的面积为30,根据推论3,得S△ABC=3×S△ECG=90．作者简介：刘家良,男,天津静海人,1966年10月生,中学高级教师.近年来,先后荣获县级教改积极分子、县级优秀班主任和县级优秀教师称号.发表文章40余篇．。
三角形重心的性质及其应用沈文选
三角形重心的性质及其应用湖南大理学院沈文选71994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. AU rights reserved.★数学竞赛初级讲座1基础知识三角形三条中线的交点称为三角形的垂心•三角 形重心有卜列有趣性质.性质1设G 为的重心，连结AG 并延K 交BC 于D,则。
为BC 的中点.AD 2=-(AB 2^AC 2)= BC 2,且 AG ： GO =2 ： 1・4性质2设G 为・ABC 的重心过G 作CE //BC反乙设・4BC 的一边AB 上有凡、Pi 两点，在 另一边人(7上有0、02两点.Zf — =— +APi AQ\ APi—=3则Pi Q\与PiQi 的交点G 是■ABC 的重 AQ ：心・G 数学通报》1212号问趣)交AB 干D 、交AQ 于E,过G 作PF//AC 交于P 、 交BC 于几过G 作KH //AB 交AC 于K ,交BC 于DE FP KH 2H •则(1 厂=—=—=一 BC CA AB 32.:<2> DE FP KH BC +C/1 AB3=如+広 APy AQi BPx =(1+砧〉性质3设G 为・ABC 的垂心，过G 的直线交AB ACAB 于几交AC 于Q ，则廿+/iQ =3反之，在・ABC中，若宜线PQ 交AB 于P,交AC 干Q,满足—+ —AP AQ=3则直线PQ 过三角形的遼心.KP BX I +CY | =AG ・ 同理，BX +CK=AG •2 厶从而 BX\+CY\ =BX 2 + CY 2^ 即 BXi-BXz=CY 2-CY I ,亦即 XiX2=/i Y1.而XyX 2// Yi r 2t 从而易判断・GXI X2丝■ GKi Y 2.所以GX\ =GY X .推知BM =MC 、即AM 为■ ABC 的BC 边上的中线，亦即GM 为梯形BCY }X { 的中位线.此时 BX i +CX 1 =2GM ・但BX] ^CYi=AG ,故AG =2GM •由此即知AB ACG 点为■八BC 之垂心，即满+ _ =3的直线过 其垂心•AB CM , AC RM为N 为・ABC 的重心时，M 为肚中点，有BM 性质4 设G 为■ ABC 的垂心，则S ■伽=丄S ・BCG=S ・MG= 3 $ BABC 反之亦然・性质5设G 为・ABC 的重心，UABC 内的点二MC 且AM : AN=3 : Z 由此即证得结论Q 任边BC 、CA . AB 边上的射影分别为D 、E 、F,则当 。
三角形重心性质定理
三角形重心性质定理1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的重要方法之一。
6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
中学数学研究
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三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
广东省珠海市斗门区第一中学 (519100) 陈水松
一、三角形四心的表述与性质
(一) 重心——三角形三条边上的中线的交点叫做三角
形的重心. 重心将中线长度分成 2: 1 的两部分. 1. −O→A + −O−→B + −O−→C = −→0 ⇔O 是 △ABC 的重心.
AC BC −→ + −−→
.
|AC| |BC|
|−B−B+−−→ →CCb| −B)−→C, 所
= 以
4.
−−→ PO
=
−→ aP A
−−→ + bP B + a+b+c
−−→ cP C
⇔
O
为
△ABC
的内心,
P 为平面上任意点.
(二) 垂心——三角形三条高线的交点叫做三角形的垂
证明
因为
O
为
△ABC
证 法 1 设 O(x, y), A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),
−→ −−→ −−→ OA+OB+OC
=
−→0
⇔
x=
x1 + x2 + x3
(x1 − x) + (x2 − x) + (x3 − x) = 0 (y1 − y) + (y2 − y) + (y3 − y) = 0
=
−→0 ,
所以
−→ AO
=
2−O−→D,
所以
A、O、D
三点共线,
三角形的中线中线的性质和应用
三角形的中线中线的性质和应用三角形是初中数学中的基础概念之一。
在三角形中，中线是一条连接一个顶点与其对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，互相交于一个点，我们称之为重心。
本文将探讨三角形的中线中线的性质和应用。
一、三角形中线的定义与性质1. 定义：三角形的中线是一条连接一个顶点与其对边中点的线段。
2. 性质1：三角形的三条中线互相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
重心划分每条中线的长度比为2:1，即重心到顶点的距离是重心到中点距离的两倍。
3. 性质2：三角形的重心离每条边的距离相等。
4. 性质3：三角形的中线长度满足关系式：m₁+m₂+m₃=3m（其中，m₁、m₂、m₃分别表示三角形的三条中线的长度，m表示三角形的周长）。
二、三角形中线中线的应用1. 面积计算：利用三角形中线中线的性质，我们可以简化计算三角形面积的步骤。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，三条中线的长度分别为m₁、m₂、m₃，则三角形的面积S可以通过以下公式计算得到：S = 1/4 * √(2a²+2b²-c²) * √(2a²+2c²-b²) * √(2b²+2c²-a²)这个公式称为三角形中线长公式，可以大大简化我们计算三角形面积的过程。
2. 相似三角形比较：利用三角形中线对应线段相等的性质，我们可以判断两个三角形是否相似。
如果两个三角形的中线等分对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，如果一个三角形的一个中线等分了对应边，而另一个三角形的对应中线等分了对应边的同一比例，那么这两个三角形就是相似的。
3. 证明三角形性质：三角形中线中线的性质也可以用来证明其他三角形的性质。
例如，我们可以利用中线的长度比是2:1，来证明三角形重心到两边距离的关系。
假设三角形ABC的重心为G，连接AG、BG、CG分别和边BC、AC、AB交于点D、E、F。
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三角形重心性质及应用
三角形的重心是三条中线的交点，也是三个顶点与对应中线交点的连线所形成的三角形中的重心。
三角形重心有很多特点和应用。
首先，三角形的重心坐标性质。
假设三角形的三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，那么重心的坐标可以表示为G(x, y)，其中x=(x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3)/3。
这个性质可以很容易地通过几何推导得到，也可以通过向量运算证明。
这个性质可以用来计算三角形的重心坐标。
其次，三角形的重心与重心连线。
三角形的重心与三个顶点分别连线，可以得到三条中线。
中线是三角形的一个特殊的线段，它连接了一个顶点与对应的底边的中点。
三角形的重心恰好是三条中线的交点，因此可以通过重心连线来确定重心的位置。
再次，三角形的重心与面积。
三角形的重心将三角形划分为六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。
这个性质可以用于求三角形的重心坐标。
设三角形的重心坐标为G(x, y)，且已知三个顶点的坐标为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，则可以通过面积的性质得到x=(Ax1+Ax2+Ax3)/3、y=(Ay1+Ay2+Ay3)/3。
此外，三角形重心的应用还有很多。
其中之一是三角形质心定理。
根据三角形的重心定义，可以推导出质心与顶点的距离满足d(G, A):d(G, B):d(G, C)=2:2:1。
这个性质可以用于解决一些几何问题，例如求质心到某一点的距离比例等。
此外，三角形重心还可以用于求解三角形的面积。
根据面积的定义，可以得到三角形的面积等于底乘以高的一半。
对于任意一个三角形ABC，以重心G为底可以得到一个位于底边上的高。
因此，可以通过底边的长度与高的长度来计算三角形的面积。
最后，三角形的重心还可以用于设计平衡结构。
在工程中，有时候需要设计一个三角形结构，使得结构保持平衡。
此时，可以选择使得结构的重心和支点重合，从而达到平衡的效果。
这个原理也被应用于一些机器人设计和平衡车等项目中。
综上所述，三角形的重心具有很多特点和应用。
其重要性质包括重心坐标性质、重心连线性质和重心与面积的关系。
三角形的重心还可以应用于解决一些几何问题，计算三角形的面积以及设计平衡结构等。